การ แสดง จำนวนจริงที่ไม่เป็นลบrในรูปทศนิยมคือการแสดงในรูปของลำดับสัญลักษณ์ที่ประกอบด้วยตัวเลขทศนิยมซึ่งโดยทั่วไปเขียนด้วยตัวคั่นเดียว: โดยที่.คือตัวคั่นทศนิยม , kคือจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบและคือตัวเลขซึ่งเป็นสัญลักษณ์ที่แทนจำนวนเต็มในช่วง 0, ..., 9 $${\displaystyle r=b_{k}b_{k-1}\cdots b_{0}.a_{1}a_{2}\cdots }$$${\displaystyle b_{0},\cdots ,b_{k},a_{1},a_{2},\cdots }$

โดยทั่วไปลำดับของตัวเลขหลังจุดทศนิยมมักจะเป็นอนันต์หากเป็นลำดับจำกัด ตัวเลขที่ขาดไปจะถือว่าเป็น 0 หากตัวเลขทั้งหมดเป็น0ก็จะละเว้นตัวคั่น ทำให้ได้ลำดับตัวเลขที่จำกัด ซึ่งแสดงถึงจำนวน ธรรมชาติ${\displaystyle b_{k}\neq 0}$${\displaystyle k\geq 1.}$${\displaystyle a_{i}}$${\displaystyle a_{i}}$

การแสดงผลในรูปแบบทศนิยมแสดงถึงผลรวมอนันต์ : $${\displaystyle r=\sum _{i=0}^{k}b_{i}10^{i}+\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {a_{i}}{10^{i}}}.}$$

จำนวนจริงที่ไม่เป็นลบทุกจำนวนจะมีอย่างน้อยหนึ่งการแสดงแทนดังกล่าว โดยจะมีสองการแสดงแทนดังกล่าว (โดยที่) ก็ต่อเมื่อ การแสดง แทนหนึ่งมีลำดับอนันต์ต่อท้ายเป็น0และการแสดงแทนอีกการแสดงแทนหนึ่งมีลำดับอนันต์ต่อท้ายเป็น9สำหรับการมีการจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างจำนวนจริงที่ไม่เป็นลบกับการแสดงแทนแบบทศนิยม การแสดงแทนแบบทศนิยมที่มีลำดับอนันต์ต่อท้ายเป็น9บางครั้งจะถูกยกเว้น^{[ 1 ]}${\displaystyle b_{k}\neq 0}$${\displaystyle k>0}$

จำนวนธรรมชาติr เรียกว่าส่วนจำนวนเต็มของrและจะใช้สัญลักษณ์ 0 แทนใน ส่วนที่เหลือ _ของบทความนี้ ลำดับของ r แทนจำนวน ที่อยู่ในช่วง rและเรียกว่าส่วนเศษส่วนของr (ยกเว้นเมื่อ r ทุกตัวเท่ากับ9 ) ${\textstyle \sum _{i=0}^{k}b_{i}10^{i}}$${\displaystyle a_{i}}$$${\displaystyle 0.a_{1}a_{2}\ldots =\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {a_{i}}{10^{i}}},}$$${\displaystyle [0,1),}$${\displaystyle a_{i}}$

จำนวนจริงใดๆ ก็สามารถประมาณค่าได้ด้วยระดับความแม่นยำที่ต้องการ โดยใช้จำนวนตรรกยะที่มีการแสดงผลในรูปแบบทศนิยมจำกัด

สมมติให้. ดังนั้นสำหรับทุกจำนวนเต็มจะมีจำนวนทศนิยมจำกัดจำนวนหนึ่งซึ่งสอดคล้องกับเงื่อนไขต่อไปนี้: ${\displaystyle x\geq 0}$${\displaystyle n\geq 1}$${\displaystyle r_{n}=a_{0}.a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}$

$${\displaystyle r_{n}\leq x<r_{n}+{\frac {1}{10^{n}}}.}$$

บทพิสูจน์ : ให้ โดย ที่ แล้วและผลลัพธ์ได้มาจากการหารทุกข้างด้วย(ข้อเท็จจริงที่ว่ามีค่าทศนิยมจำกัดนั้นพิสูจน์ได้ง่าย) ${\displaystyle r_{n}=\textstyle {\frac {p}{10^{n}}}}$${\displaystyle p=\lfloor 10^{n}x\rfloor }$${\displaystyle p\leq 10^{n}x<p+1}$${\displaystyle 10^{n}}$${\displaystyle r_{n}}$

จำนวนจริงบางจำนวนมีรูปแบบทศนิยมอนันต์สองแบบ ตัวอย่างเช่น เลข 1 อาจแสดงได้ทั้ง 1.000... และ0.999... (โดยที่ลำดับอนันต์ของเลข 0 หรือ 9 ที่ต่อท้าย จะถูกแทนด้วย "..." ตามลำดับ) ตามธรรมเนียมแล้ว นิยมใช้รูปแบบทศนิยมที่ไม่มีเลข 9 ต่อท้ายมากกว่า นอกจากนี้ ในรูปแบบทศนิยมมาตรฐานของ1 ลำดับอนันต์ของเลข 0 ต่อท้ายที่ปรากฏหลังจุดทศนิยมจะถูกละเว้นไปพร้อมกับจุดทศนิยมเอง หาก1 เป็นจำนวนเต็ม ${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$

ขั้นตอนบางอย่างในการสร้างการขยายทศนิยมของจะช่วยหลีกเลี่ยงปัญหาเลข 9 ต่อท้าย ตัวอย่างเช่น ขั้นตอนวิธีต่อไปนี้จะให้การแสดงทศนิยมมาตรฐาน: กำหนดให้เรากำหนด( ส่วนจำนวนเต็มของ) ให้เป็นจำนวนเต็มที่มากที่สุดที่(นั่นคือ) ถ้าขั้นตอนจะสิ้นสุดลง มิฉะนั้น สำหรับที่พบแล้ว เรากำหนดแบบอุปนัยให้เป็นจำนวนเต็มที่มากที่สุดที่: ${\displaystyle x}$${\displaystyle x\geq 0}$${\displaystyle a_{0}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle a_{0}\leq x}$${\displaystyle a_{0}=\lfloor x\rfloor }$${\displaystyle x=a_{0}}$${\textstyle (a_{i})_{i=0}^{k-1}}$${\displaystyle a_{k}}$

$${\displaystyle a_{0}+{\frac {a_{1}}{10}}+{\frac {a_{2}}{10^{2}}}+\cdots +{\frac {a_{k}}{10^{k}}}\leq x.}$$

*

กระบวนการจะสิ้นสุดลงเมื่อใดก็ตามที่พบว่ามีความเท่าเทียมกันใน ( * ); มิฉะนั้น กระบวนการจะดำเนินต่อไปเรื่อยๆ จนได้ลำดับเลขฐานสิบที่ไม่มีที่สิ้นสุด สามารถแสดงได้ว่า^{[ 2 ]} (โดยทั่วไปเขียนเป็น) โดยที่และจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบจะถูกแทนด้วยสัญกรณ์เลขฐานสิบการสร้างนี้ขยายไปยังโดยการใช้กระบวนการข้างต้นกับและแทนการขยายเลขฐานสิบที่ได้ด้วย ${\displaystyle a_{k}}$${\textstyle x=\sup _{k}\left\{\sum _{i=0}^{k}{\frac {a_{i}}{10^{i}}}\right\}}$${\displaystyle x=a_{0}.a_{1}a_{2}a_{3}\cdots }$${\displaystyle a_{1},a_{2},a_{3}\ldots \in \{0,1,2,\ldots ,9\},}$${\displaystyle a_{0}}$${\displaystyle x<0}$${\displaystyle -x>0}$${\displaystyle -a_{0}.a_{1}a_{2}a_{3}\cdots }$

^{การกระจายทศนิยมของจำนวนจริง ที่}ไม่เป็นลบxจะลงท้ายด้วยศูนย์ (หรือเก้า) ก็ต่อเมื่อxเป็นจำนวนตรรกยะที่มีตัวส่วนอยู่ในรูป 2n ^/ 5m โดยที่mและnเป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ

การพิสูจน์ :

ถ้าการขยายทศนิยมของxลงท้ายด้วยศูนย์ จะได้ว่าสำหรับ n บางค่าดังนั้นตัวส่วนจึงเท่ากับ10 ⁿ = 2 ⁿ 5 ⁿ$${\displaystyle x=\sum _{i=0}^{n}{\frac {a_{i}}{10^{i}}}={\frac {\sum _{i=0}^{n}10^{ni}a_{i}}{10^{n}}}}$$

ในทางกลับกัน ถ้าตัวส่วนของxอยู่ในรูป2n ^5mจะได้ ว่า สำหรับบางpการแสดงผลในรูปทศนิยมของจำนวนเต็ม⁠ ⁠มีรูปแบบเป็น ^{สำหรับ} บาง⁠ ⁠และบาง⁠ ⁠ดังนั้น การกระจายทศนิยมของ⁠ ⁠คือ ( จนถึงลำดับของพจน์) ซึ่งมีค่าจำกัด $${\displaystyle x={\frac {p}{2^{n}5^{m}}}={\frac {2^{m}5^{n}p}{2^{n+m}5^{n+m}}}={\frac {2^{m}5^{n}p}{10^{n+m}}}}$$${\displaystyle 2^{m}5^{n}p}$$${\displaystyle 2^{m}5^{n}p=\sum _{i=0}^{k}10^{i}a_{i}}$$${\displaystyle k}$${\displaystyle a_{i}}$${\displaystyle x}$$${\displaystyle x=\sum _{i=0}^{k}10^{imn}a_{i},}$$

จำนวนจริงบางจำนวนมีการขยายทศนิยมที่ในที่สุดจะกลายเป็นวงวน ซึ่งจะวนซ้ำลำดับของตัวเลขหนึ่งตัวหรือมากกว่านั้นอย่างไม่สิ้นสุด:

1/3 = 0.33333 ...

1/7 = 0.142857142857 ...

1318 ⁄ 185 = 7.1243243243...

ทุกครั้งที่เกิดเหตุการณ์นี้ ตัวเลขนั้นยังคงเป็นจำนวนตรรกยะ (กล่าวคือ สามารถแสดงได้ในรูปอัตราส่วนของจำนวนเต็มและจำนวนเต็มบวก) และในทางกลับกันก็เป็นจริงเช่นกัน: การขยายทศนิยมของจำนวนตรรกยะจะมีค่าจำกัด หรือมีค่าซ้ำกันอย่างไม่สิ้นสุด

เลขฐานสิบแบบจำกัดสามารถมองได้ว่าเป็นกรณีพิเศษของเลขฐานสิบแบบซ้ำไม่สิ้นสุด ตัวอย่างเช่น36 ⁄ 25 = 1.44 = 1.4400000...; ลำดับที่ซ้ำกันไม่สิ้นสุดนี้คือลำดับตัวเลขหลักเดียว "0"

จำนวนจริงอื่นๆ มีการขยายทศนิยมที่ไม่ซ้ำกันเลย จำนวนเหล่านี้คือจำนวนอตรรกยะซึ่งเป็นจำนวนที่ไม่สามารถแสดงได้ในรูปอัตราส่วนของจำนวนเต็ม ตัวอย่างที่รู้จักกันดีบางส่วนได้แก่:

√ 2 = 1.41421356237309504880...

  e   = 2.71828182845904523536...

  π   = 3.14159265358979323846...

จำนวนตรรกยะทุกจำนวนที่อยู่ในรูปทศนิยมสามารถแปลงเป็นเศษส่วนได้โดยการแปลงให้เป็นผลรวมของส่วนจำนวนเต็ม ส่วนที่ไม่ซ้ำกัน และส่วนที่ซ้ำกัน จากนั้นจึงแปลงผลรวมนั้นให้เป็นเศษส่วนเดียวที่มีตัวส่วนร่วมกัน

ตัวอย่างเช่น ในการแปลงเป็นเศษส่วน จะสังเกตได้จากบทพิสูจน์ย่อยดังนี้: ${\textstyle \pm 8.123{\overline {4567}}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}0.000{\overline {4567}}&=4567\times 0.000{\overline {0001}}\\&=4567\times 0.{\overline {0001}}\times {\frac {1}{10^{3}}}\\&=4567\times {\frac {1}{9999}}\times {\frac {1}{10^{3}}}\\&={\frac {4567}{9999}}\times {\frac {1}{10^{3}}}\\&={\frac {4567}{(10^{4}-1)\times 10^{3}}}&{\text{เลขชี้กำลังคือจำนวนหลักที่ไม่ซ้ำกันหลังจุดทศนิยม (3) และจำนวนของ ตัวเลขซ้ำ (4)}}\end{aligned}}}$$

ดังนั้นจึงแปลงได้ดังนี้: $${\displaystyle {\begin{aligned}\pm 8.123{\overline {4567}}&=\pm \left(8+{\frac {123}{10^{3}}}+{\frac {4567}{(10^{4}-1)\times 10^{3}}}\right)&{\text{from above}}\\&=\pm {\frac {8\times (10^{4}-1)\times 10^{3}+123\times (10^{4}-1)+4567}{(10^{4}-1)\times 10^{3}}}&{\text{common denominator}}\\&=\pm {\frac {81226444}{9999000}}&{\text{multiplying, and summing the numerator}}\\&=\pm {\frac {20306611}{2499750}}&{\text{reducing}}\\\end{aligned}}}$$

หากไม่มีตัวเลขซ้ำกัน เราจะถือว่ามีเลข 0 ซ้ำกันตลอดไป เช่นถึงแม้ว่านั่นจะทำให้พจน์ที่ซ้ำกันเป็นศูนย์ ผลรวมจึงลดรูปเหลือเพียงสองพจน์และการแปลงที่ง่ายกว่า ${\displaystyle 1.9=1.9{\overline {0}}}$

ตัวอย่างเช่น: $${\displaystyle {\begin{aligned}\pm 8.1234&=\pm \left(8+{\frac {1234}{10^{4}}}\right)&\\&=\pm {\frac {8\times 10^{4}+1234}{10^{4}}}&{\text{common denominator}}\\&=\pm {\frac {81234}{10000}}&{\text{multiplying, and summing the numerator}}\\&=\pm {\frac {40617}{5000}}&{\text{reducing}}\\\end{aligned}}}$$

• ทศนิยม
• อนุกรม (คณิตศาสตร์)
• อีไออี 754
• ไซมอน สตีวิน

• อโพสโตล, ทอม (1974). การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ (ฉบับพิมพ์ครั้งที่สอง). แอดดิสัน-เวสลีย์ .
• Savard, John JG (2018) [2006]. "การแสดงเลขฐานสิบ" . quadibloc . เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อ 2018-07-16 . เรียกดูเมื่อ2018-07-16 .