ข้อสันนิฐานของฟูเกลเดเป็นปัญหาทางคณิตศาสตร์ ที่ เบนท์ ฟูเกลเดเสนอขึ้นในปี 1974 และได้รับการแก้ไขในเชิงลบสำหรับมิติส่วนใหญ่โดยเทเรนซ์ เทาในปี 2004 ข้อสันนิฐานนี้กล่าวว่าทุกโดเมนของ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$(เช่น กลุ่มย่อยของ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$เซตที่มี มาตรวัดเลเบสบวกจำกัดจะเป็นเซตสเปกตรัมก็ต่อเมื่อมันปูพื้นผิว${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$โดยการแปล^{[ 1 ]}

ชุดสเปกตรัมใน${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$

ชุดหนึ่ง${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle \subset }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$เซตที่มีมาตรวัดเลเบสบวกจำกัดเรียกว่าเซตสเปกตรัม ถ้ามีอยู่จริง${\displaystyle \Lambda }$${\displaystyle \subset }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$โดยที่${\displaystyle \left\{e^{2\pi i\left\langle \lambda ,\cdot \right\rangle }\right\}_{\lambda \in \Lambda }}$เป็นฐานเชิงตั้งฉากของ${\displaystyle L^{2}(\โอเมก้า )}$ชุด${\displaystyle \Lambda }$จึงกล่าวได้ว่าเป็นสเปกตรัมของ${\displaystyle \Omega }$และ${\displaystyle (\โอเมก้า ,\แลมบ์ดา )}$เรียกว่าคู่สเปกตรัม

กระเบื้องการแปลของ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$

ชุดหนึ่ง${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{d}}$กล่าวกันว่าปูกระเบื้อง${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$โดยการแปล (เช่น${\displaystyle \Omega }$(เป็นกระเบื้องเลื่อน) ถ้ามีเซตแยกอยู่${\displaystyle \mathrm {T} }$โดยที่${\displaystyle \bigcup _{t\in \mathrm {T} }(\Omega +t)=\mathbb {R} ^{d}}$และ${\displaystyle (\Omega +t)\cap (\Omega +t')}$มีค่าการวัดของเลเบสเป็นศูนย์สำหรับทุกสิ่ง${\displaystyle t\neq t'}$ใน${\displaystyle \mathrm {T} }$[ ^{2 ]​}

• ฟูเกลเดพิสูจน์ในปี 1974 ว่าข้อสันนิษฐานนั้นเป็นจริงหาก${\displaystyle \Omega }$เป็นโดเมนพื้นฐานของโครงตาข่าย
• ในปี 2003 อเล็กซ์ ไอโอเซวิช เน็ตส์ แคทซ์และเทเรนซ์ เทาได้พิสูจน์ว่าข้อสันนิษฐานนั้นเป็นจริงหาก${\displaystyle \Omega }$เป็นโดเมนระนาบนูน^{[ 3 ]}
• ในปี 2004 เทเรนซ์ เทา ได้แสดงให้เห็นว่าข้อสันนิษฐานดังกล่าวเป็นเท็จ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$สำหรับ${\displaystyle d\geq 5}$. ^{[ 4 ]}ต่อมาได้รับการแสดงโดย Bálint Farkas, Mihail N. Kolounzakis, Máté Matolcsi และ Péter Móra ว่าการคาดเดานั้นไม่เป็นความจริงเช่นกัน${\displaystyle d=3}$และ${\displaystyle 4}$[ ^{5 ] [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ]}อย่างไรก็ตาม ข้อสันนิษฐานยังคงไม่เป็นที่รู้จัก^{สำหรับ}${\displaystyle d=1,2}$.
• ในปี 2015 อเล็กซ์ ไอโอเซวิช, อาซิธา มาเยลี และโจนาธาน ปาเคียนาธาน ได้แสดงให้เห็นว่าการขยายความคาดการณ์นั้นยังคงใช้ได้ใน${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}\times \mathbb {Z} _{p}}$, ที่ไหน${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$เป็นกลุ่มวัฏจักร^ที่มีอันดับp [ ^{9 ]}
• ในปี 2017 เรเชล กรีนเฟลด์ และนีร์ เลฟ ได้พิสูจน์ข้อสันนิษฐานเกี่ยวกับรูปทรงหลายเหลี่ยมนูนใน${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$[ ^{10 ]​}
• ในปี 2019 Nir Lev และ Máté Matolcsi ได้พิสูจน์สมมติฐานเกี่ยวกับโดเมนนูนได้สำเร็จในทุกมิติ^{[ 11 ]}