พื้นที่ฮิลเบิร์ตที่ถูกดัดแปลง

ในคณิตศาสตร์และฟิสิกส์พื้นที่ฮิลเบิร์ตแบบปรับแต่ง ( Gelfand triple , พื้นที่ฮิลเบิร์ตแบบซ้อน กัน , พื้นที่ฮิลเบิร์ตแบบมีอุปกรณ์ ) คือโครงสร้างที่สามารถขยายพื้นที่ฮิลเบิร์ตให้เป็นพื้นที่ที่ใหญ่กว่าซึ่งมีวัตถุเพิ่มเติมที่ไม่ได้อยู่ในพื้นที่ฮิลเบิร์ต แต่เป็นสิ่งที่เราต้องการจะนึกถึงควบคู่ไปกับพื้นที่ฮิลเบิร์ต ตัวอย่างเช่น ในการอธิบายทางกลศาสตร์ควอนตัมของอนุภาคที่ไม่สัมพัทธภาพโดยใช้พื้นที่ฮิลเบิร์ตของฟังก์ชันที่สามารถอินทิเกรตกำลังสองได้บนเส้นจำนวนจริง สถานะเฉพาะของตัวดำเนินการตำแหน่งและโมเมนตัมไม่ได้อยู่ในพื้นที่ฮิลเบิร์ต แต่อยู่ในพื้นที่ฮิลเบิร์ตแบบปรับแต่งที่กำหนดไว้อย่างเหมาะสม โดยทั่วไป คำว่า "ปรับแต่ง" หมายความว่าพื้นที่ฮิลเบิร์ตได้รับการปรับแต่งให้ทำได้มากกว่าที่ทำได้ตามปกติ ในลักษณะเดียวกับการปรับแต่งเรือ^{[ 1 ]}

โครงสร้างนี้ได้รับการออกแบบมาเพื่อเชื่อมโยง ลักษณะ การกระจายตัวและ การหาปริพันธ์ กำลังสองของการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชันพื้นที่ดังกล่าวได้รับการแนะนำเพื่อศึกษาทฤษฎีสเปกตรัม โดยนำ ' สถานะผูกพัน ' ( เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ ) และ ' สเปกตรัมต่อเนื่อง ' มารวมไว้ในที่เดียวกัน

โดยใช้แนวคิดนี้ ทฤษฎีบทสเปกตรัมเวอร์ชันสำหรับตัวดำเนินการที่ไม่จำกัดบนปริภูมิฮิลเบิร์ตสามารถกำหนดได้^{[ 2 ]} "ปริภูมิฮิลเบิร์ตแบบมีโครงสร้างเป็นที่รู้จักกันดีว่าเป็นโครงสร้างที่ให้ความหมายทางคณิตศาสตร์ที่เหมาะสมแก่การกำหนดกลศาสตร์ควอนตัมของดิแรก " ^{[ 3 ]}

แรงจูงใจ

ฟังก์ชันเช่น $x\mapsto e^{ix},$ เป็นฟังก์ชันเฉพาะของตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์ $-i{\frac {d}{dx}}$ บนเส้นจริง $R$ แต่ไม่สามารถหาปริพันธ์กำลังสองได้สำหรับการวัดแบบปกติ ( Lebesgue ) บน $R$ การพิจารณาฟังก์ชันนี้อย่างถูกต้องในฐานะฟังก์ชันเฉพาะต้องใช้วิธีการก้าวออกไปนอกขอบเขตที่เข้มงวดของ ทฤษฎี ปริภูมิฮิลเบิร์ตสิ่งนี้ได้รับการจัดหาโดยกลไกของการกระจายและ ทฤษฎี ฟังก์ชันเฉพาะแบบทั่วไปได้รับการพัฒนาในช่วงหลายปีหลังปี 1950 ^{[ 4 ]}

คำนิยาม

ปริภูมิฮิลเบิร์ตแบบมีโครงสร้าง (rigged Hilbert space ) คือคู่ $(H, Φ)$ โดยที่ $H$ เป็นปริภูมิฮิลเบิร์ต และ $Φ$ เป็นปริภูมิย่อยหนาแน่น ซึ่ง $Φ$ นั้น มี โครงสร้าง ปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีที่ กำหนดไว้ สำหรับการแมปการรวม (inclusion map) $i:\Phi \to H,$ มีความต่อเนื่อง^{[ 5 ]}^{[ 6 ]}เมื่อระบุ $H$ กับปริภูมิคู่ $H *$ แล้ว ตัวผกผันของ $i$ คือแผนที่ $i^{*}:H=H^{*}\to \Phi ^{*}.$

การจับคู่แบบทวิภาคระหว่าง $Φ$ และ $Φ *$ จึงเข้ากันได้กับผลคูณภายในบน $H$ ในแง่ที่ว่า: $\langle u,v\rangle _{\Phi \times \Phi ^{*}}=(u,v)_{H}$ เมื่อใดก็ตาม $u\in \Phi \subset H$ และ $v\in H=H^{*}\subset \Phi ^{*}$ ในกรณีของปริภูมิฮิลเบิร์ตเชิงซ้อน เราใช้ผลคูณภายในแบบเฮอร์มิเชียน ซึ่งจะเป็นผลคูณเชิงเส้นเชิงซ้อนในตัวแปร $u$ (ตามธรรมเนียมทางคณิตศาสตร์) หรือ $v$ (ตามธรรมเนียมทางฟิสิกส์) และเป็นผลคูณเชิงเส้นแบบสังยุค (ผลคูณเชิงเส้นผกผันเชิงซ้อน) ในตัวแปรอีกตัวหนึ่ง

สามเท่า $(\พี ,\,\,H,\,\,\พี ^{*})$ มักเรียกกันว่า " กลุ่มสามเสาเกลฟานด์" (ตั้งชื่อตามอิสราเอล เกลฟานด์ ) $H$ เรียกอีกอย่างว่า พื้นที่จุดหมุน (pivot space)

โปรดทราบว่าถึงแม้ $Φ$ จะสมสัณฐานกับ $Φ *$ (ผ่านการแสดงแทนแบบรีซ ) แต่ถ้าหาก $Φ$ เป็นปริภูมิฮิลเบิร์ตในตัวของมันเอง ความสมสัณฐานนี้จะไม่เหมือนกับการประกอบกันของอินคลูชัน $i$ กับแอดจอยต์ $i * ของมัน$ $i^{*}i:\Phi \subset H=H^{*}\to \Phi ^{*}.$

แนวทางการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชัน

แนวคิดของปริภูมิฮิลเบิร์ตแบบปรับแต่ง (rigged Hilbert space) วางแนวคิดนี้ไว้ในกรอบการทำงานเชิงฟังก์ชันและวิเคราะห์แบบนามธรรม ในทางรูปธรรม ปริภูมิฮิลเบิร์ตแบบปรับแต่งประกอบด้วยปริภูมิฮิลเบิร์ต $H$ พร้อมกับปริภูมิย่อย $Φ$ ซึ่งมีโทโพโลยีที่ละเอียดกว่านั่นคือโทโพโลยีที่มีการรวมตามธรรมชาติ $\Phi \subseteq H$ มีความต่อเนื่องการสมมติว่า $Φ$ มีความหนาแน่นใน $H$ สำหรับนอร์มฮิลเบิร์ตนั้นไม่ใช่เรื่องเสียหาย เราพิจารณาการรวม ปริภูมิคู่ $H$ $*$ ใน $Φ$ $*$ ซึ่งปริภูมิ คู่นี้กับ $Φ$ ในโทโพโลยี 'ฟังก์ชันทดสอบ' นั้น ถูกสร้างขึ้นเป็นปริภูมิของการกระจายหรือฟังก์ชันทั่วไปบางประเภท และฟังก์ชันเชิงเส้นบนปริภูมิย่อย $Φ$ ประเภท $\phi \mapsto \langle v,\phi \rangle$ สำหรับ $v$ ใน $H$ จะถูกแสดงอย่างถูกต้องในรูปแบบของการแจกแจง (เนื่องจากเราถือว่า $Φ$ มีความหนาแน่น)

โดยการใช้ทฤษฎีบทการแสดงแทนของรีซเราสามารถระบุ $H *$ ให้เป็น $H$ ได้ ดังนั้น นิยามของปริภูมิฮิลเบิร์ตแบบมีโครงสร้าง จึง อยู่ในรูปของแซนด์วิช: $\Phi \subseteq H\subseteq \Phi ^{*}.$

ตัวอย่างที่สำคัญที่สุดคือตัวอย่างที่ $Φ$ เป็นปริภูมิเชิงนิวเคลียร์ข้อความนี้เป็นการแสดงออกเชิงนามธรรมของแนวคิดที่ว่า $Φ$ ประกอบด้วยฟังก์ชันทดสอบ และ $Φ*$ ประกอบด้วยการแจกแจง ที่สอดคล้อง กัน

ตัวอย่างของปริภูมิฮิลเบิร์ตแบบนับได้นิวเคลียร์ $\Phi$ และคู่ของมัน $\Phi ^{*}$ พื้นที่ของ ชวาร์ตซ์ ${\mathcal {S}}(\mathbb {R} )$ และพื้นที่ของการกระจายแบบเทมเปอร์ ${\mathcal {S}}'(\mathbb {R} )$ ตามลำดับ การปรับแต่งปริภูมิฮิลเบิร์ตของฟังก์ชันที่สามารถอินทิเกรตกำลังสองได้ดังนั้น ปริภูมิฮิลเบิร์ตที่ปรับแต่งแล้วจึงกำหนดโดย^{[ 7 ]} ${\mathcal {S}}(\mathbb {R} )\subset L^{2}(\mathbb {R} )\subset {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ).$ อีกตัวอย่างหนึ่งคือปริภูมิโซโบเลฟ : ที่นี่ (ในกรณีที่ง่ายที่สุดของปริภูมิโซโบเลฟบน $\mathbb {R} ^{n}$ ) $H=L^{2}(\mathbb {R} ^{n}),\ \Phi =H^{s}(\mathbb {R} ^{n}),\ \Phi ^{*}=H^{-s}(\mathbb {R} ^{n}),$ ที่ไหน $s>0$ .

ดูเพิ่มเติม

หมายเหตุ

↑ Ballentine, Leslie E. (2010). กลศาสตร์ควอนตัม: การพัฒนาสมัยใหม่ (พิมพ์ ซ้ำ). สิงคโปร์: World Scientific. ISBN 978-981-02-4105-6.
↑ Minlos, RA (2001) [1994], "Rigged Hilbert space" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
↑ Krasnoholovets, Volodymyr; Columbus, Frank H. (2004). งานวิจัยใหม่ในฟิสิกส์ควอนตัมสำนักพิมพ์ Nova Science Publishers หน้า79 ISBN 978-1-59454-001-1.
↑ Gel'fand & Vilenkin 1964 , หน้า 103–105.
↑เดลามาดริด โมดิโน 2001 , หน้า 66–67.
↑ฟาน เดอร์ ลาน 2019 , หน้า 21–22.
↑เดลามาดริด โมดิโน 2001 , หน้า. 72.

[1] Ballentine, Leslie E. (2010). กลศาสตร์ควอนตัม: การพัฒนาสมัยใหม่ (พิมพ์ ซ้ำ). สิงคโปร์: World Scientific. ISBN 978-981-02-4105-6.

[2] Minlos, RA (2001) [1994], "Rigged Hilbert space" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press

[3] Krasnoholovets, Volodymyr; Columbus, Frank H. (2004). งานวิจัยใหม่ในฟิสิกส์ควอนตัมสำนักพิมพ์ Nova Science Publishers หน้า79 ISBN 978-1-59454-001-1.

[FOOTNOTEGel'fandVilenkin1964103–105-4] Gel'fand & Vilenkin 1964 , หน้า 103–105.

[FOOTNOTEde_la_Madrid_Modino200166–67-5] เดลามาดริด โมดิโน 2001 , หน้า 66–67.

[FOOTNOTEvan_der_Laan201921–22-6] ฟาน เดอร์ ลาน 2019 , หน้า 21–22.

[FOOTNOTEde_la_Madrid_Modino200172-7] เดลามาดริด โมดิโน 2001 , หน้า. 72.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]