การเคลื่อนจุดบนเส้นโค้งแบบเกลียวหมายถึง การหมุนและการเคลื่อนที่ของจุดนั้นไปตามเส้นตรง (แกน) โดยที่การเคลื่อนที่แปรผันตรงกับมุมการหมุน ผลลัพธ์ที่ได้คือเส้นโค้งเกลียววงกลม

ถ้าแกนคือ แกน zการเคลื่อนที่ของจุด${\displaystyle P_{0}=(x_{0},y_{0},z_{0})}$สามารถอธิบายได้โดยใช้พารามิเตอร์โดย

${\displaystyle \mathbf {p} (\varphi )={\begin{pmatrix}x_{0}\cos \varphi -y_{0}\sin \varphi \\x_{0}\sin \varphi +y_{0}\cos \varphi \\z_{0}+c\;\varphi \end{pmatrix}}\ ,\ \varphi \in \mathbb {R} \ .}$

${\displaystyle c\neq 0}$เรียกว่าความเอียงหรือ มุม${\displaystyle \varphi }$มุมที่วัดเป็นเรเดียนเรียกว่ามุมเกลียว และ${\displaystyle h=c\;2\pi }$ระยะห่าง (สีเขียว) ร่องรอยของจุดนั้นเป็นเกลียววงกลม (สีแดง) ซึ่งอยู่ภายในพื้นผิวของทรงกระบอกกลมตรงรัศมีของมันคือระยะห่างจากจุด ${\displaystyle P_{0}}$ไปยังแกนz

ในกรณีของ ${\displaystyle c>0}$ถ้าเกลียวดีเอ็นเอเป็นแบบขวา จะเรียกว่าเกลียวดีเอ็นเอ แบบซ้าย มิฉะนั้นจะเรียกว่าเกลียวดีเอ็นเอแบบซ้าย (ในกรณีของ...)${\displaystyle c=0}$การเคลื่อนที่นี้เป็นการหมุนรอบ แกน z )

การเคลื่อนที่แบบเกลียวของเส้นโค้ง

${\displaystyle \mathbf {x} (t)=(x(t),y(t),z(t))^{T},\ t_{1}\leq t\leq t_{2}\ ,}$

ส่งผลให้เกิดเฮลิคอยด์ทั่วไปที่มีการแสดงแบบพาราเมตริก

• ${\displaystyle \mathbf {S} (t,\varphi )={\begin{pmatrix}x(t)\cos \varphi -y(t)\sin \varphi \\x(t)\sin \varphi +y(t)\cos \varphi \\z(t)+c\;\varphi \end{pmatrix}}\ ,\quad t_{1}\leq t\leq t_{2},\ \varphi \in \mathbb {R} \ .}$

เส้นโค้ง${\displaystyle \mathbf {S} (t={\text{constant}},\varphi )}$เป็นเกลียววงกลม เส้นโค้งเหล่านี้${\displaystyle \mathbf {S} (t,\varphi ={\text{ค่าคงที่}})}$เป็นสำเนาของเส้นโค้งโปรไฟล์ที่กำหนด

ตัวอย่าง:สำหรับภาพแรกด้านบน เส้นเมริเดียนเป็นรูปพาราโบลา

ถ้าเส้นโค้งโปรไฟล์เป็นเส้นตรง จะได้เส้นโค้งเฮลิคอยด์ทั่วไปแบบมีเส้นกำกับมีอยู่สี่ประเภท:

(1)เส้นตัดแกนตั้งฉากกัน จะได้เฮลิคอยด์ ( เฮลิคอยด์ทั่วไปแบบปิดขวา )

(2)เส้นตัดแกน แต่ไม่ตั้งฉากกัน จะได้แบบปิดเฉียง

ถ้าเส้นที่กำหนดและแกนเป็นเส้นเฉียงจะได้ รูปทรงแบบ เปิดและแกนจะไม่เป็นส่วนหนึ่งของพื้นผิว (ดูภาพประกอบ)

(3)ถ้าเส้นที่กำหนดและแกนเป็นเส้นเฉียง และเส้นนั้นอยู่ในระนาบที่ตั้งฉากกับแกน จะได้เฮลิคอย ด์แบบ เปิดขวาหรือเรียกสั้นๆ ว่า เฮลิคอย ด์แบบเปิด

(4)ถ้าเส้นและแกนเอียงและเส้นไม่ได้อยู่ใน ... (s. 3) จะได้แบบเปิดเฉียง

เส้นเฉียงจะตัดกันเอง (ดูรูปภาพ) ส่วนเส้น ตรง (เกลียว) จะไม่ตัดกันเอง

กรณีที่น่าสนใจอย่างหนึ่งคือ ถ้าเส้นนั้นเอียงทำกับแกน และผลคูณของระยะห่างของเส้นนั้น${\displaystyle d}$เทียบกับแกน และความชันของมันเท่ากับ...${\displaystyle c}$ในกรณีนี้ พื้นผิวที่ได้คือ พื้นผิว สัมผัสที่สามารถคลี่ออกได้และถูกสร้างขึ้นโดยเส้นไดเรกทริกซ์ ${\displaystyle (d\cos \varphi ,d\sin \varphi ,c\varphi )}$.

หมายเหตุ:

1. เส้นโค้งเฮลิคอยด์ (ทั้งแบบเปิดและแบบปิด) เป็นพื้นผิวคาตาลันส่วนเส้นโค้งเฮลิคอยด์แบบปิด (แบบทั่วไป) นั้นเป็นรูปทรงกรวย อีกด้วย
2. เส้นโค้งเฮลิคอยด์ทั่วไปแบบมีเส้นกำกับไม่ใช่พื้นผิวเชิงพีชคณิต

เส้นโค้งเฮลิคอยด์ทั่วไปแบบปิดจะมีเส้นโปรไฟล์ที่ตัดกับแกน ถ้าเส้นโปรไฟล์นั้นอธิบายได้ด้วย ${\displaystyle (t,0,z_{0}+m\;t)^{T}}$ จะได้การแสดงแบบพาราเมตริกดังต่อไปนี้

• ${\displaystyle \mathbf {S} (t,\varphi )={\begin{pmatrix}t\cos \varphi \\t\sin \varphi \\z_{0}+mt+c\varphi \end{pmatrix}}\ .}$

ถ้า${\displaystyle m=0}$(เฮลิคอยด์ทั่วไป) พื้นผิวไม่ตัดกันเอง ถ้า${\displaystyle m\neq 0}$(แบบเฉียง) พื้นผิวตัดกับตัวเองและเส้นโค้ง (บนพื้นผิว)

${\displaystyle \mathbf {S} (t_{i},\varphi )}$กับ${\displaystyle t_{i}={\frac {h}{4m}}(2i+1),\ i=1,2,\ldots }$

ประกอบด้วยจุดคู่มีเส้นโค้งคู่จำนวนอนันต์ ยิ่งเล็กยิ่งดี ${\displaystyle |m|}$ยิ่งระยะห่างระหว่างเส้นโค้งคู่มีมากเท่าไร

สำหรับไดเรกทริกซ์ (เกลียว)

${\displaystyle \mathbf {x} (\varphi )=(r\cos \varphi ,r\sin \varphi ,c\varphi )^{T}}$

จะได้การแสดงพาราเมตริกของ พื้นผิวที่สามารถคลี่ออกได้ตามเส้นสัมผัส ดังนี้:

• ${\displaystyle \mathbf {S} (t,\varphi )=\mathbf {x} (\varphi )+t\mathbf {\dot {x}} (\varphi )={\begin{pmatrix}r\cos \varphi -tr\sin \varphi \\r\sin \varphi +tr\cos \varphi \\c(t+\varphi )\end{พีเมทริกซ์}}\ .}$

เวกเตอร์ตั้งฉากกับพื้นผิวคือ

${\displaystyle \mathbf {n} =\mathbf {S} _{t}\times \mathbf {S} _{\varphi }=\mathbf {\dot {x}} \times (\mathbf {\dot {x}} +t\mathbf {\ddot {x}} )=t(\mathbf {\dot {x}} \times \mathbf {\ddot {x}} )=t{\begin{pmatrix}cr\sin \varphi \\-cr\cos \varphi \\r^{2}\end{pmatrix}}\ .}$

สำหรับ${\displaystyle t=0}$เวกเตอร์ปกติคือเวกเตอร์ศูนย์ ดังนั้นเส้นไดเรกทริกซ์จึงประกอบด้วยจุดเอกฐาน เส้นไดเรกทริกซ์แบ่งพื้นผิวออกเป็นส่วนปกติสองส่วน (ดูภาพประกอบ)