คำอธิบายเชิงการจัดเรียงแบบหนึ่งของสัมประสิทธิ์ทวินามแบบเกาส์เซียนเกี่ยวข้องกับการผกผัน

สัมประสิทธิ์ทวินามธรรมดา${\displaystyle {\tbinom {m}{r}}}$นับจำนวน ชุด ค่า ผสม rชุดที่เลือกจาก เซตที่มีองค์ประกอบ m ตัวหากเราถือว่า องค์ประกอบ m ตัวเหล่านั้น เป็นตำแหน่งตัวอักษรที่แตกต่างกันในคำที่มีความยาวmแล้ว ชุดค่าผสม r ชุดแต่ละชุด จะสอดคล้องกับคำที่มีความยาวmโดยใช้อักษรสองตัว เช่น{0,1}โดยมี อักษร 1 จำนวน rตัว (ระบุตำแหน่งในชุดค่าผสมที่เลือก) และ อักษร 0 จำนวน m − rตัว (สำหรับตำแหน่งที่เหลือ)

ตัวอย่างเช่น${\displaystyle {4 \choose 2}=6}$คำที่ใช้ เลข 0และ1คือ${\displaystyle 0011,0101,0110,1001,1010,1100}$.

เพื่อให้ได้สัมประสิทธิ์ทวินามแบบเกาส์เซียน${\displaystyle {\tbinom {m}{r}}_{\!q}}$แต่ละคำจะเชื่อมโยงกับปัจจัยq ^dโดยที่dคือจำนวนการสลับตำแหน่งของคำ ซึ่งในกรณีนี้ การสลับตำแหน่งคือคู่ของตำแหน่งที่ด้านซ้ายของคู่มีตัวอักษร1และด้านขวามีตัวอักษร0

จากตัวอย่างข้างต้น มีคำหนึ่งคำที่มีการสลับตำแหน่ง 0 ครั้ง${\displaystyle 0011}$คำหนึ่งคำที่มีการสลับตำแหน่ง 1 ครั้ง${\displaystyle 0101}$คำสองคำที่มีการสลับตำแหน่ง 2 ครั้ง${\displaystyle 0110}$,${\displaystyle 1001}$คำเดียวที่มีการสลับตำแหน่ง 3 แบบ${\displaystyle 1010}$และคำหนึ่งคำที่มีการสลับตำแหน่ง 4 แบบ${\displaystyle 1100}$นี่คือจำนวนการเลื่อนไปทางซ้ายของ เลข 1จากตำแหน่งเริ่มต้น เช่นกัน

สิ่งเหล่านี้สอดคล้องกับสัมประสิทธิ์ใน${\displaystyle {4 \choose 2}_{\!q}=1+q+2q^{2}+q^{3}+q^{4}}$.

อีกวิธีหนึ่งที่จะมองเห็นภาพนี้คือ การเชื่อมโยงแต่ละคำกับเส้นทางบนตารางสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีความสูง rและความกว้างm − rโดยเริ่มจากมุมล่างซ้ายไปยังมุมบนขวา เส้นทางจะก้าวไปทางขวาหนึ่งก้าวสำหรับทุกๆ0และก้าวขึ้นหนึ่งก้าวสำหรับทุกๆ1การกลับทิศทางจะเปลี่ยนทิศทางการก้าว (ขวา+ขึ้นกลายเป็นขึ้น+ขวา และในทางกลับกัน) ดังนั้นจำนวนการกลับทิศทางจึงเท่ากับพื้นที่ใต้เส้นทาง

อนุญาต${\displaystyle B(n,m,r)}$เป็นจำนวนวิธีในการโยน ${\displaystyle r}$ลูกบอลที่แยกแยะไม่ออก${\displaystyle m}$ถังที่ไม่สามารถแยกแยะได้ โดยแต่ละถังสามารถบรรจุได้มากถึง${\displaystyle n}$ลูกบอล สัมประสิทธิ์ทวินามแบบเกาส์เซียนสามารถใช้เพื่อกำหนดลักษณะเฉพาะได้${\displaystyle B(n,m,r)}$. อย่างแท้จริง,

${\displaystyle B(n,m,r)=[q^{r}]{n+m \choose m}_{\!q}.}$

ที่ไหน${\displaystyle [q^{r}]P}$แสดงถึงสัมประสิทธิ์ของ${\displaystyle q^{r}}$ในพหุนาม${\displaystyle P}$(ดูรายละเอียดเพิ่มเติมในส่วน "การใช้งาน" ด้านล่าง)

เช่นเดียวกับสัมประสิทธิ์ทวินามทั่วไป สัมประสิทธิ์ทวินามแบบเกาส์เซียนมีสมมาตรแบบศูนย์กลาง กล่าวคือ ไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การสะท้อน${\displaystyle r\mapsto m-r}$:

${\displaystyle {m \choose r}_{\!q}={m \choose m-r}_{\!q}.}$

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง

${\displaystyle {m \choose 0}_{\!q}={m \choose m}_{\!q}=1\,,}$

${\displaystyle {m \choose 1}_{\!q}={m \choose m-1}_{\!q}={\frac {1-q^{m}}{1-q}}=1+q+\cdots +q^{m-1}\quad m\geq 1\,.}$

การประเมินค่าสัมประสิทธิ์ทวินามแบบเกาส์เซียนที่q = 1คือ

${\displaystyle \lim _{q\to 1}{\binom {m}{r}}_{\!q}={\binom {m}{r}}}$

กล่าวคือ ผลรวมของสัมประสิทธิ์จะให้ค่าทวินามที่สอดคล้องกัน

ระดับของ${\displaystyle {\binom {m}{r}}_{\!q}}$เป็น:${\displaystyle {\binom {m+1}{2}}-{\binom {r+1}{2}}-{\binom {(m{-}r)+1}{2}}=r(m-r)}$.

อนาล็อกของเอกลักษณ์ของปาสคาลสำหรับสัมประสิทธิ์ทวินามเกาส์เซียนคือ: ^{[ 2 ]}

${\displaystyle {m \choose r}_{\!q}=q^{r}{m-1 \choose r}_{\!q}+{m-1 \choose r-1}_{\!q}}$

และ

${\displaystyle {m \choose r}_{\!q}={m-1 \choose r}_{\!q}+q^{m-r}{m-1 \choose r-1}_{\!q}.}$

เมื่อไร${\displaystyle q=1}$ทั้งสองอย่างนี้ให้เอกลักษณ์ทวินามตามปกติ เราสามารถเห็นได้ว่าเมื่อ${\displaystyle m\to \infty }$สมการทั้งสองยังคงใช้ได้

อนาล็อกแรกของภาษาปาสคาลช่วยให้สามารถคำนวณสัมประสิทธิ์ทวินามแบบเกาส์เซียนแบบเวียนซ้ำ (โดยสัมพันธ์กับm ) โดยใช้ค่าเริ่มต้น

${\displaystyle {m \choose m}_{\!q}={m \choose 0}_{\!q}=1}$

และยังแสดงให้เห็นว่าสัมประสิทธิ์ทวินามแบบเกาส์เซียนนั้นเป็นพหุนามจริง ๆ (ในq )

อนาล็อกของปาสคาลตัวที่สองได้มาจากอนาล็อกตัวแรกโดยใช้การแทนที่${\displaystyle r\rightarrow m-r}$และความไม่เปลี่ยนแปลงของสัมประสิทธิ์ทวินามแบบเกาส์เซียนภายใต้การสะท้อน${\displaystyle r\rightarrow m-r}$.

เอกลักษณ์เหล่านี้สามารถตีความได้อย่างเป็นธรรมชาติในแง่ของพีชคณิตเชิงเส้นโปรดจำไว้ว่า${\displaystyle {\tbinom {m}{r}}_{q}}$นับจำนวนปริภูมิย่อยr มิติ${\displaystyle V\subset \mathbb {F} _{q}^{m}}$และปล่อยให้${\displaystyle \pi$ :\mathbb {F} _{q}^{m}\to \mathbb {F} _{q}^{m-1}} เป็นการฉายภาพที่มีปริภูมิว่างมิติเดียว${\displaystyle E_{1}}$เอกลักษณ์แรกมาจากการจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงซึ่งรับค่า${\displaystyle V\subset \mathbb {F} _{q}^{m}}$ไปยังปริภูมิย่อย${\displaystyle V'=\pi (V)\subset \mathbb {F} _{q}^{m-1}}$ในกรณีดังกล่าว${\displaystyle E_{1}\not \subset V}$พื้นที่${\displaystyle V'}$มี มิติ rและเราต้องติดตามฟังก์ชันเชิงเส้นด้วย${\displaystyle \phi :V'\to E_{1}}$ซึ่งกราฟคือ${\displaystyle V}$แต่ในกรณี${\displaystyle E_{1}\subset V}$พื้นที่${\displaystyle V'}$มีมิติ ( r −1) และเราสามารถสร้างใหม่ได้${\displaystyle V=\pi ^{-1}(V')}$โดยไม่มีข้อมูลเพิ่มเติมใดๆ อัตลักษณ์ที่สองมีการตีความที่คล้ายคลึงกัน โดยรับเอา${\displaystyle V}$ถึง${\displaystyle V'=V\cap E_{n-1}}$สำหรับปริภูมิที่มีมิติ ( m −1)${\displaystyle E_{m-1}}$ซึ่งแบ่งออกเป็นสองกรณีอีกครั้ง

ทั้งสองกรณีสามารถพิสูจน์ได้โดยเริ่มจากการสังเกตว่าจากนิยามของ${\displaystyle {\tbinom {m}{r}}_{q}}$เรามี:

${\displaystyle {\binom {m}{r}}_{q}={\frac {1-q^{m}}{1-q^{m-r}}}{\binom {m-1}{r}}_{q}}$

1

${\displaystyle {\binom {m}{r}}_{q}={\frac {1-q^{m}}{1-q^{r}}}{\binom {m-1}{r-1}}_{q}}$

2

${\displaystyle {\frac {1-q^{r}}{1-q^{m-r}}}{\binom {m-1}{r}}_{q}={\binom {m-1}{r-1}}_{q}}$

3

เช่น

${\displaystyle {\frac {1-q^{m}}{1-q^{m-r}}}={\frac {1-q^{r}+q^{r}-q^{m}}{1-q^{m-r}}}=q^{r}+{\frac {1-q^{r}}{1-q^{m-r}}}}$

สมการ ( 1 ) จะกลายเป็น:

${\displaystyle {\binom {m}{r}}_{q}=q^{r}{\binom {m-1}{r}}_{q}+{\frac {1-q^{r}}{1-q^{m-r}}}{\binom {m-1}{r}}_{q}}$

และการแทนสมการ ( 3 ) จะได้อนาล็อกแรก

กระบวนการที่คล้ายกัน โดยใช้

${\displaystyle {\frac {1-q^{m}}{1-q^{r}}}=q^{m-r}+{\frac {1-q^{m-r}}{1-q^{r}}}}$

แต่จะให้ค่าอนาล็อกที่สองแทน

มีทฤษฎีบทที่คล้ายคลึงกับทฤษฎีบททวินามสำหรับ สัมประสิทธิ์ทวินาม qซึ่งรู้จักกันในชื่อทฤษฎีบททวินามของโคชี:

${\displaystyle \prod _{k=0}^{n-1}(1+q^{k}t)=\sum _{k=0}^{n}q^{k(k-1)/2}{n \choose k}_{\!q}t^{k}.}$

เช่นเดียวกับทฤษฎีบททวินามทั่วไป สูตรนี้มีการวางนัยทั่วไปและการขยายความมากมาย หนึ่งในนั้น ซึ่งสอดคล้องกับทฤษฎีบททวินามทั่วไปของนิวตันสำหรับเลขชี้กำลังลบ คือ

${\displaystyle \prod _{k=0}^{n-1}{\frac {1}{1-q^{k}t}}=\sum _{k=0}^{\infty }{n+k-1 \choose k}_{\!q}t^{k}.}$

ในขีดจำกัด${\displaystyle n\rightarrow \infty }$สูตรเหล่านี้ให้ผลลัพธ์ดังนี้

${\displaystyle \prod _{k=0}^{\infty }(1+q^{k}t)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {q^{k(k-1)/2}t^{k}}{[k]_{q}!\,(1-q)^{k}}}}$

และ

${\displaystyle \prod _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{1-q^{k}t}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {t^{k}}{[k]_{q}!\,(1-q)^{k}}}}$.

การตั้งค่า${\displaystyle t=q}$ให้ฟังก์ชันก่อกำเนิดที่นับพาร์ติชันที่มีส่วนประกอบที่แตกต่างกันและส่วนประกอบที่กำหนดขึ้นเองตามลำดับ

เมื่อใช้สัมประสิทธิ์ทวินามแบบปกติ เราจะได้ว่า:

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}^{\!2}={\binom {2n}{n}}}$

สำหรับสัมประสิทธิ์q -binomial จะได้ดังนี้:

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}q^{k^{2}}{\binom {n}{k}}_{\!q}^{\!2}={\binom {2n}{n}}_{\!q}}$

เดิมทีเกาส์ใช้สัมประสิทธิ์ทวินามเกาส์เซียนในการกำหนดเครื่องหมายของผลรวมเกาส์กำลังสอง^{[ 3 ]}

สัมประสิทธิ์ทวินามแบบเกาส์เซียนปรากฏในการนับพหุนามสมมาตรและในทฤษฎีการแบ่งส่วน สัมประสิทธิ์ของq ^rใน

${\displaystyle {n+m \choose m}_{\!q}}$

คือจำนวนการแบ่งส่วนของrที่มีmส่วนหรือน้อยกว่า โดยแต่ละส่วนมีขนาดเล็กกว่าหรือเท่ากับnหรือกล่าวอีกนัยหนึ่งคือ จำนวนการแบ่งส่วนของrที่มีnส่วนหรือน้อยกว่า โดยแต่ละส่วนมีขนาดเล็กกว่าหรือเท่ากับm

สัมประสิทธิ์ทวินามแบบเกาส์เซียนยังมีบทบาทสำคัญในทฤษฎีการนับของปริภูมิเชิงฉายที่กำหนดบนฟิลด์จำกัด โดยเฉพาะอย่างยิ่ง สำหรับทุกฟิลด์จำกัด${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$โดยมีองค์ประกอบq ตัว คือสัมประสิทธิ์ทวินามแบบเกาส์เซียน

${\displaystyle {n \choose k}_{\!q}}$

นับจำนวน ซับสเปซเวกเตอร์ kมิติของปริภูมิเวกเตอร์nมิติเหนือ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$(จุดต่างๆ ของกราสส์มันเนียน ) เมื่อขยายเป็นพหุนามในqจะได้การแยกส่วนของกราสส์มันเนียนออกเป็นเซลล์ชูเบิร์ตซึ่งเป็นที่รู้จักกันดี ตัวอย่างเช่น สัมประสิทธิ์ทวินามแบบเกาส์เซียน

${\displaystyle {n \choose 1}_{\!q}=1+q+q^{2}+\cdots +q^{n-1}}$

คือจำนวนของปริภูมิย่อยหนึ่งมิติใน ( F ) ⁿหรือเทียบเท่ากับจำนวนจุดในปริภูมิเชิงฉาย ที่เกี่ยวข้อง ยิ่งไปกว่านั้น เมื่อqเท่ากับ 1 (หรือ −1 ตามลำดับ) สัมประสิทธิ์ทวินามแบบเกาส์เซียนจะให้ลักษณะเฉพาะของออยเลอร์ของกราสส์มันเนียนเชิงซ้อน (หรือเชิงจริง) ที่สอดคล้องกัน

จำนวนของ ซับสเปซเชิงเส้น kมิติของF ⁿเท่ากับ

${\displaystyle q^{n-k}{n \choose k}_{\!q}}$.

สิ่งนี้เปิดโอกาสให้ตีความอัตลักษณ์ได้อีกแบบหนึ่ง

${\displaystyle {m \choose r}_{\!q}={m-1 \choose r}_{\!q}+q^{m-r}{m-1 \choose r-1}_{\!q}}$

โดยการนับปริภูมิย่อยมิติ ( r − 1) ของปริภูมิเชิงฉายมิติ ( m − 1) โดยการกำหนดระนาบ ไฮเปอร์เพลนจากนั้นนับปริภูมิย่อยที่อยู่ในระนาบไฮเปอร์เพลนนั้น และนับปริภูมิย่อยที่ไม่อยู่ในระนาบไฮเปอร์เพลนนั้น ปริภูมิย่อยหลังนี้มีความสัมพันธ์แบบหนึ่งต่อหนึ่งกับปริภูมิย่อยเชิงเส้นตรงมิติ ( r − 1) ของปริภูมิที่ได้จากการพิจารณาระนาบไฮเปอร์เพลนที่กำหนดไว้เป็นระนาบไฮเปอร์เพลนที่อนันต์

สัมประสิทธิ์ทวินามแบบเกาส์เซียนมีบทบาทสำคัญในปรากฏการณ์การกรองแบบวัฏจักร ให้Cเป็นกลุ่มวัฏจักรอันดับn ที่ มีตัวสร้างcให้Xเป็นเซตของ เซตย่อย kสมาชิกของ เซต nสมาชิก {1, 2, ..., n } กลุ่มCมีการกระทำแบบแคนอนิกบนX โดยการส่งcไปยังการเรียงสับเปลี่ยนแบบวัฏจักร (1, 2, ..., n ) จำนวนจุดตรึงของc ^dบนXเท่ากับ

${\displaystyle {\binom {n}{k}}_{\!q}}$

โดยที่qถือเป็น กำลังที่ dของ ราก ที่n ดั้งเดิม ของเอกภาพ

ในข้อกำหนดทั่วไปที่ใช้ในการประยุกต์ใช้กับกลุ่มควอนตัมจะใช้คำจำกัดความที่แตกต่างออกไปเล็กน้อย โดยสัมประสิทธิ์ทวินามควอนตัมในที่นั้นคือ

${\displaystyle q^{k^{2}-nk}{n \choose k}_{\!q^{2}}}$.

สัมประสิทธิ์ทวินามควอนตัมเวอร์ชันนี้มีความสมมาตรภายใต้การสลับตำแหน่งของ${\displaystyle q}$และ${\displaystyle q^{-1}}$.