การแจกแจงความน่าจะเป็นก่อนหน้า (มักเรียกง่ายๆ ว่า ความน่า จะเป็นก่อนหน้าการแจกแจงก่อนหน้าหรือก่อนหน้า ) ของปริมาณที่ไม่แน่นอน คือการแจกแจงความน่าจะ เป็นที่สมมติขึ้น ก่อนที่จะนำหลักฐานมาพิจารณา ตัวอย่างเช่น ก่อนหน้าอาจเป็นการแจกแจงความน่าจะเป็นที่แสดงถึงสัดส่วนสัมพัทธ์ของผู้มีสิทธิเลือกตั้งที่จะลงคะแนนให้แก่นักการเมืองคนใดคนหนึ่งในการเลือกตั้งในอนาคต ปริมาณที่ไม่ทราบค่าอาจเป็นพารามิเตอร์ของแบบจำลองหรือตัวแปรแฝงมากกว่าตัวแปรที่สังเกตได้

ในสถิติแบบเบย์เซียนกฎของเบย์กำหนดวิธีการปรับปรุงค่าความน่าจะเป็นก่อนหน้า (prior) ด้วยข้อมูลใหม่เพื่อให้ได้การแจกแจงความน่าจะเป็นภายหลัง (posterior probability distribution ) ซึ่งเป็นการแจกแจงแบบมีเงื่อนไขของปริมาณที่ไม่แน่นอนเมื่อได้รับข้อมูลใหม่ ในอดีต การเลือกค่าความน่าจะเป็นก่อนหน้ามักถูกจำกัดให้อยู่ในตระกูล คอนจูเกต ของฟังก์ชันความน่าจะ เป็นที่กำหนด เพื่อให้ได้ค่าความน่าจะเป็นภายหลังที่สามารถจัดการได้ในตระกูลเดียวกัน อย่างไรก็ตาม การใช้งาน วิธีการ มาร์คอฟเชน มอนเตคาร์โล อย่างแพร่หลาย ทำให้ปัญหานี้ลดลง

มีหลายวิธีในการสร้างการแจกแจงความน่าจะเป็นล่วงหน้า^{[ 1 ]}ในบางกรณี ความน่าจะเป็นล่วงหน้าอาจถูกกำหนดจากข้อมูลในอดีต เช่น การทดลองก่อนหน้านี้ ความน่าจะเป็นล่วงหน้ายังสามารถได้มาจากการประเมินตามความรู้สึกส่วนตัวของผู้เชี่ยวชาญที่มีประสบการณ์^{[ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]}เมื่อไม่มีข้อมูลความน่าจะเป็นล่วงหน้าที่ไม่มีข้อมูลอาจถูกนำมาใช้ตามหลักการของความไม่แยแส [ ^{5 ] [ 6 ] ใน}การใช้งานสมัยใหม่ ความน่าจะเป็นล่วงหน้ามักถูกเลือกจากคุณสมบัติเชิงกล เช่นการทำให้เป็นระเบียบและการเลือกคุณลักษณะ^{[ 7 ] [ 8 ] [ 9 ]}

การแจกแจงความน่าจะเป็นก่อนหน้าของพารามิเตอร์แบบจำลองมักจะขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์ของตัวมันเอง ความไม่แน่นอนเกี่ยวกับพารามิเตอร์ เหล่านี้ สามารถแสดงออกมาในรูปของ การแจกแจงความน่าจะเป็น แบบไฮเปอร์ ไพรเออร์ ได้ ตัวอย่างเช่น หากใช้การแจกแจงแบบเบตาเพื่อจำลองการแจกแจงของพารามิเตอร์pของการแจกแจงแบบเบอร์นูลลีแล้ว:

• pคือพารามิเตอร์ของระบบพื้นฐาน (การแจกแจงแบบเบอร์นูลลี) และ
• αและβเป็นพารามิเตอร์ของการแจกแจงแบบก่อนหน้า (การแจกแจงแบบเบต้า) ดังนั้นจึงเรียกว่าพารามิเตอร์เสริม

โดยหลักการแล้ว ไพรเออร์สามารถแยกย่อยออกเป็นระดับการแจกแจงแบบมีเงื่อนไขได้หลายระดับ ซึ่งเรียกว่า ไพรเออร์ แบบลำดับชั้น^{[ 10 ]}

ค่าความน่าจะเป็นล่วงหน้าที่ให้ข้อมูล ( informative prior)แสดงถึงข้อมูลที่เฉพาะเจาะจงและแน่นอนเกี่ยวกับตัวแปร ตัวอย่างเช่น การแจกแจงความน่าจะเป็นล่วงหน้าสำหรับอุณหภูมิเวลาเที่ยงวันพรุ่งนี้ แนวทางที่เหมาะสมคือการทำให้ค่าความน่าจะเป็นล่วงหน้า เป็นการ แจกแจงแบบปกติโดย มี ค่า เฉลี่ยเท่ากับ อุณหภูมิเวลาเที่ยงของวันนี้ และมีค่าความแปรปรวนเท่ากับค่าความแปรปรวนของอุณหภูมิในบรรยากาศในแต่ละวัน หรือการแจกแจงของอุณหภูมิในวันนั้นของปี

ตัวอย่างนี้มีคุณสมบัติร่วมกันกับค่าความน่าจะเป็นก่อนหน้า (prior) หลายๆ ค่า กล่าวคือ ค่าความน่าจะเป็นภายหลัง (posterior) จากปัญหาหนึ่ง (อุณหภูมิวันนี้) จะกลายเป็นค่าความน่าจะเป็นก่อนหน้า (prior) สำหรับอีกปัญหาหนึ่ง (อุณหภูมิพรุ่งนี้) หลักฐานที่มีอยู่ก่อนแล้วซึ่งได้ถูกนำมาพิจารณาแล้วเป็นส่วนหนึ่งของค่าความน่าจะเป็นก่อนหน้า และเมื่อมีหลักฐานสะสมมากขึ้น ค่าความน่าจะเป็นภายหลังจะถูกกำหนดโดยหลักฐานเหล่านั้นเป็นส่วนใหญ่ มากกว่าสมมติฐานดั้งเดิมใดๆ ตราบใดที่สมมติฐานดั้งเดิมนั้นยอมรับความเป็นไปได้ของสิ่งที่หลักฐานชี้ให้เห็น คำว่า "ค่าความน่าจะเป็นก่อนหน้า" (prior) และ "ค่าความน่าจะเป็นภายหลัง" (posterior) โดยทั่วไปแล้วจะสัมพันธ์กับข้อมูลหรือการสังเกตเฉพาะอย่าง

ค่าความน่าจะเป็นล่วงหน้าแบบให้ข้อมูลน้อย ( Weakly Informative Prior)แสดงถึงข้อมูลบางส่วนเกี่ยวกับตัวแปร ซึ่งจะนำการวิเคราะห์ไปสู่คำตอบที่สอดคล้องกับความรู้ที่มีอยู่โดยไม่จำกัดผลลัพธ์มากเกินไป และป้องกันการประมาณค่าที่ผิดเพี้ยน ตัวอย่างเช่น เมื่อกำหนดค่าความน่าจะเป็นล่วงหน้าสำหรับอุณหภูมิเที่ยงวันพรุ่งนี้ในเซนต์หลุยส์ ให้ใช้การแจกแจงแบบปกติที่มีค่าเฉลี่ย 50 องศาฟาเรนไฮต์และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 40 องศา ซึ่งจำกัดอุณหภูมิให้อยู่ในช่วง (10 องศา, 90 องศา) อย่างหลวมๆ โดยมีโอกาสน้อยที่จะต่ำกว่า -30 องศาหรือสูงกว่า 130 องศา จุดประสงค์ของค่าความน่าจะเป็นล่วงหน้าแบบให้ข้อมูลน้อยคือเพื่อการควบคุม (Regularization ) กล่าวคือ เพื่อให้การอนุมานอยู่ในช่วงที่เหมาะสม

ความ น่าจะเป็นล่วงหน้า ที่ไม่ให้ ข้อมูล แบน ราบหรือกระจาย แสดงถึงข้อมูลที่คลุมเครือ หรือทั่วไปเกี่ยวกับตัวแปร^{[ 5 ]}คำว่า "ความน่าจะเป็นล่วงหน้าที่ไม่ให้ข้อมูล" อาจเป็นคำที่ไม่ถูกต้องนัก ความน่าจะเป็นล่วงหน้าดังกล่าวอาจเรียกว่าความน่าจะเป็นล่วงหน้าที่ไม่ค่อยให้ข้อมูลหรือความน่าจะเป็นล่วงหน้าแบบวัตถุประสงค์ กล่าวคือ ความน่าจะเป็นล่วงหน้าที่ไม่ได้มาจากการสอบถามแบบอัตวิสัย

ค่าความน่าจะเป็นล่วงหน้าแบบไม่ให้ข้อมูล (Uninformative priors) สามารถแสดงข้อมูล "เชิงวัตถุวิสัย" เช่น "ตัวแปรเป็นบวก" หรือ "ตัวแปรน้อยกว่าค่าจำกัดบางค่า" กฎที่ง่ายที่สุดและเก่าแก่ที่สุดในการกำหนดค่าความน่าจะเป็นล่วงหน้าแบบไม่ให้ข้อมูลคือหลักการของความไม่แตกต่าง (Principle of indifference ) ซึ่งกำหนดความน่าจะเป็นเท่ากันให้กับทุกความเป็นไปได้ ในปัญหาการประมาณค่าพารามิเตอร์ การใช้ค่าความน่าจะเป็นล่วงหน้าแบบไม่ให้ข้อมูลมักให้ผลลัพธ์ที่ไม่แตกต่างจากการวิเคราะห์ทางสถิติแบบดั้งเดิมมากนัก เนื่องจากฟังก์ชันความน่าจะเป็นมักให้ข้อมูลมากกว่าค่าความน่าจะเป็นล่วงหน้าแบบไม่ให้ข้อมูล

มีการพยายามค้นหาความน่าจะเป็นล่วงหน้า (a priori probabilities) กล่าวคือ การแจกแจงความน่าจะเป็นในแง่ใดแง่หนึ่งที่จำเป็นตามหลักตรรกะของธรรมชาติของสถานะความไม่แน่นอน ซึ่งเป็นหัวข้อถกเถียงทางปรัชญา โดยนักสถิติแบบเบย์เซียนแบ่งออกเป็นสองสำนักใหญ่ ๆ คือ "นักสถิติแบบเบย์เซียนเชิงวัตถุวิสัย" ซึ่งเชื่อว่าความน่าจะเป็นล่วงหน้าดังกล่าวมีอยู่จริงในหลายสถานการณ์ที่เป็นประโยชน์ และ "นักสถิติแบบเบย์เซียนเชิงอัตวิสัย" ซึ่งเชื่อว่าในทางปฏิบัติ ความน่าจะเป็นล่วงหน้ามักแสดงถึงการตัดสินใจเชิงอัตวิสัยที่ไม่สามารถพิสูจน์ได้อย่างเข้มงวด (Williamson 2010) บางทีข้อโต้แย้งที่แข็งแกร่งที่สุดสำหรับลัทธิเบย์เซียนเชิงวัตถุวิสัยนั้นมาจากEdwin T. Jaynesโดยอิงจากผลที่ตามมาของสมมาตรและหลักการของเอนโทรปีสูงสุดเป็นหลัก

ตัวอย่างของความน่าจะเป็นล่วงหน้า (a priori prior) ตามที่ Jaynes (2003) เสนอไว้ ลองพิจารณาสถานการณ์ที่เรารู้ว่าลูกบอลถูกซ่อนอยู่ใต้ถ้วยหนึ่งในสามใบ คือ A, B หรือ C แต่ไม่มีข้อมูลอื่นใดเกี่ยวกับตำแหน่งของลูกบอล ในกรณีนี้ ความน่าจะเป็นล่วงหน้าแบบสม่ำเสมอ (uniform prior)ของp ( A )  = p ( B )  = p ( C )  = 1/3 ดูเหมือนจะเป็นทางเลือกที่สมเหตุสมผลที่สุด ในเชิงวิชาการมากขึ้น เราจะเห็นว่าปัญหายังคงเหมือนเดิมหากเราสลับป้ายกำกับ ("A", "B" และ "C") ของถ้วย ดังนั้นจึงเป็นเรื่องแปลกที่จะเลือกความน่าจะเป็นล่วงหน้าที่การสลับป้ายกำกับจะทำให้การคาดการณ์ของเราเกี่ยวกับถ้วยที่ลูกบอลจะอยู่ใต้เปลี่ยนไป ความน่าจะเป็นล่วงหน้าแบบสม่ำเสมอเป็นเพียงความน่าจะเป็นล่วงหน้าเดียวที่รักษาความไม่เปลี่ยนแปลงนี้ไว้ หากเรายอมรับหลักการไม่เปลี่ยนแปลงนี้ เราจะเห็นว่าความน่าจะเป็นล่วงหน้าแบบสม่ำเสมอเป็นความน่าจะเป็นล่วงหน้าที่ถูกต้องตามหลักตรรกะในการแสดงสถานะความรู้ดังกล่าว ความรู้เบื้องต้นนี้เป็น "ความรู้เชิงวัตถุวิสัย" ในแง่ของการเป็นตัวเลือกที่ถูกต้องในการแสดงสถานะความรู้เฉพาะอย่าง แต่ความรู้เบื้องต้นนี้ไม่ใช่ความรู้เชิงวัตถุวิสัยในแง่ของการเป็นคุณลักษณะของโลกที่ไม่ขึ้นกับผู้สังเกต: ในความเป็นจริงลูกบอลมีอยู่ภายใต้ถ้วยเฉพาะ และการพูดถึงความน่าจะเป็นในสถานการณ์นี้จะสมเหตุสมผลก็ต่อเมื่อมีผู้สังเกตที่มีความรู้จำกัดเกี่ยวกับระบบ^{[ 11 ]}

ตัวอย่างที่ก่อให้เกิดข้อโต้แย้งมากขึ้น เจย์นส์ได้ตีพิมพ์ข้อโต้แย้งโดยอิงจากความไม่เปลี่ยนแปลงของค่าก่อนหน้าภายใต้การเปลี่ยนแปลงของพารามิเตอร์ ซึ่งชี้ให้เห็นว่าค่าก่อนหน้าที่แสดงถึงความไม่แน่นอนอย่างสมบูรณ์เกี่ยวกับความน่าจะเป็นควรเป็นค่า^ก่อนหน้าของฮัลเดนp ^{− 1} (1 − p ) ^{− 1} [ ^{12 ]} ตัวอย่างที่เจย์นส์ยกมาคือการค้นหาสารเคมีในห้องปฏิบัติการและถามว่ามันจะละลายในน้ำในการทดลองซ้ำหรือไม่ ค่าก่อนหน้าของฮัลเดน^{[ 13 ]}ให้ความสำคัญกับค่าก่อนหน้ามากที่สุด  ${\displaystyle p=0}$และ${\displaystyle p=1}$ซึ่งบ่งชี้ว่าตัวอย่างจะละลายทุกครั้งหรือจะไม่ละลายเลยด้วยความน่าจะเป็นเท่ากัน อย่างไรก็ตาม หากสังเกตเห็นว่าตัวอย่างของสารเคมีละลายในการทดลองหนึ่งและไม่ละลายในการทดลองอื่น ค่าความน่าจะเป็นล่วงหน้านี้จะถูกปรับปรุงให้เป็นการแจกแจงแบบเอกรูปในช่วง [0, 1] ซึ่งได้มาจากการใช้ทฤษฎีบทของเบย์สกับชุดข้อมูลที่ประกอบด้วยการสังเกตการละลายหนึ่งครั้งและการสังเกตการไม่ละลายหนึ่งครั้ง โดยใช้ค่าความน่าจะเป็นล่วงหน้าข้างต้น ค่าความน่าจะเป็นล่วงหน้าของ Haldane เป็นการแจกแจงความน่าจะเป็นล่วงหน้าที่ไม่เหมาะสม (หมายความว่ามีมวลอนันต์) Harold Jeffreysได้คิดค้นวิธีการที่เป็นระบบสำหรับการออกแบบค่าความน่าจะเป็นล่วงหน้าที่ไม่ให้ข้อมูล เช่น ค่าความน่าจะเป็นล่วงหน้าของ Jeffreys p ^{− 1/2} (1 − p ) ^{− 1/2}สำหรับตัวแปรสุ่ม Bernoulli  

สามารถสร้างไพรเออร์ซึ่งเป็นสัดส่วนกับการวัดของฮาร์ ได้ หากพื้นที่พารามิเตอร์Xมีโครงสร้างกลุ่มตามธรรมชาติซึ่งทำให้สถานะความรู้แบบเบย์เซียนของเราไม่เปลี่ยนแปลง^{[ 12 ]}สิ่งนี้สามารถมองได้ว่าเป็นการวางนัยทั่วไปของหลักการไม่เปลี่ยนแปลงที่ใช้ในการพิสูจน์ไพรเออร์แบบสม่ำเสมอเหนือถ้วยทั้งสามในตัวอย่างข้างต้น ตัวอย่างเช่น ในฟิสิกส์ เราอาจคาดหวังว่าการทดลองจะให้ผลลัพธ์เดียวกันโดยไม่คำนึงถึงการเลือกจุดกำเนิดของระบบพิกัด สิ่งนี้เหนี่ยวนำให้เกิดโครงสร้างกลุ่มของกลุ่มการแปลบนXซึ่งกำหนดความน่าจะเป็นของไพรเออร์เป็นไพรเออร์ที่ไม่เหมาะสมคงที่ ในทำนองเดียวกัน การวัดบางอย่างไม่เปลี่ยนแปลงตามธรรมชาติกับการเลือกมาตราส่วนที่กำหนด (เช่น ไม่ว่าจะใช้เซนติเมตรหรือนิ้ว ผลลัพธ์ทางกายภาพควรเท่ากัน) ในกรณีเช่นนี้ กลุ่มมาตราส่วนเป็นโครงสร้างกลุ่มตามธรรมชาติ และไพรเออร์ที่สอดคล้องกันบนXเป็นสัดส่วนกับ 1/ xบางครั้งการใช้การวัดของฮาร์แบบซ้ายไม่เปลี่ยนแปลงหรือขวาไม่เปลี่ยนแปลงก็มีความสำคัญ ตัวอย่างเช่น การวัดของฮาร์แบบซ้ายไม่เปลี่ยนแปลงและขวาไม่เปลี่ยนแปลงบนกลุ่มแอฟฟินไม่เท่ากัน เบอร์เกอร์ (1985, หน้า 413) โต้แย้งว่ามาตรวัดฮาร์ที่ไม่เปลี่ยนแปลงทางขวาเป็นตัวเลือกที่ถูกต้อง

อีกแนวคิดหนึ่ง ซึ่งได้รับการสนับสนุนโดยEdwin T. Jaynesคือการใช้หลักการของเอนโทรปีสูงสุด (MAXENT) แรงจูงใจคือเอนโทรปีของแชนนอนของการแจกแจงความน่าจะเป็นนั้นวัดปริมาณข้อมูลที่มีอยู่ในการแจกแจง ยิ่งเอนโทรปีมากเท่าไร การแจกแจงนั้นก็จะให้ข้อมูลน้อยลงเท่านั้น ดังนั้น โดยการเพิ่มเอนโทรปีให้สูงสุดเหนือชุดของการแจกแจงความน่าจะเป็นที่เหมาะสมบนXเราจะพบการแจกแจงที่มีข้อมูลน้อยที่สุดในแง่ที่ว่ามันประกอบด้วยข้อมูลน้อยที่สุดที่สอดคล้องกับข้อจำกัดที่กำหนดชุดนั้น ตัวอย่างเช่น ไพรเออร์ที่มีเอนโทรปีสูงสุดบนปริภูมิแบบไม่ต่อเนื่องโดยกำหนดเพียงว่าความน่าจะเป็นถูกทำให้เป็นมาตรฐานที่ 1 คือไพรเออร์ที่กำหนดความน่าจะเป็นเท่ากันให้กับแต่ละสถานะ และในกรณีต่อเนื่อง ไพรเออร์ที่มีเอนโทรปีสูงสุด โดยกำหนดว่าความหนาแน่นถูกทำให้เป็นมาตรฐานโดยมีค่าเฉลี่ยเป็นศูนย์และความแปรปรวนเป็นหนึ่ง คือการแจกแจงปกติมาตรฐาน หลักการของเอนโทรปีไขว้ต่ำสุดเป็นการขยาย MAXENT ไปสู่กรณีของการ "ปรับปรุง" การแจกแจงไพรเออร์แบบใดๆ ด้วยข้อจำกัดที่เหมาะสมในแง่ของเอนโทรปีสูงสุด

แนวคิดที่เกี่ยวข้องคือ " ไพรเออร์อ้างอิง"ซึ่งนำเสนอโดยJosé-Miguel Bernardoแนวคิดนี้คือการเพิ่มค่าความแตกต่าง Kullback–Leibler ที่คาดหวัง ของความน่าจะเป็นภายหลังเทียบกับไพรเออร์ให้สูงสุด ซึ่งจะเพิ่มข้อมูลภายหลังที่คาดหวังเกี่ยวกับX ให้สูงสุด เมื่อความหนาแน่นของไพรเออร์คือp ( x ) ดังนั้น ในแง่หนึ่งp ( x ) จึงเป็นไพรเออร์ที่ "ให้ข้อมูลน้อยที่สุด" เกี่ยวกับ X ไพรเออร์อ้างอิงถูกกำหนดในขีดจำกัดเชิงอะซิมโทติก กล่าวคือ เราพิจารณาขีดจำกัดของไพรเออร์ที่ได้มาเมื่อจำนวนจุดข้อมูลเข้าสู่ค่าอนันต์ ในกรณีปัจจุบัน ความแตกต่าง KL ระหว่างความน่าจะเป็นภายหลังและความน่าจะเป็นภายหลังกำหนดโดย $${\displaystyle KL=\int p(t)\int p(x\mid t)\log {\frac {p(x\mid t)}{p(x)}}\,dx\,dt}$$

ที่นี่,${\displaystyle t}$เป็นสถิติที่เพียงพอสำหรับพารามิเตอร์บางตัว${\displaystyle x}$อินทิกรัลภายในคือไดเวอร์เจนซ์ KL ระหว่างค่าหลัง${\displaystyle p(x\mid t)}$และก่อนหน้านี้${\displaystyle p(x)}$การแจกแจง และผลลัพธ์คือค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักของค่าทั้งหมดของ${\displaystyle t}$โดยการแบ่งลอการิทึมออกเป็นสองส่วน สลับลำดับของอินทิกรัลในส่วนที่สอง และสังเกตว่า$${\displaystyle \log \,[p(x)]}$$ไม่ขึ้นอยู่กับ${\displaystyle t}$ผลผลิต $${\displaystyle KL=\int p(t)\int p(x\mid t)\log[p(x\mid t)]\,dx\,dt\,-\,\int \log[p(x)]\,\int p(t)p(x\mid t)\,dt\,dx}$$

อินทิกรัลภายในในส่วนที่สองคืออินทิกรัลเหนือ${\displaystyle t}$ของความหนาแน่นร่วม${\displaystyle p(x,t)}$นี่คือการแจกแจงส่วนขอบ${\displaystyle p(x)}$ดังนั้นเราจึงมี $${\displaystyle KL=\int p(t)\int p(x\mid t)\log[p(x\mid t)]\,dx\,dt\,-\,\int p(x)\log[p(x)]\,dx}$$

ตอนนี้เราใช้แนวคิดของเอนโทรปี ซึ่งในกรณีของการแจกแจงความน่าจะเป็น เอนโทรปีคือค่าคาดหวังติดลบของลอการิทึมของมวลความน่าจะเป็นหรือฟังก์ชันความหนาแน่น${\textstyle H(x)=-\int p(x)\log[p(x)]\,dx.}$ เมื่อนำสิ่งนี้ไปใช้ในสมการสุดท้ายจะได้ $${\displaystyle KL=-\int p(t)H(x\mid t)\,dt+\,H(x)}$$

กล่าวอีกนัยหนึ่ง KL คือค่าคาดหวังติดลบเมื่อเทียบกับ${\displaystyle t}$ของเอนโทรปีของ${\displaystyle x}$โดยมีเงื่อนไขว่า${\displaystyle t}$บวกกับเอนโทรปีส่วนเพิ่ม (เช่น เอนโทรปีที่ไม่ขึ้นกับเงื่อนไข) ของ${\displaystyle x}$ในกรณีจำกัดที่ขนาดตัวอย่างมีแนวโน้มเข้าสู่ค่าอนันต์ทฤษฎีบทเบิร์นสไตน์-ฟอน มิเซสระบุว่าการแจกแจงของ${\displaystyle x}$โดยมีเงื่อนไขว่าค่าที่สังเกตได้นั้นต้องเป็นไปตามที่กำหนด${\displaystyle t}$เป็นการกระจายแบบปกติ โดยมีค่าความแปรปรวนเท่ากับส่วนกลับของข้อมูลฟิชเชอร์ณ ค่า 'จริง' ของ${\displaystyle x}$เอนโทรปีของฟังก์ชันความหนาแน่นปกติเท่ากับครึ่งหนึ่งของลอการิทึมของ${\displaystyle 2\pi ev}$ที่ไหน${\displaystyle v}$คือค่าความแปรปรวนของการกระจาย ในกรณีนี้จึงเป็นเช่นนั้น$${\displaystyle H=\log {\sqrt {\frac {2\pi e}{NI(x^{*})}}}}$$ที่ไหน${\displaystyle N}$คือขนาดตัวอย่างที่ใหญ่มากตามอำเภอใจ (ซึ่งข้อมูลของฟิชเชอร์เป็นสัดส่วนกับขนาดตัวอย่างนี้) และ${\displaystyle x*}$คือค่า 'ที่แท้จริง' เนื่องจากค่านี้ไม่ขึ้นอยู่กับ${\displaystyle t}$สามารถดึงออกมาจากอินทิกรัลได้ และเนื่องจากอินทิกรัลนี้อยู่เหนือปริภูมิความน่าจะเป็น จึงเท่ากับหนึ่ง ดังนั้นเราจึงสามารถเขียนรูปแบบเชิงอะซิมโทติกของ KL ได้ดังนี้ $${\displaystyle KL=-\log \left(1{\sqrt {kI(x^{*})}}\right)-\,\int p(x)\log[p(x)]\,dx}$$ ที่ไหน${\displaystyle k}$เป็นสัดส่วนกับขนาดตัวอย่าง (ซึ่งมีขนาดใหญ่มากในเชิงอะซิมโทติก) เราไม่ทราบค่าของ${\displaystyle x*}$อันที่จริงแล้ว แนวคิดนี้ขัดแย้งกับปรัชญาของการอนุมานแบบเบย์เซียน ซึ่งค่า "จริง" ของพารามิเตอร์จะถูกแทนที่ด้วยการแจกแจงแบบก่อนหน้าและแบบภายหลัง ดังนั้นเราจึงลบออก${\displaystyle x*}$โดยการแทนที่ด้วย${\displaystyle x}$และนำค่าที่คาดหวังของเอนโทรปีปกติมาใช้ ซึ่งเราได้มาจากการคูณด้วย${\displaystyle p(x)}$และการบูรณาการเข้าด้วยกัน${\displaystyle x}$ซึ่งทำให้เราสามารถรวมลอการิทึมเข้าด้วยกันได้ผลลัพธ์ดังนี้ $${\displaystyle KL=-\int p(x)\log \left[{\frac {p(x)}{\sqrt {kI(x)}}}\right]\,dx}$$

นี่คือความแตกต่างแบบ KL กึ่งๆ ("กึ่งๆ" ในที่นี้หมายถึงว่ารากที่สองของข้อมูลฟิชเชอร์อาจเป็นแกนหลักของการแจกแจงที่ไม่เหมาะสม) เนื่องจากมีเครื่องหมายลบ เราจึงต้องลดค่านี้ให้น้อยที่สุดเพื่อเพิ่มความแตกต่างแบบ KL ให้มากที่สุด ซึ่งเป็นค่าที่เราเริ่มต้นไว้ ค่าต่ำสุดของสมการสุดท้ายเกิดขึ้นเมื่อการแจกแจงทั้งสองในอาร์กิวเมนต์ลอการิทึม ไม่ว่าจะเหมาะสมหรือไม่ก็ตาม ไม่แตกต่างกัน ซึ่งจะเกิดขึ้นเมื่อการแจกแจงก่อนหน้าเป็นสัดส่วนกับรากที่สองของข้อมูลฟิชเชอร์ของฟังก์ชันความน่าจะเป็น ดังนั้นในกรณีพารามิเตอร์เดียว ไพรเออร์อ้างอิงและไพรเออร์ของเจฟฟรีย์จึงเหมือนกัน แม้ว่าเจฟฟรีย์จะมีหลักการที่แตกต่างกันมากก็ตาม

โดยทั่วไปแล้ว ค่าความน่าจะเป็นล่วงหน้าแบบอ้างอิงมักเป็นค่าความน่าจะเป็นล่วงหน้าเชิงวัตถุประสงค์ที่นิยมใช้ในปัญหาหลายตัวแปร เนื่องจากกฎอื่นๆ (เช่นกฎของเจฟฟรีย์ ) อาจส่งผลให้ค่าความน่าจะเป็นล่วงหน้ามีพฤติกรรมที่เป็นปัญหาได้

การแจกแจงความน่าจะเป็นล่วงหน้าแบบวัตถุประสงค์อาจได้มาจากหลักการอื่นๆ เช่น ทฤษฎี สารสนเทศหรือทฤษฎีการเข้ารหัส (ดูเช่นความยาวคำอธิบายขั้นต่ำ ) หรือสถิติความถี่ (ที่เรียกว่าความน่าจะเป็นล่วงหน้าแบบจับคู่ ) ^{[ 14 ]}วิธีการดังกล่าวใช้ในทฤษฎีการอนุมานแบบอุปนัยของ Solomonoffการสร้างความน่าจะเป็นล่วงหน้าแบบวัตถุประสงค์ได้รับการแนะนำเมื่อเร็วๆ นี้ในชีวสารสนเทศ โดยเฉพาะอย่างยิ่งในการอนุมานในระบบชีววิทยา ของมะเร็ง ซึ่งขนาดตัวอย่างมีจำกัดและมี องค์ความรู้ล่วงหน้าจำนวนมากในวิธีการเหล่านี้ จะใช้เกณฑ์ตามทฤษฎีสารสนเทศ เช่น KL divergence หรือฟังก์ชัน log-likelihood สำหรับปัญหาการเรียนรู้แบบมีผู้กำกับดูแล แบบไบนารี ^{[ 15 ]}และปัญหาแบบจำลองผสม^{[ 16 ]}

ปัญหาเชิงปรัชญาที่เกี่ยวข้องกับไพรเออร์ที่ไม่ให้ข้อมูลนั้นเกี่ยวข้องกับการเลือกเมตริกหรือมาตราส่วนการวัดที่เหมาะสม สมมติว่าเราต้องการไพรเออร์สำหรับความเร็วในการวิ่งของนักวิ่งที่เราไม่รู้จัก เราอาจกำหนดการกระจายแบบปกติเป็นไพรเออร์สำหรับความเร็วของเขา แต่ในทางกลับกันเราอาจกำหนดไพรเออร์แบบปกติสำหรับเวลาที่เขาใช้ในการวิ่ง 100 เมตร ซึ่งเป็นสัดส่วนผกผันกับไพรเออร์แรก ไพรเออร์ทั้งสองนี้แตกต่างกันมาก แต่ไม่ชัดเจนว่าควรเลือกแบบใดวิธีการของกลุ่มการแปลง ของ Jaynes สามารถตอบคำถามนี้ได้ในบางสถานการณ์^{[ 17 ]}

ในทำนองเดียวกัน หากถูกขอให้ประมาณสัดส่วนที่ไม่ทราบค่าระหว่าง 0 กับ 1 เราอาจกล่าวว่าสัดส่วนทั้งหมดมีความน่าจะเป็นเท่ากัน และใช้ค่าความน่าจะเป็นล่วงหน้าแบบสม่ำเสมอ หรืออีกทางหนึ่ง เราอาจกล่าวว่าขนาดลำดับทั้งหมดของสัดส่วนมีความน่าจะเป็นเท่ากันความน่าจะเป็นล่วงหน้าแบบลอการิทึมซึ่งเป็นความน่าจะเป็นล่วงหน้าแบบสม่ำเสมอสำหรับลอการิทึมของสัดส่วนความน่าจะเป็นล่วงหน้าแบบเจฟฟรีย์พยายามแก้ปัญหานี้โดยการคำนวณความน่าจะเป็นล่วงหน้าที่แสดงความเชื่อเดียวกันไม่ว่า1จะใช้เมตริกใดก็ตาม ความน่าจะเป็นล่วงหน้าแบบเจฟฟรีย์สำหรับสัดส่วนที่ไม่ทราบค่าpคือp ^{− 1/2}(1−p) ^{− 1/2}ซึ่งแตกต่างจากคำแนะนำของเจย์นส์  

ไพรเออร์ที่อิงตามแนวคิดของความน่าจะเป็นเชิงอัลกอริทึมถูกนำมาใช้ในการอนุมานแบบอุปนัยเป็นพื้นฐานสำหรับการอุปนัยในบริบททั่วไปมาก

ปัญหาในทางปฏิบัติที่เกี่ยวข้องกับไพรเออร์ที่ไม่ให้ข้อมูล ได้แก่ ข้อกำหนดที่ว่าการแจกแจงโพสทีเรียร์ต้องเหมาะสม ไพรเออร์ที่ไม่ให้ข้อมูลทั่วไปสำหรับตัวแปรต่อเนื่องที่ไม่มีขอบเขตนั้นไม่เหมาะสม ซึ่งไม่จำเป็นต้องเป็นปัญหาหากการแจกแจงโพสทีเรียร์เหมาะสม อีกประเด็นสำคัญคือ หากจะใช้ไพรเออร์ที่ไม่ให้ข้อมูลเป็นประจำเช่น กับชุดข้อมูลที่แตกต่างกันจำนวนมาก ไพรเออร์นั้นควรมีคุณสมบัติแบบความถี่ที่ ดี โดยปกติแล้วนัก เบย์เซียนจะไม่กังวลเกี่ยวกับปัญหาดังกล่าว แต่ในสถานการณ์นี้อาจมีความสำคัญ ตัวอย่างเช่น เราต้องการให้กฎการตัดสินใจ ใดๆ ที่อิงจากการแจกแจงโพสทีเรียร์นั้นยอมรับได้ภายใต้ฟังก์ชันความสูญเสียที่ใช้ การตรวจสอบความสามารถในการยอมรับได้มักทำได้ยาก แม้ว่าจะมีผลลัพธ์บางอย่างที่ทราบแล้ว (เช่น Berger และ Strawderman 1996) ปัญหานี้มีความรุนแรงเป็นพิเศษในแบบจำลองเบย์เซียนแบบลำดับชั้นไพรเออร์ทั่วไป (เช่น ไพรเออร์ของ Jeffreys) อาจให้กฎการตัดสินใจที่ไม่สามารถยอมรับได้หากนำไปใช้ในระดับที่สูงขึ้นของลำดับชั้น

ปล่อยให้เหตุการณ์ต่างๆ เกิดขึ้น${\displaystyle A_{1},A_{2},\ldots ,A_{n}}$ต้องเป็นเงื่อนไขที่แยกจากกันโดยสิ้นเชิงและครอบคลุมทุกเงื่อนไข หากเขียนทฤษฎีบทของเบย์สเป็นดังนี้ $${\displaystyle P(A_{i}\mid B)={\frac {P(B\mid A_{i})P(A_{i})}{\sum _{j}P(B\mid A_{j})P(A_{j})}}\,,}$$ จากนั้นจึงเห็นได้ชัดว่าผลลัพธ์เดียวกันจะได้รับหากความน่าจะเป็นก่อนหน้าทั้งหมดP ( A ) และP ( A ) ถูกคูณด้วยค่าคงที่ที่กำหนด เช่นเดียวกันนี้จะเป็นจริงสำหรับตัวแปรสุ่มต่อเนื่องหากผลรวมในตัวส่วนลู่เข้า ความน่าจะเป็นภายหลังจะยังคงรวม (หรืออินทิกรัล) เป็น 1 แม้ว่าค่าก่อนหน้าจะไม่เป็นเช่นนั้นก็ตาม ดังนั้นค่าก่อนหน้าอาจจำเป็นต้องระบุในสัดส่วนที่ถูกต้องเท่านั้น เมื่อนำแนวคิดนี้ไปต่อ ในหลายกรณี ผลรวมหรืออินทิกรัลของค่าก่อนหน้าอาจไม่จำเป็นต้องมีค่าจำกัดเพื่อให้ได้คำตอบที่สมเหตุสมผลสำหรับความน่าจะเป็นภายหลัง ในกรณีเช่นนี้ ค่าก่อนหน้าจะเรียกว่าค่าก่อนหน้าที่ไม่เหมาะสมอย่างไรก็ตาม การแจกแจงภายหลังไม่จำเป็นต้องเป็นการแจกแจงที่เหมาะสมหากค่าก่อนหน้าไม่เหมาะสม[ ^{18 ] สิ่ง}นี้ชัดเจนจากกรณีที่เหตุการณ์B เป็นอิสระจาก A ทั้งหมด

นักสถิติบางครั้งใช้ไพรเออร์ที่ไม่เหมาะสมเป็นไพรเออร์ที่ไม่ให้ข้อมูล [ ^{19 ] ตัวอย่าง} เช่น หากพวกเขาต้องการการแจกแจงไพรเออร์สำหรับค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนของตัวแปรสุ่ม พวกเขาอาจสมมติp ( m , v ) ~ 1/ v (สำหรับv > 0) ซึ่งจะแนะนำว่าค่าเฉลี่ยใดๆ ก็ตาม "มีโอกาสเท่ากัน" และค่าความแปรปรวนที่เป็นบวกจะ "มีโอกาสน้อยลง" ตามสัดส่วนผกผันกับค่าของมัน ผู้เขียนหลายคน (Lindley, 1973; De Groot, 1937; Kass and Wasserman, 1996) เตือนถึงอันตรายของการตีความไพรเออร์เหล่านั้นมากเกินไป เนื่องจากไม่ใช่ความหนาแน่นของความน่าจะเป็น ความเกี่ยวข้องเพียงอย่างเดียวของพวกมันพบได้ในการแจกแจงโพสเทอริออร์ที่สอดคล้องกัน ตราบใดที่มันถูกกำหนดไว้อย่างดีสำหรับการสังเกตทั้งหมด ( ไพรเออร์ของ Haldaneเป็นตัวอย่างค้านทั่วไป)     

ในทางตรงกันข้ามฟังก์ชันความน่าจะเป็นไม่จำเป็นต้องทำการอินทิเกรต และฟังก์ชันความน่าจะเป็นที่มีค่าเท่ากับ 1 อย่างสม่ำเสมอจะสอดคล้องกับการไม่มีข้อมูล (แบบจำลองทั้งหมดมีความน่าจะเป็นเท่ากัน เมื่อไม่มีข้อมูล): กฎของเบย์สจะคูณค่าความน่าจะเป็นก่อนหน้าด้วยฟังก์ชันความน่าจะเป็น และผลคูณที่ว่างเปล่าก็คือค่าความน่าจะเป็นคงที่ 1 นั่นเอง อย่างไรก็ตาม หากไม่ได้เริ่มต้นด้วยการแจกแจงความน่าจะเป็นก่อนหน้า ก็จะไม่ได้การ แจกแจง ความน่าจะเป็นภายหลังและดังนั้นจึงไม่สามารถทำการอินทิเกรตหรือคำนวณค่าคาดหวังหรือค่าความสูญเสียได้ ดูรายละเอียดเพิ่มเติม ได้ ที่ ฟังก์ชันความน่าจะเป็น §  การไม่สามารถอิน ทิเกรตได้

ในขณะที่ในสถิติแบบเบย์เซียน ความน่าจะเป็นก่อนหน้าถูกใช้เพื่อแสดงความเชื่อเบื้องต้นเกี่ยวกับพารามิเตอร์ที่ไม่แน่นอน ในกลศาสตร์สถิติความน่าจะเป็นก่อนหน้าถูกใช้เพื่ออธิบายสถานะเริ่มต้นของระบบ^{[ 20 ]}เวอร์ชันคลาสสิกถูกกำหนดให้เป็นอัตราส่วนของจำนวนเหตุการณ์พื้นฐาน (เช่น จำนวนครั้งที่โยนลูกเต๋า) ต่อจำนวนเหตุการณ์ทั้งหมด และสิ่งเหล่านี้ถูกพิจารณาโดยการอนุมานล้วนๆ กล่าวคือ โดยไม่มีการทดลองใดๆ ในกรณีของลูกเต๋า หากเรามองดูมันบนโต๊ะโดยไม่โยนมัน เหตุการณ์พื้นฐานแต่ละอย่างจะถูกให้เหตุผลโดยการอนุมานว่ามีความน่าจะเป็นเท่ากัน ดังนั้นความน่าจะเป็นของผลลัพธ์แต่ละอย่างของการโยนลูกเต๋า (ที่สมบูรณ์แบบ) ในจินตนาการ หรือเพียงแค่การนับจำนวนหน้าคือ 1/6 แต่ละหน้าของลูกเต๋าปรากฏขึ้นด้วยความน่าจะเป็นเท่ากัน โดยความน่าจะเป็นเป็นการวัดที่กำหนดไว้สำหรับแต่ละเหตุการณ์พื้นฐาน ผลลัพธ์จะแตกต่างกันหากเราโยนลูกเต๋า 20 ครั้งและถามว่ามีกี่ครั้ง (จาก 20 ครั้ง) ที่เลข 6 ปรากฏบนหน้าบน ในกรณีนี้ เวลาเข้ามามีบทบาท และเราจะได้ความน่าจะเป็นที่แตกต่างกันไปขึ้นอยู่กับเวลาหรือจำนวนครั้งที่ทอยลูกเต๋า ในทางกลับกัน ความน่าจะเป็นแบบก่อนหน้า (a priori probability) นั้นไม่ขึ้นอยู่กับเวลา คุณสามารถมองดูลูกเต๋าบนโต๊ะได้นานเท่าที่ต้องการโดยไม่ต้องแตะต้องมัน และคุณก็สามารถสรุปได้ว่าความน่าจะเป็นที่เลข 6 จะปรากฏบนหน้าลูกเต๋าคือ 1/6

ในกลศาสตร์เชิงสถิติ เช่น กลศาสตร์ของก๊าซที่บรรจุอยู่ในปริมาตรจำกัด${\displaystyle V}$ทั้งพิกัดเชิงพื้นที่${\displaystyle q_{i}}$และพิกัดโมเมนตัม${\displaystyle p_{i}}$ขนาดขององค์ประกอบก๊าซแต่ละชนิด (อะตอมหรือโมเลกุล) มีค่าจำกัดในปริภูมิเฟสที่กำหนดโดยพิกัดเหล่านี้ ในทำนองเดียวกับกรณีของลูกเต๋า ความน่าจะเป็นล่วงหน้าในที่นี้ (ในกรณีของตัวกลางต่อเนื่อง) จะเป็นสัดส่วนกับปริมาตรขององค์ประกอบในปริภูมิเฟส${\displaystyle \Delta q\Delta p}$หารด้วย${\displaystyle h}$และ คือจำนวนคลื่นนิ่ง (เช่น สถานะ) ที่อยู่ในนั้น โดยที่${\displaystyle \Delta q}$คือช่วงของตัวแปร${\displaystyle q}$ และ${\displaystyle \Delta p}$คือช่วงของตัวแปร${\displaystyle p}$(ในที่นี้เพื่อความง่ายจึงพิจารณาในมิติเดียว) ใน 1 มิติ (ความยาว)${\displaystyle L}$) ตัวเลขนี้ หรือค่าน้ำหนักทางสถิติ หรือค่าน้ำหนักที่กำหนดไว้ล่วงหน้า คือ${\displaystyle L\Delta p/h}$ใน 3 มิติตามปกติ (ปริมาตร)${\displaystyle V}$) สามารถคำนวณตัวเลขที่สอดคล้องกันได้ดังนี้${\displaystyle V4\pi p^{2}\เดลต้า p/h^{3}}$[ ^{21 ] เพื่อให้เข้าใจปริมาณนี้ใน ฐานะ}ที่เป็นจำนวนสถานะในกลศาสตร์ควอนตัม (เช่น กลศาสตร์คลื่น) โปรดจำไว้ว่าในกลศาสตร์ควอนตัม อนุภาคทุกตัวจะเกี่ยวข้องกับคลื่นสสารซึ่งเป็นคำตอบของสมการชโรดิงเกอร์ในกรณีของอนุภาคอิสระ (ของพลังงาน)${\displaystyle \epsilon ={\bf {p}}^{2}/2m}$เหมือนกับก๊าซที่อยู่ในกล่องปริมาตรหนึ่ง${\displaystyle V=L^{3}}$คลื่นสสารดังกล่าวนั้นชัดเจน $${\displaystyle \psi \propto \sin {\frac {l\pi x}{L}}\sin {\frac {m\pi y}{L}}\sin {\frac {n\pi z}{L}},}$$ ที่ไหน${\displaystyle l,m,n}$เป็นจำนวนเต็ม จำนวนที่แตกต่างกัน ${\displaystyle (l,m,n)}$ค่าต่างๆ และสถานะต่างๆ ในภูมิภาคระหว่าง${\displaystyle p,p+dp,p^{2}={\bf {p}}^{2},}$จากนั้นจึงพบว่าเป็นนิพจน์ข้างต้น${\displaystyle V4\pi p^{2}dp/h^{3}}$โดยพิจารณาจากพื้นที่ที่ครอบคลุมโดยจุดเหล่านี้ ยิ่งไปกว่านั้น เมื่อพิจารณาจากความสัมพันธ์ของความไม่แน่นอนซึ่งในมิติเชิงพื้นที่ 1 มิติคือ $${\displaystyle \Delta q\Delta p\geq h,}$$ สถานะเหล่านี้ไม่สามารถแยกแยะได้ (กล่าวคือ สถานะเหล่านี้ไม่มีป้ายกำกับ) ผลที่ตามมาที่สำคัญคือผลลัพธ์ที่รู้จักกันในชื่อทฤษฎีบทของ Liouvilleกล่าวคือ ความเป็นอิสระของเวลาขององค์ประกอบปริมาตรพื้นที่เฟสนี้ และด้วยเหตุนี้ความน่าจะเป็นล่วงหน้า การพึ่งพาเวลาของปริมาณนี้จะหมายถึงข้อมูลที่ทราบเกี่ยวกับพลวัตของระบบ และด้วยเหตุนี้จึงไม่ใช่ความน่าจะเป็นล่วงหน้า^{[ 22 ]}ดังนั้นภูมิภาค $${\displaystyle \โอเมก้า$$ :={\frac {\Delta q\Delta p}{\int \Delta q\Delta p}},\;\;\;\int \Delta q\Delta p=\mathrm {const.} ,} เมื่อทำการหาอนุพันธ์เทียบกับเวลา${\displaystyle t}$ให้ผลลัพธ์เป็นศูนย์ (โดยใช้สมการของแฮมิลตัน): ปริมาตร ณ เวลา${\displaystyle t}$เหมือนกับตอนเวลาศูนย์ เราอาจเรียกสิ่งนี้ว่าการอนุรักษ์ข้อมูลก็ได้

ในทฤษฎีควอนตัมแบบสมบูรณ์ เรามีกฎการอนุรักษ์ที่คล้ายคลึงกัน ในกรณีนี้ บริเวณปริภูมิเฟสจะถูกแทนที่ด้วยปริภูมิย่อยของปริภูมิสถานะที่แสดงในรูปของตัวดำเนินการฉายภาพ${\displaystyle P}$และแทนที่จะใช้ความน่าจะเป็นในปริภูมิเฟส เราจะใช้ความหนาแน่นของความน่าจะเป็นแทน $${\displaystyle \Sigma$$ :={\frac {P}{{\text{Tr}}(P)}},\;\;\;N={\text{Tr}}(P)=\mathrm {const.} ,} โดยที่${\displaystyle N}$คือมิติของปริภูมิย่อย กฎการอนุรักษ์ในกรณีนี้แสดงโดยความเป็นเอกภาพของเมทริกซ์ Sไม่ว่าในกรณีใด การพิจารณาจะถือว่าระบบปิดที่แยกตัว ระบบปิดที่แยกตัวนี้เป็นระบบที่มี (1) พลังงานคงที่${\displaystyle E}$และ (2) จำนวนอนุภาคคงที่${\displaystyle N}$ใน (c) สภาวะสมดุล หากพิจารณาระบบนี้จำนวนมหาศาล จะได้สิ่งที่เรียกว่ากลุ่มไมโครแคนอนิก (microcanonical ensemble ) สำหรับระบบนี้เองที่ในสถิติควอนตัมได้ตั้งสมมติฐาน "สมมติฐานพื้นฐานของความน่าจะเป็นล่วงหน้าเท่ากันของระบบที่แยกตัว" สมมติฐานนี้กล่าวว่า ระบบที่แยกตัวในสภาวะสมดุลจะครอบครองแต่ละสถานะที่เข้าถึงได้ด้วยความน่าจะเป็นเท่ากัน ดังนั้น สมมติฐานพื้นฐานนี้จึงทำให้เราสามารถเทียบความน่าจะเป็นล่วงหน้ากับความเสื่อมของระบบได้ กล่าวคือ จำนวนสถานะที่แตกต่างกันที่มีพลังงานเท่ากัน

• อัตราพื้นฐาน
• ความเข้าใจผิดเกี่ยวกับอัตราพื้นฐาน
• ญาณวิทยาแบบเบย์เซียน
• ก่อนหน้าที่แข็งแกร่ง

• PriorDBคือฐานข้อมูลแบบร่วมมือกันของแบบจำลองและข้อมูลเบื้องต้นของแบบจำลองเหล่านั้น