ในทฤษฎีสนามควอนตัมสนามเฟอร์มิออนิกคือสนามควอนตัมที่มีควอนตัมเป็นเฟอร์มิออนกล่าวคือ เป็นไปตามสถิติเฟอร์มิ-ดิแรกสนามเฟอร์มิออนิกเป็นไปตามความสัมพันธ์การสลับตำแหน่งแบบแคนอนิกแทนที่จะเป็นความสัมพันธ์การสลับตำแหน่งแบบแคนอนิกของสนามโบซอนิก

ตัวอย่างที่โดดเด่นที่สุดของสนามเฟอร์มิออนิกคือสนามดิแรกซึ่งอธิบายเฟอร์มิออนที่มีสปิน -1/2 ได้แก่อิเล็กตรอนโปรตอนควาร์กเป็นต้น สนามดิแรกสามารถอธิบายได้ว่าเป็นสปินเนอร์ 4 องค์ประกอบ หรือเป็นคู่ของสปินเนอร์เวล์ 2 องค์ประกอบ เฟอร์มิออนมาโจ รานาที่ มี สปิน 1/2 เช่นนิวทรัลลิโน ในเชิงสมมติฐาน สามารถอธิบายได้ว่าเป็น สปินเนอร์มาโจรานา 4 องค์ประกอบแบบพึ่งพาหรือสปินเนอร์เวล์ 2 องค์ประกอบเดี่ยว ยังไม่เป็นที่ทราบแน่ชัดว่านิวทริโนเป็นเฟอร์มิออนมาโจรานาหรือเฟอร์มิออนดิแรกการสังเกตการสลายตัวแบบดับเบิลเบตาที่ไม่มีนิวท ริโน ในทางทดลองจะช่วยไขข้อสงสัยนี้ได้

สนามเฟอร์มิออนอิสระ (ที่ไม่เกิดปฏิสัมพันธ์) เป็นไปตามความสัมพันธ์การสลับตำแหน่งแบบแคนอนิกกล่าวคือ เกี่ยวข้องกับตัวสลับตำแหน่ง { a , b } = ab + baแทนที่จะเป็นตัวสลับตำแหน่ง [ a , b ] = ab − baของกลศาสตร์โบซอนิกหรือกลศาสตร์ควอนตัมมาตรฐาน ความสัมพันธ์เหล่านั้นยังคงใช้ได้กับสนามเฟอร์มิออนที่เกิดปฏิสัมพันธ์ในภาพปฏิสัมพันธ์ซึ่งสนามเหล่านั้นวิวัฒนาการไปตามเวลาเสมือนเป็นอิสระ และผลของปฏิสัมพันธ์ถูกเข้ารหัสไว้ในวิวัฒนาการของสถานะ

ความสัมพันธ์แบบแอนติคอมมิวเทชันเหล่านี้เองที่บ่งชี้ถึงสถิติเฟอร์มิ-ดิแรกสำหรับควอนตัมของสนาม และยังส่งผลให้เกิดหลักการกีดกันของเปาลี ด้วย กล่าวคือ อนุภาคเฟอร์มิออนสองตัวไม่สามารถอยู่ในสถานะเดียวกันได้ในเวลาเดียวกัน

ตัวอย่างที่โดดเด่นของสนามเฟอร์มิออนสปิน 1/2 คือสนามดิแรก (ตั้งชื่อตามพอล ดิแรก ) ซึ่งใช้สัญลักษณ์. สมการการเคลื่อนที่ของอนุภาคอิสระสปิน 1/2 คือสมการดิแรก . ${\displaystyle \psi (x)}$

${\displaystyle \left(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m\right)\psi (x)=0.\,}$

โดยที่เป็นเมทริกซ์แกมมาและเป็นมวล วิธีแก้สมการที่ง่ายที่สุดที่เป็นไปได้คือ วิธีแก้แบบคลื่นระนาบและ วิธีแก้ แบบคลื่นระนาบเหล่านี้เป็นพื้นฐานสำหรับส่วนประกอบฟูริเยร์ของซึ่งช่วยให้สามารถขยายฟังก์ชันคลื่นทั่วไปได้ดังนี้ ${\displaystyle \gamma ^{\mu }}$${\displaystyle m}$${\displaystyle \psi (x)}$${\displaystyle u(p)e^{-ip\cdot x}\,}$${\displaystyle v(p)e^{ip\cdot x}\,}$${\displaystyle \psi (x)}$

${\displaystyle \psi _{\alpha }(x)=\int {\frac {d^{3}p}{(2\pi )^{3}}}{\frac {1}{\sqrt {2E_{p}}}}\sum _{s}\left(a_{\mathbf {p} }^{s}u_{\alpha }^{s}(p)e^{-ip\cdot x}+b_{\mathbf {p} }^{s\dagger }v_{\alpha }^{s}(p)e^{ip\cdot x}\right).\,}$

ในที่นี้uและvคือสปินเนอร์ที่ระบุด้วยค่าสปินsและดัชนีสปินเนอร์สำหรับอิเล็กตรอนซึ่งเป็นอนุภาคสปิน 1/2 ค่าs = +1/2 หรือs = −1/2 ปัจจัยพลังงานเป็นผลมาจากการมีมาตรวัดการอินทิเกรตที่ไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การแปลงลอเรนซ์ ในการควอนตัมแบบที่สองจะถูกยกระดับเป็นตัวดำเนินการ ดังนั้นสัมประสิทธิ์ของโหมดฟูริเยร์ของมันจึงต้องเป็นตัวดำเนินการด้วย ดังนั้นและจึงเป็นตัวดำเนินการ คุณสมบัติของตัวดำเนินการเหล่านี้สามารถสังเกตได้จากคุณสมบัติของสนามและเป็นไปตามความสัมพันธ์การสลับตำแหน่งแบบผกผัน: ${\displaystyle \alpha \in \{0,1,2,3\}}$${\displaystyle \psi (x)}$${\displaystyle a_{\mathbf {p} }^{s}}$${\displaystyle b_{\mathbf {p} }^{s\dagger }}$${\displaystyle \psi (x)}$${\displaystyle \psi (y)^{\กริช }}$

${\displaystyle \left\{\psi _{\alpha }(\mathbf {x} ),\psi _{\beta }^{\dagger }(\mathbf {y} )\right\}=\delta ^{(3)}(\mathbf {x} -\mathbf {y} )\delta _{\alpha \beta }.}$

เรากำหนดความสัมพันธ์แบบแอนติคอมมิวเทเตอร์ (ตรงข้ามกับความสัมพันธ์แบบคอมมิวเทชั่นดังเช่นที่เราใช้กับฟิลด์โบซอนิก ) เพื่อให้ตัวดำเนินการเข้ากันได้กับสถิติเฟอร์มิ-ดิแรกโดยการใส่การขยายสำหรับและเข้าไป เราสามารถคำนวณความสัมพันธ์แบบแอนติคอมมิวเทชั่นสำหรับสัมประสิทธิ์ได้ ${\displaystyle \psi (x)}$${\displaystyle \psi (y)}$

${\displaystyle \left\{a_{\mathbf {p} }^{r},a_{\mathbf {q} }^{s\dagger }\right\}=\left\{b_{\mathbf {p} }^{r},b_{\mathbf {q} }^{s\dagger }\right\}=(2\pi )^{3}\delta ^{3}(\mathbf {p} -\mathbf {q} )\delta ^{rs},\,}$

ในทำนองเดียวกันกับตัวดำเนินการทำลายและสร้างที่ไม่เกี่ยวข้องกับสัมพัทธภาพและตัวสลับของพวกมัน พีชคณิตเหล่านี้นำไปสู่การตีความทางกายภาพที่สร้างเฟอร์มิออนที่มีโมเมนตัมpและสปิน s และสร้างแอนติเฟอร์มิออนที่มีโมเมนตัมqและสปินr ขณะนี้ สนามทั่วไปถูกมองว่าเป็นผลรวมถ่วงน้ำหนัก (โดยปัจจัยพลังงาน) ของสปินและโมเมนตัมที่เป็นไปได้ทั้งหมดสำหรับการสร้างเฟอร์มิออนและแอนติเฟอร์มิออน สนามคู่ควบของมันคือสิ่งที่ตรงกันข้าม คือผลรวมถ่วงน้ำหนักของสปินและโมเมนตัมที่เป็นไปได้ทั้งหมดสำหรับการทำลายเฟอร์มิออนและแอนติเฟอร์มิออน ${\displaystyle a_{\mathbf {p} }^{s\dagger }}$${\displaystyle b_{\mathbf {q} }^{r\dagger }}$${\displaystyle \psi (x)}$${\displaystyle {\overline {\psi }}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \psi ^{\dagger }\gamma ^{0}}$

เมื่อเข้าใจโหมดของสนามและกำหนดสนามคู่ควบแล้ว ก็สามารถสร้างปริมาณที่ไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การแปลงลอเรนซ์สำหรับสนามเฟอร์มิออนได้ ปริมาณที่ง่ายที่สุดคือปริมาณซึ่งทำให้เหตุผลในการเลือกชัดเจน เนื่องจากทรานส์ฟอร์มลอเรนซ์ทั่วไปบนไม่ใช่ทรานส์ฟอร์มเอกภาพดังนั้นปริมาณจะไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้ทรานส์ฟอร์มดังกล่าว การรวม จึงเป็นการแก้ไขปัญหานี้ ปริมาณที่ไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การแปลงลอเรนซ์ที่ไม่เป็นศูนย์อีกปริมาณหนึ่งที่สามารถสร้างได้จากสนามเฟอร์มิออน โดยขึ้นอยู่กับการคู่ควบโดยรวมคือ ${\displaystyle {\overline {\psi }}\psi \,}$${\displaystyle {\overline {\psi }}=\psi ^{\dagger }\gamma ^{0}}$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle \psi ^{\dagger }\psi }$${\displaystyle \gamma ^{0}\,}$${\displaystyle {\overline {\psi }}\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi }$

เนื่องจากผลรวมเชิงเส้นของปริมาณเหล่านี้ก็มีคุณสมบัติคงสภาพแบบลอเรนซ์เช่นกัน จึงนำไปสู่ความหนาแน่นของลากรางจ์สำหรับฟิลด์ดิแรกโดยธรรมชาติ โดยอาศัยข้อกำหนดที่ว่าสมการออยเลอร์-ลากรางจ์ของระบบจะต้องได้สมการดิแรกกลับคืนมา

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{D}={\overline {\psi }}\left(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m\right)\psi \,}$

นิพจน์ดังกล่าวจะตัดดัชนีออก เมื่อนำดัชนีกลับมาแสดงใหม่ จะได้นิพจน์เต็มรูปแบบดังนี้

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{D}={\overline {\psi }}_{a}\left(i\gamma _{ab}^{\mu }\partial _{\mu }-m\mathbb {I} _{ab}\right)\psi _{b}\,}$

ความหนาแน่น ของแฮมิลโทเนียน ( พลังงาน ) สามารถสร้างขึ้นได้โดยการกำหนดโมเมนตัมที่สอดคล้องกับเชิงแคนอนิกก่อนซึ่งเรียกว่า${\displaystyle \psi (x)}$${\displaystyle \Pi (x):}$

${\displaystyle \Pi \ {\overset {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {\partial {\mathcal {L}}_{D}}{\partial (\partial _{0}\psi )}}=i\psi ^{\dagger }\,.}$

จากนิยามดังกล่าวความหนาแน่นของแฮมิลโทเนียนคือ: ${\displaystyle \Pi }$

${\displaystyle {\mathcal {H}}_{D}={\overline {\psi }}\left[-i{\vec {\gamma }}\cdot {\vec {\nabla }}+m\right]\psi \,,}$

โดยที่ คือ เกรเดียนต์มาตรฐานของพิกัดเชิงพื้นที่ และคือเวกเตอร์ของเมทริกซ์เชิงพื้นที่ เป็นเรื่องน่าประหลาดใจที่ความหนาแน่นของแฮมิลโทเนียนไม่ได้ขึ้นอยู่กับอนุพันธ์เทียบกับเวลาของโดยตรง แต่สูตรดังกล่าวถูกต้องแล้ว ${\displaystyle {\vec {\nabla }}}$${\displaystyle {\vec {\gamma }}}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \psi }$

เมื่อกำหนดนิพจน์สำหรับเราสามารถสร้างตัวแพร่กระจายของ ไฟน์แมน สำหรับสนามเฟอร์มิออนได้: ${\displaystyle \psi (x)}$

${\displaystyle D_{F}(x-y)=\left\langle 0\left|T(\psi (x){\overline {\psi }}(y))\right|0\right\rangle }$

เรากำหนดผลคูณตามลำดับเวลาสำหรับเฟอร์มิออนด้วยเครื่องหมายลบเนื่องจากธรรมชาติที่ไม่สลับที่กันของพวกมัน

${\displaystyle T\left[\psi (x){\overline {\psi }}(y)\right]\ {\overset {\text{def}}{=}}\ \theta \left(x^{0}-y^{0}\right)\psi (x){\overline {\psi }}(y)-\theta \left(y^{0}-x^{0}\right){\overline {\psi }}(y)\psi (x).}$

เมื่อแทนค่าการขยายคลื่นระนาบสำหรับสนามเฟอร์มิออนลงในสมการข้างต้น จะได้ผลลัพธ์ดังนี้:

${\displaystyle D_{F}(x-y)=\int {\frac {d^{4}p}{(2\pi )^{4}}}{\frac {i({p\!\!\!/}+m)}{p^{2}-m^{2}+i\epsilon }}e^{-ip\cdot (x-y)}}$

โดยที่เราใช้ สัญลักษณ์ สแลชของไฟน์แมนผลลัพธ์นี้สมเหตุสมผลเนื่องจากตัวประกอบ

${\displaystyle {\frac {i({p\!\!\!/}+m)}{p^{2}-m^{2}}}}$

เป็นเพียงตัวผกผันของตัวดำเนินการที่กระทำต่อในสมการของ Dirac โปรดสังเกตว่าตัวแพร่กระจายของ Feynman สำหรับสนาม Klein–Gordon ก็มีคุณสมบัติเดียวกันนี้ เนื่องจากปริมาณที่สังเกตได้ทั้งหมด (เช่น พลังงาน ประจุ จำนวนอนุภาค ฯลฯ) สร้างขึ้นจากสนามเฟอร์มิออนจำนวนคู่ ความสัมพันธ์การสลับตำแหน่งจึงเป็นศูนย์ระหว่างปริมาณที่สังเกตได้สองตัวใดๆ ที่จุดในปริภูมิเวลาที่อยู่นอกกรวยแสง ดังที่เราทราบจากกลศาสตร์ควอนตัมเบื้องต้น ปริมาณที่สังเกตได้สองตัวที่สลับตำแหน่งกันได้พร้อมกันสามารถวัดได้พร้อมกัน ดังนั้นเราจึงได้นำความไม่แปรผันของ Lorentz มา ใช้กับสนาม Dirac อย่างถูกต้อง และรักษาความเป็นเหตุเป็นผล ไว้ ได้ ${\displaystyle \psi (x)}$

ทฤษฎีสนามที่ซับซ้อนกว่าซึ่งเกี่ยวข้องกับปฏิสัมพันธ์ (เช่นทฤษฎี Yukawaหรือควอนตัมอิเล็กโทรไดนามิกส์ ) ก็สามารถวิเคราะห์ได้เช่นกัน โดยใช้วิธีการรบกวนและไม่รบกวนต่างๆ

ฟิลด์ Dirac เป็นส่วนประกอบสำคัญของแบบจำลองมาตรฐาน (Standard Model )

• สมการของ Dirac
• ทฤษฎีบทสปิน-สถิติ
• สปินเนอร์
• สนามผสม
• สนามเสริม