วัตถุทางคณิตศาสตร์จะมีคุณสมบัติจุดตรึง ถ้า ฟังก์ชันทุกฟังก์ชันที่มีคุณสมบัติเหมาะสมจากไปยังตัวมันเอง มีจุดตรึงคำนี้มักใช้เพื่ออธิบายปริภูมิเชิงทอพอโลยีซึ่ง ฟังก์ชัน ต่อเนื่อง ทุก ฟังก์ชันมีจุดตรึง แต่การใช้งานอีกอย่างหนึ่งคือในทฤษฎีลำดับซึ่งเซตที่มีลำดับบางส่วนจะมีคุณสมบัติจุดตรึง ถ้าฟังก์ชันเพิ่มขึ้น ทุกฟังก์ชัน บนมีจุดตรึง ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle P}$${\displaystyle P}$

ให้เป็นวัตถุในหมวดหมู่รูปธรรมแล้วจะมีคุณสมบัติจุดตรึงถ้าทุกมอร์ฟิซึม (กล่าวคือ ทุกฟังก์ชัน ) มีจุดตรึง ${\displaystyle A}$${\displaystyle \mathbf {C} }$${\displaystyle A}$${\displaystyle f:A\to A}$

การใช้งานที่พบบ่อยที่สุดคือเมื่อเป็นหมวดหมู่ของปริภูมิเชิงทอพอโลยีปริภูมิเชิงทอพอโลยีจะมีคุณสมบัติจุดตรึงก็ต่อเมื่อทุกแผนที่ต่อเนื่องมีจุดตรึง ${\displaystyle \mathbf {C} =\mathbf {Top} }$${\displaystyle X}$${\displaystyle f:X\to X}$

ในหมวดหมู่ของเซตวัตถุที่มีคุณสมบัติจุดตรึงคือเซตที่มีสมาชิกเพียงตัวเดียว

ช่วงปิด มีคุณสมบัติจุดตรึง: ให้เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง ถ้าหรือแล้วฟังก์ชันของเรามีจุดตรึงที่ 0 หรือ 1 ถ้าไม่เป็นเช่นนั้น แล้วและดังนั้นฟังก์ชันเป็นฟังก์ชันค่าจริงต่อเนื่องซึ่งมีค่าเป็นบวกที่และค่าเป็นลบที่โดยทฤษฎีบทค่ากลางจะมีบางจุดที่ซึ่งก็คือและดังนั้นจึงเป็นจุดตรึง ${\displaystyle [0,1]}$${\displaystyle f:[0,1]\to [0,1]}$${\displaystyle f(0)=0}$${\displaystyle f(1)=1}$${\displaystyle f(0)>0}$${\displaystyle f(1)-1<0}$${\displaystyle f(g)=f(x)-x}$${\displaystyle x=0}$${\displaystyle x=1}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle g(x_{0})=0}$${\displaystyle f(x)-x=0}$${\displaystyle x_{0}}$

ช่วงเปิดไม่มีคุณสมบัติจุดตรึง ฟังก์ชันการแมปไม่มีจุดตรึงบนช่วงนั้น ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$${\displaystyle (0,1)}$

ช่วงปิดเป็นกรณีพิเศษของวงกลมปิดซึ่งในมิติจำกัดใดๆ ก็มีคุณสมบัติจุดตรึงตามทฤษฎีบทจุดตรึงของบราวเวอร์

รีแทร็กต์ ของปริภูมิที่มีคุณสมบัติจุดตรึง ก็มีคุณสมบัติจุดตรึงเช่นกัน เนื่องจากถ้าเป็นรีแทร็กต์ และเป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง ใดๆ แล้ว การประกอบ(โดยที่คือการรวม) จะมีจุดตรึง นั่นคือ มีอยู่เช่นนั้นเนื่องจากเรามีว่าและดังนั้น${\displaystyle A}$${\displaystyle X}$${\displaystyle r:X\to A}$${\displaystyle f:A\to A}$${\displaystyle i\circ f\circ r:X\to X}$${\displaystyle i:A\to X}$${\displaystyle x\in A}$${\displaystyle f\circ r(x)=x}$${\displaystyle x\in A}$${\displaystyle r(x)=x}$${\displaystyle f(x)=x.}$

ปริภูมิเชิงทอพอโลยีจะมีคุณสมบัติจุดตรึงก็ต่อเมื่อแผนที่เอกลักษณ์ ของ ปริภูมิ นั้นเป็นสากล

โดยทั่วไปแล้ว ผลคูณของปริภูมิที่มีคุณสมบัติจุดตรึง จะไม่มีคุณสมบัติจุดตรึง แม้ว่าปริภูมิหนึ่งจะเป็นช่วงจำนวนจริงปิดก็ตาม

FPP เป็นค่าคงที่เชิงทอพอโลยี กล่าวคือ ถูกรักษาไว้โดยโฮมีโอเมอร์ฟิซึม ใดๆ นอกจากนี้ FPP ยังถูกรักษาไว้โดยการหดกลับ ใดๆ ด้วย

ตามทฤษฎีบทจุดตรึงของ Brouwer เซตย่อย ที่กระชับและนูน ทุกเซตในปริภูมิยุคลิดจะมี FPP โดยทั่วไปแล้ว ตามทฤษฎีบทจุดตรึงของ Schauder-Tychonoff เซตย่อยที่กระชับและนูนทุกเซตในปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีแบบนูนเฉพาะที่ก็มี FPP ความกระชับเพียงอย่างเดียวไม่ได้หมายความถึง FPP และความนูนก็ไม่ใช่คุณสมบัติเชิงทอพอโลยีด้วยซ้ำ ดังนั้นจึงสมเหตุสมผลที่จะถามว่าจะกำหนดลักษณะเชิงทอพอโลยีของ FPP ได้อย่างไร ในปี 1932 Borsukถามว่าความกระชับร่วมกับความสามารถในการหดตัวจะเป็นเงื่อนไขที่เพียงพอสำหรับ FPP หรือไม่ ปัญหานี้ยังคงเปิดอยู่เป็นเวลา 20 ปี จนกระทั่ง Kinoshita พิสูจน์ได้ว่าข้อสันนิษฐานนี้ไม่ถูกต้อง โดยเขาพบตัวอย่างของปริภูมิที่กระชับและหดตัวได้โดยไม่มี FPP ^{[ 1 ]}