ในทางเรขาคณิตการประมาณค่าเชิงเส้นทรงกลมซึ่งโดยทั่วไปย่อว่าslerpคือฟังก์ชันที่ประมาณค่าระหว่างสองจุดบนทรงกลมโดยที่ระยะทางทรงกลมจากจุดเริ่มต้นจะแปรผันอย่างสม่ำเสมอตามพารามิเตอร์ การประมาณค่า ในกราฟิกคอมพิวเตอร์ ฟังก์ชันนี้ได้รับความนิยมจาก Ken Shoemake สำหรับการสร้างภาพเคลื่อนไหวการหมุนสามมิติซึ่งแสดงเป็นควอเทอร์เนียนบนทรงกลม 3 มิติแบบ นามธรรม ^{[ 1 ]}เมื่อพารามิเตอร์การประมาณค่าแทนเวลาการประมาณค่าเชิงเส้นทรงกลมจะส่งผลให้เกิดการเคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงที่ตาม ส่วนโค้ง วงกลมใหญ่ระหว่างจุดปลาย หรือการเปลี่ยนแปลงที่ราบเรียบและสม่ำเสมอระหว่างการหมุนสามมิติสองแบบ

Slerp มีสูตรทางเรขาคณิตที่ไม่ขึ้นอยู่กับควอเทอร์เนียน และไม่ขึ้นอยู่กับมิติของปริภูมิที่ส่วนโค้งฝังอยู่ สูตรนี้เป็นผลรวมถ่วงน้ำหนักแบบสมมาตรซึ่งคิดค้นโดย Glenn Davis โดยมีพื้นฐานมาจากข้อเท็จจริงที่ว่าจุดใดๆ บนเส้นโค้งจะต้องเป็นผลรวมเชิงเส้นของปลายทั้งสองข้าง ให้p₀และp₁ _เป็นจุดแรกและจุดสุดท้ายของส่วนโค้ง และให้_tเป็นพารามิเตอร์0 ≤ t ≤ 1คำนวณ Ω เป็นมุมที่รองรับส่วนโค้ง โดยที่cos Ω = p₀ _⋅ p₁ซึ่งเป็นผลคูณดอทnมิติของเวกเตอร์หน่วยจากจุดกำเนิดไปยังปลายทั้งสองข้าง สูตรทางเรขาคณิตจึง เป็น_{ดังนี้}

${\displaystyle \operatorname {slerp} (p_{0},p_{1};t)={\frac {\sin {[(1-t)\Omega }]}{\sin \Omega }}p_{0}+{\frac {\sin[t\Omega ]}{\sin \Omega }}p_{1}.}$

ความสมมาตรอยู่ที่ข้อเท็จจริงที่ว่าslerp( p ₀ , p ₁ ; t ) = slerp( p ₁ , p ₀ ; 1 − t )เมื่อΩ → 0 ลิมิต สูตรนี้จะลดลงเหลือสูตรสมมาตรที่สอดคล้องกันสำหรับการประมาณค่าเชิงเส้น

${\displaystyle \operatorname {slerp} (p_{0},p_{1};t)=(1-t)p_{0}+tp_{1}.}$

เส้นทางสเลอร์ป (slerp path) นั้น แท้จริงแล้วคือเส้นทางตามส่วนของเส้นตรงในระนาบในเรขาคณิตทรงกลม ส่วนวงกลมใหญ่ (great circle) ก็คือเส้นทางจีโอเดสิกทรงกลม (spherical geodesic )

สูตรสเลิร์ปทั่วไปนั้นคุ้นเคยมากกว่ากรณีที่เวกเตอร์ปลายตั้งฉากกัน ซึ่งในกรณีนี้สูตรจะเป็นp ₀ cos θ + p ₁ sin θโดยกำหนดให้θ = t π /2และใช้เอกลักษณ์ตรีโกณมิติcos θ = sin( π /2 − θ )จะได้สูตรสเลิร์ป ตัวประกอบ1/sin Ωในสูตรทั่วไปเป็นค่ามาตรฐาน เนื่องจากเวกเตอร์p ₁ที่ทำมุม Ω กับp ₀จะฉายลงบนเส้นตั้งฉาก ⊥ p ₀ด้วยความยาวเพียงsin Ωเท่านั้น

ในบางกรณีพิเศษของ slerp จะมีการคำนวณที่มีประสิทธิภาพมากกว่า เมื่อต้องการวาดส่วนโค้งวงกลมลงในภาพแรสเตอร์ วิธีที่นิยมคือการใช้อัลกอริทึมวงกลมของBresenham ในรูปแบบต่างๆ การประเมินค่าที่ค่าพารามิเตอร์พิเศษ 0 และ 1 จะได้p ₀และp ₁ตามลำดับ และการแบ่งครึ่ง การประเมินค่าที่  ⁠1/2⁠ลดรูปเป็น( p ₀ + p ₁ )/2ในรูปแบบปกติ กรณีพิเศษอีกกรณีหนึ่งที่พบได้ทั่วไปในแอนิเมชัน คือการประเมินค่าโดยกำหนดจุดสิ้นสุดคงที่และขั้นตอนพารามิเตอร์ที่เท่ากัน ถ้าp _{k −1}และp _kเป็นค่าสองค่าที่ต่อเนื่องกัน และถ้าc เป็นสองเท่าของ ผล คูณดอทของค่าทั้งสอง (คงที่สำหรับทุกขั้นตอน) แล้วค่าถัดไปp _{k +1}จะเป็นค่าสะท้อนp _{k +1} = cp _k − p _{k −1}

เมื่อใช้ slerp กับควอเทอร์เนียน หน่วย เส้นทางควอเทอร์เนียนจะแมปไปยังเส้นทางผ่านการหมุน 3 มิติในลักษณะมาตรฐานผลที่ได้คือการหมุนด้วยความเร็วเชิงมุม สม่ำเสมอ รอบแกนหมุน คงที่ เมื่อจุดเริ่มต้นเป็นควอเทอร์เนียนเอกลักษณ์ slerp จะให้ส่วนหนึ่งของกลุ่มย่อยหนึ่งพารามิเตอร์ของทั้งกลุ่ม Lieของการหมุน 3 มิติSO(3)และกลุ่มการครอบคลุมสากลของควอเทอร์เนียนหน่วยS ³ slerp ให้เส้นทางที่ตรงที่สุดและสั้นที่สุดระหว่างจุดปลายควอเทอร์เนียน และแมปไปยังการหมุนผ่านมุม 2Ω อย่างไรก็ตาม เนื่องจากกลุ่มการครอบคลุมเป็นแบบคู่ ( qและ −q แมปไปยังการหมุนเดียวกัน) เส้นทางการหมุนอาจหมุนไปใน "เส้นทางสั้น" (น้อยกว่า 180°) หรือ "เส้นทางยาว" (มากกว่า 180°) สามารถป้องกันเส้นทางที่ยาวเกินไปได้โดยการกลับเครื่องหมายที่ปลายด้านหนึ่ง หากผลคูณดอทcos Ωมีค่าเป็นลบ ซึ่งจะทำให้มั่นใจได้ว่า−90° ≤ Ω ≤ 90 °

นอกจากนี้ Slerp ยังมีนิพจน์ในรูปของพีชคณิตควอเทอร์เนียน ซึ่งทั้งหมดใช้การยก กำลัง กำลัง จริงของควอเทอร์เนียนถูกกำหนดในรูปของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง ควอเทอร์เนียน ซึ่งเขียนว่าe ^qและกำหนดโดยอนุกรม กำลัง ที่คุ้นเคยจากแคลคูลัส การวิเคราะห์เชิงซ้อน และพีชคณิตเมทริก ซ์ :

${\displaystyle e^{q}=1+q+{\frac {q^{2}}{2}}+{\frac {q^{3}}{6}}+\cdots +{\frac {q^{n}}{n!}}+\cdots .}$

^{เมื่อเขียน ค}วอเทอร์เนียนหน่วยqในรูปแบบเวกเตอร์cos Ω + v sin Ωโดยที่vเป็นเวกเตอร์ 3 มิติหน่วย และสังเกตว่ากำลังสองของควอเทอร์เนียนv²เท่ากับ −1 (ซึ่งหมายถึงสูตรของออยเลอร์ในรูปแบบควอ เทอร์เนียน ) เราจะได้e ^{v Ω} = qและq ^t = cos t Ω + v sin t Ωการระบุที่น่าสนใจคือq = q ₁ q ₀ ⁻¹ดังนั้นส่วนจริงของqคือcos Ωซึ่งเหมือนกับผลคูณดอทเชิงเรขาคณิตที่ใช้ข้างต้น ต่อไปนี้คือนิพจน์ควอเทอร์เนียนที่เทียบเท่ากันสี่แบบสำหรับ slerp

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {slerp} (q_{0},q_{1},t)&=q_{0}(q_{0}^{-1}q_{1})^{t}\\[6pt]&=q_{1}(q_{1}^{-1}q_{0})^{1-t}\\[6pt]&=(q_{0}q_{1}^{-1})^{1-t}q_{1}\\[6pt]&=(q_{1}q_{0}^{-1})^{t}q_{0}\end{aligned}}}$

อนุพันธ์ของslerp( q ₀ , q ₁ ; t )เทียบกับt โดย สมมติว่าปลายทั้งสองข้างคงที่ คือ log( q ₁ q ₀ ⁻¹ ) คูณด้วยค่าฟังก์ชัน โดยที่ลอการิทึมธรรมชาติของ ควอเทอร์เนียน ในกรณีนี้จะให้ค่าครึ่งหนึ่งของ เวกเตอร์ ความเร็วเชิงมุม 3 มิติ เวกเตอร์สัมผัสเริ่มต้นจะถูกเคลื่อนย้ายขนานไปยังเวกเตอร์สัมผัสแต่ละอันตามเส้นโค้ง ดังนั้นเส้นโค้งนี้จึงเป็นเส้นโค้งจีโอเดสิกอย่างแท้จริง

ในปริภูมิสัมผัสณ จุดใดๆ บนเส้นโค้งสเลิร์ปควอเทอร์เนียน การผกผันของแผนที่เอกซ์โพเนนเชียลจะแปลงเส้นโค้งนั้นให้เป็นส่วนของเส้นตรง เส้นโค้งสเลิร์ปที่ไม่ผ่านจุดใดๆ จะไม่สามารถแปลงเป็นเส้นตรงในปริภูมิสัมผัสของจุดนั้นได้

เส้นโค้งควอ เทอร์เนียน (Quaternion slerps) มักใช้ในการสร้างเส้นโค้งแอนิเมชันที่เรียบเนียน โดยเลียนแบบการสร้างแบบแอฟฟิน เช่น อัลกอริทึมของเดอ กัสเติลเจา (de Casteljau algorithm)สำหรับเส้นโค้งเบซิเยร์ (Bézier curves ) เนื่องจากทรงกลมไม่ใช่ปริภูมิแอฟฟินคุณสมบัติที่คุ้นเคยของการสร้างแบบแอฟฟินอาจใช้ไม่ได้ผล แม้ว่าเส้นโค้งที่สร้างขึ้นอาจจะน่าพอใจโดยรวมก็ตาม ตัวอย่างเช่น อัลกอริทึมของเดอ กัสเติลเจา อาจใช้ในการแบ่งเส้นโค้งในปริภูมิแอฟฟิน แต่วิธีนี้ใช้ไม่ได้กับทรงกลม

slerp สองค่าสามารถขยายเพื่อแทรกระหว่างควอเทอร์เนียนหน่วยจำนวนมากได้^{[ 2 ]}แต่การขยายนี้ทำให้สูญเสียเวลาดำเนินการคงที่ของอัลกอริธึม slerp

• ควอเทอร์เนียนและการหมุนเชิงพื้นที่
• ค่าเฉลี่ยทรงกลม (สถิติ)