ในความน่าจะเป็นและสถิติการแจกแจงแบบวงกลมหรือการแจกแจงแบบขั้วคือการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มที่มีค่าเป็นมุม ซึ่งโดยปกติจะอยู่ในช่วง[0, 2π ) [ ^{1 ] การ}แจกแจงแบบวงกลมมักเป็นการแจกแจงความน่าจะเป็นแบบต่อเนื่องดังนั้นจึงมีความหนาแน่นของความน่าจะเป็นแต่การแจกแจงดังกล่าวอาจเป็นแบบไม่ต่อเนื่อง ก็ได้ ซึ่งในกรณีนี้จะเรียกว่าการแจกแจงแบบตารางวงกลม^{[ 1 ]}การแจกแจงแบบวงกลมสามารถใช้ได้แม้ว่าตัวแปรที่เกี่ยวข้องจะไม่ใช่มุมโดยตรงก็ตาม ข้อพิจารณาหลักคือโดยปกติแล้วจะไม่มีความแตกต่างที่แท้จริงระหว่างเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นที่ปลายตรงข้ามของช่วง และการแบ่งช่วงสามารถทำได้ในเชิงทฤษฎีที่จุดใดก็ได้

ถ้าการกระจายแบบวงกลมมีความหนาแน่น

${\displaystyle p(\phi )\qquad \qquad (0\leq \phi <2\pi ),\,}$

สามารถแสดงเป็นเส้นโค้ง ปิดได้ในรูปแบบกราฟิก

${\displaystyle [x(\phi ),y(\phi )]=[r(\phi )\cos \phi ,\,r(\phi )\sin \phi ],\,}$

โดย กำหนด รัศมี ให้เท่ากับ${\displaystyle r(\phi )\,}$

${\displaystyle r(\phi )=a+bp(\phi ),\,}$

และในกรณีที่ เลือก aและbโดยพิจารณาจากลักษณะภายนอก

โดยการคำนวณการกระจายความน่าจะเป็นของมุมตามร่องรอยหมึกที่เขียนด้วยลายมือ จะได้การกระจายเชิงขั้วรูปทรงกลีบดอกไม้ ทิศทางหลักของกลีบดอกไม้ในควadrant แรกสอดคล้องกับความเอียงของลายมือ (ดู: กราฟอมิกส์ )

ตัวอย่างของการแจกแจงแบบตารางวงกลมคือ ความน่าจะเป็นของการเกิดในเดือนใดเดือนหนึ่งของปี โดยแต่ละเดือนในปฏิทินจะถูกมองว่าเรียงตัวเป็นวงกลม เช่น "มกราคม" อยู่ติดกับ "ธันวาคม"

ฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็น (pdf) ใดๆบนเส้นตรงสามารถ"พัน"รอบเส้นรอบวงของวงกลมที่มีรัศมีหนึ่งหน่วยได้^{[ 2 ]}นั่นคือ pdf ของตัวแปรที่พันรอบนั้น คือ ${\displaystyle \ p(x)}$$${\displaystyle \theta =x_{w}=x{\bmod {2}}\pi \ \ \in (-\pi ,\pi ]}$$$${\displaystyle p_{w}(\theta )=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{p(\theta +2\pi k)}.}$$

แนวคิดนี้สามารถขยายไปสู่บริบทหลายตัวแปรได้โดยการขยายผลรวมแบบง่ายไปสู่ผลรวมจำนวนหนึ่งที่ครอบคลุมทุกมิติในพื้นที่คุณลักษณะ: โดยที่คือเวกเตอร์ฐานยุคลิดลำดับ ที่${\displaystyle F}$$${\displaystyle p_{w}({\boldสัญลักษณ์ {\theta }})=\sum _{k_{1}=-\infty }^{\infty }\cdots \sum _{k_{F}=-\infty }^{\infty }{p({\boldสัญลักษณ์ {\theta }}+2\pi k_{1}\mathbf {e} _{1}+\dots +2\pi k_{F}\mathbf {e} _{F})}}$$${\displaystyle \mathbf {e} _{k}=(0,\dots ,0,1,0,\dots ,0)^{\mathsf {T}}}$${\displaystyle k}$

ส่วนต่อไปนี้แสดงการแจกแจงแบบวงกลมที่เกี่ยวข้องบางส่วน

การแจกแจง von Misesเป็นการแจกแจงแบบวงกลม ซึ่งเช่นเดียวกับการแจกแจงแบบวงกลมอื่นๆ อาจคิดได้ว่าเป็นการพันการแจกแจงความน่าจะเป็นเชิงเส้นบางอย่างรอบวงกลม การแจกแจงความน่าจะเป็นเชิงเส้นพื้นฐานสำหรับการแจกแจง von Mises นั้นไม่สามารถคำนวณทางคณิตศาสตร์ได้ อย่างไรก็ตาม เพื่อวัตถุประสงค์ทางสถิติ ไม่จำเป็นต้องจัดการกับการแจกแจงเชิงเส้นพื้นฐาน ประโยชน์ของการแจกแจง von Mises มีสองประการ คือ เป็นการแจกแจงแบบวงกลมที่คำนวณทางคณิตศาสตร์ได้ง่ายที่สุด ทำให้การวิเคราะห์ทางสถิติง่ายขึ้น และเป็นการประมาณค่าใกล้เคียงกับการ แจกแจง ปกติแบบพันรอบซึ่งในทำนองเดียวกันกับการแจกแจงปกติเชิงเส้น มีความสำคัญเพราะเป็นกรณีจำกัดสำหรับผลรวมของการเบี่ยงเบนเชิงมุมขนาดเล็กจำนวนมาก ในความเป็นจริง การแจกแจง von Mises มักเรียกว่าการแจกแจง "ปกติแบบวงกลม" เนื่องจากใช้งานง่ายและมีความสัมพันธ์ใกล้ชิดกับการแจกแจงปกติแบบพันรอบ^{[ 3 ]}

ฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็น (pdf) ของการแจกแจงแบบ von Mises คือ: โดยที่ คือ ฟังก์ชัน Besselดัดแปลงอันดับ 0 $${\displaystyle f(\theta ;\mu ,\kappa )={\frac {e^{\kappa \cos(\theta -\mu )}}{2\pi I_{0}(\kappa )}}}$$${\displaystyle I_{0}}$

ฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็น (pdf) ของการแจกแจงเอกรูปวงกลมกำหนดโดย $${\displaystyle U(\theta )={\frac {1}{2\pi }}.}$$

อาจมองได้ว่าเป็นกรณีของฟอน มิเซสที่กล่าวถึงข้างต้นก็ได้ ${\displaystyle \kappa =0}$

ฟังก์ชันความหนาแน่นความ น่าจะเป็น (pdf) ของการแจกแจงปกติแบบห่อหุ้ม (WN) คือ: โดยที่ μ และ σ คือค่าเฉลี่ยและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของการแจกแจงแบบไม่ห่อหุ้ม ตามลำดับ และ คือฟังก์ชันเธต้าของจาโคบี : โดยที่และ$${\displaystyle WN(\theta ;\mu ,\sigma )={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\exp \left[{\frac {-(\theta -\mu -2\pi k)^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right]={\frac {1}{2\pi }}\vartheta \left({\frac {\theta -\mu }{2\pi }},{\frac {i\sigma ^{2}}{2\pi }}\right)}$$${\displaystyle \vartheta (\theta ,\tau )}$$${\displaystyle \vartheta (\theta ,\tau )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(w^{2})^{n}q^{n^{2}}}$$${\displaystyle w\equiv e^{i\pi \theta }}$${\displaystyle q\equiv e^{i\pi \tau }.}$

ฟังก์ชัน ความหนาแน่นความน่าจะเป็น (pdf) ของการแจกแจงโคชีแบบห่อหุ้ม (WC) คือ: โดยที่คือตัวประกอบมาตราส่วน และคือตำแหน่งจุดสูงสุด $${\displaystyle WC(\theta ;\theta _{0},\gamma )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {\gamma }{\pi (\gamma ^{2}+(\theta +2\pi n-\theta _{0})^{2})}}={\frac {1}{2\pi }}\,\,{\frac {\sinh \gamma }{\cosh \gamma -\cos(\theta -\theta _{0})}}}$$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \theta _{0}}$

ฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะ เป็น (pdf) ของการแจกแจง Lévy แบบห่อหุ้ม (WL) คือ: โดยที่ค่าของพจน์บวกจะมีค่าเป็นศูนย์เมื่อ, คือตัวประกอบมาตราส่วน และคือพารามิเตอร์ตำแหน่ง $${\displaystyle f_{WL}(\theta ;\mu ,c)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\sqrt {\frac {c}{2\pi }}}\,{\frac {e^{-c/2(\theta +2\pi n-\mu )}}{(\theta +2\pi n-\mu )^{3/2}}}}$$${\displaystyle \theta +2\pi n-\mu \leq 0}$${\displaystyle c}$${\displaystyle \mu }$

การแจกแจงปกติที่ฉายภาพเป็นการแจกแจงแบบวงกลมที่แสดงทิศทางของตัวแปรสุ่มที่มีการแจกแจงปกติแบบหลายตัวแปร ซึ่งได้มาจากการฉายภาพรัศมีของตัวแปรบนทรงกลมหน่วย (n-1) ด้วยเหตุนี้ และแตกต่างจากการแจกแจงแบบวงกลมอื่นๆ ที่ใช้กันทั่วไป การแจกแจงนี้จึงไม่สมมาตรและไม่มีจุดสูงสุด เพียงจุด เดียว

• ค่าเฉลี่ยแบบวงกลม
• การกระจายแบบวงกลมสม่ำเสมอ
• การแจกแจงแบบฟอนมิเซส

• Fisher, NI (1993). การวิเคราะห์ทางสถิติของข้อมูลวงกลม . สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์ . ISBN 0-521-35018-2.

• คณิตศาสตร์และสถิติเกี่ยวกับค่าวงกลมด้วย C++11โครงสร้างพื้นฐาน C++11 สำหรับคณิตศาสตร์และสถิติเกี่ยวกับค่าวงกลม (มุม เวลา ฯลฯ)