ในทางคณิตศาสตร์และสถิติค่าเฉลี่ยแบบวงกลมหรือค่าเฉลี่ยเชิงมุมคือค่าเฉลี่ยที่ใช้สำหรับมุมและปริมาณที่เป็นวัฏจักรที่คล้ายกัน เช่นเวลาในแต่ละวันและส่วนที่เป็นเศษส่วนของจำนวนจริง

สิ่งนี้จำเป็นเนื่องจากวิธีการทั่วไปส่วนใหญ่อาจไม่เหมาะสมกับปริมาณที่คล้ายมุม ตัวอย่างเช่นค่าเฉลี่ยเลขคณิตของ 0° และ 360° คือ 180° ซึ่งทำให้เข้าใจผิดเพราะ 360° เท่ากับ 0° เมื่อหารด้วยหนึ่งรอบเต็ม^{[ 1 ]}อีกตัวอย่างหนึ่งคือ "เวลาเฉลี่ย" ระหว่าง 23.00 น. ถึง 01.00 น. คือเที่ยงคืนหรือเที่ยงวัน ขึ้นอยู่กับว่าเวลาทั้งสองเป็นส่วนหนึ่งของคืนเดียวกันหรือเป็นส่วนหนึ่งของวันในปฏิทินเดียวกัน

ค่าเฉลี่ยแบบวงกลมเป็นหนึ่งในตัวอย่างที่ง่ายที่สุดของสถิติเชิงทิศทางและสถิติของปริภูมิที่ไม่ใช่แบบยุคลิดการคำนวณนี้ให้ผลลัพธ์ที่แตกต่างจากค่าเฉลี่ยเลขคณิต โดยความแตกต่างจะมากขึ้นเมื่อมุมมีการกระจายอย่างกว้างขวาง ตัวอย่างเช่น ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของมุมสามมุม 0°, 0° และ 90° คือ (0° + 0° + 90°) / 3 = 30° แต่ค่าเฉลี่ยแบบเวกเตอร์คือ arctan(1/2) = 26.565° ยิ่งไปกว่านั้น ด้วยค่าเฉลี่ยเลขคณิต ค่าความแปรปรวนแบบวงกลมจะถูกกำหนดไว้เพียง ±180° เท่านั้น

เนื่องจากค่าเฉลี่ยเลขคณิตไม่เหมาะสมเสมอไปสำหรับมุม จึงสามารถใช้วิธีต่อไปนี้เพื่อหาทั้งค่าเฉลี่ยและค่าความแปรปรวนของมุมได้:

แปลงมุมทั้งหมดให้เป็นจุดที่สอดคล้องกันบนวงกลมหน่วยเช่นเป็นนั่นคือ แปลงพิกัดเชิงขั้วเป็นพิกัดคาร์ทีเซียนจากนั้นคำนวณค่าเฉลี่ยเลขคณิตของจุดเหล่านี้ จุดที่ได้จะอยู่ภายในวงกลมหน่วยแต่โดยทั่วไปจะไม่อยู่บนวงกลมหน่วย แปลงจุดนั้นกลับเป็นพิกัดเชิงขั้ว มุมที่ได้จะเป็นค่าเฉลี่ยที่เหมาะสมของมุมที่ป้อนเข้ามา รัศมีที่ได้จะเป็น 1 ถ้ามุมทั้งหมดเท่ากัน ถ้ามุมกระจายอย่างสม่ำเสมอบนวงกลม รัศมีที่ได้จะเป็น 0 และไม่มีค่าเฉลี่ยแบบวงกลม (อันที่จริง เป็นไปไม่ได้ที่จะกำหนดการดำเนินการหาค่าเฉลี่ย แบบต่อเนื่อง บนวงกลม) กล่าวอีกนัยหนึ่ง รัศมีวัดความเข้มข้นของมุม ${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle (\cos \alpha ,\sin \alpha )}$

เมื่อกำหนดมุมแล้วสูตรทั่วไปของการหาค่าเฉลี่ยโดยใช้ ฟังก์ชัน arctangentรูปแบบatan2คือ ${\displaystyle \alpha _{1},\dots ,\alpha _{n}}$

${\displaystyle {\bar {\alpha }}=\operatorname {atan2} \left({\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}\sin \alpha _{j},{\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}\cos \alpha _{j}\right)=\operatorname {atan2} \left(\sum _{j=1}^{n}\sin \alpha _{j},\sum _{j=1}^{n}\cos \alpha _{j}\right)}$

สามารถกำหนดนิยามที่เทียบเท่ากันได้โดยใช้จำนวนเชิงซ้อน :

${\displaystyle {\bar {\alpha }}=\arg \left({\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}\exp(i\cdot \alpha _{j})\right)=\arg \left(\sum _{j=1}^{n}\exp(i\cdot \alpha _{j})\right)}$.

เพื่อให้สอดคล้องกับการคำนวณข้างต้นโดยใช้ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของจุด ผลรวมจะต้องถูกหารด้วยอย่างไรก็ตาม การปรับขนาดไม่มีผลต่อและดังนั้นจึงสามารถละเว้นได้ ${\displaystyle n}$${\displaystyle \ชื่อผู้ดำเนินการ {atan2} }$${\displaystyle \arg }$

อาจกล่าวให้กระชับยิ่งขึ้นได้โดยการตระหนักว่าข้อมูลเชิงทิศทางนั้นแท้จริงแล้วคือเวกเตอร์ที่มีความยาวหนึ่งหน่วย ในกรณีของข้อมูลหนึ่งมิติ จุดข้อมูลเหล่านี้สามารถแสดงได้อย่างสะดวกในรูปของจำนวนเชิงซ้อนที่มีขนาดหนึ่งหน่วยโดยที่คือมุมที่วัดได้เวกเตอร์ลัพธ์ เฉลี่ย สำหรับตัวอย่างจึงเป็นดังนี้: ${\displaystyle z=\cos(\theta )+i\,\sin(\theta )=e^{i\theta }}$${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle {\overline {\mathbf {\rho } }}={\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}z_{n}.}$

มุมเฉลี่ยของตัวอย่างจะเป็นค่าอาร์กิวเมนต์ของผลลัพธ์เฉลี่ย:

${\displaystyle {\overline {\theta }}=\operatorname {Arg} ({\overline {\mathbf {\rho } }}).}$

ความยาวของเวกเตอร์ผลลัพธ์ค่าเฉลี่ยตัวอย่างคือ:

${\displaystyle {\overline {R}}=|{\overline {\mathbf {\rho } }}|}$

และจะมีค่าอยู่ระหว่าง 0 ถึง 1 ดังนั้น เวกเตอร์ผลลัพธ์ค่าเฉลี่ยตัวอย่างสามารถแสดงได้ดังนี้:

${\displaystyle {\overline {\mathbf {\rho } }}={\overline {R}}\,e^{i{\overline {\theta }}}.}$

การคำนวณที่คล้ายกันนี้ยังใช้ในการกำหนดค่าความแปรปรวนแบบวงกลมด้วย

ค่าเฉลี่ยแบบวงกลม${\displaystyle {\bar {\alpha }}}$

• เพิ่ม โอกาสสูงสุดของค่าพารามิเตอร์เฉลี่ยของการแจกแจงแบบ von Misesและ
• ลดผลรวมของระยะทางที่กำหนดบนวงกลมให้เหลือน้อยที่สุด หรือพูดให้แม่นยำยิ่งขึ้นก็คือ...

${\displaystyle {\bar {\alpha }}={\underset {\beta }{\operatorname {argmin} }}\sum _{j=1}^{n}d(\alpha _{j},\beta ),{\text{ โดยที่ }}d(\varphi ,\beta )=1-\cos(\varphi -\beta ).}$

ระยะทางดังกล่าวเท่ากับครึ่งหนึ่งของระยะทางยูคลิดกำลังสองระหว่างจุดสองจุดบนวงกลมหน่วยที่เกี่ยวข้องกับและ${\displaystyle d(\varphi ,\beta )}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \beta }$

วิธีง่ายๆ ในการคำนวณค่าเฉลี่ยของชุดมุม (ในช่วง [0°, 360°)) คือการคำนวณค่าเฉลี่ยของโคไซน์และไซน์ของแต่ละมุม แล้วหาค่ามุมโดยการคำนวณแทนเจนต์ผกผัน พิจารณามุมสามมุมต่อไปนี้เป็นตัวอย่าง: 10, 20 และ 30 องศา ตามสัญชาตญาณ การคำนวณค่าเฉลี่ยจะเกี่ยวข้องกับการบวกมุมทั้งสามเข้าด้วยกันแล้วหารด้วย 3 ซึ่งในกรณีนี้จะได้ค่าเฉลี่ยมุมที่ถูกต้องคือ 20 องศา เมื่อหมุนระบบนี้ทวนเข็มนาฬิกาไป 15 องศา มุมทั้งสามจะกลายเป็น 355 องศา 5 องศา และ 15 องศา ค่าเฉลี่ยเลขคณิตคือ 125 องศา ซึ่งเป็นคำตอบที่ผิด เพราะควรจะเป็น 5 องศา ค่าเฉลี่ยเวกเตอร์สามารถคำนวณได้ด้วยวิธีต่อไปนี้ โดยใช้ค่าเฉลี่ยไซน์และค่าเฉลี่ยโคไซน์: ${\textstyle {\bar {\theta }}}$${\textstyle {\bar {s}}}$${\textstyle {\bar {c}}\not =0}$

${\displaystyle {\bar {s}}={\frac {1}{3}}(\sin(355^{\circ })+\sin(5^{\circ })+\sin(15^{\circ }))={\frac {1}{3}}(-0.087+0.087+0.259)\approx 0.086}$

${\displaystyle {\bar {c}}={\frac {1}{3}}(\cos(355^{\circ })+\cos(5^{\circ })+\cos(15^{\circ }))={\frac {1}{3}}(0.996+0.996+0.966)\approx 0.986}$

${\displaystyle {\bar {\theta }}=\left.{\begin{cases}\arctan \left({\frac {\bar {s}}{\bar {c}}}\right)&{\bar {s}}>0,\ {\bar {c}}>0\\\arctan \left({\frac {\bar {s}}{\bar {c}}}\right)+180^{\circ }&{\bar {c}}<0\\\arctan \left({\frac {\bar {s}}{\bar {c}}}\right)+360^{\circ }&{\bar {s}}<0,\ {\bar {c}}>0\end{cases}}\right\}=\arctan \left({\frac {0.086}{0.986}}\right)=\arctan(0.087)=5^{\circ }.}$

// ถ้ามุมที่ได้เป็นค่าลบ ให้บวก 360 เพื่อให้อยู่ในช่วงมาตรฐาน 0 ถึง 360 เช่น: ถ้าผลลัพธ์ < 0 แล้วผลลัพธ์ := ผลลัพธ์ + 360;

ในโค้ด Pythonนี้เราใช้ชั่วโมงของวันเพื่อหาค่าเฉลี่ยแบบวงกลม:

นำเข้าคณิตศาสตร์def circular_mean ( hours : list [ int ]) -> float : """แปลงชั่วโมงเป็นเรเดียน""" # ในการแปลงจากชั่วโมงเป็นองศา เราต้อง# คูณชั่วโมงด้วย 360/24 = 15 เรเดียน= [ math . radians ( hour * 15 ) for hour in hours ]# คำนวณผลรวมของค่า sin และ cos sin_sum = sum ([ math . sin ( rad ) for rad in radians ]) cos_sum = sum ([ math . cos ( rad ) for rad in radians ])# คำนวณค่าเฉลี่ยแบบวงกลมโดยใช้arctan2 mean_rad = math.atan2 ( sin_sum , cos_sum )# แปลงค่าเฉลี่ยกลับเป็นชั่วโมงmean_hour = ( math . degrees ( mean_rad ) / 15 ) % 24คืนค่าชั่วโมงเฉลี่ย# ตัวอย่างการใช้งาน: hours = [ 0 , 12 , 18 ] mean_hour = circular_mean ( hours ) print ( "ค่าเฉลี่ยแบบวงกลมครั้งแรก:" , round ( mean_hour , 2 ))ชั่วโมง= [ 0 , 12 ] ค่าเฉลี่ยชั่วโมง= ค่าเฉลี่ยแบบวงกลม( ชั่วโมง) พิมพ์( "ค่าเฉลี่ยแบบวงกลมที่สอง:" , ปัดเศษ( ค่าเฉลี่ยชั่วโมง, 2 ))ชั่วโมง= [ 0 , 0 , 12 , 12 , 24 ] ค่าเฉลี่ยชั่วโมง= ค่าเฉลี่ยแบบวงกลม( ชั่วโมง) พิมพ์( "ค่าเฉลี่ยแบบวงกลมที่สาม:" , ปัดเศษ( ค่าเฉลี่ยชั่วโมง, 2 ))

โปรดทราบว่าฟังก์ชันข้างต้นนั้นได้ถูกนำไปใช้งานแล้วโดยฟังก์ชัน ของSciPycircmean

ค่าเฉลี่ยทรงกลมแบบถ่วงน้ำหนักสามารถกำหนดได้โดยอาศัยการแทรกสอดเชิงเส้นทรงกลม^{[ 3 ]}

• จุดศูนย์กลางมวล
• จุดศูนย์กลาง
• การกระจายแบบวงกลม
• ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานแบบวงกลม
• สถิติเชิงทิศทาง
• Fréchet หมายถึง
• วิธียามาติโน

• Jammalamadaka, S. Rao และ SenGupta, A. (2001). หัวข้อในสถิติเชิงวงกลมส่วนที่ 1.3 สำนักพิมพ์ World Scientific Press ประเทศสิงคโปร์ISBN 981-02-3778-2
• Hotz, Thomas (2013). "วิธีการภายนอกเทียบกับวิธีการภายในบนวงกลม". Lecture Notes in Computer Science . Vol. 8085. เบอร์ลิน, ไฮเดลเบิร์ก: Springer Berlin Heidelberg. หน้า  433–440 . doi : 10.1007/978-3-642-40020-9_47 . ISBN 978-3-642-40019-3ISSN 0302-9743​ ​