ในกลศาสตร์วงโคจรวงโคจรคงที่ (frozen orbit)คือวงโคจรของดาวเทียม เทียม ที่การรบกวนลดลงเหลือน้อยที่สุดโดยการเลือกพารามิเตอร์วงโคจร อย่างระมัดระวัง การรบกวนอาจเกิดจากการเคลื่อนที่ตามธรรมชาติเนื่องจากรูปร่างของวัตถุศูนย์กลาง หรือปัจจัยอื่นๆ โดยทั่วไป ระดับ ความสูงของดาวเทียมในวงโคจรคงที่ จะคงที่ ณ จุดเดียวกันในแต่ละรอบตลอดช่วงเวลาที่ยาวนาน^{[ 1 ]}การเปลี่ยนแปลงในความเอียงตำแหน่งของจุดใกล้สุดของวงโคจร และความเยื้องศูนย์กลางลดลงเหลือน้อยที่สุดโดยการเลือกค่าเริ่มต้นเพื่อให้การรบกวนหักล้างกัน^{[ 2 ]}ส่งผลให้วงโคจรมีเสถียรภาพในระยะยาวและลดการใช้เชื้อเพลิง รักษาวงโคจร ให้น้อยที่สุด

สำหรับยานอวกาศที่โคจรรอบโลก การเปลี่ยนแปลงของพารามิเตอร์วงโคจรเกิดจากความแบนของโลกแรงดึงดูดจากดวงอาทิตย์และดวงจันทร์แรงดันรังสีจากดวงอาทิตย์และแรงต้านอากาศ^{[ 3 ]}สิ่งเหล่านี้เรียกว่าแรงรบกวน ต้องมีการปรับวงโคจรเพื่อแก้ไขแรงเหล่านี้เพื่อให้ยานอวกาศอยู่ในวงโคจรที่ต้องการ สำหรับยานอวกาศที่โคจรอยู่กับที่ต้องมีการปรับวงโคจรเพื่อแก้ไขในอัตรา 40–50 เมตร/วินาที (89–112 ไมล์ต่อชั่วโมง) ต่อปี เพื่อแก้ไขแรงเหล่านี้

สำหรับยานอวกาศที่โคจรแบบซิงโครนัสกับ ดวง อาทิตย์ การเปลี่ยนระนาบวงโคจรโดยเจตนา (เรียกว่า " การหมุนควง ") สามารถนำมาใช้เพื่อประโยชน์ของภารกิจได้ สำหรับภารกิจเหล่านี้ จะใช้วงโคจรเกือบเป็นวงกลมที่ระดับความสูง 600–900 กม. เลือกมุมเอียงที่เหมาะสม (97.8-99.0 องศา) ^{[ 4 ]}เพื่อให้การหมุนควงของระนาบวงโคจรเท่ากับอัตราการเคลื่อนที่ของโลกรอบดวงอาทิตย์ ประมาณ 1 องศาต่อวัน

ด้วยเหตุนี้ ยานอวกาศจะโคจรผ่านจุดต่างๆ บนโลกที่มีเวลาเดียวกันในแต่ละรอบการโคจร ตัวอย่างเช่น หากวงโคจร "ตั้งฉากกับดวงอาทิตย์" ยานจะโคจรผ่านจุดที่เวลา 6 โมงเช้าในส่วนที่โคจรไปทางเหนือ และ 6 โมงเย็นในส่วนที่โคจรไปทางใต้เสมอ วงโคจรแบบนี้เรียกว่าวงโคจร "รุ่งอรุณ-พลบค่ำ" ในทางกลับกัน หากดวงอาทิตย์อยู่ในระนาบวงโคจร ยานจะโคจรผ่านจุดที่เวลาเที่ยงวันในส่วนที่โคจรไปทางเหนือ และจุดที่เวลาเที่ยงคืนในส่วนที่โคจรไปทางใต้เสมอ วงโคจรแบบนี้เรียกว่าวงโคจร "เที่ยงวัน-เที่ยงคืน" วงโคจรแบบนี้เป็นที่ต้องการสำหรับภารกิจสำรวจโลกหลายอย่าง เช่น การพยากรณ์อากาศ การถ่ายภาพ และการทำแผนที่

แรงรบกวนที่เกิดจากความแบนของโลกโดยทั่วไปจะรบกวนไม่เพียงแต่ระนาบวงโคจรเท่านั้น แต่ยังรวมถึงความเยื้องศูนย์กลางของวงโคจรด้วย อย่างไรก็ตาม มีวงโคจรเกือบเป็นวงกลมบางวงที่ไม่มีการรบกวนแบบระยะยาว/เป็นคาบเวลาของเวกเตอร์ความเยื้องศูนย์กลาง มีเพียงการรบกวนแบบเป็นคาบเวลาที่มีคาบเวลาเท่ากับคาบเวลาของวงโคจรวงโคจรดังกล่าวจึงเป็นวงโคจรแบบคาบเวลาสมบูรณ์ (ยกเว้นการหมุนควงของระนาบวงโคจร) และจึงเรียกว่า "วงโคจรคงที่" วงโคจรเหล่านี้มักเป็นตัวเลือกที่นิยมสำหรับภารกิจสังเกตการณ์โลกที่ต้องการการสังเกตการณ์ซ้ำๆ ภายใต้สภาวะคงที่

ดาวเทียมสำรวจโลกมักถูกใช้งานในวงโคจรคงที่แบบซิงโครนัสกับดวงอาทิตย์ เนื่องจากข้อได้เปรียบด้านการสังเกตการณ์ที่ดาวเทียมเหล่านี้มอบให้

จากการศึกษา ดาวเทียม โคจรรอบดวงจันทร์ จำนวนมาก นักวิทยาศาสตร์ค้นพบว่าวงโคจรรอบดวงจันทร์ระดับต่ำ (LLO) ส่วนใหญ่ไม่เสถียร^{[ 5 ]}วงโคจรรอบดวงจันทร์ที่หยุดนิ่งสี่วงได้รับการระบุที่มุมเอียง 27°, 50°, 76° และ 86° NASA ได้อธิบายเรื่องนี้ในปี 2549:

มวลสารรอบดวงจันทร์ทำให้วงโคจรต่ำรอบดวงจันทร์ส่วนใหญ่ไม่เสถียร... เมื่อดาวเทียมโคจรผ่านเหนือศีรษะที่ระยะ 50 หรือ 60 ไมล์ มวลสารเหล่านี้จะดึงดาวเทียมไปข้างหน้า ข้างหลัง ซ้าย ขวา หรือลง โดยทิศทางและขนาดของการดึงจะขึ้นอยู่กับวิถีโคจรของดาวเทียม หากไม่มีการส่งจรวดบนยานเพื่อแก้ไขวงโคจรเป็นระยะ ดาวเทียมส่วนใหญ่ที่ปล่อยเข้าสู่วงโคจรต่ำรอบดวงจันทร์ (ต่ำกว่าประมาณ 60 ไมล์ หรือ 100 กิโลเมตร) จะพุ่งชนดวงจันทร์ในที่สุด... [มี] 'วงโคจรคงที่' จำนวนหนึ่งที่ยานอวกาศสามารถอยู่ในวงโคจรต่ำรอบดวงจันทร์ได้อย่างไม่มีกำหนด เกิดขึ้นที่มุมเอียงสี่มุม ได้แก่ 27°, 50°, 76° และ 86° โดยมุมสุดท้ายอยู่เกือบเหนือขั้วดวงจันทร์ วงโคจรของดาวเทียมย่อยPFS-1 ของ Apollo 15 ที่มีอายุค่อนข้างยาวนาน มีมุมเอียง 28° ซึ่งพบว่าใกล้เคียงกับมุมเอียงของวงโคจรคงที่วงหนึ่ง แต่PFS-2 ที่โชคไม่ดี มีมุมเอียงวงโคจรเพียง 11° ^{[ 6 ]}

สำหรับวงโคจรของดวงจันทร์ที่มีระดับความสูงอยู่ในช่วง 500 ถึง 20,000 กม. (310 ถึง 12,430 ไมล์) แรงโน้มถ่วงของโลกทำให้เกิดการรบกวนวงโคจร งานวิจัยที่ตีพิมพ์ในปี 2548 แสดงให้เห็นวงโคจรของดวงจันทร์แบบวงรีเอียงประเภทหนึ่งที่ทนต่อสิ่งนี้และจึงถูกตรึงไว้เช่นกัน^{[ 7 ]}

ทฤษฎีคลาสสิกของวงโคจรคงที่นั้นโดยพื้นฐานแล้วมีพื้นฐานมาจากการวิเคราะห์การรบกวน เชิงวิเคราะห์ สำหรับดาวเทียมเทียมของDirk Brouwerซึ่งทำภายใต้สัญญากับNASAและตีพิมพ์ในปี พ.ศ. 2492 ^{[ 8 ]}

การวิเคราะห์นี้สามารถดำเนินการได้ดังต่อไปนี้:

ในบทความเรื่องการวิเคราะห์การรบกวนวงโคจรการรบกวนระยะยาวของขั้ววงโคจร จากเทอมของแบบจำลองศักย์ทางภูมิศาสตร์แสดงให้เห็นว่า ${\displaystyle \Delta {\หมวก {z}}\,}$${\displaystyle J_{2}\,}$

${\displaystyle \Delta {\hat {z}}\ =\ -2\pi \ {\frac {J_{2}}{\mu \ p^{2}}}\ {\frac {3}{2}}\ \cos i\ \sin i\quad {\hat {g}}}$

1

ซึ่งสามารถแสดงออกมาในรูปขององค์ประกอบวงโคจรได้ดังนี้:

${\displaystyle \เดลต้า i\ =\ 0}$

2

${\displaystyle \Delta \Omega \ =\ -2\pi \ {\frac {J_{2}}{\mu \ p^{2}}}\ {\frac {3}{2}}\ \cos i}$

3

เมื่อทำการวิเคราะห์ในทำนองเดียวกันสำหรับคำนี้ (ซึ่งสอดคล้องกับข้อเท็จจริงที่ว่าโลกมีรูปร่างคล้ายลูกแพร์เล็กน้อย ) จะได้ว่า ${\displaystyle J_{3}\,}$

${\displaystyle \Delta {\hat {z}}\ =\ 2\pi \ {\frac {J_{3}}{\mu \ p^{3}}}\ {\frac {3}{2}}\ \cos i\ \left(\ e_{h}\ \left(1-{\frac {15}{4}}\ \sin ^{2}i\right)\ {\hat {g}}\ -\ e_{g}\ \left(1-{\frac {5}{4}}\ \sin ^{2}i\right)\ {\hat {h}}\right)}$

4

ซึ่งสามารถแสดงได้ในรูปขององค์ประกอบวงโคจรดังนี้

${\displaystyle \Delta i\ =\ -2\pi \ {\frac {J_{3}}{\mu \ p^{3}}}\ {\frac {3}{2}}\ \cos i\ e_{g}\ \left(1-{\frac {5}{4}}\ \sin ^{2}i\right)}$

5

${\displaystyle \Delta \Omega \ =\ 2\pi \ {\frac {J_{3}}{\mu \ p^{3}}}\ {\frac {3}{2}}\ {\frac {\cos i}{\sin i}}\ \ e_{h}\ \left(1-{\frac {15}{4}}\ \sin ^{2}i\right)}$

6

ในบทความเดียวกันนี้ แสดงให้เห็นว่า การรบกวนทางโลกของส่วนประกอบของเวกเตอร์ความเยื้องศูนย์ที่เกิดจากนั้น มีดังนี้:${\displaystyle J_{2}\,}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(\Delta e_{g},\Delta e_{h}\right)\ =\ &-2\pi \ {\frac {J_{2}}{\mu \ p^{2}}}\ {\frac {3}{2}}\left({\frac {3}{2}}\ \sin ^{2}i\ -\ 1\right)\ (-e_{h},e_{g})\ +\ 2\pi \ {\frac {J_{2}}{\mu \ p^{2}}}\ {\frac {3}{2}}\ \cos ^{2}i\left(-e_{h},e_{g}\right)\ =\\&-2\pi \ {\frac {J_{2}}{\mu \ p^{2}}}\ 3\left({\frac {5}{4}}\ \sin ^{2}i\ -\ 1\right)\ \left(-e_{h},e_{g}\right)\end{aligned}}}$

7

ที่ไหน:

• พจน์แรกคือการรบกวนในระนาบของเวกเตอร์ความเยื้องศูนย์ที่เกิดจากส่วนประกอบในระนาบของแรงรบกวน
• พจน์ที่สองคือผลกระทบจากตำแหน่งใหม่ของจุดขึ้นในระนาบวงโคจรใหม่ โดยระนาบวงโคจรถูกรบกวนด้วยส่วนประกอบของแรงนอกระนาบ

เมื่อทำการวิเคราะห์เทอมหนึ่งจะได้เทอมแรก นั่นคือ เทอมการรบกวนของเวกเตอร์ความเยื้องศูนย์จากส่วนประกอบแรงในระนาบ ${\displaystyle J_{3}\,}$

${\displaystyle 2\pi \ {\frac {J_{3}}{\mu \ p^{3}}}\ {\frac {3}{2}}\ \sin i\ \left({\frac {5}{4}}\ \sin ^{2}i\ -\ 1\right)\left(\left(1-{e_{g}}^{2}+4\ {e_{h}}^{2}\right)\ {\hat {g}}\ -\ 5\ e_{g}\ e_{h}\ {\hat {h}}\right)}$

8

สำหรับมุมเอียงในช่วง 97.8–99.0 องศาค่าที่กำหนดโดย ( 6 ) มีขนาดเล็กกว่าค่าที่กำหนดโดย ( 3 ) มาก และสามารถละเลยได้ ในทำนองเดียวกัน พจน์กำลังสองของส่วนประกอบเวกเตอร์ความเยื้องศูนย์ใน ( 8 ) สามารถละเลยได้สำหรับวงโคจรเกือบเป็นวงกลม กล่าวคือ ( 8 ) สามารถประมาณได้ด้วย ${\displaystyle \Delta \Omega \,}$

${\displaystyle 2\pi \ {\frac {J_{3}}{\mu \ p^{3}}}\ {\frac {3}{2}}\ \sin i\ \left({\frac {5}{4}}\ \sin ^{2}i\ -\ 1\right)\ {\hat {g}}}$

9

การเพิ่มเงินบริจาค ${\displaystyle J_{3}\,}$${\displaystyle 2\pi \ {\frac {J_{3}}{\mu \ p^{3}}}\ {\frac {3}{2}}\ \sin i\ \left({\frac {5}{4}}\ \sin ^{2}i\ -\ 1\right)\ (1,\ 0)}$

ถึง ( 7 ) หนึ่งได้รับ

${\displaystyle \left(\Delta e_{g},\Delta e_{h}\right)\ =\ -2\pi \ {\frac {J_{2}}{\mu \ p^{2}}}\ 3\left({\frac {5}{4}}\ \sin ^{2}i\ -\ 1\right)\ \left(-\left(e_{h}+{\frac {J_{3}\ \sin i}{J_{2}\ 2\ p}}\right),\ e_{g}\right)}$

10

สมการผลต่างแสดงให้เห็นว่าเวกเตอร์ความเยื้องศูนย์จะอธิบายวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดนั้นโดยค่าเชิงขั้วของเวกเตอร์ความเยื้องศูนย์จะเพิ่มขึ้นตามจำนวนเรเดียนระหว่างวงโคจรที่ต่อเนื่องกัน ${\displaystyle \left(\ 0,\ -{\frac {J_{3}\ \sin i}{J_{2}\ 2\ p}}\ \right)\,}$${\displaystyle -2\pi \ {\frac {J_{2}}{\mu \ p^{2}}}\ 3\left({\frac {5}{4}}\ \sin ^{2}i\ -\ 1\right)\,}$

เช่น

${\displaystyle \mu =398600.440{\text{ km}}^{3}/s^{2}\,}$

${\displaystyle J_{2}=1.7555\ 10^{10}{\text{ km}}^{5}/s^{2}\,}$

${\displaystyle J_{3}=-2.619\ 10^{11}{\text{ km}}^{6}/s^{2}\,}$

จะได้วงโคจรขั้วโลก ( ) โดยที่จุดศูนย์กลางของวงกลมอยู่ที่และการเปลี่ยนแปลงของมุมขั้วโลกคือ 0.00400 เรเดียนต่อวงโคจร ${\displaystyle i=90^{\circ }\,}$${\displaystyle p=7200{\text{ km}}\,}$${\displaystyle (0,\ 0.001036)\,}$

ตัวเลขหลังนี้หมายความว่าเวกเตอร์ความเยื้องศูนย์จะเคลื่อนที่ครบวงกลมใน 1569 รอบ การเลือกเวกเตอร์ความเยื้องศูนย์เฉลี่ยเริ่มต้นเป็นเวกเตอร์ความเยื้องศูนย์เฉลี่ยจะคงที่สำหรับรอบต่อๆ ไป กล่าวคือ วงโคจรจะหยุดนิ่งเนื่องจากการรบกวนระยะยาวของเทอมที่กำหนดโดย ( 7 ) และเทอมที่กำหนดโดย ( 9 ) จะหักล้างกัน ${\displaystyle (0,\ 0.001036)\,}$${\displaystyle J_{2}\,}$${\displaystyle J_{3}\,}$

ในแง่ขององค์ประกอบวงโคจรแบบคลาสสิก หมายความว่าวงโคจรคงที่ควรมีองค์ประกอบเฉลี่ยดังต่อไปนี้:

${\displaystyle e=-{\frac {J_{3}\ \sin i}{J_{2}\ 2\ p}}\,}$

${\displaystyle \omega =\ 90^{\circ }\,}$

ทฤษฎีวงโคจรแช่แข็งสมัยใหม่มีพื้นฐานมาจากอัลกอริทึมที่ระบุไว้ในบทความของ Mats Rosengren ในปี 1989 ^{[ 9 ]}

สำหรับเรื่องนี้ นิพจน์เชิงวิเคราะห์ ( 7 ) ถูกนำมาใช้เพื่ออัปเดตเวกเตอร์ความเยื้องศูนย์เริ่มต้น (เฉลี่ย) ซ้ำๆ เพื่อให้ได้เวกเตอร์ความเยื้องศูนย์ (เฉลี่ย) ที่คำนวณโดยการแพร่กระจายเชิงตัวเลขที่แม่นยำในวงโคจรหลายรอบต่อมา ซึ่งมีค่าเท่ากันอย่างแม่นยำ ด้วยวิธีนี้ การรบกวนระยะยาวของเวกเตอร์ความเยื้องศูนย์ที่เกิดจากเทอมจะถูกนำมาใช้เพื่อหักล้างการรบกวนระยะยาวทั้งหมด ไม่ใช่เฉพาะการรบกวน (ที่เด่นกว่า) ที่เกิดจากเทอมเท่านั้น การรบกวนระยะยาวเพิ่มเติมอีกประการหนึ่งที่สามารถชดเชยได้ด้วยวิธีนี้คือการรบกวนที่เกิดจากแรงดันรังสีจากดวงอาทิตย์การรบกวนนี้จะกล่าวถึงในบทความ " การวิเคราะห์การรบกวนวงโคจร (ยานอวกาศ) " ${\displaystyle J_{2}\,}$${\displaystyle J_{3}\,}$

เมื่อนำอัลกอริธึมนี้มาใช้กับกรณีที่กล่าวถึงข้างต้น นั่นคือวงโคจรขั้วโลก ( ) โดยไม่สนใจแรงรบกวนอื่นใดนอกจากและแรงสำหรับการแพร่กระจายเชิงตัวเลข จะได้เวกเตอร์ความเยื้องศูนย์กลางเฉลี่ยที่เหมาะสมที่สุดเหมือนกับ "ทฤษฎีคลาสสิก" นั่นคือ ${\displaystyle i=90^{\circ }\,}$${\displaystyle p=7200{\text{ km}}\,}$${\displaystyle J_{2}\,}$${\displaystyle J_{3}\,}$${\displaystyle (0,\ 0.001036)\,}$

เมื่อเรารวมแรงที่เกิดจากเงื่อนไขโซนที่สูงขึ้นเข้าไปด้วย ค่าที่เหมาะสมที่สุดจะเปลี่ยนเป็น. ${\displaystyle (0,\ 0.001285)\,}$

นอกจากนี้ หากสมมติว่าความดันแสงอาทิตย์อยู่ในระดับที่เหมาะสม (พื้นที่หน้าตัด0.05 ตร.ม. ^/กก.โดยมีทิศทางไปยังดวงอาทิตย์ในทิศทางไปยังจุดขึ้น) ค่าที่เหมาะสมที่สุดสำหรับเวกเตอร์ความเยื้องศูนย์เฉลี่ยจะกลายเป็นซึ่งสอดคล้องกับ : กล่าวคือ ค่าที่เหมาะสมที่สุดจะไม่ใช่ ค่าเดิม อีกต่อไป ${\displaystyle (0.000069,\ 0.001285)\,}$${\displaystyle \omega =\ 87^{\circ }\,}$${\displaystyle \omega =\ 90^{\circ }}$

อัลกอริทึม นี้ ถูกนำไปใช้ในซอฟต์แวร์ควบคุมวงโคจรที่ใช้สำหรับดาวเทียมสำรวจโลกERS-1, ERS-2และEnvisat

แรงรบกวนหลักที่ต้องต้านทานเพื่อให้วงโคจรคงที่คือ " แรง" หรือแรงโน้มถ่วงที่เกิดจากความไม่สมบูรณ์ของสมมาตรทางเหนือ-ใต้ของโลก และ "ทฤษฎีคลาสสิก" นั้นอิงอยู่กับสูตรสำเร็จรูปสำหรับ " แรงรบกวน" นี้ ส่วน "ทฤษฎีสมัยใหม่" นั้นไม่ได้ใช้สูตรสำเร็จรูปนี้โดยตรง แต่ก็ยังคุ้มค่าที่จะหาที่มาของมัน การหาที่มาของสูตรนี้สามารถทำได้ดังนี้: ${\displaystyle J_{3}\,}$${\displaystyle J_{3}\,}$

ศักยภาพจากเทอมโซนัลมีความสมมาตรแบบหมุนรอบแกนขั้วโลกของโลก และแรงที่สอดคล้องกันนั้นอยู่ในระนาบตามยาวทั้งหมด โดยมีองค์ประกอบหนึ่งในทิศทางรัศมี และอีกองค์ประกอบหนึ่ง มีเวกเตอร์หน่วยตั้งฉากกับทิศทางรัศมีไปทางทิศเหนือ ทิศทางเหล่านี้แสดงไว้ในรูปที่ 1 ${\displaystyle F_{r}\ {\hat {r}}\,}$${\displaystyle F_{\lambda }\ {\hat {\lambda }}\,}$${\displaystyle {\hat {\lambda }}\,}$${\displaystyle {\hat {r}}\,}$${\displaystyle {\hat {\lambda }}\,}$

ในบทความเรื่องแบบจำลองศักย์ทางภูมิศาสตร์แสดงให้เห็นว่าส่วนประกอบของแรงเหล่านี้ที่เกิดจากเทอมนั้นคือ ${\displaystyle J_{3}\,}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&F_{r}=J_{3}\ {\frac {1}{r^{5}}}\ 2\ \sin \lambda \ \left(5\sin ^{2}\lambda \ -\ 3\right)\\&F_{\lambda }=-J_{3}\ {\frac {1}{r^{5}}}\ {\frac {3}{2}}\ \cos \lambda \ \left(5\ \sin ^{2}\lambda \ -1\right)\end{aligned}}}$

11

เพื่อให้สามารถนำความสัมพันธ์ที่ได้มาจากบทความการวิเคราะห์การรบกวนวงโคจร (ยานอวกาศ) มาใช้ จะต้องแยกส่วนประกอบของแรงออก เป็นสองส่วนประกอบตั้งฉากกัน ดังแสดงในรูปที่ 2 ${\displaystyle F_{\lambda }\ {\hat {\lambda }}\,}$${\displaystyle F_{t}\ {\hat {t}}}$${\displaystyle F_{z}\ {\hat {z}}}$

ให้สร้างระบบพิกัดสี่เหลี่ยมผืนผ้าโดยมีจุดกำเนิดอยู่ที่ศูนย์กลางของโลก (ที่ศูนย์กลางของทรงรีอ้างอิง ) โดยให้จุดต่างๆ ชี้ไปทางทิศเหนือ และให้จุดต่างๆอยู่ในระนาบเส้นศูนย์สูตรของโลก โดยให้จุดหนึ่งชี้ไปยังจุดตัดขึ้นนั่นคือจุดสีน้ำเงินในรูปที่ 2 ${\displaystyle {\hat {a}},\ {\hat {b}},\ {\hat {n}}\,}$${\displaystyle {\hat {n}}\,}$${\displaystyle {\hat {a}},\ {\hat {b}}\,}$${\displaystyle {\hat {a}}\,}$

ส่วนประกอบของเวกเตอร์หน่วย

${\displaystyle {\hat {r}},\ {\hat {t}},\ {\hat {z}}\,}$

ซึ่งประกอบด้วยระบบพิกัดท้องถิ่น (ดังแสดงในรูปที่ 2) และแสดงความสัมพันธ์ระหว่างระบบพิกัดเหล่านั้นกับมีดังต่อไปนี้: ${\displaystyle {\hat {t}},\ {\hat {z}},}$${\displaystyle {\hat {a}},\ {\hat {b}},\ {\hat {n}}\,}$

${\displaystyle r_{a}=\cos u\,}$

${\displaystyle r_{b}=\cos i\ \sin u\,}$

${\displaystyle r_{n}=\sin i\ \sin u\,}$

${\displaystyle t_{a}=-\sin u\,}$

${\displaystyle t_{b}=\cos i\ \cos u\,}$

${\displaystyle t_{n}=\sin i\ \cos u\,}$

${\displaystyle z_{a}=0\,}$

${\displaystyle z_{b}=-\sin i\,}$

${\displaystyle z_{n}=\cos i\,}$

อาร์กิวเมนต์เชิงขั้วของเวกเตอร์หน่วยตั้งฉากและในระนาบวง โคจรอยู่ ที่ไหน${\displaystyle u\,}$${\displaystyle {\hat {r}}\,}$${\displaystyle {\hat {g}}={\hat {a}}\,}$${\displaystyle {\hat {h}}=\cos i\ {\hat {b}}\ +\ \sin i\ {\hat {n}}\,}$

ประการแรก

${\displaystyle \sin \lambda =\ r_{n}\ =\ \sin i\ \sin u\,}$

มุม ระหว่างระนาบเส้นศูนย์สูตรและ(ระหว่างจุดสีเขียวในรูปที่ 2) และจากสมการ (12) ของบทความแบบจำลองศักย์ทางภูมิศาสตร์จึงได้มาว่า ${\displaystyle \lambda \,}$${\displaystyle {\hat {r}}\,}$

${\displaystyle F_{r}=J_{3}\ {\frac {1}{r^{5}}}\ 2\ \sin i\ \sin u\,\ \left(5\sin ^{2}i\ \sin ^{2}u\ -\ 3\right)}$

12

ประการที่สอง การฉายภาพทิศเหนือบนระนาบที่ทอดตัวโดยคือ ${\displaystyle {\hat {n}}\,}$${\displaystyle {\hat {t}},\ {\hat {z}},}$

${\displaystyle \sin i\ \cos u\ {\hat {t}}\ +\ \cos i\ {\hat {z}}\,}$

และการคาดการณ์นี้คือ

${\displaystyle \cos \lambda \ {\hat {\lambda }}\,}$

โดยที่เวกเตอร์หน่วยตั้งฉากกับทิศทางรัศมีไปทางทิศเหนือตามที่แสดงในรูปที่ 1 ${\displaystyle {\hat {\lambda }}\,}$${\displaystyle {\hat {\lambda }}}$

จากสมการ ( 11 ) เราจะเห็นว่า

${\displaystyle F_{\lambda }\ {\hat {\lambda }}\ =-J_{3}\ {\frac {1}{r^{5}}}\ {\frac {3}{2}}\ \left(5\ \sin ^{2}\lambda \ -1\right)\ \cos \lambda \ {\hat {\lambda }}\ =\ -J_{3}\ {\frac {1}{r^{5}}}\ {\frac {3}{2}}\ \left(5\ \sin ^{2}\lambda \ -1\right)\ (\sin i\ \cos u\ {\hat {t}}\ +\ \cos i\ {\hat {z}})\,}$

ดังนั้น:

${\displaystyle F_{t}=\ -J_{3}\ {\frac {1}{r^{5}}}\ {\frac {3}{2}}\ \left(5\ \sin ^{2}i\ \sin ^{2}u\ -1\right)\ \sin i\ \cos u}$

13

${\displaystyle F_{z}=\ -J_{3}\ {\frac {1}{r^{5}}}\ {\frac {3}{2}}\ \left(5\ \sin ^{2}i\ \sin ^{2}u\ -1\right)\ \cos i}$

14

ในบทความเรื่องการวิเคราะห์การรบกวนวงโคจร (ยานอวกาศ)ยังแสดงให้เห็นเพิ่มเติมว่า การรบกวนระยะยาวของขั้ววงโคจรคือ ${\displaystyle {\hat {z}}\,}$

${\displaystyle \Delta {\hat {z}}\ =\ {\frac {1}{\mu p}}\left[{\hat {g}}\int \limits _{0}^{2\pi }F_{z}r^{3}\cos u\ du+\ {\hat {h}}\int \limits _{0}^{2\pi }F_{z}r^{3}\sin u\ du\right]\quad \times \ {\hat {z}}}$

15

เมื่อนำนิพจน์ของ ( 14 ) มาใช้ใน ( 15 ) จะได้ ${\displaystyle F_{z}\,}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\Delta {\hat {z}}\ =-{\frac {J_{3}}{\mu \ p^{3}}}\ {\frac {3}{2}}\ \cos i\ \cdot \\&\left[{\hat {g}}\int \limits _{0}^{2\pi }{\left({\frac {p}{r}}\right)}^{2}\left(5\ \sin ^{2}i\ \sin ^{2}u\ -1\right)\cos u\ du\ +{\hat {h}}\int \limits _{0}^{2\pi }{\left({\frac {p}{r}}\right)}^{2}\left(5\ \sin ^{2}i\ \sin ^{2}u\ -1\right)\sin u\ du\right]\quad \times \ {\hat {z}}\end{aligned}}}$

16

เศษส่วนคือ ${\displaystyle {\frac {p}{r}}\,}$

${\displaystyle {\frac {p}{r}}\ =\ 1+e\cdot \cos \theta \ =\ 1+e_{g}\cdot \cos u+e_{h}\cdot \sin u}$

ที่ไหน

${\displaystyle e_{g}=\ e\ \cos \omega }$

${\displaystyle e_{h}=\ e\ \sin \omega }$

คือส่วนประกอบของเวกเตอร์ความเยื้องศูนย์ในระบบพิกัด ${\displaystyle {\hat {g}},\ {\hat {h}}\,}$

เนื่องจากอินทิกรัลทั้งหมดของประเภท

${\displaystyle \int \limits _{0}^{2\pi }\cos ^{m}u\ \sin ^{n}u\ du\,}$

จะเป็นศูนย์หากไม่ใช่ทั้งสองอย่างและเป็นเลขคู่ เราจะเห็นว่า ${\displaystyle n\,}$${\displaystyle m\,}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\int \limits _{0}^{2\pi }{\left({\frac {p}{r}}\right)}^{2}\left(5\ \sin ^{2}i\ \sin ^{2}u\ -1\right)\cos u\ du&=\ 2\ e_{g}\ \left(5\ \sin ^{2}i\ \int \limits _{0}^{2\pi }\sin ^{2}u\cos ^{2}u\ du\ -\int \limits _{0}^{2\pi }\cos ^{2}u\ du\right)\\&=\ 2\pi \ e_{g}\ ({\frac {5}{4}}\sin ^{2}i-1)\end{aligned}}}$

17

และ

${\displaystyle {\begin{aligned}\int \limits _{0}^{2\pi }{\left({\frac {p}{r}}\right)}^{2}\left(5\ \sin ^{2}i\ \sin ^{2}u\ -1\right)\sin u\ du&=\ 2\ e_{h}\ \left(5\ \sin ^{2}i\ \int \limits _{0}^{2\pi }\sin ^{4}u\ du\ -\int \limits _{0}^{2\pi }\sin ^{2}u\ du\right)\\&=\ 2\pi \ e_{h}\ ({\frac {15}{4}}\sin ^{2}i-1)\end{aligned}}}$

18

ดังนั้นจึงสรุปได้ว่า

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta {\hat {z}}\ &=\ 2\pi \ {\frac {J_{3}}{\mu \ p^{3}}}\ {\frac {3}{2}}\ \cos i\ \left[e_{g}\ (1-{\frac {5}{4}}\sin ^{2}i)\ {\hat {g}}+\ e_{h}\ (1-{\frac {15}{4}}\sin ^{2}i)\ {\hat {h}}\right]\quad \times \ {\hat {z}}\\&=\ 2\pi \ {\frac {J_{3}}{\mu \ p^{3}}}\ {\frac {3}{2}}\ \cos i\ \left[\ e_{h}\ (1-{\frac {15}{4}}\sin ^{2}i)\ {\hat {g}}\ -e_{g}\ (1-{\frac {5}{4}}\sin ^{2}i)\ {\hat {h}}\right]\end{aligned}}}$

19

ที่ไหน

${\displaystyle {\hat {g}}\,}$และคือเวกเตอร์ฐานของระบบพิกัดสี่เหลี่ยมในระนาบวงโคจรเคปเลอร์อ้างอิง โดยอยู่ในระนาบเส้นศูนย์สูตรไปยังจุดขึ้น และคือมุมเชิงขั้วสัมพันธ์กับระบบพิกัดเส้นศูนย์สูตร นี้${\displaystyle {\hat {h}}\,}$${\displaystyle {\hat {g}}\,}$${\displaystyle u\,}$

${\displaystyle f_{z}\,}$คือส่วนประกอบของแรง (ต่อหน่วยมวล) ในทิศทางของขั้ววงโคจร${\displaystyle {\hat {z}}\,}$

ในบทความเรื่องการวิเคราะห์การรบกวนวงโคจร (ยานอวกาศ)แสดงให้เห็นว่า การรบกวนระยะยาวของเวกเตอร์ความเยื้องศูนย์กลางคือ

${\displaystyle \Delta {\bar {e}}\ ={\frac {1}{\mu }}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\left(-{\hat {t}}\ f_{r}\ +\ \left(2\ {\hat {r}}-{\frac {V_{r}}{V_{t}}}\ {\hat {t}}\right)\ f_{t}\right)\ r^{2}\ du}$

20

ที่ไหน

• ${\displaystyle {\hat {r}},{\hat {t}}\,}$เป็นระบบพิกัดท้องถิ่นทั่วไปที่มีเวกเตอร์หน่วยชี้ออกจากโลก${\displaystyle {\hat {r}}\,}$
• ${\displaystyle V_{r}={\sqrt {\frac {\mu }{p}}}\cdot e\cdot \sin \theta }$- ส่วนประกอบของความเร็วในทิศทาง${\displaystyle {\hat {r}}\,}$
• ${\displaystyle V_{t}={\sqrt {\frac {\mu }{p}}}\cdot (1+e\cdot \cos \theta )}$- ส่วนประกอบของความเร็วในทิศทาง${\displaystyle {\hat {t}}\,}$

เมื่อนำนิพจน์สำหรับ( 12 ) และ ( 13 ) มาใช้ใน ( 20 ) จะได้ ${\displaystyle F_{r},\ F_{t}\,}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\Delta {\bar {e}}\ ={\frac {J_{3}}{\mu \ p^{3}}}\ \sin i\ \cdot \\&\int \limits _{0}^{2\pi }\left(-{\hat {t}}\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{3}\ 2\ \sin u\,\ \left(5\sin ^{2}i\ \sin ^{2}u\ -\ 3\right)\ -\ \left(2\ {\hat {r}}-{\frac {V_{r}}{V_{t}}}\ {\hat {t}}\right)\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{3}\ {\frac {3}{2}}\ \left(5\ \sin ^{2}i\ \sin ^{2}u\ -1\right)\ \cos u\right)du\end{aligned}}}$

21

โดยใช้สิ่งนั้น

${\displaystyle {\frac {V_{r}}{V_{t}}}={\frac {e_{g}\cdot \sin u\ -\ e_{h}\cdot \cos u}{\frac {p}{r}}}}$

อินทิกรัลข้างต้นสามารถแยกออกเป็น 8 พจน์:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\int \limits _{0}^{2\pi }\left(-{\hat {t}}\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{3}\ 2\ \sin u\,\ \left(5\sin ^{2}i\ \sin ^{2}u\ -\ 3\right)\ -\ \left(2\ {\hat {r}}-{\frac {V_{r}}{V_{t}}}\ {\hat {t}}\right)\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{3}\ {\frac {3}{2}}\ \left(5\ \sin ^{2}i\ \sin ^{2}u\ -1\right)\ \cos u\right)\ du\ =\\&-10\sin ^{2}i\ \int \limits _{0}^{2\pi }{\hat {t}}\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{3}\ \sin ^{3}u\ du\\&+6\ \int \limits _{0}^{2\pi }{\hat {t}}\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{3}\ \sin u\ du\\&-15\ \sin ^{2}i\int \limits _{0}^{2\pi }{\hat {r}}\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{3}\ \sin ^{2}u\ \cos u\ du\\&+3\ \int \limits _{0}^{2\pi }{\hat {r}}\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{3}\ \cos u\ du\\&+{\frac {15}{2}}\sin ^{2}i\ e_{g}\int \limits _{0}^{2\pi }{\hat {t}}\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{2}\ \ \ \sin ^{3}u\ \cos u\ du\\&-{\frac {15}{2}}\sin ^{2}i\ e_{h}\ \int \limits _{0}^{2\pi }{\hat {t}}\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{2}\ \ \ \sin ^{2}u\ \cos ^{2}u\ du\\&-{\frac {3}{2}}\ e_{g}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ {\hat {t}}\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{2}\ \ \sin u\ \cos u\ du\\&+{\frac {3}{2}}\ e_{h}\ \int \limits _{0}^{2\pi }{\hat {t}}\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{2}\ \ \cos ^{2}u\ du\end{aligned}}}$

22

เนื่องจาก

${\displaystyle {\hat {r}}=\cos u\ {\hat {g}}\ +\ \sin u\ {\hat {h}}}$

${\displaystyle {\hat {t}}=-\sin u\ {\hat {g}}\ +\ \cos u\ {\hat {h}}}$

เราได้รับ

${\displaystyle {\frac {p}{r}}\ =\ 1+e\cdot \cos \theta \ =\ 1+e_{g}\cdot \cos u+e_{h}\cdot \sin u}$

และอินทิกรัลทั้งหมดของประเภท

${\displaystyle \int \limits _{0}^{2\pi }\cos ^{m}u\ \sin ^{n}u\ du\,}$

จะเป็นศูนย์หากไม่ใช่ทั้งสองอย่างและเป็นเลขคู่: ${\displaystyle n\,}$${\displaystyle m\,}$

ภาคเรียนที่ 1

${\displaystyle {\begin{aligned}&\int \limits _{0}^{2\pi }{\hat {t}}\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{3}\ \sin ^{3}u\ du\ =-{\hat {g}}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{3}\ \sin ^{4}u\ du\ +{\hat {h}}\int \limits _{0}^{2\pi }\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{3}\ \sin ^{3}u\ \cos u\ du\ =\\&-{\hat {g}}\ \left(\int \limits _{0}^{2\pi }\ \sin ^{4}u\ du\ +\ 3\ {e_{g}}^{2}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ \cos ^{2}u\ \sin ^{4}u\ du\ \ +\ 3\ {e_{h}}^{2}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ \sin ^{6}u\ du\ \right)\\&+{\hat {h}}\ 6\ e_{g}\ e_{h}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ \cos ^{2}u\ \sin ^{4}u\ du=\\&-{\hat {g}}\ \left(2\pi \left({\frac {3}{8}}\ +\ {\frac {3}{16}}\ {e_{g}}^{2}\ +\ {\frac {15}{16}}\ {e_{h}}^{2}\right)\right)+{\hat {h}}\ \left(2\pi \left({\frac {3}{8}}\ e_{g}\ e_{h}\right)\right)\end{aligned}}}$

23

ภาคเรียนที่ 2

${\displaystyle {\begin{aligned}&\int \limits _{0}^{2\pi }{\hat {t}}\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{3}\ \sin u\ du\ =-{\hat {g}}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{3}\ \sin ^{2}u\ du\ +{\hat {h}}\int \limits _{0}^{2\pi }\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{3}\ \sin u\ \cos u\ du\ =\\&-{\hat {g}}\ \left(\int \limits _{0}^{2\pi }\ \sin ^{2}u\ du\ +\ 3\ {e_{g}}^{2}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ \cos ^{2}u\ \sin ^{2}u\ du\ \ +\ 3\ {e_{h}}^{2}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ \sin ^{6}u\ du\ \right)\\&+{\hat {h}}\ 6\ e_{g}\ e_{h}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ \cos ^{2}u\ \sin ^{2}u\ du=\\&-{\hat {g}}\ \left(2\pi \left({\frac {1}{2}}\ +\ {\frac {3}{8}}\ {e_{g}}^{2}\ +\ {\frac {9}{8}}\ {e_{h}}^{2}\right)\right)+{\hat {h}}\ \left(2\pi \left({\frac {3}{4}}\ e_{g}\ e_{h}\right)\right)\end{aligned}}}$

24

ภาคเรียนที่ 3

${\displaystyle {\begin{aligned}&\int \limits _{0}^{2\pi }{\hat {r}}\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{3}\ \sin ^{2}u\ \cos u\ du\ ={\hat {g}}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{3}\ \sin ^{2}u\cos ^{2}u\ du\ +{\hat {h}}\int \limits _{0}^{2\pi }\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{3}\ \sin ^{3}u\ \cos u\ du\ =\\&{\hat {g}}\ \left(\int \limits _{0}^{2\pi }\ \sin ^{2}u\cos ^{2}u\ du\ +\ 3\ {e_{g}}^{2}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ \cos ^{4}u\ \sin ^{2}u\ du\ \ +\ 3\ {e_{h}}^{2}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ \sin ^{4}u\ \cos ^{2}u\ du\ \right)\\&+{\hat {h}}\ 6\ e_{g}\ e_{h}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ \cos ^{2}u\ \sin ^{4}u\ du=\\&{\hat {g}}\ \left(2\pi \left({\frac {1}{8}}\ +\ {\frac {3}{16}}\ {e_{g}}^{2}\ +\ {\frac {3}{16}}\ {e_{h}}^{2}\right)\right)+{\hat {h}}\ \left(2\pi \left({\frac {3}{8}}\ e_{g}\ e_{h}\right)\right)\end{aligned}}}$

25

ภาคเรียนที่ 4

${\displaystyle {\begin{aligned}&\int \limits _{0}^{2\pi }{\hat {r}}\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{3}\ \cos u\ du\ ={\hat {g}}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{3}\ \cos ^{2}u\ du\ +{\hat {h}}\int \limits _{0}^{2\pi }\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{3}\ \sin u\ \cos u\ du\ =\\&{\hat {g}}\ \left(\int \limits _{0}^{2\pi }\cos ^{2}u\ du\ +\ 3\ {e_{g}}^{2}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ \cos ^{4}u\ du\ \ +\ 3\ {e_{h}}^{2}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ \sin ^{2}u\ \cos ^{2}u\ du\ \right)\\&+{\hat {h}}\ 6\ e_{g}\ e_{h}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ \cos ^{2}u\ \sin ^{2}u\ du=\\&{\hat {g}}\ \left(2\pi \left({\frac {1}{2}}\ +\ {\frac {9}{8}}\ {e_{g}}^{2}\ +\ {\frac {3}{8}}\ {e_{h}}^{2}\right)\right)+{\hat {h}}\ \left(2\pi \left({\frac {3}{4}}\ e_{g}\ e_{h}\right)\right)\end{aligned}}}$

26

ภาคเรียนที่ 5

${\displaystyle {\begin{aligned}&\int \limits _{0}^{2\pi }{\hat {t}}\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{2}\ \sin ^{3}u\ \cos u\ du\ =-{\hat {g}}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{2}\ \sin ^{4}u\ \cos u\ du\ +{\hat {h}}\int \limits _{0}^{2\pi }\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{2}\ \sin ^{3}u\ \cos ^{2}u\ du\ =\\&-{\hat {g}}\ 2\ e_{g}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ \sin ^{4}u\ \cos ^{2}u\ du+{\hat {h}}\ 2\ e_{h}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ \sin ^{4}u\ \cos ^{2}u\ du=-{\hat {g}}\ \left(2\pi {\frac {1}{8}}\ e_{g}\right)+{\hat {h}}\ \left(2\pi {\frac {1}{8}}\ e_{h}\right)\end{aligned}}}$

27

ภาคเรียนที่ 6

${\displaystyle {\begin{aligned}&\int \limits _{0}^{2\pi }{\hat {t}}\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{2}\ \sin ^{2}u\ \cos ^{2}u\ du\ =-{\hat {g}}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{2}\ \sin ^{3}u\ \cos ^{2}u\ du\ +{\hat {h}}\int \limits _{0}^{2\pi }\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{2}\ \sin ^{2}u\ \cos ^{3}u\ du\ =\\&-{\hat {g}}\ 2\ e_{h}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ \sin ^{4}u\ \cos ^{2}u\ du+{\hat {h}}\ 2\ e_{g}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ \sin ^{2}u\ \cos ^{4}u\ du=-{\hat {g}}\ \left(2\pi {\frac {1}{8}}\ e_{h}\right)+{\hat {h}}\ \left(2\pi {\frac {1}{8}}\ e_{g}\right)\end{aligned}}}$

28

ภาคเรียนที่ 7

${\displaystyle {\begin{aligned}&\int \limits _{0}^{2\pi }{\hat {t}}\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{2}\ \sin u\ \cos u\ du\ =-{\hat {g}}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{2}\ \sin ^{2}u\ \cos u\ du\ +{\hat {h}}\int \limits _{0}^{2\pi }\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{2}\ \sin u\ \cos ^{2}u\ du\ =\\&-{\hat {g}}\ 2\ e_{g}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ \sin ^{2}u\ \cos ^{2}u\ du+{\hat {h}}\ 2\ e_{h}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ \sin ^{2}u\ \cos ^{2}u\ du=-{\hat {g}}\ \left(2\pi {\frac {1}{4}}\ e_{g}\right)+{\hat {h}}\ \left(2\pi {\frac {1}{4}}\ e_{h}\right)\end{aligned}}}$

29

ภาคเรียนที่ 8

${\displaystyle {\begin{aligned}&\int \limits _{0}^{2\pi }{\hat {t}}\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{2}\ \cos ^{2}u\ du\ =-{\hat {g}}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{2}\ \sin u\ \cos ^{2}u\ du\ +{\hat {h}}\int \limits _{0}^{2\pi }\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{2}\ \cos ^{3}u\ du\ =\\&-{\hat {g}}\ 2\ e_{h}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ \sin ^{2}u\ \cos ^{2}u\ du+{\hat {h}}\ 2\ e_{g}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ \cos ^{4}u\ du=-{\hat {g}}\ \left(2\pi {\frac {1}{4}}\ e_{h}\right)+{\hat {h}}\ \left(2\pi {\frac {3}{4}}\ e_{g}\right)\end{aligned}}}$

30

เช่น