ในทฤษฎีความน่าจะ เป็น วิธีโมเมนต์ลำดับ ที่หนึ่งลำดับที่สอง (FOSM)หรือเรียกอีกอย่างว่าวิธีโมเมนต์ลำดับที่หนึ่งลำดับที่สองค่าเฉลี่ย (MVFOSM)เป็นวิธีความน่าจะเป็นในการกำหนดโมเมนต์สุ่มของฟังก์ชันที่มีตัวแปรอินพุตแบบสุ่ม ชื่อนี้มาจากการคำนวณโดยใช้ชุดอนุกรมเทย์เลอร์ลำดับที่หนึ่ง และโมเมนต์ลำดับที่หนึ่งและลำดับที่สองของตัวแปรอินพุต^{[ 1 ]}

พิจารณาฟังก์ชันเป้าหมายโดยที่เวกเตอร์อินพุตคือค่าที่ได้จากการสุ่มเวกเตอร์ที่มีฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็นเนื่องจากมีการแจกแจงแบบสุ่มดังนั้น จึงมีการแจกแจงแบบสุ่มเช่นกัน ตามวิธีการ FOSM ค่าเฉลี่ยของจะประมาณได้โดย ${\displaystyle g(x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f_{X}(x)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle g}$${\displaystyle g}$

${\displaystyle \mu _{g}\approx g(\mu )}$

ความแปรปรวนของถูกประมาณโดย ${\displaystyle g}$

${\displaystyle \sigma _{g}^{2}\approx \sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial g(\mu )}{\partial x_{i}}}{\frac {\partial g(\mu )}{\partial x_{j}}}\operatorname {cov} \left(X_{i},X_{j}\right)}$

โดยที่คือความยาว/มิติของและคืออนุพันธ์ย่อยของที่เวกเตอร์ค่าเฉลี่ยเทียบกับ รายการที่ iของนอกจากนี้ยังมีการประมาณโมเมนต์ลำดับที่สองที่แม่นยำกว่าอีกด้วย^{[ 2 ]}${\displaystyle n}$${\displaystyle x}$${\textstyle {\frac {\partial g(\mu )}{\partial x_{i}}}}$${\displaystyle g}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle x}$

ฟังก์ชันเป้าหมายจะถูกประมาณค่าด้วยอนุกรมเทย์เลอร์ที่เวกเตอร์ค่าเฉลี่ย ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle g(x)=g(\mu )+\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial g(\mu )}{\partial x_{i}}}(x_{i}-\mu _{i})+{\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}g(\mu )}{\partial x_{i}\,\partial x_{j}}}(x_{i}-\mu _{i})(x_{j}-\mu _{j})+\cdots }$

ค่าเฉลี่ยของจะกำหนดโดยปริพันธ์ ${\displaystyle g}$

${\displaystyle \mu _{g}=E[g(x)]=\int _{-\infty }^{\infty }g(x)f_{X}(x)\,dx}$

เมื่อแทนค่าอนุกรมเทย์เลอร์อันดับแรกจะได้

${\displaystyle {\begin{aligned}\mu _{g}&\approx \int _{-\infty }^{\infty }\left[g(\mu )+\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial g(\mu )}{\partial x_{i}}}(x_{i}-\mu _{i})\right]f_{X}(x)\,dx\\&=\int _{-\infty }^{\infty }g(\mu )f_{X}(x)\,dx+\int _{-\infty }^{\infty }\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial g(\mu )}{\partial x_{i}}}(x_{i}-\mu _{i})f_{X}(x)\,dx\\&=g(\mu )\underbrace {\int _{-\infty }^{\infty }f_{X}(x)\,dx} _{1}+\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial g(\mu )}{\partial x_{i}}}\underbrace {\int _{-\infty }^{\infty }(x_{i}-\mu _{i})f_{X}(x)\,dx} _{0}\\&=g(\mu ).\end{aligned}}}$

ความแปรปรวนของกำหนดโดยปริพันธ์ ${\displaystyle g}$

${\displaystyle \sigma _{g}^{2}=E\left([g(x)-\mu _{g}]^{2}\right)=\int _{-\infty }^{\infty }[g(x)-\mu _{g}]^{2}f_{X}(x)\,dx.}$

ตามสูตรการคำนวณความแปรปรวน สามารถเขียนได้ดังนี้

${\displaystyle \sigma _{g}^{2}=E\left([g(x)-\mu _{g}]^{2}\right)=E\left(g(x)^{2}\right)-\mu _{g}^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }g(x)^{2}f_{X}(x)\,dx-\mu _{g}^{2}}$

เมื่อแทนค่าอนุกรมเทย์เลอร์ลงไปจะได้

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{g}^{2}&\approx \int _{-\infty }^{\infty }\left[g(\mu )+\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial g(\mu )}{\partial x_{i}}}(x_{i}-\mu _{i})\right]^{2}f_{X}(x)\,dx-\mu _{g}^{2}\\&=\int _{-\infty }^{\infty }\left\{g(\mu )^{2}+2g_{\mu }\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial g(\mu )}{\partial x_{i}}}(x_{i}-\mu _{i})+\left[\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial g(\mu )}{\partial x_{i}}}(x_{i}-\mu _{i})\right]^{2}\right\}f_{X}(x)\,dx-\mu _{g}^{2}\\&=\int _{-\infty }^{\infty }g(\mu )^{2}f_{X}(x)\,dx+\int _{-\infty }^{\infty }2\,g_{\mu }\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial g(\mu )}{\partial x_{i}}}(x_{i}-\mu _{i})f_{X}(x)\,dx\\&\quad {}+\int _{-\infty }^{\infty }\left[\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial g(\mu )}{\partial x_{i}}}(x_{i}-\mu _{i})\right]^{2}f_{X}(x)\,dx-\mu _{g}^{2}\\&=g_{\mu }^{2}\underbrace {\int _{-\infty }^{\infty }f_{X}(x)\,dx} _{1}+2g_{\mu }\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial g(\mu )}{\partial x_{i}}}\underbrace {\int _{-\infty }^{\infty }(x_{i}-\mu _{i})f_{X}(x)\,dx} _{0}\\&\quad {}+\int _{-\infty }^{\infty }\left[\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial g(\mu )}{\partial x_{i}}}{\frac {\partial g(\mu )}{\partial x_{j}}}(x_{i}-\mu _{i})(x_{j}-\mu _{j})\right]f_{X}(x)\,dx-\mu _{g}^{2}\\&=\underbrace {g(\mu )^{2}} _{\mu _{g}^{2}}+\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial g(\mu )}{\partial x_{i}}}{\frac {\partial g(\mu )}{\partial x_{j}}}\underbrace {\int _{-\infty }^{\infty }(x_{i}-\mu _{i})(x_{j}-\mu _{j})f_{X}(x)\,dx} _{\operatorname {cov} \left(X_{i},X_{j}\right)}-\mu _{g}^{2}\\&=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial g(\mu )}{\partial x_{i}}}{\frac {\partial g(\mu )}{\partial x_{j}}}\operatorname {cov} \left(X_{i},X_{j}\right).\end{aligned}}}$

ต่อไปนี้เป็นคำย่อที่ใช้กัน

${\displaystyle {\begin{aligned}g_{\mu }&=g(\mu ),&g_{,i}&={\frac {\partial g(\mu )}{\partial x_{i}}},&g_{,ij}&={\frac {\partial ^{2}g(\mu )}{\partial x_{i}\,\partial x_{j}}},&\mu _{i,j}&=E\left[(x_{i}-\mu _{i})^{j}\right]\end{aligned}}}$

ต่อไปนี้จะถือว่าค่าต่างๆ ในเวกเตอร์สุ่มเป็นอิสระต่อกันเมื่อพิจารณาพจน์อันดับสองของการกระจายเทย์เลอร์แล้ว ค่าประมาณของค่าเฉลี่ยจะกำหนดโดย ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \mu _{g}\approx g_{\mu }+{\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}g_{,ii}\;\mu _{i,2}}$

การประมาณค่าลำดับที่สองที่ไม่สมบูรณ์ (ISOA ^{[ 3 ]} ) ของความแปรปรวนกำหนดโดย

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{g}^{2}\approx {}g_{\mu }^{2}&+\sum _{i=1}^{n}g_{,i}^{2}\,\mu _{i,2}+{\frac {1}{4}}\sum _{i=1}^{n}g_{,ii}^{2}\,\mu _{i,4}+g_{\mu }\sum _{i=1}^{n}g_{,ii}\,\mu _{i,2}+\sum _{i=1}^{n}g_{,i}\,g_{,ii}\,\mu _{i,3}\\&+{\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=i+1}^{n}g_{,ii}\,g_{,jj}\,\mu _{i,2}\,\mu _{j,2}+\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=i+1}^{n}g_{,ij}^{2}\,\mu _{i,2}\,\mu _{j,2}-\mu _{g}^{2}\end{aligned}}}$

ค่าความเบี่ยงเบนของสามารถหาได้จากโมเมนต์กลางลำดับ ที่สาม เมื่อพิจารณาเฉพาะพจน์เชิงเส้นของอนุกรมเทย์เลอร์ แต่พิจารณาโมเมนต์ลำดับสูงกว่า โมเมนต์กลางลำดับที่สามจะประมาณได้ด้วย ${\displaystyle g}$${\displaystyle \mu _{g,3}}$

${\displaystyle \mu _{g,3}\approx \sum _{i=1}^{n}g_{,i}^{3}\;\mu _{i,3}}$

สำหรับการประมาณค่าลำดับที่สองของโมเมนต์กลางลำดับที่สาม รวมถึงการได้มาซึ่งการประมาณค่าลำดับที่สูงกว่าทั้งหมด โปรดดูภาคผนวก D ของเอกสารอ้างอิง^{[ 3 ]}การพิจารณาพจน์กำลังสองของอนุกรมเทย์เลอร์และโมเมนต์ลำดับที่สามของตัวแปรอินพุตเรียกว่าวิธีโมเมนต์ลำดับที่สามลำดับที่สอง^{[ 4 ]}อย่างไรก็ตาม วิธีการลำดับที่สองแบบเต็มของความแปรปรวน (ที่กล่าวมาข้างต้น) ยังรวมถึงโมเมนต์ลำดับที่สี่ของพารามิเตอร์อินพุตด้วย^{[ 5 ]}วิธีการลำดับที่สองแบบเต็มของโมเมนต์ลำดับที่หกของความเบี่ยงเบน^{[ 3 ] [ 6 ]}และวิธีการลำดับที่สองแบบเต็มของความโค้งจนถึงโมเมนต์ลำดับที่แปด^{[ 6 ]}

มีตัวอย่างหลายกรณีในเอกสารที่ใช้ระเบียบวิธี FOSM เพื่อประมาณการการกระจายแบบสุ่มของภาระการโก่งงอของโครงสร้างที่ถูกอัดตามแนวแกน (ดูเช่น เอกสารอ้างอิง^{[ 7 ] [ 8 ] [ 9 ] [ 10 ]} ) สำหรับโครงสร้างที่ไวต่อการเบี่ยงเบนจากโครงสร้างในอุดมคติมาก (เช่น เปลือกทรงกระบอก) ได้มีการเสนอให้ใช้วิธี FOSM เป็นแนวทางการออกแบบ บ่อยครั้งที่มีการตรวจสอบความเหมาะสมโดยการเปรียบเทียบกับการจำลองแบบมอนเตคาร์โลตัวอย่างการประยุกต์ใช้ที่ครอบคลุมสองตัวอย่างของวิธีลำดับที่สองแบบเต็มรูปแบบโดยเฉพาะที่มุ่งเน้นไปที่การเติบโตของรอยแตกจากความล้าในเพลาล้อรถไฟโลหะได้รับการกล่าวถึงและตรวจสอบโดยการเปรียบเทียบกับการจำลองแบบมอนเตคาร์โลในเอกสารอ้างอิง^{[ 5 ] [ 6 ]}

ในทางปฏิบัติทางวิศวกรรม ฟังก์ชันเป้าหมายมักไม่ได้แสดงในรูปของนิพจน์เชิงวิเคราะห์ แต่เป็นผลลัพธ์จากการจำลองด้วย วิธีไฟไน ต์เอเลเมนต์ ตัวอย่างเช่น ในกรณีดังกล่าว จำเป็นต้องประมาณค่าอนุพันธ์ของฟังก์ชันเป้าหมายโดยใช้ วิธี ผลต่างกลางจำนวนการประเมินค่าของฟังก์ชันเป้าหมายเท่ากับ ขึ้นอยู่กับจำนวนตัวแปรสุ่ม ซึ่งอาจหมายถึงจำนวนการประเมินค่าที่น้อยกว่าการจำลองแบบมอนเตคาร์โลอย่างมาก อย่างไรก็ตาม เมื่อใช้วิธี FOSM เป็นขั้นตอนการออกแบบ จะต้องประมาณค่าขอบล่าง ซึ่งวิธีการ FOSM ไม่ได้ให้มา ดังนั้น จึงจำเป็นต้องกำหนดรูปแบบการกระจายตัวของฟังก์ชันเป้าหมาย โดยคำนึงถึงค่าเฉลี่ยโดยประมาณและค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน ${\displaystyle 2n+1}$