ในทางคณิตศาสตร์พหุนามฟิโบนาชชีเป็นลำดับพหุนามที่สามารถพิจารณาได้ว่าเป็นส่วนขยายของจำนวนฟิโบนาชชีพหุนามที่สร้างขึ้นในลักษณะเดียวกันจากจำนวนลูคัสเรียกว่าพหุนามลูคัส

พหุนามฟิโบนาชชีเหล่านี้ถูกกำหนดโดยความสัมพันธ์เวียนเกิด : ^{[ 1 ]}

${\displaystyle F_{n}(x)={\begin{cases}0,&{\mbox{ถ้า }}n=0\\1,&{\mbox{ถ้า }}n=1\\xF_{n-1}(x)+F_{n-2}(x),&{\mbox{ถ้า }}n\geq 2\end{cases}}}$

พหุนามลูคัสใช้ความสัมพันธ์เวียนเกิดเดียวกันโดยมีค่าเริ่มต้นที่แตกต่างกัน: ^{[ 2 ]}

${\displaystyle L_{n}(x)={\begin{cases}2,&{\mbox{ถ้า }}n=0\\x,&{\mbox{ถ้า }}n=1\\xL_{n-1}(x)+L_{n-2}(x),&{\mbox{ถ้า }}n\geq 2.\end{cases}}}$

สามารถกำหนดดัชนีเชิงลบได้โดย^{[ 3 ]}

${\displaystyle F_{-n}(x)=(-1)^{n-1}F_{n}(x),}$

${\displaystyle L_{-n}(x)=(-1)^{n}L_{n}(x).}$

พหุนามฟิโบนาชชีเป็นลำดับของพหุนามเชิงตั้งฉากที่ มีและ${\displaystyle A_{n}=C_{n}=1}$${\displaystyle B_{n}=0}$

พหุนามฟิโบนาชี่ชุดแรกๆ ได้แก่:

${\displaystyle F_{0}(x)=0\,}$

${\displaystyle F_{1}(x)=1\,}$

${\displaystyle F_{2}(x)=x\,}$

${\displaystyle F_{3}(x)=x^{2}+1\,}$

${\displaystyle F_{4}(x)=x^{3}+2x\,}$

${\displaystyle F_{5}(x)=x^{4}+3x^{2}+1\,}$

${\displaystyle F_{6}(x)=x^{5}+4x^{3}+3x\,}$

พหุนามลูคัสชุดแรกๆ มีดังนี้:

${\displaystyle L_{0}(x)=2\,}$

${\displaystyle L_{1}(x)=x\,}$

${\displaystyle L_{2}(x)=x^{2}+2\,}$

${\displaystyle L_{3}(x)=x^{3}+3x\,}$

${\displaystyle L_{4}(x)=x^{4}+4x^{2}+2\,}$

${\displaystyle L_{5}(x)=x^{5}+5x^{3}+5x\,}$

${\displaystyle L_{6}(x)=x^{6}+6x^{4}+9x^{2}+2.\,}$

• ระดับของF n _คือ n −  1 และระดับของL _nคือn

• ลำดับฟิโบนาชชีและลำดับลูคัสได้มาจากการประเมินค่าพหุนามที่x  = 1 ส่วนลำดับเพลล์ได้มาจากการประเมินค่าF _nที่x  = 2

• ฟังก์ชันสร้างปกติสำหรับลำดับมีดังนี้: ^{[ 4 ]}

  ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }F_{n}(x)t^{n}={\frac {t}{1-xt-t^{2}}}}$

  ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }L_{n}(x)t^{n}={\frac {2-xt}{1-xt-t^{2}}}.}$

• พหุนามเหล่านี้สามารถแสดงในรูปของลำดับลูคัสได้ดังนี้

  ${\displaystyle F_{n}(x)=U_{n}(x,-1),\,}$

  ${\displaystyle L_{n}(x)=V_{n}(x,-1).\,}$

• นอกจากนี้ยังสามารถแสดงได้ในรูปของ พหุนามเชบิเชฟ และ ใน รูปแบบต่างๆ ได้อีก ด้วย ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{n}(x)}$${\displaystyle {\mathcal {U}}_{n}(x)}$

  ${\displaystyle F_{n}(x)=i^{n-1}\cdot {\mathcal {U}}_{n-1}({\tfrac {-ix}{2}}),\,}$

  ${\displaystyle L_{n}(x)=2\cdot i^{n}\cdot {\mathcal {T}}_{n}({\tfrac {-ix}{2}}),\,}$

หน่วยจินตนาการอยู่ที่ไหน${\displaystyle i}$

พหุนามฟิโบนาชชีเป็นกรณีเฉพาะของลำดับลูคัส ซึ่งสอดคล้องกับเอกลักษณ์หลายประการ เช่น^{[ 3 ]}

${\displaystyle F_{m+n}(x)=F_{m+1}(x)F_{n}(x)+F_{m}(x)F_{n-1}(x)\,}$

${\displaystyle L_{m+n}(x)=L_{m}(x)L_{n}(x)-(-1)^{n}L_{mn}(x)\,}$

${\displaystyle F_{n+1}(x)F_{n-1}(x)-F_{n}(x)^{2}=(-1)^{n}\,}$

${\displaystyle F_{2n}(x)=F_{n}(x)L_{n}(x).\,}$

นิพจน์รูปแบบปิดที่คล้ายกับสูตรของ Binet คือ: ^{[ 3 ]}

${\displaystyle F_{n}(x)={\frac {\alpha (x)^{n}-\beta (x)^{n}}{\alpha (x)-\beta (x)}},\,L_{n}(x)=\alpha (x)^{n}+\beta (x)^{n},}$

ที่ไหน

${\displaystyle \alpha (x)={\frac {x+{\sqrt {x^{2}+4}}}{2}},\,\beta (x)={\frac {x-{\sqrt {x^{2}+4}}}{2}}}$

คือคำตอบ (ในt ) ของ

${\displaystyle t^{2}-xt-1=0.\,}$

สำหรับพหุนามลูคัสn > 0 เรามี

${\displaystyle L_{n}(x)=\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }{\frac {n}{nk}}{\binom {nk}{k}}x^{n-2k}.}$

ความสัมพันธ์ระหว่างพหุนามฟิโบนาชชีและพหุนามฐานมาตรฐานแสดงโดย^{[ 5 ]}

${\displaystyle x^{n}=F_{n+1}(x)+\sum _{k=1}^{\lfloor n/2\rfloor }(-1)^{k}\left[{\binom {n}{k}}-{\binom {n}{k-1}}\right]F_{n+1-2k}(x)}$

ตัวอย่างเช่น,

${\displaystyle x^{4}=F_{5}(x)-3F_{3}(x)+2F_{1}(x)\,}$

${\displaystyle x^{5}=F_{6}(x)-4F_{4}(x)+5F_{2}(x)\,}$

${\displaystyle x^{6}=F_{7}(x)-5F_{5}(x)+9F_{3}(x)-5F_{1}(x)\,}$

${\displaystyle x^{7}=F_{8}(x)-6F_{6}(x)+14F_{4}(x)-14F_{2}(x)\,}$

ถ้าF ( n , k ) คือสัมประสิทธิ์ของx ^kในF _n ( x ) กล่าวคือ

${\displaystyle F_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}F(n,k)x^{k},\,}$

จากนั้นF ( n , k ) คือจำนวนวิธีที่สี่เหลี่ยมผืนผ้าขนาดn − 1 x 1 สามารถปูด้วยโดมิโนขนาด 2 x 1 และสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาด 1 x 1 ได้พอดี โดยใช้สี่เหลี่ยมจัตุรัสk ชิ้น ^{[ 1 ]}หรือเทียบเท่าF ( n , k ) คือจำนวนวิธีในการเขียนn − 1 เป็นผลรวมเรียงลำดับที่มีเฉพาะ 1 และ 2 เท่านั้น โดยใช้ 1 เพียงkครั้ง ตัวอย่างเช่น F(6,3)=4 และ 5 สามารถเขียนได้ 4 วิธี คือ 1+1+1+2, 1+1+2+1, 1+2+1+1, 2+1+1+1 เป็นผลรวมที่มีเฉพาะ 1 และ 2 โดยใช้ 1 3 ครั้ง เมื่อนับจำนวนครั้งที่ทั้ง 1 และ 2 ถูกใช้ในผลรวมดังกล่าว จะเห็นได้ชัดว่า ${\displaystyle F(n,k)={\begin{cases}\displaystyle {\binom {{\frac {1}{2}}(n+k-1)}{k}}&{\text{if }}n\not \equiv k{\pmod {2}},\\[12pt]0&{\text{else}}.\end{cases}}}$

วิธีนี้ช่วยให้เราสามารถอ่านค่าสัมประสิทธิ์จากสามเหลี่ยมปาสคาลได้ ดังแสดงในภาพด้านขวา

• Hoggatt, VE ; Bicknell, Marjorie (1973). "รากของพหุนามฟิโบนาชชี" Fibonacci Quarterly . 11 : 271– 274. ISSN  0015-0517 . MR  0332645 .
• Hoggatt, VE; Long, Calvin T. (1974). "คุณสมบัติการหารลงตัวของพหุนามฟิโบนาชชีทั่วไป" Fibonacci Quarterly . 12 : 113. MR  0352034 .
• ริชชี่, เปาโล เอมิลิโอ (1995) "พหุนามลูคัสทั่วไปและพหุนามฟีโบนัชชี" รีวิสตา ดิ มาเตมาติกา เดลลา ยูนิเวอร์ซิตา ดิ ปาร์มา วีเซอร์. 4 : 137– 146. ม.ร.  1395332 .
• หยวน อี้; จาง เหวินเผิง (2002). "เอกลักษณ์บางประการที่เกี่ยวข้องกับพหุนามฟิโบนาชชี" Fibonacci Quarterly . 40 (4): 314. MR  1920571 .
• Cigler, Johann (2003). "พหุนาม q-Fibonacci". Fibonacci Quarterly (41): 31– 40. MR  1962279 .

• ลำดับ OEIS A162515 (สามเหลี่ยมสัมประสิทธิ์ของพหุนามที่กำหนดโดยรูปแบบ Binet)
• ลำดับ OEIS A011973 (สามเหลี่ยมของสัมประสิทธิ์ของพหุนามฟิโบนาชชี)