ในทางคณิตศาสตร์ลำดับที่แน่นอนห้าพจน์หรือลำดับที่แน่นอนของพจน์ดีกรีต่ำคือลำดับของพจน์ที่เกี่ยวข้องกับขั้นแรกของลำดับสเปกตรัม

กล่าวให้แม่นยำยิ่งขึ้น ให้

${\displaystyle E_{2}^{p,q}\Rightarrow H^{n}(A)}$

เป็นลำดับสเปกตรัมควอดแรนต์แรก หมายความว่า${\displaystyle E_{2}^{p,q}}$จะหายไป ยกเว้นเมื่อpและqทั้งคู่เป็นจำนวนที่ไม่เป็นลบ ในกรณีนั้นจะมีลำดับที่แน่นอน

0 → E ^1,0 → H  ¹ ( A ) → E ^0,1 → E ^2,0 → H  ² ( A )

นี่คือแผนที่${\displaystyle E_{2}^{0,1}\to E_{2}^{2,0}}$คือผลต่างของ${\displaystyle E_{2}}$-เทอมของลำดับสเปกตรัม

• ลำดับที่แน่นอนของการจำกัดเงินเฟ้อ

0 → H  ¹ ( G / N , A ^N ) → H  ¹ ( G , A ) → H  ¹ ( N , A ) ^{G / N} → H  ² ( G / N , A ^N ) → H  ² ( G , A )

ในโคฮอโมโลยีของกลุ่มเกิดขึ้นเป็นลำดับที่แน่นอนห้าพจน์ที่เชื่อมโยงกับลำดับสเปกตรัมของลินดอน-ฮอคชิลด์-แซร์

H ^p ( G / N , H ^q ( N , A )) ⇒ H ^p+q ( G , A )   

โดยที่Gเป็นกลุ่มโปรไฟไนต์ , Nเป็นกลุ่มย่อยปกติแบบปิด และAเป็นโมดูลGแบบไม่ต่อเนื่อง

ลำดับนี้เป็นผลมาจากนิยามของการลู่เข้าของลำดับสเปกตรัม ดิฟเฟอเรนเชียลหน้าสองที่มีโคโดเมนE ^1,0มาจากE ^{− 1,1}ซึ่งเป็นศูนย์ตามสมมติฐาน ดิฟเฟอเรนเชียลที่มีโดเมนE ^1,0มีโคโดเมนE ^{3, − 1}ซึ่งเป็นศูนย์ตามสมมติฐานเช่นกัน ในทำนองเดียวกัน ดิฟเฟอเรนเชียลขาเข้าและขาออกของE ^1,0เป็นศูนย์สำหรับทุกr ≥ 2ดังนั้นเทอม (1,0) ของลำดับสเปกตรัมจึงลู่เข้า หมายความว่ามันสมมาตรกับชิ้นส่วนเกรดหนึ่งระดับของส่วนรองรับH  ¹ ( A ) เนื่องจากลำดับสเปกตรัมอยู่ในควอดแรนต์แรก ชิ้นส่วนเกรดหนึ่งระดับจึงเท่ากับกลุ่มย่อยแรกในการกรองที่กำหนดชิ้นส่วนเกรด การรวมกลุ่มย่อยนี้ทำให้เกิดการฉีดE ^1,0 → H  ¹ ( A ) ซึ่งเริ่มต้นลำดับที่แน่นอนห้าเทอม การแทรกข้อมูลนี้เรียกว่าแผนที่ขอบ (edge ​​map )

เทอม E 2 ^ของลำดับสเปกตรัมยังไม่ลู่เข้า มันมีอนุพันธ์ที่ไม่เป็นศูนย์ซึ่งนำไปสู่​​E ^2,0อย่างไรก็ตาม อนุพันธ์ที่ลงจอดที่E ^0,1เริ่มต้นที่E ^{− 2,2}ซึ่งเป็นศูนย์ ดังนั้นE ^0,1จึงเป็นเคอร์เนลของอนุพันธ์E ^0,1 → E ^2,0ในหน้าสาม เทอม (0, 1) ของลำดับสเปกตรัมลู่เข้าแล้ว เนื่องจากอนุพันธ์ทั้งหมดที่เข้าและออกจากE ^0,1เริ่มต้นหรือสิ้นสุดนอกควอดแรนต์แรกเมื่อr ≥ 3ดังนั้นE ^0,1จึงเป็นชิ้นส่วนเกรดศูนย์ของH  ¹ ( A ) ชิ้นส่วนเกรดนี้เป็นผลหารของH  ¹ ( A ) โดยกลุ่มย่อยแรกในการกรอง และด้วยเหตุ นี้จึงเป็นโคเคอร์เนลของแผนที่ขอบจากE ^1,0ซึ่งจะทำให้ได้ลำดับที่สั้นและแม่นยำ

0 → E ^1,0 → H  ¹ ( A ) → E ^0,1 → 0.

เนื่องจากE ^0,1เป็นเคอร์เนลของอนุพันธ์E ^0,1 → E ^2,0พจน์สุดท้ายในลำดับที่แน่นอนแบบสั้นสามารถแทนที่ด้วยอนุพันธ์ได้ ซึ่งจะทำให้ได้ลำดับที่แน่นอนสี่พจน์ แผนที่H  ¹ ( A ) → E ^0,1ยังเรียกว่าแผนที่ขอบอีกด้วย

อนุพันธ์ขาออกของE ^2,0เป็นศูนย์ ดังนั้นE ^2,0จึงเป็นโคเคอร์เนลของอนุพันธ์E ^0,1 → E ^2,0อนุพันธ์ขาเข้าและขาออกของE ^2,0เป็นศูนย์ถ้าr ≥ 3อีกครั้งเนื่องจากลำดับสเปกตรัมอยู่ในควอดแรนต์แรก และด้วยเหตุนี้ลำดับสเปกตรัมจึงลู่เข้า ผลที่ตามมาคือE ^2,0สม isomorphic กับชิ้นส่วนเกรดดีกรีสองของH  ² ( A ) โดยเฉพาะอย่างยิ่ง มันเป็นกลุ่มย่อยของH  ² ( A ) ดังนั้นองค์ประกอบE ^2,0 → E ^2,0 → H ² ( A ) ซึ่งเป็นแผนที่ขอบอีกอันหนึ่ง จึงมีเคอร์เนลเท่ากับภาพของอนุพันธ์ที่ลงจอดที่E ^2,0การสร้างลำดับนี้เสร็จสมบูรณ์แล้ว

ลำดับที่แน่นอนห้าพจน์สามารถขยายได้โดยแลกกับการทำให้พจน์หนึ่งไม่ชัดเจนนัก ลำดับที่แน่นอนเจ็ดพจน์คือ

0 → E ^1,0 → H  ¹ ( A ) → E ^0,1 → E ^2,0 → เคอร์( H  ² ( A ) → E ^0,2 ​​) → E ^1,1 → E ^3,0 .

ลำดับนี้ไม่ได้ขยายโดยตรงด้วยแผนที่ไปยังH ³ ( A ) แม้ว่าจะมีแผนที่ขอบE ^3,0 → H ³ ( A ) แต่เคอร์เนลของมันไม่ใช่พจน์ก่อนหน้าในลำดับที่แน่นอนเจ็ดพจน์

สำหรับลำดับสเปกตรัมที่มีหน้าแรกที่น่าสนใจคือE จะมีลำดับที่แน่นอนสามเทอมที่คล้ายคลึงกับลำดับที่แน่นอนห้าเทอม:

${\displaystyle 0\to H^{0}(A)\to E_{1}^{0,0}\to E_{1}^{0,1}.}$

ในทำนองเดียวกันสำหรับลำดับสเปกตรัมโฮโมโลจี${\displaystyle E_{p,q}^{2}\Rightarrow H_{n}(A)}$เราจะได้ลำดับที่แน่นอน:

${\displaystyle H_{2}(A)\to E_{2,0}^{2}\xrightarrow {d_{2}} E_{0,1}^{2}\to H_{1}(A)\to E_{1,0}^{2}\to 0}$

ทั้งในกรณีโฮโมโลจิคัลและโคโฮโมโลจิคัล ยังมีลำดับที่แน่นอนที่มีดีกรีต่ำสำหรับลำดับสเปกตรัมในควอดแรนต์ที่สาม เมื่อทราบว่าพจน์เพิ่มเติมของลำดับสเปกตรัมหายไป บางครั้งลำดับที่แน่นอนสามารถขยายออกไปได้อีก ตัวอย่างเช่นลำดับที่แน่นอนยาวที่เกี่ยวข้องกับลำดับที่แน่นอนสั้นของคอมเพล็กซ์สามารถหาได้ด้วยวิธีนี้