ในพีชคณิตการนำเสนอโมโนอิด (หรือการนำเสนอเซมิกรุป ) คือคำอธิบายของโมโนอิด (หรือเซมิกรุป ) ในรูปของเซตΣของตัวสร้าง และเซตของความสัมพันธ์บนโมโนอิดอิสระΣ ^∗ (หรือเซมิกรุปอิสระΣ ⁺ ) ที่สร้างขึ้นโดยΣ จาก นั้นโมโนอิดจะถูกนำเสนอในรูปผลหารของโมโนอิดอิสระ (หรือเซมิกรุปอิสระ) โดยความสัมพันธ์เหล่านี้ นี่เป็นสิ่งที่คล้ายคลึงกับ การนำ เสนอ กรุปในทฤษฎีกลุ่ม

ในฐานะโครงสร้างทางคณิตศาสตร์ การนำเสนอโมโนอิดจะเหมือนกับระบบการเขียนสตริงใหม่ (หรือที่รู้จักกันในชื่อระบบเซมิ-ทู) โมโนอิดทุกตัวสามารถนำเสนอได้ด้วยระบบเซมิ-ทู (อาจครอบคลุมตัวอักษรอนันต์) ^{[ 1 ]}

การนำเสนอไม่ควรสับสนกับ การ เป็น ตัวแทน

ความสัมพันธ์เหล่านี้แสดงเป็นความสัมพันธ์ทวิภาค (จำกัด) RบนΣ ^∗ในการสร้างโมโนอิดผลหาร ความสัมพันธ์เหล่านี้จะถูกขยายไปสู่ความสอดคล้องของโมโนอิดดังต่อไปนี้:

ขั้นแรก เราใช้การปิดแบบสมมาตรR ∪ R ⁻¹ของRจากนั้นขยายไปสู่ความสัมพันธ์แบบสมมาตรE ⊂ Σ ^∗ × Σ ^∗โดยกำหนดx ~ _E yก็ต่อเมื่อx = sutและy = svtสำหรับสตริงu , v , s , t ∈ Σ ^∗ บางตัว ที่มี( u , v ) ∈ R ∪ R ⁻¹สุดท้าย เราใช้การปิดแบบสะท้อนและแบบถ่ายทอดของEซึ่งเป็นความสอดคล้องของโมโนอิด

ในสถานการณ์ทั่วไป ความสัมพันธ์Rจะถูกกำหนดในรูปของชุดสมการ ดังนั้น. ตัวอย่างเช่น ${\displaystyle R=\{u_{1}=v_{1},\ldots ,u_{n}=v_{n}\}}$

${\displaystyle \langle p,q\,\vert \;pq=1\rangle }$

เป็นการนำเสนอเชิงสมการสำหรับโมโนอิดแบบไบไซคลิกและ

${\displaystyle \langle a,b\,\vert \;aba=baa,bba=bab\rangle }$

คือพลาคติกโมโนอิดดีกรี 2 (มีอันดับอนันต์) สมาชิกของพลาคติกโมโนอิดนี้สามารถเขียนได้เป็นสำหรับ จำนวนเต็มi , j , kเนื่องจากความสัมพันธ์แสดงให้เห็นว่าbaสลับที่ได้กับทั้งaและb${\displaystyle a^{i}b^{j}(ba)^{k}}$

การนำเสนอของโมโนอิดผกผันและเซมิกรุปสามารถกำหนดได้ในลักษณะเดียวกันโดยใช้คู่

${\displaystyle (X;T)}$

ที่ไหน

${\displaystyle (X\cup X^{-1})^{*}}$

คือโมโนอิดอิสระที่มีการผกผันบนและ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle T\subseteq (X\cup X^{-1})^{*}\times (X\cup X^{-1})^{*}}$

เป็น ความสัมพันธ์ ทวิภาคระหว่างคำ เราใช้สัญลักษณ์ (ตามลำดับ) แทน ความสัมพันธ์สมมูล (ตามลำดับความสัมพันธ์สอดคล้อง ) ที่ สร้าง ขึ้นโดยT${\displaystyle T^{\mathrm {e} }}$${\displaystyle T^{\mathrm {c} }}$

เราใช้คู่ของวัตถุนี้เพื่อกำหนดโมโนอิดผกผัน

${\displaystyle \mathrm {Inv} ^{1}\langle X|T\rangle .}$

ให้เป็นการสมภาคของแวกเนอร์บนเรากำหนดโมโนอิดผกผัน ${\displaystyle \rho _{X}}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle \mathrm {Inv} ^{1}\langle X|T\rangle }$

นำเสนอ โดย${\displaystyle (X;T)}$

${\displaystyle \mathrm {Inv} ^{1}\langle X|T\rangle =(X\cup X^{-1})^{*}/(T\cup \rho _{X})^{\mathrm {c} }.}$

ในการอภิปรายก่อนหน้านี้ หากเราแทนที่ทุกที่ด้วยเราจะได้การนำเสนอ (สำหรับเซมิกรุปผกผัน)และเซมิกรุปผกผันที่นำเสนอ โดย${\displaystyle ({X\cup X^{-1}})^{*}}$${\displaystyle ({X\cup X^{-1}})^{+}}$${\displaystyle (X;T)}$${\displaystyle \mathrm {Inv} \langle X|T\rangle }$${\displaystyle (X;T)}$

ตัวอย่างที่ดูเหมือนง่ายแต่สำคัญคือโมโนอิดผกผันอิสระ (หรือเซมิกรุปผกผันอิสระ ) บนซึ่งมักจะใช้สัญลักษณ์(ตามลำดับ) และกำหนดโดย ${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathrm {FIM} (X)}$${\displaystyle \mathrm {FIS} (X)}$

${\displaystyle \mathrm {FIM} (X)=\mathrm {Inv} ^{1}\langle X|\varnothing \rangle =({X\cup X^{-1}})^{*}/\rho _{X},}$

หรือ

${\displaystyle \mathrm {FIS} (X)=\mathrm {Inv} \langle X|\varnothing \rangle =({X\cup X^{-1}})^{+}/\rho _{X}.}$