11.5 × 200 กม. = 2300 กม.

28 × 100 กม. = 2800 กม.

70 × 50 กม. = 3500 กม.

รูปที่ 1. เมื่อความยาวของไม้บรรทัดวัดลดลงเรื่อยๆ ความยาวรวมของแนวชายฝั่งที่วัดได้จะเพิ่มขึ้น (ดูปรากฏการณ์ความขัดแย้งของแนวชายฝั่ง )

ในทฤษฎีการวัดทางเรขาคณิตมิติแฟรกทัลช่วยให้สามารถสร้างดัชนีทางสถิติที่สอดคล้องกันของความซับซ้อนในรูปแบบต่างๆได้ เนื่องจาก รูปแบบ แฟรกทัลสามารถ แปรผัน ตามขนาดได้ การวัด ความจุ ในการเติมเต็มพื้นที่จึงน่าจะเป็นไปได้ในมิติที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม (แฟรกทัล) ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}

แนวคิดหลักของมิติ "แตก"มีประวัติศาสตร์อันยาวนานในคณิตศาสตร์ แต่คำนี้ได้รับการนำเสนอโดยBenoit Mandelbrotจากบทความเรื่องความคล้ายคลึงในตัวเอง ในปี 1967 ซึ่งเขาได้กล่าวถึงมิติเศษส่วน [ ^{4 ]}ในบทความนั้น Mandelbrot ได้อ้างถึงงานก่อนหน้าของLewis Fry Richardson ที่อธิบายถึงแนวคิดที่ขัดแย้งกับสัญชาตญาณที่ ^{ว่าความ}ยาวที่วัดได้ของชายฝั่งเปลี่ยนแปลงไปตามความยาวของไม้บรรทัดที่ใช้วัด (ดูรูปที่ 1 ) ในแง่ของแนวคิดนั้น มิติเศษส่วนของชายฝั่งจะวัดปริมาณว่าจำนวนไม้บรรทัดที่ปรับขนาดที่จำเป็นในการวัดชายฝั่งเปลี่ยนแปลงไปอย่างไรเมื่อปรับขนาดของไม้บรรทัด^{[ 5 ]}มีคำจำกัดความทางคณิตศาสตร์อย่างเป็นทางการหลายประการของมิติเศษส่วนที่สร้างขึ้นจากแนวคิดพื้นฐานนี้เกี่ยวกับการเปลี่ยนแปลงในรายละเอียดเมื่อขนาดเปลี่ยนแปลง ดู§ ตัวอย่างด้านล่าง

ในที่สุด คำว่ามิติแฟรกทัลก็กลายเป็นวลีที่แมนเดลบร็อตรู้สึกสบายใจที่สุดในการสรุปความหมายของคำว่าแฟรกทัลซึ่งเป็นคำที่เขาสร้างขึ้น หลังจากผ่านการปรับปรุงแก้ไขหลายครั้งตลอดหลายปี แมนเดลบร็อตก็ตัดสินใจใช้คำนี้ว่า "ใช้แฟรกทัลโดยไม่ต้องมีคำจำกัดความที่เคร่งครัด ใช้มิติแฟรกทัลเป็นคำทั่วไปที่ใช้ได้กับทุกรูปแบบ" ^{[ 6 ]}

ตัวอย่างที่ไม่ธรรมดาอย่างหนึ่งคือ มิติแฟรกทัลของเกล็ดหิมะ Kochมันมีมิติทางโทโพโลยีเท่ากับ 1 แต่ไม่สามารถหาความ ยาวเชิงเส้นได้ ความยาวของเส้นโค้งระหว่างจุดสองจุดใดๆ บนเกล็ดหิมะ Koch นั้นเป็นอนันต์ไม่มีส่วนเล็กๆ ใดที่เหมือนเส้นตรง แต่ประกอบด้วยส่วนต่างๆ จำนวนอนันต์ที่เชื่อมต่อกันที่มุมต่างๆ มิติแฟรกทัลของเส้นโค้งสามารถอธิบายได้โดยสัญชาตญาณโดยการคิดถึงเส้นแฟรกทัลว่าเป็นวัตถุที่มีรายละเอียดมากเกินกว่าจะเป็นหนึ่งมิติ แต่ก็เรียบง่ายเกินกว่าจะเป็นสองมิติ^{[ 7 ]}ดังนั้น มิติของมันจึงอาจอธิบายได้ดีที่สุดไม่ใช่ด้วยมิติทางโทโพโลยีปกติที่เท่ากับ 1 แต่ด้วยมิติแฟรกทัล ซึ่งมักจะเป็นตัวเลขระหว่างหนึ่งถึงสอง ในกรณีของเกล็ดหิมะ Koch นั้นมีค่าประมาณ 1.2619

มิติแฟรกทัลเป็นดัชนีสำหรับกำหนดลักษณะของรูปแบบหรือเซตแฟรกทัลโดยการวัดความซับซ้อนเป็นอัตราส่วนของการเปลี่ยนแปลงในรายละเอียดต่อการเปลี่ยนแปลงในขนาด^{[ 5 ] : 1} มิติแฟรกทัลหลายประเภทสามารถวัดได้ทั้งในเชิงทฤษฎีและเชิงประจักษ์ (ดูรูปที่ 2 ) ^{[ 3 ] [ 9 ]}มิติแฟรกทัลใช้เพื่อกำหนดลักษณะของวัตถุหลากหลายประเภท ตั้งแต่สิ่งที่เป็นนามธรรม^{[ 1 ] [ 3 ]}ไปจนถึงปรากฏการณ์ในทางปฏิบัติ รวมถึงความปั่นป่วน^{[ 5 ] : 97–104} เครือข่ายแม่น้ำ^{: 246–247} การเติบโตของเมือง^{[ 10 ] [ 11 ]}สรีรวิทยาของมนุษย์^{[ 12 ] [ 13 ]}การแพทย์^{[ 9 ]}และแนวโน้มตลาด^{[ 14 ]}แนวคิดสำคัญของมิติเศษส่วนหรือ มิติ แฟรกทัลมีประวัติศาสตร์อันยาวนานในคณิตศาสตร์ที่สามารถสืบย้อนไปได้ถึงช่วงปี 1600 ^{[ 5 ] : 19 [ 15 ]}แต่คำว่าแฟรกทัลและมิติแฟรกทัลถูกบัญญัติโดยนักคณิตศาสตร์ Benoit Mandelbrot ในปี 1975 ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 5 ] [ 9 ] [ 14 ] [ 16 ]}

มิติแฟรกทัลถูกนำมาใช้ครั้งแรกในฐานะดัชนีที่บ่งบอกลักษณะของรูปทรงเรขาคณิตที่ซับซ้อน ซึ่งรายละเอียดดูเหมือนจะสำคัญกว่าภาพรวม^{[ 16 ]}สำหรับเซตที่อธิบายรูปทรงเรขาคณิตทั่วไป มิติแฟรกทัลเชิงทฤษฎีจะเท่ากับมิติยูคลิดหรือมิติโทโพโลยี ที่คุ้นเคยของเซตนั้น ดังนั้นจึงเป็น 0 สำหรับเซตที่อธิบายจุด (เซต 0 มิติ); 1 สำหรับเซตที่อธิบายเส้น (เซต 1 มิติที่มีเฉพาะความยาว); 2 ​​สำหรับเซตที่อธิบายพื้นผิว (เซต 2 มิติที่มีความยาวและความกว้าง); และ 3 สำหรับเซตที่อธิบายปริมาตร (เซต 3 มิติที่มีความยาว ความกว้าง และความสูง) แต่สิ่งนี้จะเปลี่ยนไปสำหรับเซตแฟรกทัล หากมิติแฟรกทัลเชิงทฤษฎีของเซตเกินมิติโทโพโลยี เซตนั้นจะถือว่ามีเรขาคณิตแฟรกทัล^{[ 17 ]}

ต่างจากมิติทางโทโพโลยี ดัชนีแฟรกทัลสามารถมีค่าที่ ไม่ใช่ จำนวนเต็ม ได้ ^{[ 18 ]}ซึ่งบ่งชี้ว่าเซตเติมเต็มพื้นที่ในเชิงคุณภาพและเชิงปริมาณแตกต่างจากเซตทางเรขาคณิตทั่วไป^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}ตัวอย่างเช่น เส้นโค้งที่มีมิติแฟรกทัลใกล้เคียงกับ 1 มาก เช่น 1.10 จะมีพฤติกรรมคล้ายกับเส้นตรงทั่วไป แต่เส้นโค้งที่มีมิติแฟรกทัล 1.9 จะคดเคี้ยวไปมาในอวกาศคล้ายกับพื้นผิว ในทำนองเดียวกัน พื้นผิวที่มีมิติแฟรกทัล 2.1 จะเติมเต็มพื้นที่คล้ายกับพื้นผิวทั่วไป แต่พื้นผิวที่มีมิติแฟรกทัล 2.9 จะพับและไหลเพื่อเติมเต็มพื้นที่คล้ายกับปริมาตร^{[ 17 ] : 48 [หมายเหตุ 1 ]}ความสัมพันธ์ทั่วไปนี้สามารถเห็นได้ในภาพเส้นโค้งแฟรกทัล สองภาพ ในรูปที่ 2และรูปที่ 3  – เส้นโค้ง 32 ส่วนในรูปที่ 2 ซึ่งบิดเบี้ยวและเติมเต็มพื้นที่ มีมิติแฟรกทัล 1.67 เมื่อเทียบกับเส้นโค้ง Koch ที่ซับซ้อนน้อยกว่าอย่างเห็นได้ชัดในรูปที่ 3 ซึ่งมีมิติแฟรกทัลประมาณ 1.2619

ความสัมพันธ์ของมิติแฟรกทัลที่เพิ่มขึ้นกับการเติมเต็มพื้นที่อาจถูกตีความว่ามิติแฟรกทัลวัดความหนาแน่น แต่ไม่ใช่เช่นนั้น ทั้งสองไม่ได้มีความสัมพันธ์กันอย่างเคร่งครัด^{[ 8 ]}ในทางกลับกัน มิติแฟรกทัลวัดความซับซ้อน ซึ่งเป็นแนวคิดที่เกี่ยวข้องกับคุณลักษณะสำคัญบางประการของแฟรกทัล ได้แก่ความคล้ายคลึงในตัวเองและรายละเอียดหรือความไม่สม่ำเสมอ [ ^{หมายเหตุ 2 ]}คุณลักษณะเหล่านี้ปรากฏชัดในตัวอย่างเส้นโค้งแฟรกทัลสองตัวอย่าง ทั้งสองเป็นเส้นโค้งที่มีมิติทางโทโพโลยีเท่ากับ 1 ดังนั้นเราอาจหวังว่าจะสามารถวัดความยาวและอนุพันธ์ของเส้นโค้งเหล่านี้ได้ในลักษณะเดียวกับเส้นโค้งทั่วไป แต่เราไม่สามารถทำเช่นนั้นได้ เพราะเส้นโค้งแฟรกทัลมีความซับซ้อนในรูปแบบของความคล้ายคลึงในตัวเองและรายละเอียดที่เส้นโค้งทั่วไปไม่มี^{[ 5 ]}ความคล้ายคลึงในตัวเองอยู่ที่การปรับขนาดแบบอนันต์ และรายละเอียดอยู่ที่องค์ประกอบที่กำหนดของแต่ละเซต ความยาวระหว่างจุดสองจุดใดๆ บนเส้นโค้งเหล่านี้เป็นอนันต์ ไม่ว่าจุดสองจุดนั้นจะอยู่ใกล้กันแค่ไหน ซึ่งหมายความว่าเป็นไปไม่ได้ที่จะประมาณความยาวของเส้นโค้งดังกล่าวโดยการแบ่งเส้นโค้งออกเป็นส่วนเล็กๆ จำนวนมาก^{[ 19 ]}แต่ละส่วนที่เล็กกว่านั้นประกอบด้วยส่วนย่อยจำนวนอนันต์ที่มีลักษณะเหมือนกับการทำซ้ำครั้งแรกทุกประการเส้นโค้งเหล่านี้ไม่สามารถหาความยาวได้หมายความว่าไม่สามารถวัดได้โดยการแบ่งออกเป็นส่วนย่อยจำนวนมากที่ประมาณความยาวของแต่ละส่วน ไม่สามารถระบุลักษณะได้อย่างมีความหมายโดยการหาความยาวและอนุพันธ์ของเส้นโค้ง อย่างไรก็ตาม สามารถกำหนดมิติแฟรกทัลของเส้นโค้งเหล่านี้ได้ ซึ่งแสดงให้เห็นว่าเส้นโค้งทั้งสองเติมเต็มพื้นที่มากกว่าเส้นตรงธรรมดาแต่น้อยกว่าพื้นผิว และช่วยให้สามารถเปรียบเทียบเส้นโค้งทั้งสองในแง่นี้ได้

เส้นโค้งแฟรกทัลสองเส้นที่อธิบายไว้ข้างต้นแสดงให้เห็นถึงความคล้ายคลึงกันในตัวเองประเภทหนึ่งที่แม่นยำด้วยหน่วยรายละเอียดที่ซ้ำกันซึ่งสามารถมองเห็นได้ง่าย โครงสร้างประเภทนี้สามารถขยายไปยังพื้นที่อื่นได้ (เช่นแฟรกทัลที่ขยายเส้นโค้ง Koch ไปยังพื้นที่ 3 มิติจะมีค่าD ทางทฤษฎี เท่ากับ 2.5849) อย่างไรก็ตาม ความซับซ้อนที่นับได้อย่างเรียบร้อยเช่นนี้เป็นเพียงตัวอย่างหนึ่งของความคล้ายคลึงกันในตัวเองและรายละเอียดที่มีอยู่ในแฟรกทัล^{[ 3 ] [ 14 ]}ตัวอย่างเช่น ตัวอย่างของแนวชายฝั่งของสหราชอาณาจักรแสดงให้เห็นถึงความคล้ายคลึงกันในตัวเองของรูปแบบโดยประมาณที่มีการปรับขนาดโดยประมาณ^{[ 5 ] : 26} โดยรวมแล้วแฟรกทัล แสดงให้เห็นถึง ความคล้ายคลึงกันในตัวเอง และรายละเอียด หลาย ประเภทและหลายระดับ ซึ่งอาจมองเห็นได้ยาก ตัวอย่างเช่นสิ่งดึงดูดที่แปลกประหลาดซึ่งรายละเอียดได้รับการอธิบายว่าเป็นส่วนเรียบที่ซ้อนกัน^{[ 17 ] : 49} ชุดJuliaซึ่งสามารถมองเห็นได้ว่าเป็นเกลียวที่ซับซ้อนซ้อนกัน และอัตราการเต้นของหัวใจ ซึ่งเป็นรูปแบบของหนามแหลมหยาบที่ซ้ำกันและปรับขนาดตามเวลา^{[ 20 ]}ความซับซ้อนของแฟรกทัลอาจไม่สามารถแยกแยะออกเป็นหน่วยรายละเอียดและขนาดที่เข้าใจง่ายได้โดยไม่ต้องใช้การวิเคราะห์ที่ซับซ้อน แต่ก็ยังสามารถวัดปริมาณได้ผ่านมิติแฟรกทัล^{[ 5 ] : 197, 262}

คำว่ามิติแฟรกทัลและแฟรกทัลถูกบัญญัติโดยแมนเดลบร็อตในปี 1975 ^{[ 16 ]}ประมาณหนึ่งทศวรรษหลังจากที่เขาตีพิมพ์บทความเกี่ยวกับความคล้ายคลึงกันในแนวชายฝั่งของบริเตน ผู้เชี่ยวชาญทางประวัติศาสตร์หลายคนยกย่องเขาว่าได้สังเคราะห์คณิตศาสตร์เชิงทฤษฎีและงานวิศวกรรมที่ซับซ้อนมาหลายศตวรรษและนำมาประยุกต์ใช้ในรูปแบบใหม่เพื่อศึกษาเรขาคณิตที่ซับซ้อนซึ่งไม่สามารถอธิบายได้ในแง่เชิงเส้นแบบปกติ^{[ 15 ] [ 21 ] [ 22 ]}รากฐานที่เก่าแก่ที่สุดของสิ่งที่แมนเดลบร็อตสังเคราะห์เป็นมิติแฟรกทัลนั้นสามารถสืบย้อนกลับไปได้อย่างชัดเจนถึงงานเขียนเกี่ยวกับฟังก์ชันที่ไม่สามารถหาอนุพันธ์ได้และมีความคล้ายคลึงกันอย่างไม่มีที่สิ้นสุด ซึ่งมีความสำคัญในคำจำกัดความทางคณิตศาสตร์ของแฟรกทัล ในช่วงเวลาที่แคลคูลัสถูกค้นพบในช่วงกลางทศวรรษที่ 1600 ^{[ 5 ] : 405} หลังจากนั้นมีการหยุดตีพิมพ์ผลงานเกี่ยวกับฟังก์ชันดังกล่าวไปช่วงหนึ่ง แล้วจึงเริ่มมีการตีพิมพ์ใหม่อีกครั้งในช่วงปลายทศวรรษ 1800 โดยมีการตีพิมพ์ฟังก์ชันและเซตทางคณิตศาสตร์ที่ปัจจุบันเรียกว่าแฟรกทัลแบบแคนอนิก (เช่น ผลงานที่มีชื่อเดียวกับ^von Koch [ ^{19 ]} SierpińskiและJulia ) แต่ในขณะที่มีการกำหนดสูตรนั้น มักถูกมองว่าเป็น "สัตว์ประหลาด" ทางคณิตศาสตร์ที่ขัดแย้งกัน^{[ 15 ] [ 22 ]}ผลงานเหล่านี้มาพร้อมกับจุดเปลี่ยนที่สำคัญที่สุดในการพัฒนาแนวคิดของมิติแฟรกทัลผ่านผลงานของHausdorffในช่วงต้นทศวรรษ 1900 ซึ่งได้กำหนดมิติ "เศษส่วน" ที่ได้รับการตั้งชื่อตามเขาและมักถูกนำมาใช้ในการกำหนดแฟรกทัลสมัยใหม่^{[ 4 ] [ 5 ] : 44 [ 17 ] [ 21 ]}

ดูประวัติของแฟร็กทัลสำหรับข้อมูลเพิ่มเติม

นิยามทางคณิตศาสตร์ของมิติแฟรกทัลสามารถอนุมานได้จากการสังเกตและสรุปผลของมิติแบบดั้งเดิมต่อการเปลี่ยนแปลงการวัดภายใต้การปรับขนาด^{[ 24 ]}ตัวอย่างเช่น สมมติว่าคุณมีเส้นตรงและไม้บรรทัดที่มีความยาวเท่ากัน ตอนนี้ย่อไม้บรรทัดให้เหลือ 1/3 ของขนาดเดิม คุณจะสามารถวางไม้บรรทัดได้ 3 อันลงในเส้นตรง ในทำนองเดียวกัน ในสองมิติ สมมติว่าคุณมีสี่เหลี่ยมจัตุรัสและ "สี่เหลี่ยมจัตุรัสสำหรับวัด" ที่เหมือนกัน ตอนนี้ย่อด้านข้างของสี่เหลี่ยมจัตุรัสสำหรับวัดให้เหลือ 1/3 ของความยาวเดิม คุณจะสามารถวางสี่เหลี่ยมจัตุรัสสำหรับวัดได้ 3^2 = 9 อันลงในสี่เหลี่ยมจัตุรัส ความสัมพันธ์การปรับขนาดที่คุ้นเคยดังกล่าวเป็นไปตามสมการ ( 1 ) โดยที่ คือปัจจัยการปรับขนาด คือมิติ และคือจำนวนหน่วยที่ได้ (ไม้บรรทัด สี่เหลี่ยมจัตุรัส ฯลฯ) ในวัตถุที่วัด:${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle D}$${\displaystyle N}$

${\displaystyle N=\varepsilon ^{-D}.}$

1

ในตัวอย่างเส้นตรง มิติจะมีค่าเนื่องจากมีหน่วยเมื่อใช้ตัวคูณมาตราส่วนในตัวอย่างสี่เหลี่ยมจัตุรัส มิติจะมีค่าเนื่องจากเมื่อ... ${\displaystyle D=1}$${\displaystyle N=3}$${\displaystyle \varepsilon =1/3}$${\displaystyle D=2}$${\displaystyle N=9}$${\displaystyle \varepsilon =1/3}$

มิติแฟรกทัลเป็นการขยายมิติแบบดั้งเดิมโดยสามารถเป็นเศษส่วนได้ แต่มีความสัมพันธ์กับการปรับขนาดเหมือนกับมิติแบบดั้งเดิมทุกประการ อันที่จริงแล้ว ได้มาจากการจัดเรียงสมการ ( 1 ) ใหม่เท่านั้น

${\displaystyle D=-\log _{\varepsilon }N=-{\frac {\log N}{\log \varepsilon }}.}$

2

${\displaystyle D}$อาจมองได้ว่าเป็นกำลังของการปรับขนาดของค่าที่วัดได้จากวัตถุ โดยพิจารณาจากการปรับขนาดของ "รัศมี" ของวัตถุนั้น

ตัวอย่างเช่นเกล็ดหิมะ Kochมีค่า ซึ่งบ่งชี้ว่าการยืดรัศมีจะทำให้ขนาดเพิ่มขึ้นเร็วกว่าหากเป็นรูปทรงหนึ่งมิติ (เช่น รูปหลายเหลี่ยม) แต่ช้ากว่าหากเป็นรูปทรงสองมิติ (เช่น รูปหลายเหลี่ยมที่เติมสี) ^{[ 3 ]}${\displaystyle D=1.26185\ldots }$

ที่น่าสังเกตคือ ภาพที่แสดงในหน้านี้ไม่ใช่แฟรกทัลที่แท้จริง เพราะการปรับขนาดที่อธิบายโดยไม่สามารถดำเนินต่อไปเกินจุดของส่วนประกอบที่เล็กที่สุด ซึ่งก็คือพิกเซล อย่างไรก็ตาม รูปแบบทางทฤษฎีที่ภาพแสดงนั้นไม่มีชิ้นส่วนที่แยกจากกันเหมือนพิกเซล แต่ประกอบด้วย ส่วนย่อยที่ปรับขนาดได้ ไม่จำกัดจำนวน และมีมิติแฟรกทัลตามที่กล่าวอ้างจริง ๆ^{[ 5 ] [ 24 ]}${\displaystyle D}$

เช่นเดียวกับมิติที่กำหนดสำหรับเส้นตรง สี่เหลี่ยมจัตุรัส และลูกบาศก์ มิติแฟรกทัลเป็นตัวบ่งชี้ทั่วไปที่ไม่สามารถกำหนดรูปแบบได้อย่างเฉพาะเจาะจง^{[ 24 ] [ 25 ]} ตัวอย่างเช่น ค่าDสำหรับแฟรกทัล Koch ที่กล่าวถึงข้างต้น จะวัดขนาดที่แท้จริงของรูปแบบ แต่ไม่ได้อธิบายอย่างเฉพาะเจาะจงหรือให้ข้อมูลเพียงพอที่จะสร้างรูปแบบนั้นขึ้นมาใหม่ โครงสร้างหรือรูปแบบแฟรกทัลจำนวนมากสามารถสร้างขึ้นได้โดยมีความสัมพันธ์ของขนาดเดียวกัน แต่แตกต่างจากเส้นโค้ง Koch อย่างมาก ดังที่แสดงในรูปที่ 6

สำหรับตัวอย่างวิธีการสร้างลวดลายแฟร็กทัล โปรดดูที่ แฟร็กทัล , สามเหลี่ยมเซียร์ปินสกี , เซตแมนเดลบร็อต , การรวมกลุ่มแบบจำกัดการแพร่กระจาย , ระบบแอล

แนวคิดเรื่องแฟรกทัลถูกนำมาใช้มากขึ้นในสาขาวิทยาศาสตร์พื้นผิวโดยสร้างสะพานเชื่อมระหว่างลักษณะพื้นผิวและคุณสมบัติเชิงฟังก์ชัน^{[ 26 ]}มีการใช้ตัวบ่งชี้พื้นผิวจำนวนมากเพื่อตีความโครงสร้างของพื้นผิวเรียบ ซึ่งมักแสดงคุณสมบัติแบบ self-affine ในหลายระดับความยาวความหยาบผิว เฉลี่ย ซึ่ง โดยทั่วไปใช้สัญลักษณ์ R _Aเป็นตัวบ่งชี้พื้นผิวที่ใช้กันมากที่สุด อย่างไรก็ตาม ตัวบ่งชี้อื่นๆ อีกมากมาย เช่น ความชันเฉลี่ย ความหยาบ รากกำลังสองเฉลี่ย (R _RMS ) และอื่นๆ ก็ถูกนำมาใช้เป็นประจำเช่นกัน อย่างไรก็ตาม พบว่าปรากฏการณ์ทางกายภาพของพื้นผิวหลายอย่างไม่สามารถตีความได้ง่ายๆ โดยอ้างอิงจากตัวบ่งชี้ดังกล่าว ดังนั้น มิติแฟรกทัลจึงถูกนำมาใช้มากขึ้นเพื่อสร้างความสัมพันธ์ระหว่างโครงสร้างพื้นผิวในแง่ของพฤติกรรมการปรับขนาดและประสิทธิภาพ^{[ 27 ]}มิติแฟรกทัลของพื้นผิวถูกนำมาใช้เพื่ออธิบายและทำความเข้าใจปรากฏการณ์ต่างๆ ในด้าน กลศาสตร์ การสัมผัส^{[ 28 ]}พฤติกรรมแรงเสียดทาน [ ^{29 ] ความต้านทานการ สัมผัส}ทางไฟฟ้า^{[ 30 ]}และออกไซด์นำไฟฟ้าโปร่งใส^{[ 31 ]}

แนวคิดของมิติแฟรกทัลที่อธิบายไว้ในบทความนี้เป็นมุมมองพื้นฐานของโครงสร้างที่ซับซ้อน ตัวอย่างที่กล่าวถึงในที่นี้ถูกเลือกมาเพื่อให้เข้าใจง่าย และหน่วยการปรับขนาดและอัตราส่วนเป็นที่ทราบล่วงหน้าแล้ว อย่างไรก็ตาม ในทางปฏิบัติ มิติแฟรกทัลสามารถกำหนดได้โดยใช้เทคนิคที่ประมาณการปรับขนาดและรายละเอียดจากขอบเขตที่ประเมินจากเส้นถดถอยบนกราฟลอการิทึมคู่ของขนาดเทียบกับมาตราส่วน คำจำกัดความทางคณิตศาสตร์อย่างเป็นทางการหลายประการของมิติแฟรกทัลประเภทต่างๆ แสดงไว้ด้านล่าง แม้ว่าสำหรับเซตกระชับที่มีความคล้ายคลึงกันในตัวเองแบบแอฟฟินที่แน่นอน มิติเหล่านี้ทั้งหมดจะตรงกัน แต่โดยทั่วไปแล้วพวกมันไม่เท่ากัน:

• มิติการนับกล่องประมาณได้จากเลขชี้กำลังของกฎกำลัง :

  ${\displaystyle D_{0}=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {\log N(\varepsilon )}{\log {\frac {1}{\varepsilon }}}}.}$

• มิติของข้อมูล พิจารณาว่า ข้อมูลเฉลี่ยที่จำเป็นในการระบุกล่องที่ถูกครอบครองนั้นแปรผันอย่างไรกับขนาดของกล่อง ( เป็นความน่าจะเป็น): ${\displaystyle p}$

  ${\displaystyle D_{1}=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {-\langle \log p_{\varepsilon }\rangle }{\log {\frac {1}{\varepsilon }}}}.}$

• มิติความสัมพันธ์นั้นพิจารณาจากจำนวนจุดที่ใช้ในการสร้างภาพแทนของแฟรกทัล และg _εซึ่งเป็นจำนวนคู่ของจุดที่อยู่ใกล้กันมากกว่า ε ${\displaystyle M}$

  ${\displaystyle D_{2}=\lim _{M\to \infty }\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {\log(g_{\varepsilon }/M^{2})}{\log \varepsilon }}.}$

• มิติทั่วไป หรือมิติเรนี: มิติการนับกล่อง มิติสารสนเทศ และมิติความสัมพันธ์ สามารถมองได้ว่าเป็นกรณีพิเศษของสเปกตรัมต่อเนื่องของมิติทั่วไปลำดับ α ซึ่งกำหนดโดย

  ${\displaystyle D_{\alpha }=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {{\frac {1}{\alpha -1}}\log(\sum _{i}p_{i}^{\alpha })}{\log \varepsilon }}.}$

• มิติฮิกุจิ^{[ 32 ]}

  ${\displaystyle D={\frac {d\log L(k)}{d\log k}}.}$

• มิติ Lyapunov
• มิติ มัลติแฟรกทัล : กรณีพิเศษของมิติเรนยี ซึ่งพฤติกรรมการปรับขนาดจะแตกต่างกันในส่วนต่างๆ ของลวดลาย
• เลขชี้กำลังความไม่แน่นอน
• มิติเฮาส์ดอร์ฟ : สำหรับเซตย่อยใดๆของปริภูมิเมตริกและเนื้อหาเฮาส์ดอร์ฟมิติdของS ถูกกำหนดโดยมิติเฮาส์ดอร์ฟของSถูกกำหนดโดย ${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle d\geq 0}$$${\displaystyle C_{H}^{d}(S):=\inf {\Bigl \{}\sum _{i}r_{i}^{d}:{\text{ there is a cover of }}S{\text{ by balls with radii }}r_{i}>0{\Bigr \}}.}$$

  ${\displaystyle \dim _{\operatorname {H} }(X):=\inf\{d\geq 0:C_{H}^{d}(X)=0\}.}$

• ขนาดบรรจุภัณฑ์
• มิติของอัสซูอัด
• มิติที่เชื่อมต่อในท้องถิ่น^{[ 33 ]}
• มิติระดับอธิบายลักษณะแฟรกทัลของการกระจายระดับของกราฟ^{[ 34 ]}
• มิติเฮาส์ดอร์ฟแบบพาราโบลา

ปรากฏการณ์ในโลกแห่งความเป็นจริงหลายอย่างแสดงให้เห็นถึงคุณสมบัติแฟรกทัลแบบจำกัดหรือเชิงสถิติ และมิติแฟรกทัลที่ได้รับการประมาณค่าจาก ข้อมูล ตัวอย่าง โดยใช้เทคนิค การวิเคราะห์แฟรกทัลด้วยคอมพิวเตอร์ ในทางปฏิบัติ การวัดมิติแฟรกทัลได้รับผลกระทบจากปัญหาเชิงวิธีการต่างๆ และมีความไวต่อสัญญาณรบกวนเชิงตัวเลขหรือเชิงทดลอง รวมถึงข้อจำกัดในปริมาณข้อมูล อย่างไรก็ตาม สาขานี้กำลังเติบโตอย่างรวดเร็ว เนื่องจากมิติแฟรกทัลโดยประมาณสำหรับปรากฏการณ์ที่คล้ายคลึงกันทางสถิติอาจมีการประยุกต์ใช้ในทางปฏิบัติมากมายในสาขาต่างๆ รวมถึงดาราศาสตร์^{[ 35 ]}อะคูสติก^{[ 36 ] [ 37 ]}สถาปัตยกรรม^{[ 38 ] [ 39 ] [ 40 ]} ธรณีวิทยาและวิทยาศาสตร์โลก^{[ 41 ]}การถ่ายภาพวินิจฉัย^{[ 42 ] [ 43 ] [ 44 ]} นิเวศวิทยา^{[ 45 ]}กระบวนการทางเคมีไฟฟ้า^{[ 46 ]} การวิเคราะห์ภาพ^{[ 47 ] [ 48 ] [ 49 ] [ 50 ]}ชีววิทยาและการแพทย์^{[ 51 ] [ 52 ] [ 53 ]}ประสาทวิทยา^{[ 54 ] [ 13 ]}การวิเคราะห์เครือข่ายสรีรวิทยา^{[ 12 ]}ฟิสิกส์^{[ 55 ] [ 56 ]}และศูนย์ซีตาของรีมันน์^{[ 57 ]}การประมาณค่ามิติแฟรกทัลยังแสดงให้เห็นว่ามีความสัมพันธ์กับความซับซ้อนของ Lempel–Zivในชุดข้อมูลจริงจากจิตวิทยาเสียงและประสาทวิทยาศาสตร์^{[ 54 ] [ 36 ]}

ทางเลือกอื่นนอกเหนือจากการวัดโดยตรงคือการพิจารณาแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ที่คล้ายกับการก่อตัวของวัตถุแฟรกทัลในโลกแห่งความเป็นจริง ในกรณีนี้ การตรวจสอบความถูกต้องสามารถทำได้โดยการเปรียบเทียบคุณสมบัติอื่นนอกเหนือจากแฟรกทัลที่แบบจำลองบ่งบอกไว้กับข้อมูลที่วัดได้ ใน ฟิสิกส์ คอลลอยด์ระบบที่ประกอบด้วยอนุภาคที่มีมิติแฟรกทัลต่างๆ เกิดขึ้น เพื่ออธิบายระบบเหล่านี้ การพูดถึงการกระจายของมิติแฟรกทัล และในที่สุด วิวัฒนาการตามเวลาของมิติแฟรกทัลนั้นเป็นเรื่องสะดวก ซึ่งเป็นกระบวนการที่ขับเคลื่อนโดยปฏิสัมพันธ์ที่ซับซ้อนระหว่างการรวมกลุ่มและการหลอมรวม^{[ 58 ]}

• รายชื่อแฟร็กทัลเรียงตามมิติเฮาส์ดอร์ฟ
• ความเหลื่อมล้ำ (Lacunarity)  – ศัพท์ในเรขาคณิตและการวิเคราะห์แฟร็กทัล
• อนุพันธ์แฟรกทัล  – การขยายแนวคิดของอนุพันธ์ไปสู่แฟรกทัล

• แมนเดลบร็อต, เบอนัวต์ บี. ; ฮัดสัน, ริชาร์ด แอล. (2010). พฤติกรรม (ที่ผิดพลาด) ของตลาด: มุมมองแบบแฟร็กทัลของความเสี่ยง ความหายนะ และผลตอบแทนโปรไฟล์บุ๊คส์ISBN 978-1-84765-155-6.

วิกิมีเดียคอมมอนส์มีสื่อที่เกี่ยวข้องกับแฟร็กทัลจำแนกตามมิติ

• ซอฟต์แวร์วิเคราะห์แฟร็กทัลBenoit ของ TruSoft คำนวณมิติแฟร็กทัลและเลขชี้กำลังเฮิร์สต์
• แอปเพล็ต Java สำหรับคำนวณมิติแฟรกทัล เก็บถาวรเมื่อ 2011-01-26 ที่Wayback Machine
• บทนำสู่การวิเคราะห์แฟร็กทัล
• โบว์ลีย์, โรเจอร์ (2009). "มิติแฟรกทัล" . สัญลักษณ์หกสิบแบบ . เบรดี้ ฮารานสำหรับมหาวิทยาลัยนอตติงแฮม .
• " โดยทั่วไปแล้วแฟรกทั ลจะไม่เหมือนกันในตัวเอง " 3Blue1Brown