ในคณิตศาสตร์วิเคราะห์เชิงซ้อนเศษส่วนต่อเนื่องของเกาส์ เป็น เศษส่วนต่อเนื่องประเภทหนึ่งที่ได้มาจากฟังก์ชันไฮเปอร์จีโอเมตริกมันเป็นหนึ่งในเศษส่วนต่อเนื่องเชิงวิเคราะห์กลุ่มแรกๆ ที่รู้จักในคณิตศาสตร์ และสามารถใช้แทนฟังก์ชันพื้นฐาน ที่สำคัญหลายฟังก์ชัน รวมถึงฟังก์ชันอดิศัย ที่ซับซ้อนกว่าบางฟังก์ชันได้ ด้วย

แลมเบิร์ตได้ตีพิมพ์ตัวอย่างเศษส่วนต่อเนื่องในรูปแบบนี้หลายตัวอย่างในปี 1768 และทั้งออยเลอร์และลากรองจ์ได้ตรวจสอบโครงสร้างที่คล้ายกัน^{[ 1 ]}แต่เป็นคาร์ล ฟรีดริช เกาส์ที่ใช้พีชคณิตที่อธิบายไว้ในส่วนถัดไปเพื่อสรุปรูปแบบทั่วไปของเศษส่วนต่อเนื่องนี้ในปี 1813 ^{[ 2 ]}

แม้ว่าเกาส์จะให้รูปแบบของเศษส่วนต่อเนื่องนี้ แต่เขาก็ไม่ได้พิสูจน์คุณสมบัติการลู่เข้าของมันเบอร์นาร์ด รีมันน์^{[ 3 ]}และแอลดับบลิว โธเม^{[ 4 ]}ได้ผลลัพธ์บางส่วน แต่คำตัดสินขั้นสุดท้ายเกี่ยวกับขอบเขตที่เศษส่วนต่อเนื่องนี้ลู่เข้าไม่ได้เกิดขึ้นจนกระทั่งปี 1901 โดยเอ็ดเวิร์ด เบอร์ แวน วลีค^{[ 5 ]}

ให้เป็นลำดับของฟังก์ชันวิเคราะห์ที่สอดคล้องกับความสัมพันธ์เวียนเกิดสามพจน์${\displaystyle f_{0},f_{1},f_{2},\dots }$

${\displaystyle f_{i-1}=f_{i}+k_{i}\,z\,f_{i+1}}$

สำหรับทุกค่าโดยที่เป็นค่าคงที่ ${\displaystyle i>0}$${\displaystyle k_{i}}$

แล้ว

${\displaystyle {\frac {f_{i-1}}{f_{i}}}=1+k_{i}z{\frac {f_{i+1}}{f_{i}}},{\text{ และดังนั้น }}{\frac {f_{i}}{f_{i-1}}}={\frac {1}{1+k_{i}z{\frac {f_{i+1}}{f_{i}}}}}}$

การตั้งค่า${\displaystyle g_{i}=f_{i}/f_{i-1},}$

${\displaystyle g_{i}={\frac {1}{1+k_{i}zg_{i+1}}},}$

ดังนั้น

${\displaystyle g_{1}={\frac {f_{1}}{f_{0}}}={\cfrac {1}{1+k_{1}zg_{2}}}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {k_{1}z}{1+k_{2}zg_{3}}}}}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {k_{1}z}{1+{\cfrac {k_{2}z}{1+k_{3}zg_{4}}}}}}}=\cdots .\ }$

การทำซ้ำเช่นนี้ไปเรื่อยๆ จะทำให้เกิดนิพจน์เศษส่วนต่อเนื่อง

${\displaystyle {\frac {f_{1}}{f_{0}}}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {k_{1}z}{1+{\cfrac {k_{2}z}{1+{\cfrac {k_{3}z}{1+{}\ddots }}}}}}}}}$

ในเศษส่วนต่อเนื่องของเกาส์ ฟังก์ชันต่างๆคือฟังก์ชันไฮเปอร์จีโอเมตริกในรูปแบบ, , และและสมการต่างๆเกิดขึ้นจากเอกลักษณ์ระหว่างฟังก์ชันที่พารามิเตอร์ต่างกันด้วยจำนวนเต็ม เอกลักษณ์เหล่านี้สามารถพิสูจน์ได้หลายวิธี ตัวอย่างเช่น โดยการกระจายอนุกรมและเปรียบเทียบสัมประสิทธิ์ หรือโดยการหาอนุพันธ์ในหลายๆ วิธีและกำจัดออกจากสมการที่สร้างขึ้น ${\displaystyle f_{i}}$${\displaystyle {}_{0}F_{1}}$${\displaystyle {}_{1}F_{1}}$${\displaystyle {}_{2}F_{1}}$${\displaystyle f_{i-1}-f_{i}=k_{i}zf_{i+1}}$

กรณีที่ง่ายที่สุดเกี่ยวข้องกับ

${\displaystyle \,_{0}F_{1}(a;z)=1+{\frac {1}{a\,1!}}z+{\frac {1}{a(a+1)\,2!}}z^{2}+{\frac {1}{a(a+1)(a+2)\,3!}}z^{3}+\cdots .}$

เริ่มต้นด้วยอัตลักษณ์

${\displaystyle \,_{0}F_{1}(a-1;z)-\,_{0}F_{1}(a;z)={\frac {z}{a(a-1)}}\,_{0}F_{1}(a+1;z)}$

เราอาจจะนำ

${\displaystyle f_{i}={}_{0}F_{1}(a+i;z),\,k_{i}={\tfrac {1}{(a+i)(a+i-1)}},}$

การให้

${\displaystyle {\frac {\,_{0}F_{1}(a+1;z)}{\,_{0}F_{1}(a;z)}}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {{\frac {1}{a(a+1)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {1}{(a+1)(a+2)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {1}{(a+2)(a+3)}}z}{1+{}\ddots }}}}}}}}}$

หรือ

${\displaystyle {\frac {\,_{0}F_{1}(a+1;z)}{a\,_{0}F_{1}(a;z)}}={\cfrac {1}{a+{\cfrac {z}{(a+1)+{\cfrac {z}{(a+2)+{\cfrac {z}{(a+3)+{}\ddots }}}}}}}}.}$

การขยายอนุกรมนี้จะลู่เข้าสู่ฟังก์ชันเมโรเมอร์ฟิกซึ่งกำหนดโดยอัตราส่วนของอนุกรมลู่เข้า ทั้งสอง (โดยมีเงื่อนไขว่าaต้องไม่เป็นศูนย์หรือจำนวนเต็มลบ)

กรณีต่อไปนี้เกี่ยวข้องกับ

${\displaystyle {}_{1}F_{1}(a;b;z)=1+{\frac {a}{b\,1!}}z+{\frac {a(a+1)}{b(b+1)\,2!}}z^{2}+{\frac {a(a+1)(a+2)}{b(b+1)(b+2)\,3!}}z^{3}+\cdots }$

ซึ่งอัตลักษณ์ทั้งสองนั้น

${\displaystyle \,_{1}F_{1}(a;b-1;z)-\,_{1}F_{1}(a+1;b;z)={\frac {(a-b+1)z}{b(b-1)}}\,_{1}F_{1}(a+1;b+1;z)}$

${\displaystyle \,_{1}F_{1}(a;b-1;z)-\,_{1}F_{1}(a;b;z)={\frac {az}{b(b-1)}}\,_{1}F_{1}(a+1;b+1;z)}$

ใช้สลับกันไป

อนุญาต

${\displaystyle f_{0}(z)=\,_{1}F_{1}(a;b;z),}$

${\displaystyle f_{1}(z)=\,_{1}F_{1}(a+1;b+1;z),}$

${\displaystyle f_{2}(z)=\,_{1}F_{1}(a+1;b+2;z),}$

${\displaystyle f_{3}(z)=\,_{1}F_{1}(a+2;b+3;z),}$

${\displaystyle f_{4}(z)=\,_{1}F_{1}(a+2;b+4;z),}$

เป็นต้น

สิ่งนี้ทำให้เกิดผลลัพธ์ ที่${\displaystyle f_{i-1}-f_{i}=k_{i}zf_{i+1}}$${\displaystyle k_{1}={\tfrac {a-b}{b(b+1)}},k_{2}={\tfrac {a+1}{(b+1)(b+2)}},k_{3}={\tfrac {a-b-1}{(b+2)(b+3)}},k_{4}={\tfrac {a+2}{(b+3)(b+4)}}}$

${\displaystyle {\frac {{}_{1}F_{1}(a+1;b+1;z)}{{}_{1}F_{1}(a;b;z)}}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {{\frac {a-b}{b(b+1)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {a+1}{(b+1)(b+2)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {a-b-1}{(b+2)(b+3)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {a+2}{(b+3)(b+4)}}z}{1+{}\ddots }}}}}}}}}}}$

หรือ

${\displaystyle {\frac {{}_{1}F_{1}(a+1;b+1;z)}{b{}_{1}F_{1}(a;b;z)}}={\cfrac {1}{b+{\cfrac {(a-b)z}{(b+1)+{\cfrac {(a+1)z}{(b+2)+{\cfrac {(a-b-1)z}{(b+3)+{\cfrac {(a+2)z}{(b+4)+{}\ddots }}}}}}}}}}}$

ในทำนองเดียวกัน

${\displaystyle {\frac {{}_{1}F_{1}(a;b+1;z)}{{}_{1}F_{1}(a;b;z)}}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {{\frac {a}{b(b+1)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {a-b-1}{(b+1)(b+2)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {a+1}{(b+2)(b+3)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {a-b-2}{(b+3)(b+4)}}z}{1+{}\ddots }}}}}}}}}}}$

หรือ

${\displaystyle {\frac {{}_{1}F_{1}(a;b+1;z)}{b{}_{1}F_{1}(a;b;z)}}={\cfrac {1}{b+{\cfrac {az}{(b+1)+{\cfrac {(a-b-1)z}{(b+2)+{\cfrac {(a+1)z}{(b+3)+{\cfrac {(a-b-2)z}{(b+4)+{}\ddots }}}}}}}}}}}$

เนื่องจากการกำหนดให้aเท่ากับ 0 และแทนที่b  + 1 ด้วยbในเศษส่วนต่อเนื่องแรก จะได้กรณีพิเศษที่ง่ายขึ้น: ${\displaystyle {}_{1}F_{1}(0;b;z)=1}$

${\displaystyle {}_{1}F_{1}(1;b;z)={\cfrac {1}{1+{\cfrac {-z}{b+{\cfrac {z}{(b+1)+{\cfrac {-bz}{(b+2)+{\cfrac {2z}{(b+3)+{\cfrac {-(b+1)z}{(b+4)+{}\ddots }}}}}}}}}}}}}$

กรณีสุดท้ายเกี่ยวข้องกับ

${\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)=1+{\frac {ab}{c\,1!}}z+{\frac {a(a+1)b(b+1)}{c(c+1)\,2!}}z^{2}+{\frac {a(a+1)(a+2)b(b+1)(b+2)}{c(c+1)(c+2)\,3!}}z^{3}+\cdots .\,}$

อีกครั้ง มีการใช้เอกลักษณ์สองแบบสลับกันไป

${\displaystyle \,_{2}F_{1}(a,b;c-1;z)-\,_{2}F_{1}(a+1,b;c;z)={\frac {(a-c+1)bz}{c(c-1)}}\,_{2}F_{1}(a+1,b+1;c+1;z),}$

${\displaystyle \,_{2}F_{1}(a,b;c-1;z)-\,_{2}F_{1}(a,b+1;c;z)={\frac {(b-c+1)az}{c(c-1)}}\,_{2}F_{1}(a+1,b+1;c+1;z).}$

โดยพื้นฐานแล้วสิ่งเหล่านี้คือเอกลักษณ์เดียวกัน เพียงแค่สลับตำแหน่ง ของ aและb เท่านั้น

อนุญาต

${\displaystyle f_{0}(z)=\,_{2}F_{1}(a,b;c;z),}$

${\displaystyle f_{1}(z)=\,_{2}F_{1}(a+1,b;c+1;z),}$

${\displaystyle f_{2}(z)=\,_{2}F_{1}(a+1,b+1;c+2;z),}$

${\displaystyle f_{3}(z)=\,_{2}F_{1}(a+2,b+1;c+3;z),}$

${\displaystyle f_{4}(z)=\,_{2}F_{1}(a+2,b+2;c+4;z),}$

เป็นต้น

สิ่งนี้ทำให้ได้ผลลัพธ์เป็น^{[ 6 ]}${\displaystyle f_{i-1}-f_{i}=k_{i}zf_{i+1}}$${\displaystyle k_{1}={\tfrac {(a-c)b}{c(c+1)}},k_{2}={\tfrac {(b-c-1)(a+1)}{(c+1)(c+2)}},k_{3}={\tfrac {(a-c-1)(b+1)}{(c+2)(c+3)}},k_{4}={\tfrac {(b-c-2)(a+2)}{(c+3)(c+4)}}}$

${\displaystyle {\frac {{}_{2}F_{1}(a+1,b;c+1;z)}{{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)}}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {{\frac {(a-c)b}{c(c+1)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {(b-c-1)(a+1)}{(c+1)(c+2)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {(a-c-1)(b+1)}{(c+2)(c+3)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {(b-c-2)(a+2)}{(c+3)(c+4)}}z}{1+{}\ddots }}}}}}}}}}}$

หรือ

${\displaystyle {\frac {{}_{2}F_{1}(a+1,b;c+1;z)}{c{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)}}={\cfrac {1}{c+{\cfrac {(a-c)bz}{(c+1)+{\cfrac {(b-c-1)(a+1)z}{(c+2)+{\cfrac {(a-c-1)(b+1)z}{(c+3)+{\cfrac {(b-c-2)(a+2)z}{(c+4)+{}\ddots }}}}}}}}}}}$

เนื่องจากการกำหนดให้aเท่ากับ 0 และแทนที่c  + 1 ด้วยcจะได้กรณีพิเศษที่ง่ายขึ้นของเศษส่วนต่อเนื่อง: ${\displaystyle {}_{2}F_{1}(0,b;c;z)=1}$

${\displaystyle {}_{2}F_{1}(1,b;c;z)={\cfrac {1}{1+{\cfrac {-bz}{c+{\cfrac {(b-c)z}{(c+1)+{\cfrac {-c(b+1)z}{(c+2)+{\cfrac {2(b-c-1)z}{(c+3)+{\cfrac {-(c+1)(b+2)z}{(c+4)+{}\ddots }}}}}}}}}}}}}$

ในส่วนนี้ กรณีที่พารามิเตอร์อย่างน้อยหนึ่งตัวเป็นจำนวนเต็มลบจะถูกยกเว้น เนื่องจากในกรณีเหล่านี้ อนุกรมไฮเปอร์จีโอเมตริกจะไม่สามารถหาค่าได้ หรือเป็นพหุนาม ดังนั้นเศษส่วนต่อเนื่องจึงสิ้นสุดลง นอกจากนี้ยังยกเว้นข้อยกเว้นเล็กน้อยอื่นๆ ด้วย

ในกรณีและอนุกรมจะลู่เข้าทุกที่ ดังนั้นเศษส่วนทางด้านซ้ายมือจึงเป็นฟังก์ชันเมโรเมอร์ฟิกเศษส่วนต่อเนื่องทางด้านขวามือจะลู่เข้าอย่างสม่ำเสมอในเซตปิดและมีขอบเขตใดๆ ที่ไม่มีขั้วของฟังก์ชันนี้^{[ 7 ]}${\displaystyle {}_{0}F_{1}}$${\displaystyle {}_{1}F_{1}}$

ในกรณีนี้รัศมีของการลู่เข้าของอนุกรมคือ 1 และเศษส่วนทางด้านซ้ายมือเป็นฟังก์ชันเมโรเมอร์ฟิกภายในวงกลมนี้ เศษส่วนต่อเนื่องทางด้านขวามือจะลู่เข้าสู่ฟังก์ชันทุกที่ภายในวงกลมนี้ ${\displaystyle {}_{2}F_{1}}$

นอกวงกลม เศษส่วนต่อเนื่องแสดงถึงการขยายเชิงวิเคราะห์ของฟังก์ชันไปยังระนาบเชิงซ้อนที่มีแกนจริงบวก จาก+1ไปจนถึงจุดที่อนันต์ถูกลบออก ในกรณีส่วนใหญ่+1เป็นจุดแยกสาขา และเส้นจาก+1ไปยังอนันต์บวกคือเส้นตัดสาขาสำหรับฟังก์ชันนี้ เศษส่วนต่อเนื่องลู่เข้าสู่ฟังก์ชันเมโรเมอร์ฟิกบนโดเมนนี้ และลู่เข้าอย่างสม่ำเสมอในเซตย่อยปิดและมีขอบเขตใดๆ ของโดเมนนี้ที่ไม่มีขั้วใดๆ^{[ 8 ]}

เรามี

${\displaystyle \cosh(z)=\,_{0}F_{1}({\tfrac {1}{2}};{\tfrac {z^{2}}{4}}),}$

${\displaystyle \sinh(z)=z\,_{0}F_{1}({\tfrac {3}{2}};{\tfrac {z^{2}}{4}}),}$

ดังนั้น

${\displaystyle \tanh(z)={\frac {z\,_{0}F_{1}({\tfrac {3}{2}};{\tfrac {z^{2}}{4}})}{\,_{0}F_{1}({\tfrac {1}{2}};{\tfrac {z^{2}}{4}})}}={\cfrac {z/2}{{\tfrac {1}{2}}+{\cfrac {\tfrac {z^{2}}{4}}{{\tfrac {3}{2}}+{\cfrac {\tfrac {z^{2}}{4}}{{\tfrac {5}{2}}+{\cfrac {\tfrac {z^{2}}{4}}{{\tfrac {7}{2}}+{}\ddots }}}}}}}}={\cfrac {z}{1+{\cfrac {z^{2}}{3+{\cfrac {z^{2}}{5+{\cfrac {z^{2}}{7+{}\ddots }}}}}}}}.}$

การขยายเฉพาะนี้เรียกว่าเศษส่วนต่อเนื่องของแลมเบิร์ตและมีมาตั้งแต่ปี ค.ศ. 1768 ^{[ 9 ]}

ดังนั้นจึงสรุปได้ว่า

${\displaystyle \tan(z)={\cfrac {z}{1-{\cfrac {z^{2}}{3-{\cfrac {z^{2}}{5-{\cfrac {z^{2}}{7-{}\ddots }}}}}}}}.}$

การกระจายของ tanh สามารถนำมาใช้พิสูจน์ได้ว่าe ⁿ เป็นจำนวนอตรรกยะสำหรับจำนวนเต็ม nที่ไม่ใช่ศูนย์ทุกตัว(ซึ่งน่าเสียดายที่ไม่เพียงพอที่จะพิสูจน์ได้ว่าeเป็นจำนวนอดิศัย ) การกระจายของ tan ถูกใช้โดยทั้งแลมเบิร์ตและเลอฌองเดอร์เพื่อพิสูจน์ว่า π เป็นจำนวนอตรรกยะ

ฟังก์ชันเบสเซล สามารถเขียนได้ดังนี้ ${\displaystyle J_{\nu }}$

${\displaystyle J_{\nu }(z)={\frac {({\tfrac {1}{2}}z)^{\nu }}{\Gamma (\nu +1)}}\,_{0}F_{1}(\nu +1;-{\frac {z^{2}}{4}}),}$

จากนั้นจึงตามมา

${\displaystyle {\frac {J_{\nu }(z)}{J_{\nu -1}(z)}}={\cfrac {z}{2\nu -{\cfrac {z^{2}}{2(\nu +1)-{\cfrac {z^{2}}{2(\nu +2)-{\cfrac {z^{2}}{2(\nu +3)-{}\ddots }}}}}}}}.}$

สูตรเหล่านี้ใช้ได้กับค่า z ที่ซับซ้อนทุกค่าด้วยเช่น กัน

เนื่องจาก,${\displaystyle e^{z}={}_{1}F_{1}(1;1;z)}$${\displaystyle 1/e^{z}=e^{-z}}$

${\displaystyle e^{z}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {-z}{1+{\cfrac {z}{2+{\cfrac {-z}{3+{\cfrac {2z}{4+{\cfrac {-2z}{5+{}\ddots }}}}}}}}}}}}}$

${\displaystyle e^{z}=1+{\cfrac {z}{1+{\cfrac {-z}{2+{\cfrac {z}{3+{\cfrac {-2z}{4+{\cfrac {2z}{5+{}\ddots }}}}}}}}}}.}$

ด้วยการปรับเปลี่ยนบางอย่าง สามารถนำมาใช้พิสูจน์ การแสดง เศษส่วนต่อเนื่องอย่างง่ายของ eได้

${\displaystyle e=2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{4+{}\ddots }}}}}}}}}}}$

ฟังก์ชันข้อผิดพลาด erf ( z ) กำหนดโดย

${\displaystyle \operatorname {erf} (z)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{z}e^{-t^{2}}\,dt,}$

นอกจากนี้ยังสามารถคำนวณได้โดยใช้ฟังก์ชันไฮเปอร์จีโอเมตริกของ Kummer:

${\displaystyle \operatorname {erf} (z)={\frac {2z}{\sqrt {\pi }}}e^{-z^{2}}\,_{1}F_{1}(1;{\scriptstyle {\frac {3}{2}}};z^{2}).}$

โดยการใช้เศษส่วนต่อเนื่องของเกาส์ การขยายที่มีประโยชน์ซึ่งใช้ได้กับจำนวนเชิงซ้อนz ทุกตัว สามารถทำได้ดังนี้: ^{[ 10 ]}

${\displaystyle {\frac {\sqrt {\pi }}{2}}e^{z^{2}}\operatorname {erf} (z)={\cfrac {z}{1-{\cfrac {z^{2}}{{\frac {3}{2}}+{\cfrac {z^{2}}{{\frac {5}{2}}-{\cfrac {{\frac {3}{2}}z^{2}}{{\frac {7}{2}}+{\cfrac {2z^{2}}{{\frac {9}{2}}-{\cfrac {{\frac {5}{2}}z^{2}}{{\frac {11}{2}}+{\cfrac {3z^{2}}{{\frac {13}{2}}-{\cfrac {{\frac {7}{2}}z^{2}}{{\frac {15}{2}}+-\ddots }}}}}}}}}}}}}}}}.}$

สามารถใช้เหตุผลที่คล้ายกันนี้เพื่อหาการขยายเศษส่วนต่อเนื่องสำหรับอินทิกรัลเฟรสเนลสำหรับฟังก์ชันดอว์สันและสำหรับฟังก์ชันแกมมาที่ไม่สมบูรณ์ เวอร์ชันที่ง่ายกว่าของเหตุผลนี้ให้การขยายเศษส่วนต่อเนื่องที่มีประโยชน์สอง แบบของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง^{[ 11 ]}

จาก

${\displaystyle (1-z)^{-b}={}_{1}F_{0}(b;;z)=\,_{2}F_{1}(1,b;1;z),}$

${\displaystyle (1-z)^{-b}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {-bz}{1+{\cfrac {(b-1)z}{2+{\cfrac {-(b+1)z}{3+{\cfrac {2(b-2)z}{4+{}\ddots }}}}}}}}}}}$

การ ขยาย อนุกรมเทย์เลอร์ของarctan zในบริเวณใกล้เคียงศูนย์กำหนดโดย^{[ 12 ]}

${\displaystyle \arctan z=zF({\scriptstyle {\frac {1}{2}}},1;{\scriptstyle {\frac {3}{2}}};-z^{2}).}$

สามารถนำเศษส่วนต่อเนื่องของเกาส์มาใช้กับเอกลักษณ์นี้ได้ ทำให้ได้การขยายดังนี้

${\displaystyle \arctan z={\cfrac {z}{1+{\cfrac {(1z)^{2}}{3+{\cfrac {(2z)^{2}}{5+{\cfrac {(3z)^{2}}{7+{\cfrac {(4z)^{2}}{9+\ddots }}}}}}}}}},}$

ซึ่งลู่เข้าสู่สาขาหลักของฟังก์ชันแทนเจนต์ผกผันบนระนาบเชิงซ้อนที่ตัด โดยที่การตัดขยายไปตามแกนจินตนาการจากiไปยังจุดที่อนันต์ และจาก − iไปยังจุดที่อนันต์^{[ 13 ]}

เศษส่วนต่อเนื่องนี้ลู่เข้าอย่างรวดเร็วเมื่อz = 1 โดยให้ค่า π/4 ที่ทศนิยมเจ็ดตำแหน่งเมื่อลู่เข้าครั้งที่เก้า อนุกรมที่สอดคล้องกัน

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {1^{2}}{2+{\cfrac {3^{2}}{2+{\cfrac {5^{2}}{2+\ddots }}}}}}}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}\pm \cdots }$

ลู่เข้าช้าลงมาก โดยต้องใช้มากกว่าหนึ่งล้านเทอมเพื่อให้ได้ความแม่นยำถึงเจ็ดตำแหน่งทศนิยม^{[ 14 ]}

สามารถใช้หลักการนี้ในรูปแบบต่างๆ เพื่อสร้างการกระจายเศษส่วนต่อเนื่องสำหรับลอการิทึมธรรมชาติฟังก์ชัน arcsinและอนุกรมทวินามทั่วไปได้