ค่าเฉลี่ยคือปริมาณที่แสดงถึง "จุดศูนย์กลาง" ของกลุ่มตัวเลข และอยู่ระหว่างค่าสุดขั้วของกลุ่มตัวเลข^{[ 1 ]}มีค่าเฉลี่ย หลายประเภท (หรือ "มาตรวัดแนวโน้มศูนย์กลาง ") ในทางคณิตศาสตร์โดยเฉพาะในสถิติแต่ละประเภทพยายามสรุปหรือจำแนกกลุ่มข้อมูล ที่กำหนด โดยแสดงให้เห็นถึงขนาดและเครื่องหมายของชุดข้อมูลมาตรวัดใดที่ให้ความกระจ่างมากที่สุดนั้นขึ้นอยู่กับสิ่งที่กำลังวัด บริบท และวัตถุประสงค์^{[ 2 ]}

ค่าเฉลี่ยเลขคณิตหรือที่เรียกว่า "ค่าเฉลี่ยเลขคณิต" คือผลรวมของค่าต่างๆ หารด้วยจำนวนค่า ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของชุดตัวเลขx₁ _, x₂ _, ..., _xₙ โดย ทั่วไปจะใช้สัญลักษณ์ขีดบน xₙ ^{[หมายเหตุ 1 ]}หากตัวเลขได้มาจากการสังเกตตัวอย่างของกลุ่มที่ใหญ่กว่าค่าเฉลี่ยเลขคณิตจะเรียกว่าค่าเฉลี่ยตัวอย่าง ( ) เพื่อแยกความแตกต่างจากค่าเฉลี่ยกลุ่ม (หรือค่าที่คาดหวัง ) ของการแจกแจงพื้นฐาน ซึ่งใช้สัญลักษณ์ σ หรือσ ^{[หมายเหตุ 2 ] [ 3 ]}${\displaystyle {\bar {x}}}$${\displaystyle {\bar {x}}}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \mu _{x}}$

นอกเหนือจากความน่าจะเป็นและสถิติแล้ว แนวคิดเรื่องค่าเฉลี่ยในรูปแบบอื่นๆ อีกมากมายมักถูกนำมาใช้ในเรขาคณิตและการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ตัวอย่างมีดังต่อไปนี้

ในทางคณิตศาสตร์ ค่าเฉลี่ยแบบพีทาโกเรียนคลาสสิกสาม ค่า ได้แก่ค่าเฉลี่ยเลขคณิต (AM) ค่าเฉลี่ยเรขาคณิต (GM) และค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิก (HM) ค่าเฉลี่ยเหล่านี้ได้รับการศึกษาโดยใช้สัดส่วนโดยชาวพีทาโกเรียนและนักคณิตศาสตร์ชาวกรีกรุ่นต่อมา^{[ 4 ]}เนื่องจากมีความสำคัญในเรขาคณิตและดนตรี

ค่าเฉลี่ยเลขคณิต (หรือเรียกสั้น ๆว่าค่าเฉลี่ย ) ของรายการตัวเลข คือ ผลรวมของตัวเลขทั้งหมดหารด้วยจำนวนของตัวเลขเหล่านั้น ในทำนองเดียวกัน ค่าเฉลี่ยของตัวอย่าง ซึ่งโดยปกติจะใช้สัญลักษณ์คือ ผลรวมของค่าที่สุ่มมาหารด้วยจำนวนรายการในตัวอย่าง ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}$${\displaystyle {\bar {x}}}$

${\displaystyle {\bar {x}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{x_{i}}={\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}}$

ตัวอย่างเช่น ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของค่าห้าค่า ได้แก่ 4, 36, 45, 50, 75 คือ:

${\displaystyle {\frac {4+36+45+50+75}{5}}={\frac {210}{5}}=42.}$

ค่าเฉลี่ยเรขาคณิตเป็นค่าเฉลี่ยที่มีประโยชน์สำหรับชุดตัวเลขบวกซึ่งตีความตามผลคูณ (เช่นเดียวกับอัตราการเติบโต) และไม่ใช่ผลรวม (เช่นเดียวกับค่าเฉลี่ยเลขคณิต): ^{[ 1 ]}

${\displaystyle {\bar {x}}=\left(\prod _{i=1}^{n}{x_{i}}\right)^{\frac {1}{n}}=\left(x_{1}x_{2}\cdots x_{n}\right)^{\frac {1}{n}}}$

ตัวอย่างเช่น ค่าเฉลี่ยเรขาคณิตของค่าห้าค่า ได้แก่ 4, 36, 45, 50, 75 คือ:

${\displaystyle (4\times 36\times 45\times 50\times 75)^{\frac {1}{5}}={\sqrt[{5}]{24\;300\;000}}=30.}$

ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิกเป็นค่าเฉลี่ยที่มีประโยชน์สำหรับชุดตัวเลขที่กำหนดโดยสัมพันธ์กับหน่วย บางอย่าง เช่น ในกรณีของความเร็ว (เช่น ระยะทางต่อหน่วยเวลา):

${\displaystyle {\bar {x}}=n\left(\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{x_{i}}}\right)^{-1}}$

ตัวอย่างเช่น ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิกของค่าทั้งห้า ได้แก่ 4, 36, 45, 50, 75 คือ

${\displaystyle {\frac {5}{{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{36}}+{\tfrac {1}{45}}+{\tfrac {1}{50}}+{\tfrac {1}{75}}}}={\frac {5}{\;{\tfrac {1}{3}}\;}}=15.}$

ถ้าเรามีปั๊มห้าตัวที่สามารถสูบน้ำออกจากถังขนาดหนึ่งได้ในเวลา 4, 36, 45, 50 และ 75 นาที ตามลำดับ ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิกจะ บอกเราว่า ปั๊มทั้งห้าตัวนี้ที่ทำงานร่วมกันจะสูบน้ำได้ในอัตราเดียวกับปั๊มห้าตัวที่แต่ละตัวสามารถสูบน้ำออกจากถังได้ในนาทีที่... ${\displaystyle 15}$${\displaystyle 15}$

AM, GM และ HM ของจำนวนจริงที่ไม่เป็นลบ เป็นไป ตามอสมการเหล่านี้: ^{[ 5 ]}

${\displaystyle \mathrm {AM} \geq \mathrm {GM} \geq \mathrm {HM} \,}$

ความเท่าเทียมกันจะเกิดขึ้นก็ต่อเมื่อองค์ประกอบทั้งหมดในตัวอย่างที่กำหนดนั้นเท่ากัน

ในสถิติเชิงพรรณนาค่าเฉลี่ยอาจทำให้สับสนกับค่ามัธยฐานค่าฐานนิยมหรือค่ากึ่งกลางของช่วงเนื่องจากค่าเหล่านี้อาจถูกเรียกว่า "ค่าเฉลี่ย" (หรือเรียกอย่างเป็นทางการว่า มาตรวัดแนวโน้มศูนย์กลาง ) ค่าเฉลี่ยของชุดข้อมูลคือค่าเฉลี่ยเลขคณิตของค่าต่างๆ อย่างไรก็ตาม สำหรับการแจกแจงแบบเบ้ค่าเฉลี่ยไม่จำเป็นต้องเหมือนกับค่ากลาง (มัธยฐาน) หรือค่าที่มีโอกาสมากที่สุด (ฐานนิยม) ตัวอย่างเช่น รายได้เฉลี่ยมักจะเบ้ขึ้นไปเนื่องจากมีคนจำนวนน้อยที่มีรายได้สูงมาก ทำให้คนส่วนใหญ่มีรายได้ต่ำกว่าค่าเฉลี่ย ในทางตรงกันข้าม รายได้มัธยฐานคือระดับที่ครึ่งหนึ่งของประชากรมีรายได้ต่ำกว่าและอีกครึ่งหนึ่งมีรายได้สูงกว่า รายได้ฐานนิยมคือรายได้ที่มีโอกาสมากที่สุดและมักมีคนที่มีรายได้ต่ำมากกว่า แม้ว่ามัธยฐานและฐานนิยมมักเป็นมาตรวัดที่เข้าใจง่ายกว่าสำหรับข้อมูลที่มีการเบ้เช่นนี้ แต่การแจกแจงแบบเบ้หลายๆ แบบก็อธิบายได้ดีที่สุดด้วยค่าเฉลี่ย รวมถึงการแจกแจง แบบเอกซ์โพเนนเชียลและ การแจกแจง แบบปัวซง

ค่าเฉลี่ยของการแจกแจงความน่าจะเป็นคือค่าเฉลี่ยเลขคณิตระยะยาวของตัวแปรสุ่มที่มีการแจกแจงนั้น ถ้าตัวแปรสุ่มถูกกำหนดโดย ค่าเฉลี่ยจะเรียกว่าค่าคาดหวังของ(แทนด้วย) สำหรับการแจกแจงความน่าจะเป็นแบบไม่ต่อเนื่องค่าเฉลี่ยจะกำหนดโดย โดยผลรวมจะคำนวณจากค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวแปรสุ่ม และคือฟังก์ชันมวลความน่าจะเป็นสำหรับการแจกแจงแบบต่อเนื่อง ค่า เฉลี่ยคือโดยที่คือฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็น^{[ 7 ]}ในทุกกรณี รวมถึงกรณีที่การแจกแจงไม่เป็นทั้งแบบไม่ต่อเนื่องหรือแบบต่อเนื่อง ค่าเฉลี่ยคือปริพันธ์เลเบสของตัวแปรสุ่มเทียบกับมาตรวัดความน่าจะเป็น ค่าเฉลี่ยไม่จำเป็นต้องมีอยู่หรือมีค่าจำกัด สำหรับการแจกแจงความน่าจะเป็นบางอย่าง ค่าเฉลี่ยเป็นอนันต์ ( +∞หรือ−∞ ) ในขณะที่สำหรับการแจกแจงอื่นๆ ค่าเฉลี่ยไม่ ถูกกำหนด${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle E(X)}$${\displaystyle \textstyle \sum xP(x)}$${\displaystyle P(x)}$${\displaystyle \textstyle \int _{-\infty }^{\infty }xf(x)\,dx}$${\displaystyle f(x)}$

ค่าเฉลี่ยทั่วไป หรือที่รู้จักกันในชื่อค่าเฉลี่ยกำลังหรือค่าเฉลี่ยโฮลเดอร์ เป็นการสรุปค่าเฉลี่ยอื่นๆ หลายประการ โดยกำหนดไว้สำหรับจำนวนบวกโดย^{[ 1 ]}${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$

${\displaystyle M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})=\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{p}\right)^{1/p}.}$

สิ่งนี้เป็นฟังก์ชันของ ซึ่งกำหนดไว้อย่างดีบนแต่สามารถขยายได้อย่างต่อเนื่องไปยัง[ ^{8 ] โดย} การเลือกค่าที่แตกต่างกันสำหรับค่าเฉลี่ยที่รู้จักกันดีอื่นๆ จะถูกเรียกคืน ${\displaystyle p}$${\displaystyle \mathbb {R} \setminus \{0\}}$${\displaystyle \mathbb {R} \ถ้วย \{-\infty ,+\infty \}}$${\displaystyle p}$

ชื่อ	เลขชี้กำลัง	ค่า
ขั้นต่ำ	${\displaystyle p=-\infty }$	${\displaystyle \min\{x_{1},\dots ,x_{n}\}}$
ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิก	${\displaystyle p=-1}$	${\displaystyle {\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+\dots +{\frac {1}{x_{n}}}}}}$
ค่าเฉลี่ยเรขาคณิต	${\displaystyle p=0}$	${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x_{1}\dots x_{n}}}}$
ค่าเฉลี่ยเลขคณิต	${\displaystyle p=1}$	${\displaystyle {\frac {x_{1}+\dots +x_{n}}{n}}}$
รากกำลังสองเฉลี่ย	${\displaystyle p=2}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {x_{1}^{2}+\dots +x_{n}^{2}}{n}}}}$
ค่าเฉลี่ยลูกบาศก์	${\displaystyle p=3}$	${\displaystyle {\sqrt[{3}]{\frac {x_{1}^{3}+\dots +x_{n}^{3}}{n}}}}$
สูงสุด	${\displaystyle p=+\infty }$	${\displaystyle \max\{x_{1},\dots ,x_{n}\}}$

แนวทางที่คล้ายคลึงกับค่าเฉลี่ยกำลังคือค่าเฉลี่ย -mean หรือที่รู้จักกันในชื่อค่าเฉลี่ยเลขคณิตกึ่งจริง สำหรับฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งบนช่วงและจำนวนจริงเรากำหนดค่าเฉลี่ย -mean ของฟังก์ชัน นั้น ดังนี้ ${\displaystyle f}$${\displaystyle f\colon I\rightarrow \mathbb {R} }$${\displaystyle I\subset \mathbb {R} }$${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}\in I}$${\displaystyle f}$

${\displaystyle M_{f}(x_{1},\dots ,x_{n})=f^{-1}\left({{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{f\left(x_{i}\right)}}\right).}$

โดยการเลือกฟังก์ชันที่แตกต่างกันจะสามารถเรียกวิธีการที่รู้จักกันดีอื่นๆ กลับมาได้ ${\displaystyle f}$

หมายถึง	${\displaystyle I}$	ฟังก์ชัน[หมายเหตุ 3 ]
ค่าเฉลี่ยเลขคณิต	${\displaystyle \mathbb {R} }$	${\displaystyle x\mapsto x}$
ค่าเฉลี่ยเรขาคณิต	${\displaystyle ]0,+\infty [}$[หมายเหตุ 4 ]	${\displaystyle x\mapsto \ln(x)}$
ค่าเฉลี่ยฮาร์มอนิก	${\displaystyle \mathbb {R} \setminus \{0\}}$	${\displaystyle x\mapsto x^{-1}}$
ความหมายของกำลัง	${\displaystyle \mathbb {R} \setminus \{0\}}$[หมายเหตุ 5 ]	${\displaystyle x\mapsto x^{m}}$

ค่าเฉลี่ยเลขคณิตแบบถ่วงน้ำหนัก (หรือค่าเฉลี่ยแบบถ่วงน้ำหนัก) ใช้ในกรณีที่ต้องการรวมค่าเฉลี่ยจากตัวอย่างที่มีขนาดต่างกันของประชากรเดียวกัน และกำหนดโดย^{[ 1 ]}

${\displaystyle {\bar {x}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}{w_{i}x_{i}}}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}}},}$

โดยที่และคือค่าเฉลี่ยและขนาดของกลุ่มตัวอย่างตามลำดับ ในการใช้งานอื่นๆ ค่าเหล่านี้แสดงถึงมาตรวัดความน่าเชื่อถือของอิทธิพลที่มีต่อค่าเฉลี่ยโดยค่าต่างๆ เหล่านั้น ${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle w_{i}}$${\displaystyle i}$

บางครั้ง ชุดตัวเลขอาจมีค่าผิด ปกติอยู่ บ่อยครั้งที่ค่าผิดปกติคือข้อมูลที่ผิดพลาดซึ่งเกิดจากสิ่งรบกวนในกรณีนี้ เราสามารถใช้ค่าเฉลี่ยแบบตัดทอนได้ซึ่งเกี่ยวข้องกับการตัดส่วนของข้อมูลบางส่วนที่ปลายด้านบนหรือด้านล่าง โดยทั่วไปแล้วจะตัดออกในปริมาณที่เท่ากันทั้งสองด้าน แล้วจึงหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูลที่เหลืออยู่ ตัวอย่างเฉพาะของค่าเฉลี่ยแบบตัดทอนคือค่าเฉลี่ยระหว่างควาร์ไทล์

ในบางสถานการณ์ นักคณิตศาสตร์อาจคำนวณค่าเฉลี่ยของชุดค่า อนันต์ (หรือแม้แต่ จำนวนนับไม่ได้ ) เช่น การคำนวณค่าเฉลี่ย ของฟังก์ชันโดยทั่วไปแล้ว การหาค่าเฉลี่ยของฟังก์ชันอาจนึกภาพได้ว่าเป็นการคำนวณพื้นที่ใต้เส้นโค้งส่วนหนึ่ง แล้วหารด้วยความยาวของส่วนนั้น ซึ่งสามารถทำได้แบบคร่าวๆ โดยการนับช่องสี่เหลี่ยมบนกระดาษกราฟ หรืออย่างแม่นยำยิ่งขึ้นโดยการใช้การ อินทิเกรต สูตรการอินทิเกรตเขียนได้ดังนี้: ${\displaystyle y_{\text{avg}}}$${\displaystyle f(x)}$

${\displaystyle y_{\text{avg}}(a,b)={\frac {1}{ba}}\int _{a}^{b}f(x)\,dx.}$

ในกรณีนี้ ต้องระมัดระวังเพื่อให้แน่ใจว่าปริพันธ์ลู่เข้า แต่ค่าเฉลี่ยอาจมีค่าจำกัด แม้ว่าฟังก์ชันเองจะมีแนวโน้มเข้าสู่ค่าอนันต์ในบางจุดก็ตาม

มุมเวลาของวัน และปริมาณที่เป็นวัฏจักรอื่นๆ จำเป็นต้องใช้เลขคณิตแบบโมดูลาร์ในการบวกและการรวมตัวเลข ปริมาณเหล่านี้สามารถหาค่าเฉลี่ยได้โดยใช้ค่าเฉลี่ยแบบวงกลมในทุกสถานการณ์เหล่านี้ อาจไม่มีค่าเฉลี่ยอยู่จริง ตัวอย่างเช่น หากจุดทั้งหมดที่นำมาหาค่าเฉลี่ยอยู่ห่างกันเท่าๆ กัน ลองพิจารณาวงล้อสี — ไม่มีค่าเฉลี่ยสำหรับเซตของสีทั้งหมด นอกจากนี้ อาจไม่มี ค่าเฉลี่ย ที่ไม่ซ้ำกันสำหรับเซตของค่าต่างๆ ตัวอย่างเช่น เมื่อหาค่าเฉลี่ยของจุดบนนาฬิกา ค่าเฉลี่ยของตำแหน่ง 11:00 และ 13:00 คือ 12:00 แต่ตำแหน่งนี้เทียบเท่ากับตำแหน่ง 00:00

ค่าเฉลี่ยแบบ Fréchetเป็นวิธีหนึ่งในการหา "จุดศูนย์กลาง" ของการกระจายมวลบนพื้นผิวหรือโดยทั่วไปแล้วบนแมนิโฟลด์แบบรีมันน์แตกต่างจากค่าเฉลี่ยอื่นๆ หลายวิธี ค่าเฉลี่ยแบบ Fréchet ถูกกำหนดขึ้นบนปริภูมิที่องค์ประกอบไม่จำเป็นต้องสามารถบวกหรือคูณด้วยสเกลาร์ได้

ในทางเรขาคณิต มีคำจำกัดความที่แตกต่างกันหลายพันแบบสำหรับจุดศูนย์กลางของสามเหลี่ยมซึ่งทั้งหมดสามารถตีความได้ว่าเป็นค่าเฉลี่ยของเซตจุดสามเหลี่ยมในระนาบ^{[ 9 ]}

นี่เป็นการประมาณค่าเฉลี่ยสำหรับการกระจายแบบเบ้ปานกลาง^{[ 10 ]}ใช้ในการสำรวจไฮโดรคาร์บอนและกำหนดไว้ดังนี้:

${\displaystyle m=0.3P_{10}+0.4P_{50}+0.3P_{90}}$

โดยที่, และคือเปอร์เซ็นไทล์ที่ 10, 50 และ 90 ของการแจกแจงตามลำดับ ${\textstyle P_{10}}$${\textstyle P_{50}}$${\textstyle P_{90}}$

• การกระจายทางสถิติ
• แนวโน้มส่วนกลาง
  • ค่ามัธยฐาน
  • โหมด
• สถิติเชิงพรรณนา
• เคอร์โทซิส
• กฎของค่าเฉลี่ย
• ทฤษฎีค่าเฉลี่ย
• โมเมนต์ (คณิตศาสตร์)
• สถิติสรุป
• กฎของเทย์เลอร์