ในทางคณิตศาสตร์วงเล็บเกาส์เซียนเป็นสัญลักษณ์พิเศษที่คิดค้นโดยคาร์ล ฟรีดริช เกาส์เพื่อแสดงการลู่เข้าของเศษส่วนต่อเนื่องแบบง่ายในรูปแบบของเศษส่วนแบบง่ายเกาส์ใช้สัญลักษณ์นี้ในบริบทของการหาคำตอบของสมการที่ไม่กำหนดในรูปแบบ^{[ 1 ]}${\displaystyle ax=by\pm 1}$

ไม่ควรสับสนสัญลักษณ์นี้กับการใช้วงเล็บเหลี่ยมที่แพร่หลายในการแสดงฟังก์ชันจำนวนเต็มที่มากที่สุด: หมายถึงจำนวนเต็มที่มากที่สุดที่น้อยกว่าหรือเท่ากับสัญลักษณ์นี้คิดค้นโดยเกาส์และใช้ในการพิสูจน์ กฎ การผกผันกำลังสอง ครั้งที่สาม สัญลักษณ์ซึ่งแสดงถึงฟังก์ชันพื้นปัจจุบันมักใช้เพื่อแสดงจำนวนเต็มที่มากที่สุดที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ^{[ 2 ]}${\displaystyle [x]}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \lfloor x\rfloor }$${\displaystyle x}$

สัญกรณ์วงเล็บเกาส์เซียนถูกกำหนดไว้ดังนี้: ^{[ 3 ] [ 4 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\quad [\,\,]&=1\\[1mm][a_{1}]&=a_{1}\\[1mm][a_{1},a_{2}]&=[a_{1}]a_{2}+[\,\,]\\[1mm]&=a_{1}a_{2}+1\\[1mm][a_{1},a_{2},a_{3}]&=[a_{1},a_{2}]a _{3}+[a_{1}]\\[1mm]&=a_{1}a_{2}a_{3}+a_{1}+a_{3}\\[1mm][a_{1},a_{2},a_{3},a_{4}]&=[a_{1},a_{2},a_{3}]a_{4}+[a_{1},a_{2}]\\[1mm]&=a_{1} a_{2}a_{3}a_{4}+a_{1}a_{2}+a_{1}a_{4}+a_{3}a_{4}+1\\[1mm][a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},a_{5}]&=[a_{1},a_{2},a_{3},a_{4}]a_{5}+[a_{1},a_{2}, a_{3}]\\[1mm]&=a_{1}a_{2}a_{3}a_{4}a_{5}+a_{1}a_{2}a_{3}+a_{1}a_{2}a_{5}+a_{1}a_{4}a_{5}+a_{3}a_{4}a_{5}+a_{1}+a_{3}+a_{5}\\[1mm]\vdots &\\[1mm][a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}]&=[a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n-1}]a_{n}+[a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n-2}]\end{aligned}}}$

รูปแบบขยายของนิพจน์สามารถอธิบายได้ดังนี้: "พจน์แรกคือผลคูณของสมาชิกทั้งnตัว หลังจากนั้นจะเป็นผลคูณที่เป็นไปได้ทั้งหมดของสมาชิก ( n -2) ตัว ซึ่งตัวเลขจะมีดัชนีคี่และคู่สลับกันในลำดับที่เพิ่มขึ้น โดยแต่ละตัวเริ่มต้นด้วยดัชนีคี่ จากนั้นผลคูณที่เป็นไปได้ทั้งหมดของสมาชิก ( n -4) ตัวก็จะมีดัชนีคี่และคู่สลับกันที่สูงขึ้นเรื่อยๆ โดยแต่ละตัวเริ่มต้นด้วยดัชนีคี่ และอื่นๆ ต่อไปเรื่อยๆ หากวงเล็บมีจำนวนสมาชิกเป็นเลขคี่ จะสิ้นสุดด้วยผลรวมของสมาชิกทั้งหมดที่มีดัชนีคี่ หากมีจำนวนสมาชิกเป็นเลขคู่ จะสิ้นสุดด้วยหนึ่ง" ^{[ 4 ]}${\displaystyle [a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}]}$

ด้วยสัญลักษณ์นี้ เราสามารถตรวจสอบได้อย่างง่ายดายว่า^{[ 3 ]}

${\displaystyle {\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{a_{3}+\cdots {\frac {\ddots }{\cfrac {1}{a_{n-1}+{\frac {1}{a_{n}}}}}}}}}}}}={\frac {[a_{2},\ldots ,a_{n}]}{[a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}]}}}$

1. สัญลักษณ์วงเล็บสามารถกำหนดได้ด้วย ความสัมพันธ์ แบบเวียนเกิด เช่นกัน :${\displaystyle \,\,[a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ,a_{n}]=a_{1}[a_{2},a_{3},\ldots ,a_{n}]+[a_{3},\ldots ,a_{n}]}$
2. สัญลักษณ์ดังกล่าวมีความสมมาตรหรือสามารถกลับทิศทางได้ในอาร์กิวเมนต์:${\displaystyle \,\,[a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n-1},a_{n}]=[a_{n},a_{n-1},\ldots ,a_{2},a_{1}]}$
3. นิพจน์วงเล็บเกาส์เซียนสามารถเขียนได้โดยใช้ดีเทอร์มิแนนต์: ${\displaystyle \,\,[a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}]={\begin{vmatrix}a_{1}&-1&0&0&\cdots &0&0&0\\[1mm]1&a_{2}&-1&0&\cdots &0&0&0\\[1mm]0&1&a_{3}&-1&\cdots &0&0&0\\[1mm]\vdots &&&&&&&\\[1mm]0&0&0&0&\cdots &1&a_{n-1}&-1\\[1mm]0&0&0&0&\cdots &0&1&a_{n}\end{vmatrix}}}$
4. สัญลักษณ์ดังกล่าวสอดคล้องกับ สูตร ดีเทอร์มิแนนต์ (สำหรับการใช้งานตามข้อตกลงที่ว่า):${\displaystyle n=1}$${\displaystyle [a_{2},\ldots ,a_{0}]=0}$${\displaystyle \,\,{\begin{vmatrix}[a_{1},\ldots ,a_{n}]&[a_{1},\ldots ,a_{n-1}]\\[1mm][a_{2},\ldots ,a_{n}]&[a_{2},\ldots ,a_{n-1}]\end{vmatrix}}=(-1)^{n}}$
5. ${\displaystyle [-a_{1},-a_{2},\ldots ,-a_{n}]=(-1)^{n}[a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}]}$
6. ให้องค์ประกอบในนิพจน์วงเล็บเกาส์เซียนเป็น 0 สลับกันไป แล้ว

${\displaystyle {\begin{aligned}\,\,\quad [a_{1},0,a_{3},0,\ldots ,a_{2m+1}]&=a_{1}+a_{3}+\cdots +a_{2m+1}\\[1mm][a_{1},0,a_{3},0,\ldots ,a_{2m+1},0]&=1\\[1mm][0,a_{2},0,a_{4},\ldots ,a_{2m}]&=1\\[1mm][0,a_{2},0,a_{4},\ldots ,a_{2m},0]&=0\end{aligned}}}$

วงเล็บเกาส์เซียนถูกใช้กันอย่างแพร่หลายโดยนักออกแบบทางแสงในฐานะเครื่องมือประหยัดเวลาในการคำนวณผลกระทบของการเปลี่ยนแปลงกำลังพื้นผิว ความหนา และการแยกระยะโฟกัสกำลังขยาย และระยะห่างของวัตถุและภาพ^{[ 4 ] [ 5 ]}

เอกสารต่อไปนี้ให้รายละเอียดเพิ่มเติมเกี่ยวกับการประยุกต์ใช้ของวงเล็บเกาส์เซียนในทางทัศนศาสตร์

• Chen Ma, Dewen Cheng, Q. Wang และ Chen Xu (พฤศจิกายน 2014). "การออกแบบระบบออปติคอลของกล้องตรวจจอตาแบบปรับได้ด้วยของเหลวโดยใช้วิธี Gaussian Brackets" Acta Optica Sinica . 34 (11). doi : 10.3788/AOS201434.1122001 .{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
• Yi Zhong, Herbert Gross (พฤษภาคม 2017). "วิธีการออกแบบระบบเบื้องต้นสำหรับระบบที่ไม่สมมาตรแบบหมุนโดยอาศัยวงเล็บเกาส์เซียนและทฤษฎีความคลาดเคลื่อนของโหนด" Opt Express . 25 (9): 10016– 10030. Bibcode : 2017OExpr..2510016Z . doi : 10.1364/OE.25.010016 . PMID  28468369 . สืบค้นเมื่อ24 มกราคม 2023 .
• Xiangyu Yuan และ Xuemin Cheng (พฤศจิกายน 2014). "การออกแบบเลนส์โดยใช้พารามิเตอร์รูปทรงเลนส์โดยใช้ Gaussian brackets". ใน Wang, Yongtian; Du, Chunlei; Sasián, José; Tatsuno, Kimio (บรรณาธิการ). Optical Design and Testing VI . Vol. 9272. หน้า 92721L. Bibcode : 2014SPIE.9272E..1LY . doi : 10.1117/12.2073422 . S2CID  121201008 .