ปัจจัยแรงเสียดทานของแฟนนิ่ง

ปัจจัยแรงเสียดทานของแฟนนิง (ตั้งชื่อตามวิศวกรชาวอเมริกันจอห์น ที. แฟนนิง ) เป็นตัวเลขไร้มิติที่ใช้เป็นพารามิเตอร์เฉพาะที่ใน การคำนวณ กลศาสตร์ต่อเนื่องโดยกำหนดเป็นอัตราส่วนระหว่างความเค้นเฉือน เฉพาะที่และความหนาแน่นของ พลังงานจลน์การไหลเฉพาะที่: ^{[ 1 ] [ 2 ]}

$${\displaystyle f={\frac {\tau }{q}}}$$

ที่ไหน

fคือค่าสัมประสิทธิ์แรงเสียดทานของ Fanning ในพื้นที่ (ไม่มีหน่วย)

τคือความเค้นเฉือน เฉพาะที่ (หน่วยเป็นปาสคาล (Pa) = N/m² ^หรือปอนด์ต่อตารางฟุต (psf) = lbf/ft² ⁾ ;

qคือความดันไดนามิก โดยรวม (Pa หรือ psf) ซึ่งกำหนดโดย:

$${\displaystyle q={\frac {1}{2}}\rho u^{2}}$$

ρคือความหนาแน่นของของเหลว ( กิโลกรัม/ลบ.ม. ^หรือปอนด์-เมตร/ลบ.ฟุต^. )

uคือความเร็วการไหล โดยรวม (เมตร/วินาที หรือ ฟุต/วินาที)

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง แรงเฉือนที่ผนังสามารถสัมพันธ์กับการสูญเสียความดันได้โดยการคูณแรงเฉือนที่ผนังด้วยพื้นที่หน้าตัดของผนัง ( สำหรับท่อที่มีหน้าตัดเป็นวงกลม) แล้วหารด้วยพื้นที่หน้าตัดการไหล ( สำหรับท่อที่มีหน้าตัดเป็นวงกลม) ดังนั้น${\displaystyle 2\pi RL}$${\displaystyle \pi R^{2}}$${\displaystyle \Delta P=f{\frac {2L}{R}}q=f{\frac {L}{R}}\rho u^{2}}$

ค่าสัมประสิทธิ์แรงเสียดทานนี้เป็นหนึ่งในสี่ของค่าสัมประสิทธิ์แรงเสียดทานของดาร์ซีดังนั้นจึงต้องให้ความสนใจว่าค่าใดในแผนภูมิหรือสมการ "ค่าสัมประสิทธิ์แรงเสียดทาน" ที่ใช้อ้างอิงนั้นหมายถึงค่าใด ในบรรดาค่าทั้งสอง ค่าสัมประสิทธิ์แรงเสียดทานของแฟนนิ้งเป็นค่าที่วิศวกรเคมีและผู้ที่ปฏิบัติตามแบบแผนของอังกฤษนิยมใช้มากกว่า

สามารถใช้สูตรด้านล่างนี้ในการคำนวณหาค่าสัมประสิทธิ์แรงเสียดทานของแฟนนิ่ง (Fanning friction factor) สำหรับการใช้งานทั่วไปได้

ค่าสัมประสิทธิ์แรงเสียดทานของ Darcy สามารถแสดงได้ดังนี้^{[ 3 ]}

${\displaystyle f_{D}={\frac {8{\bar {\tau }}}{\rho {\bar {u}}^{2}}}}$

ที่ไหน:

• ${\displaystyle \tau }$คือแรงเฉือนที่ผนัง
• ${\displaystyle \rho }$คือความหนาแน่นของของเหลว
• ${\displaystyle {\bar {u}}}$คือความเร็วการไหลเฉลี่ยบนหน้าตัดการไหล

จากแผนภูมิ จะเห็นได้ชัดว่าค่าสัมประสิทธิ์แรงเสียดทานไม่เคยเป็นศูนย์ แม้แต่ในท่อเรียบ เนื่องจากมีความขรุขระบางอย่างในระดับจุลภาค

โดยทั่วไปแล้ว ค่าสัมประสิทธิ์แรงเสียดทานสำหรับการไหลแบบลามินาร์ของของเหลวนิวโทเนียนในท่อกลมจะถือว่าเท่ากับ: ^{[ 4 ]}

${\displaystyle f={\frac {16}{เรื่อง}}}$^{[ 5 ] [ 2 ]}

โดยที่ Re คือเลขเรย์โนลด์ของการไหล

สำหรับช่องสี่เหลี่ยม ค่าที่ใช้คือ:

${\displaystyle f={\frac {14.227}{อีกครั้ง}}}$

ในปี ค.ศ. 1913 บลาซิอุสได้พัฒนาสูตรแสดงค่าสัมประสิทธิ์แรงเสียดทานสำหรับการไหลในระบอบดังกล่าว ${\displaystyle 2100<อีกครั้ง<10^{5}}$

${\displaystyle f={\frac {0.0791}{เรื่อง^{0.25}}}}$^{[ 6 ] [ 2 ]}

ในปี 1933 คูได้นำเสนอสูตรที่ชัดเจนอีกสูตรหนึ่งสำหรับการไหลแบบปั่นป่วนในบริเวณดังกล่าว ${\displaystyle 10^{4}<อีกครั้ง<10^{7}}$

${\displaystyle f=0.0014+{\frac {0.125}{เรื่อง^{0.32}}}}$^{[ 7 ] [ 8 ]}

เมื่อท่อมีความหยาบในระดับหนึ่งปัจจัยนี้จะต้องนำมาพิจารณาเมื่อคำนวณค่าสัมประสิทธิ์แรงเสียดทานของแฟนนิ่ง ความสัมพันธ์ระหว่างความหยาบของท่อและค่าสัมประสิทธิ์แรงเสียดทานของแฟนนิ่งได้รับการพัฒนาโดย Haaland (1983) ภายใต้สภาวะการไหลแบบหนึ่ง${\displaystyle {\frac {\เอปไซลอน }{D}}<0.05}$${\displaystyle 4\centerdot 10^{4}<Re<10^{7}}$

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {f}}}=-3.6\log _{10}\left[{\frac {6.9}{Re}}+\left({\frac {\epsilon /D}{3.7}}\right)^{10/9}\right]}$^{[ 2 ] [ 9 ] [ 8 ]}

ที่ไหน

• ${\displaystyle \epsilon }$คือค่าความหยาบของพื้นผิวด้านในของท่อ (มิติความยาว)
• D คือเส้นผ่านศูนย์กลางภายในของท่อ

สมการ Swamee–Jain ใช้ในการหาค่าสัมประสิทธิ์แรงเสียดทานDarcy–Weisbach f โดยตรง สำหรับท่อทรงกลมที่มีการไหลเต็มที่ เป็นการประมาณค่าของสมการ Colebrook–White แบบไม่ชัดเจน^{[ 10 ]}

${\displaystyle f={\frac {0.0625}{\left[\log \left({\frac {\varepsilon /D}{3.7}}+{\frac {5.74}{\mathrm {Re} ^{0.9}}}\right)\right]^{2}}}}$

เมื่อความขรุขระขยายเข้าไปในแกนกลางของการไหลแบบปั่นป่วน ค่าสัมประสิทธิ์แรงเสียดทานของแฟนนิ้งจะไม่ขึ้นอยู่กับความหนืดของของเหลวที่เลขเรย์โนลด์สูง ดังที่แสดงโดยนิคุราดเซและไรเชิร์ต (1943) สำหรับการไหลในบริเวณนั้นสมการด้านล่างได้รับการดัดแปลงจากรูปแบบดั้งเดิมซึ่งพัฒนาขึ้นสำหรับค่าสัมประสิทธิ์แรงเสียดทานของดาร์ซีโดยปัจจัยหนึ่ง${\displaystyle Re>10^{4};{\frac {k}{D}}>0.01}$${\displaystyle {\frac {1}{4}}}$

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {f}}}=2.28-4.0\log _{10}\left({\frac {k}{D}}\right)}$^{[ 11 ] [ 12 ]}

สำหรับระบอบการไหลแบบปั่นป่วน ความสัมพันธ์ระหว่างปัจจัยแรงเสียดทานของ Fanning และเลข Reynolds นั้นซับซ้อนกว่าและถูกควบคุมโดยสมการ Colebrook ^{[ 6 ]}ซึ่งแฝงอยู่ใน: ${\displaystyle f}$

${\displaystyle {1 \over {\sqrt {\mathit {f}}}}=-4.0\log _{10}\left({\frac {\frac {\varepsilon }{d}}{3.7}}+{\frac {1.255}{Re{\sqrt {\mathit {f}}}}}\right),{\text{การไหลแบบปั่นป่วน}}}$

มีการพัฒนา วิธีการประมาณค่าสัมประสิทธิ์ แรงเสียดทานของดาร์ซีที่เกี่ยวข้องสำหรับการไหลแบบปั่นป่วน หลายวิธี

Stuart W. Churchill ^{[ 5 ]}ได้พัฒนาสูตรที่ครอบคลุมค่าสัมประสิทธิ์แรงเสียดทานสำหรับทั้งการไหลแบบลามินาร์และแบบปั่นป่วน สูตรนี้ถูกสร้างขึ้นมาเพื่ออธิบายแผนภูมิ Moodyซึ่งพล็อตค่าสัมประสิทธิ์แรงเสียดทาน Darcy-Weisbach เทียบกับเลขเรย์โนลด์ สูตร Darcy Weisbach หรือที่เรียกว่าค่าสัมประสิทธิ์แรงเสียดทาน Moody มีค่าเป็น 4 เท่าของค่าสัมประสิทธิ์แรงเสียดทาน Fanning ดังนั้นจึงมีการใช้ตัวคูณเพื่อสร้างสูตรที่แสดงด้านล่าง ${\displaystyle f_{D}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle {\frac {1}{4}}}$

• Re คือเลขเรย์โนลด์ ( ไม่มีหน่วย )
• ε คือค่าความหยาบของพื้นผิวด้านในของท่อ (มิติของความยาว)
• Dคือเส้นผ่านศูนย์กลางภายในของท่อ
• lnคือลอการิทึมธรรมชาติ;
• ในที่นี้ค่าสัมประสิทธิ์แรงเสียดทานของ Darcy-Weisbach ไม่ใช่ค่าสัมประสิทธิ์แรงเสียดทานของ Darcy-Weisbach แต่ มี ค่าต่ำกว่าถึง 4 เท่า${\displaystyle f}$${\displaystyle f_{D}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f_{D}}$

${\displaystyle f=2\left(\left({\frac {8}{Re}}\right)^{12}+\left(A+B\right)^{-1.5}\right)^{\frac {1}{12}}}$

${\displaystyle A=\left(2.457\ln \left(\left(\left({\frac {7}{Re}}\right)^{0.9}+0.27{\frac {\varepsilon }{D}}\right)^{-1}\right)\right)^{16}}$

${\displaystyle B=\left({\frac {37530}{Re}}\right)^{16}}$

เนื่องจากรูปทรงของท่อที่ไม่เป็นทรงกลม ค่าสัมประสิทธิ์แรงเสียดทานของแฟนนิ่งสามารถประมาณได้จากนิพจน์พีชคณิตข้างต้น โดยใช้รัศมีไฮดรอลิก ในการคำนวณหาเลขเรย์โนลด์${\displaystyle R_{H}}$${\displaystyle Re_{H}}$

ความดันที่เกิดจากแรง เสียดทาน สามารถสัมพันธ์กับการสูญเสียความดันเนื่องจากแรงเสียดทานได้โดยการหารการสูญเสียความดันด้วยผลคูณของความเร่งเนื่องจากแรงโน้มถ่วงและความหนาแน่นของของเหลว ดังนั้น ความสัมพันธ์ระหว่างความดันที่เกิดจากแรงเสียดทานและค่าสัมประสิทธิ์แรงเสียดทานของแฟนนิ้งจึงเป็นดังนี้:

${\displaystyle \Delta h=f{\frac {u^{2}L}{gR}}=2f{\frac {u^{2}L}{gD}}}$

ที่ไหน:

• ${\displaystyle \Delta h}$คือการสูญเสียแรงเสียดทาน (ในแรงดัน) ของท่อ
• ${\displaystyle f}$คือค่าสัมประสิทธิ์แรงเสียดทานของท่อตามทฤษฎีของแฟนนิ้ง
• ${\displaystyle u}$คือความเร็วการไหลในท่อ
• ${\displaystyle L}$คือความยาวของท่อ
• ${\displaystyle g}$คือความเร่งโน้มถ่วงเฉพาะที่
• ${\displaystyle D}$คือเส้นผ่านศูนย์กลางของท่อ

• แฟนนิง, เจที (1896). ตำราปฏิบัติเกี่ยวกับวิศวกรรมไฮดรอลิกและระบบประปา . ดี. แวน นอสแตรนด์. ISBN 978-5-87581-042-8.{{cite book}}: ISBN / Date incompatibility (help)