ในทางคณิตศาสตร์ทฤษฎีบทดีเทอร์มิแนนต์ของฟรอเบ นิอุส เป็นข้อสันนิษฐานที่ริชาร์ด เดเดคินด์ นักคณิตศาสตร์ได้เสนอขึ้นในปี ค.ศ. 1896 โดยเขาได้เขียนจดหมายถึงเอฟ.จี. ฟรอเบนิอุสเกี่ยวกับเรื่องนี้ (ตีพิมพ์ซ้ำใน( Dedekind 1968 )พร้อมคำแปลภาษาอังกฤษใน( Curtis 2003 , หน้า51) ) 

ถ้าเราใช้ตารางการคูณของกลุ่ม จำกัด Gและแทนที่แต่ละรายการgด้วยตัวแปรx แล้วจึงหาดีเทอร์มิแนนต์ดีเทอร์มิแนนต์จะแยกตัวประกอบเป็นผลคูณของ พหุนามที่ไม่สามารถแยกตัวประกอบได้ nตัว โดยที่nคือจำนวนชั้นสมมูล ยิ่งไปกว่านั้น พหุนามแต่ละตัวจะถูกยกกำลังด้วยกำลังที่เท่ากับดีกรีของมัน ฟรอเบนิอุสพิสูจน์สมมติฐานที่น่าประหลาดใจนี้ และมันกลายเป็นที่รู้จักในชื่อทฤษฎีบทดีเทอร์มิแนนต์ ^ของฟรอเบนิอุส การพิสูจน์ทฤษฎีบทของเขาได้จุดประกายสาขาใหม่ของคณิตศาสตร์ที่เรียกว่าทฤษฎีการแทนของกลุ่มจำกัด [ ^{1 ]}

ให้กลุ่มจำกัดกลุ่ม หนึ่ง มีสมาชิกและให้เป็นค่าที่เกี่ยวข้องกับสมาชิกแต่ละตัวของกลุ่มนั้นกำหนดเมทริกซ์ที่มีสมาชิกแล้ว:${\displaystyle G}$${\displaystyle g_{1},g_{2},\dots ,g_{n}}$${\displaystyle x_{g_{i}}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle X_{G}}$${\displaystyle a_{ij}=x_{g_{i}g_{j}}}$

${\displaystyle \det X_{G}=\prod _{j=1}^{r}P_{j}(x_{g_{1}},x_{g_{2}},\dots ,x_{g_{n}})^{\deg P_{j}}}$

โดยที่ 's เป็นพหุนามที่ไม่สามารถแยกตัวประกอบได้แบบไม่ ^เป็นสัดส่วนกันเป็นคู่ๆ และคือจำนวนชั้นสมมูลของG [ ^{2 ]}${\displaystyle P_{j}}$${\displaystyle r}$ 

ถ้าเมทริกซ์จะเป็นดังนี้:${\displaystyle G=\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} =\langle g\mid g^{2}=1\rangle }$

${\displaystyle X_{G}={\begin{bmatrix}x_{1_{G}}&x_{g}\\x_{g}&x_{1_{G}}\end{bmatrix}}.}$

ค่าดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์นี้คือ:

${\displaystyle \det X_{G}=(x_{1_{G}}-x_{g})(x_{1_{G}}+x_{g}).}$

จำนวน ตัวประกอบ พหุนามที่ไม่สามารถแยกตัวประกอบได้อีกมีสองตัว ซึ่งเท่ากับจำนวนชั้นสมมูลของพหุนามนั้น${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$

ถ้าเป็นกลุ่มสมมาตรอันดับ 3 เมทริกซ์จะเป็นดังนี้:${\displaystyle G=S_{3}}$

${\displaystyle X_{G}={\begin{bmatrix}x_{e}&x_{(12)}&x_{(23)}&x_{(31)}&x_{(123)}&x_{(321)}\\x_{(12)}&x_{e}&x_{(321)}&x_{(123)}&x_{(31)}&x_{(23)}\\x_{(23)}&x_{(123)}&x_{e}&x_{(321)}&x_{(12)}&x_{(31 )}\\x_{(31)}&x_{(321)}&x_{(123)}&x_{e}&x_{(23)}&x_{(12)}\\x_{(123)}&x_{(23)}&x_{(31)}&x_{(12)}&x_{(321)}&x_{e}\\x_{(321)}&x_{(31)}&x_{(12)}&x_{(23)}&x_{e}&x_{(123)}\end{bmatrix}}.}$

ตัวกำหนดของเมทริกซ์นี้สามารถแยกตัวประกอบได้ดังนี้:

${\displaystyle \det X_{G}=\left(\sum _{\sigma \in S_{3}}x_{\sigma }\right)\left(\sum _{\sigma \in S_{3}}{\text{sign}}(\sigma )x_{\sigma }\right)\left(F(x_{e},x_{(123)},x_{(321)})-F(x_{(12)},x_{(23)},x_{(31)})\right)^{2}}$

โดยที่. จำนวนตัวประกอบพหุนามที่ไม่สามารถแยกตัวประกอบได้คือสาม ซึ่งเท่ากับจำนวนชั้นสมมูลของ. ตัวประกอบพหุนามดีกรี 2 มีความซ้ำซ้อน 2 ^{[ 3 ]}${\displaystyle F(a,b,c)=a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca}$${\displaystyle S_{3}}$

การพิสูจน์นี้อิงตามการพิสูจน์ของ Evan Chen ซึ่งเกี่ยวข้องกับทฤษฎีการแทน [ ^{3 ] โดย}อาศัยบทพิสูจน์ย่อยต่อไปนี้:

ให้เป็นตัวแทนปกติของกลุ่มพิจารณาแผนที่เชิงเส้น:${\displaystyle V=(V,\rho )=\mathbb {C} [G]}$${\displaystyle G}$

${\displaystyle T=\sum _{g\in G}x_{g}\rho (g)}$,

ซึ่งเมทริกซ์กำหนดโดยเราต้องการตรวจสอบ${\displaystyle X_{G}}$${\displaystyle \det T}$

ตามทฤษฎีบทของ Maschkeพีชคณิตนี้เป็นพีชคณิตกึ่งง่ายดังนั้นจึงสามารถแยกย่อยออกเป็นผลรวมโดยตรงของการแสดงแทนที่ไม่สามารถลดทอนได้${\displaystyle \mathbb {C} [G]}$${\displaystyle V}$

${\displaystyle V=\bigoplus _{i=1}^{r}V_{i}^{\oplus \dim V_{i}}}$

โดยที่แต่ละตัวแทนที่ไม่สามารถลดทอนได้ของ ซึ่งทำให้เราสามารถเขียนได้ดังนี้:${\displaystyle V_{i}}$${\displaystyle V}$

${\displaystyle \det T=\prod _{i=1}^{r}\left(\det(T|_{V_{i}})\right)^{\dim V_{i}},}$

โดยที่แต่ละตัวเป็นตัวประกอบพหุนามของ${\displaystyle \det(T|_{V_{i}})}$${\displaystyle \det T}$

ผลลัพธ์จากทฤษฎีลักษณะเฉพาะระบุว่า จำนวนของตัวแทนที่ไม่สมมาตรกัน (nonisomorphic irreps) ของตัวแทนปกติ (regular representation) เท่ากับจำนวนของชั้นสมมูล (conjugacy classes ) ของ ตัวแทนปกติ นี่คือคำอธิบายว่าทำไมจำนวนของตัวประกอบพหุนามจึงเท่ากับจำนวนของชั้นสมมูล${\displaystyle V}$${\displaystyle G}$

นอกจากนี้ยังเป็นทั้งดีกรีและความซ้ำซ้อนของพหุนามซึ่งเป็นเหตุผลว่าทำไมดีกรีและความซ้ำซ้อนของตัวประกอบพหุนามแต่ละตัวจึงเท่ากัน${\displaystyle \dim V_{i}}$${\displaystyle \det(T|_{V_{i}})}$

เพื่อให้การพิสูจน์เสร็จสมบูรณ์ เราต้องการแสดงให้เห็นว่าพหุนามไม่สามารถแยกตัวประกอบได้และไม่เป็นสัดส่วนกัน${\displaystyle \det(T|_{V_{i}})}$

การพิสูจน์ความไม่สามารถลดทอนได้ : โดยทฤษฎีบทความหนาแน่นของเจคอบสันสำหรับเมทริกซ์ใดๆจะมีการเลือกจำนวนเชิงซ้อนเฉพาะสำหรับแต่ละค่าเช่นนั้น:${\displaystyle M\in {\text{Mat}}(V_{i})}$${\displaystyle x_{g}\in G}$

${\displaystyle M=\sum _{g\in G}x_{g}\rho _{i}(g)=T|_{V_{i}}(\{x_{g}\})}$

สิ่งนี้แสดงให้เห็นว่าเมื่อมองเมทริกซ์ที่มีสมาชิกเป็นพหุนาม จะต้องมีสมาชิกที่เป็นอิสระเชิงเส้น ดังนั้น โดยให้สมาชิกแต่ละตัวเป็นตัวแปรอิสระจึงสรุปได้จากบทพิสูจน์เสริมข้างต้นว่าเป็นพหุนามที่ไม่สามารถแยกตัวประกอบได้${\displaystyle T|_{V_{i}}}$${\displaystyle y_{ij}}$${\displaystyle \det T|_{V_{i}}}$

การพิสูจน์ว่าไม่เป็นสัดส่วน : ข้อนี้พิสูจน์ได้จากการสังเกตว่าเราสามารถอ่านค่าลักษณะ เฉพาะ จากสัมประสิทธิ์ของโดยใช้ข้อเท็จจริงที่ว่าสำหรับทุกค่า สัมประสิทธิ์ของในจะเท่ากับเนื่องจากลักษณะเฉพาะแต่ละตัวเป็นอิสระเชิงเส้นต่อกัน จึงสรุปได้ว่าไม่เป็นสัดส่วนกับตัวประกอบพหุนามอื่นใด${\displaystyle \chi _{V_{i}}}$${\displaystyle \det T|_{V_{i}}}$${\displaystyle g\in G}$${\displaystyle x_{g}x_{1_{G}}^{k-1}}$${\displaystyle \det T|_{V_{i}}}$${\displaystyle \chi _{V_{i}}(g)}$${\displaystyle \det T|_{V_{i}}}$