ในการหาค่าเหมาะสมที่สุดทางคณิตศาสตร์การเขียนโปรแกรมเชิงเศษส่วนเป็นการขยายความของการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นเชิงเศษส่วน ฟังก์ชัน เป้าหมายในการเขียนโปรแกรมเชิงเศษส่วนคืออัตราส่วนของฟังก์ชันสองฟังก์ชันซึ่งโดยทั่วไปแล้วเป็นฟังก์ชันไม่เชิงเส้น อัตราส่วนที่จะหาค่าเหมาะสมที่สุดมักจะอธิบายถึงประสิทธิภาพบางอย่างของระบบ

ให้เป็นฟังก์ชันค่าจริงที่กำหนดบนเซตให้โปรแกรมไม่เชิงเส้น${\displaystyle f,g,h_{j},j=1,\ldots ,m}$${\displaystyle \mathbf {S} _{0}\subset \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbf {S} =\{{\boldsymbol {x}}\in \mathbf {S} _{0}:h_{j}({\boldsymbol {x}})\leq 0,j=1,\ldots ,m\}}$

${\displaystyle {\underset {{\boldsymbol {x}}\in \mathbf {S} }{\text{maximize}}}\quad {\frac {f({\boldsymbol {x}})}{g({\boldsymbol {x}})}},}$

โดยที่เรียกว่าโปรแกรมเศษส่วน ${\displaystyle g({\boldsymbol {x}})>0}$${\displaystyle \mathbf {S} }$

โปรแกรมเศษส่วนที่fเป็นฟังก์ชันไม่เป็นลบและเว้าgเป็นฟังก์ชันบวกและนูน และSเป็นเซตแบบนูนเรียกว่าโปรแกรมเศษส่วนเว้าถ้าgเป็นฟังก์ชัน เชิงเส้นตรง fไม่จำเป็นต้องมีข้อจำกัดเรื่องเครื่องหมาย โปรแกรมเศษส่วนเชิงเส้นตรงเป็นกรณีพิเศษของโปรแกรมเศษส่วนเว้าที่ฟังก์ชันทั้งหมดเป็นฟังก์ชัน เชิงเส้นตรง${\displaystyle f,g,h_{j},j=1,\ldots ,m}$

ฟังก์ชัน q เป็นฟังก์ชันกึ่งเว้า อย่างเคร่งครัด บนSถ้าfและgสามารถหาอนุพันธ์ได้ฟังก์ชัน qจะเป็นฟังก์ชันเสมือนเว้าในโปรแกรมเชิงเส้นเศษส่วน ฟังก์ชันเป้าหมายจะเป็นฟังก์ชันเสมือนเชิงเส้น ${\displaystyle q({\boldsymbol {x}})=f({\boldsymbol {x}})/g({\boldsymbol {x}})}$

โดยการแปลง โปรแกรมเศษส่วนเว้าใดๆ ก็สามารถแปลงเป็น โปรแกรมเว้าที่ไม่มีพารามิเตอร์ที่เทียบเท่าได้^{[ 1 ]}${\displaystyle {\boldsymbol {y}}={\frac {\boldsymbol {x}}{g({\boldsymbol {x}})}};t={\frac {1}{g({\boldsymbol {x}})}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\underset {{\frac {\boldsymbol {y}}{t}}\in \mathbf {S} _{0}}{\text{maximize}}}\quad &tf\left({\frac {\boldsymbol {y}}{t}}\right)\\{\text{subject to}}\quad &tg\left({\frac {\boldsymbol {y}}{t}}\right)\leq 1,\\&t\geq 0.\end{aligned}}}$

ถ้าgเป็นฟังก์ชันเชิงเส้นตรง ข้อจำกัดแรกจะเปลี่ยนเป็น และ อาจตัดข้อสมมติว่าg เป็นค่าบวกออกไปได้ นอกจากนี้ยังทำให้ง่ายขึ้น เป็น ${\displaystyle tg({\frac {\boldsymbol {y}}{t}})=1}$${\displaystyle g({\boldsymbol {y}})=1}$

โปรแกรมเว้าที่เทียบเท่ากันในรูปแบบคู่ลากรางจ์คือ

${\displaystyle {\begin{aligned}{\underset {\boldsymbol {u}}{\text{minimize}}}\quad &{\underset {{\boldsymbol {x}}\in \mathbf {S} _{0}}{\operatorname {sup} }}{\frac {f({\boldsymbol {x}})-{\boldsymbol {u}}^{T}{\boldsymbol {h}}({\boldsymbol {x}})}{g({\boldsymbol {x}})}}\\{\text{subject to}}\quad &u_{i}\geq 0,\quad i=1,\dots ,m.\end{aligned}}}$