ในเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์รูปแบบความโค้งอธิบายถึงความโค้งของการเชื่อมต่อบนบันเดิลหลักเทนเซอร์ความโค้งของรีมันน์ในเรขาคณิตแบบรีมันน์สามารถพิจารณาได้ว่าเป็นกรณีพิเศษ

ให้Gเป็นกลุ่ม Lieที่มีพีชคณิต Lie และP → Bเป็นบันเดิลหลักของ Gให้ ω เป็นการเชื่อมต่อ EhresmannบนP (ซึ่งเป็นฟอร์มหนึ่งค่าบนP ) ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

ดังนั้นรูปแบบความโค้งจึงเป็น2-ฟอร์มที่มีค่าบนPซึ่งกำหนดโดย ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle \Omega =d\omega +{1 \over 2}[\omega \wedge \omega ]=D\omega .}$

(ในข้อตกลงอื่น 1/2 ไม่ปรากฏ) ในที่นี้หมายถึงอนุพันธ์ภายนอกซึ่งกำหนดไว้ในบทความ " รูปแบบค่าพีชคณิตลี " และDหมายถึงอนุพันธ์โคแวเรียนต์ภายนอก กล่าว อีกนัยหนึ่งคือ^{[ 1 ]}${\displaystyle d}$${\displaystyle [\cdot \wedge \cdot ]}$

${\displaystyle \,\Omega (X,Y)=d\omega (X,Y)+{1 \over 2}[\omega (X),\omega (Y)]}$

โดยที่XและYเป็นเวกเตอร์สัมผัสกับจุด P

นอกจากนี้ยังมีการแสดงออกอีกแบบหนึ่งสำหรับ Ω: ถ้าX , Yเป็นฟิลด์เวกเตอร์แนวนอนบนPแล้ว^{[ 2 ]}

${\displaystyle \sigma \โอเมก้า (X,Y)=-\โอเมก้า ([X,Y])=-[X,Y]+h[X,Y]}$

โดยที่hZหมายถึงส่วนประกอบแนวนอนของZทางด้านขวา เราได้ระบุสนามเวกเตอร์แนวตั้งและองค์ประกอบพีชคณิตลีที่สร้างมันขึ้นมา ( สนามเวกเตอร์พื้นฐาน ) และคือส่วนกลับของตัวประกอบการทำให้เป็นมาตรฐานที่ใช้ตามธรรมเนียมในสูตรสำหรับอนุพันธ์ภายนอก ${\displaystyle \sigma \in \{1,2\}}$

กล่าวได้ว่าการเชื่อมต่อเป็นแบบราบหากความโค้งของมันเป็นศูนย์: Ω = 0 หรือกล่าวอีกนัยหนึ่ง การเชื่อมต่อจะเป็นแบบราบหากกลุ่มโครงสร้างสามารถลดรูปไปเป็นกลุ่มพื้นฐานเดียวกันแต่มีโทโพโลยีแบบไม่ต่อเนื่องได้

ถ้าE → Bเป็นเวกเตอร์บันเดิลแล้ว เราสามารถมอง ω เป็นเมทริกซ์ของ 1-ฟอร์มได้เช่นกัน และสูตรข้างต้นจะกลายเป็นสมการโครงสร้างของ E คาร์ตัน:

${\displaystyle \,\Omega =d\omega +\omega \wedge \omega ,}$

โดยที่ ผลคูณลิ่มอยู่ที่ไหนกล่าวให้แม่นยำยิ่งขึ้น ถ้าและแทนส่วนประกอบของ ω และ Ω ตามลำดับ (ดังนั้นแต่ละเป็นรูปแบบ 1 ปกติ และแต่ละเป็นรูปแบบ 2 ปกติ) แล้ว ${\displaystyle \wedge }$${\displaystyle {\โอเมก้า ^{i}__{j}}$${\displaystyle {\โอเมก้า ^{i}__{j}}$${\displaystyle {\โอเมก้า ^{i}__{j}}$${\displaystyle {\โอเมก้า ^{i}__{j}}$

${\displaystyle \Omega _{j}^{i}=d{\omega ^{i}}_{j}+\sum _{k}{\omega ^{i}}_{k}\wedge {\omega ^{k}}_{j}.}$

ตัวอย่างเช่น สำหรับกลุ่มสัมผัสของแมนิโฟลด์แบบรีมันน์กลุ่มโครงสร้างคือ O( n ) และ Ω คือ 2-ฟอร์มที่มีค่าในพีชคณิตลีของ O( n ) กล่าวคือเมทริกซ์ปฏิสมมาตรในกรณีนี้ ฟอร์ม Ω เป็นคำอธิบายทางเลือกของเทนเซอร์ความโค้งกล่าวคือ

${\displaystyle \,R(X,Y)=\โอเมก้า (X,Y),}$

โดยใช้สัญลักษณ์มาตรฐานสำหรับเทนเซอร์ความโค้งแบบรีมันน์

ถ้าคือ 1-ฟอร์มเวกเตอร์มาตรฐานบนเฟรมบันเดิลแรงบิดของฟอร์มการเชื่อมต่อคือ 2-ฟอร์มเวกเตอร์ที่กำหนดโดยสมการโครงสร้าง ${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \Theta }$${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle \Theta =d\theta +\omega \wedge \theta =D\theta ,}$

โดยที่D ข้างต้น หมายถึงอนุพันธ์ ร่วมแปรภายนอก

เอกลักษณ์แรกของ Bianchi มีรูปแบบดังนี้

${\displaystyle D\Theta =\Omega \wedge \theta .}$

เอกลักษณ์ประการที่สองของบิอังคีมีรูปแบบดังนี้

${\displaystyle \,D\Omega =0}$

และใช้ได้กับทุกการเชื่อมต่อในชุดหลักโดย ทั่วไป

เอกลักษณ์ของเบียนคีสามารถเขียนในรูปแบบเทนเซอร์ได้ดังนี้: ${\displaystyle R_{abmn;\ell }+R_{ab\ell m;n}+R_{abn\ell ;m}=0.}$

เอกลักษณ์เบียนคีแบบย่อถูกนำมาใช้เพื่อหาเทนเซอร์ของไอน์สไตน์ในสมการสนามของไอน์สไตน์ซึ่งเป็นองค์ประกอบสำคัญใน ทฤษฎีสั ม พัทธภาพทั่วไป

• การเชื่อมต่อ (ชุดหลัก)
• บทนำเบื้องต้นเกี่ยวกับคณิตศาสตร์ของปริภูมิเวลาโค้ง
• เอกลักษณ์ของ Bianchi ที่ถูกทำสัญญา
• เทนเซอร์ของไอน์สไตน์
• สมการสนามของไอน์สไตน์
• ทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป
• รูปแบบเชิร์น-ไซมอนส์
• ความโค้งของแมนิโฟลด์แบบรีมันน์
• ทฤษฎีเกจ