ในสาขาคณิตศาสตร์เรขาคณิตเชิง ปริพันธ์ การแปลงฟังก์ (หรือที่รู้จักกันในชื่อการแปลงมินคอฟสกี-ฟังก์การแปลงฟังก์-ราดอนหรือการแปลงราดอนทรงกลม ) เป็นการแปลงเชิงปริพันธ์ที่กำหนดโดยการหาปริพันธ์ของฟังก์ชันบนวงกลมใหญ่ของทรงกลม การแปลง นี้ได้รับการแนะนำโดยพอล ฟังก์ในปี 1911 โดยอิงจากงานของมินคอฟสกี (1904) การแปลง นี้มีความเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับการแปลงราดอนแรงจูงใจดั้งเดิมในการศึกษาการแปลงฟังก์คือการอธิบายเมตริกของซอลล์บนทรงกลม

การแปลงฟังก์ (Funk transform) นิยามไว้ดังนี้ ให้ƒเป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนทรงกลม d-1 S ^d-1ในR ^dแล้ว สำหรับเวกเตอร์หน่วยxให้

${\displaystyle Ff(\mathbf {x} )=\int _{\mathbf {u} \in C(\mathbf {x} )}f(\mathbf {u} )\,ds(\mathbf {u} )}$

โดยที่การอินทิเกรตจะดำเนินการเทียบกับความยาวส่วนโค้งdsของวงกลมใหญ่C ( x ) ซึ่งประกอบด้วยเวกเตอร์หน่วยทั้งหมดที่ตั้งฉากกับx :

${\displaystyle C(\mathbf {x} )=\{\mathbf {u} \in S^{d-1}\mid \mathbf {u} \cdot \mathbf {x} =0\}.}$

การแปลงฟังก์ทำลายฟังก์ชันคี่ ทั้งหมด ดังนั้นจึงเป็นเรื่องปกติที่จะจำกัดความสนใจไว้ที่กรณีที่ƒเป็นฟังก์ชันคู่ ในกรณีนั้น การแปลงฟังก์จะแปลงฟังก์ชันคู่ (ต่อเนื่อง) ไปเป็นฟังก์ชันคู่ต่อเนื่อง และยังสามารถผกผันได้อีกด้วย

ฟังก์ชันทุกฟังก์ชันบนทรงกลมที่สามารถหาปริพันธ์กำลังสองได้ สามารถแยกออกเป็นฮาร์มอนิกทรงกลมได้${\displaystyle f\in L^{2}(S^{2})}$${\displaystyle Y_{n}^{k}}$

${\displaystyle f=\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{k=-n}^{n}{\hat {f}}(n,k)Y_{n}^{k}.}$

จากนั้นการแปลง Funk ของfอ่านได้ ดังนี้

${\displaystyle Ff=\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{k=-n}^{n}P_{n}(0){\hat {f}}(n,k)Y_{n}^{k}}$

โดยที่สำหรับค่าคี่และ ${\displaystyle P_{2n+1}(0)=0}$

${\displaystyle P_{2n}(0)=(-1)^{n}\,{\frac {1\cdot 3\cdot 5\cdots 2n-1}{2\cdot 4\cdot 6\cdots 2n}}=(-1)^{n}\,{\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}}$

สำหรับค่าคู่ ผลลัพธ์นี้ได้รับการแสดงโดยFunk (1913 )

สูตรการผกผันอีกสูตรหนึ่งมาจากHelgason (1999)เช่นเดียวกับการแปลง Radon สูตรการผกผันอาศัยการแปลงคู่F * ที่กำหนดโดย

${\displaystyle (F^{*}f)(p,\mathbf {x} )={\frac {1}{2\pi \cos p}}\int _{\|\mathbf {u} \|=1,\mathbf {x} \cdot \mathbf {u} =\sin p}f(\mathbf {u} )\,|d\mathbf {u} |.}$

นี่คือค่าเฉลี่ยของฟังก์ชันวงกลมƒบนวงกลมที่มีระยะส่วนโค้งpจากจุดxการแปลงผกผันกำหนดโดย

${\displaystyle f(\mathbf {x} )={\frac {1}{2\pi }}\left\{{\frac {d}{du}}\int _{0}^{u}F^{*}(Ff)(\cos ^{-1}v,\mathbf {x} )v(u^{2}-v^{2})^{-1/2}\,dv\right\}_{u=1}.}$

สูตรคลาสสิกไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้กลุ่มการหมุน SO(3)นอกจากนี้ยังสามารถกำหนดสูตรการแปลงฟังก์ในลักษณะที่ทำให้ไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้กลุ่มเชิงเส้นพิเศษ SL(3, R ) ได้อีกด้วย ( Bailey et al. 2003 ) สมมติว่าƒเป็นฟังก์ชันเอกพันธุ์ดีกรี −2 บนR ³จากนั้น สำหรับเวกเตอร์xและy ที่เป็นอิสระเชิงเส้นให้กำหนดฟังก์ชัน φ โดยปริพันธ์เส้น

${\displaystyle \varphi (\mathbf {x} ,\mathbf {y} )={\frac {1}{2\pi }}\oint f(u\mathbf {x} +v\mathbf {y} )(u\,dv-v\,du)}$

คำนวณจากเส้นโค้งปิดอย่างง่ายที่ล้อมรอบจุดกำเนิดเพียงครั้งเดียวรูปแบบเชิงอนุพันธ์

${\displaystyle f(u\mathbf {x} +v\mathbf {y} )(u\,dv-v\,du)}$

เป็นเซตปิดซึ่งเป็นผลมาจากความเป็นเอกพันธุ์ของƒโดยการเปลี่ยนตัวแปร φ จะสอดคล้องกับ

${\displaystyle \phi (a\mathbf {x} +b\mathbf {y} ,c\mathbf {x} +d\mathbf {y} )={\frac {1}{|ad-bc|}}\phi (\mathbf {x} ,\mathbf {y} ),}$

และด้วยเหตุนี้จึงให้ฟังก์ชัน เอก พันธุ์ดีกรี −1 บนสี่เหลี่ยมจัตุรัสภายนอกของR ³

${\displaystyle Ff(\mathbf {x} \wedge \mathbf {y} )=\phi (\mathbf {x} ,\mathbf {y} ).}$

ฟังก์ชันFƒ  : Λ ² R ³  →  Rสอดคล้องกับการแปลงฟังก์เมื่อƒเป็นส่วนขยายเอกพันธุ์ดีกรี −2 ของฟังก์ชันบนทรงกลม และปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟที่เกี่ยวข้องกับ Λ ² R ³ถูกระบุด้วยปริภูมิของวงกลมทั้งหมดบนทรงกลม หรืออีกทางหนึ่ง Λ ² R ³สามารถระบุได้ด้วยR ³ในลักษณะที่ไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้ SL(3, R ) ดังนั้นการแปลงฟังก์Fจะแมปฟังก์ชันเอกพันธุ์คู่เรียบดีกรี −2 บนR ³ \{0} ไปยังฟังก์ชันเอกพันธุ์คู่เรียบดีกรี −1 บนR ³ \{0}

การแปลง Funk-Radon ถูกนำมาใช้ในวิธีการ Q-Ball สำหรับDiffusion MRIที่แนะนำโดยTuch (2004)นอกจากนี้ยังมีความเกี่ยวข้องกับวัตถุที่ตัดกันในเรขาคณิตนูน ให้ K เป็นวัตถุรูปดาวที่มีฟังก์ชันรัศมีแล้ววัตถุที่ตัดกันIKของKจะมีฟังก์ชันรัศมี( Gardner 2006 , หน้า 305) ${\displaystyle K\subset \mathbb {R} ^{d}}$${\displaystyle \rho _{K}({\boldsymbol {x}})=\max\{t:t{\boldsymbol {x}}\in K\},}$${\displaystyle x\in S^{d-1}}$${\displaystyle \rho _{IK}=F\rho _{K}}$

• เรดอนแปลงสภาพ
• ค่าเฉลี่ยทรงกลม