ในพีชคณิตเชิงเส้นเมทริกซ์โมดอลถูกใช้ในกระบวนการสร้างแนวทแยงมุมที่เกี่ยวข้องกับค่าลักษณะเฉพาะและเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ^{[ 1 ]}

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เมทริกซ์โมดอลสำหรับเมทริกซ์นั้นคือ เมทริกซ์ n × nที่สร้างขึ้นโดยใช้เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของเป็นคอลัมน์ในซึ่งใช้ในการแปลงความคล้ายคลึงกัน${\displaystyle M}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle M}$

${\displaystyle D=M^{-1}AM,}$

โดยที่เป็นเมทริกซ์แนวทแยงn × nที่มีค่าลักษณะเฉพาะของอยู่บนแนวทแยงหลักของและเป็นศูนย์ที่อื่น เมทริกซ์นี้เรียกว่าเมทริกซ์สเปกตรัมสำหรับค่าลักษณะเฉพาะต้องปรากฏจากซ้ายไปขวา จากบนลงล่าง ในลำดับเดียวกับเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะที่สอดคล้องกันซึ่งเรียงจากซ้ายไปขวาใน^{[ 2 ]}${\displaystyle D}$${\displaystyle A}$${\displaystyle D}$${\displaystyle D}$${\displaystyle A}$${\displaystyle M}$

เมทริกซ์

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}3&2&0\\2&0&0\\1&0&2\end{pmatrix}}}$

มีค่าลักษณะเฉพาะและเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะที่สอดคล้องกัน

${\displaystyle \lambda _{1}=-1,\quad \,\mathbf {b} _{1}=\left(-3,6,1\right),}$

${\displaystyle \lambda _{2}=2,\qquad \mathbf {b} _{2}=\left(0,0,1\right),}$

${\displaystyle \lambda _{3}=4,\qquad \mathbf {b} _{3}=\left(2,1,1\right).}$

เมทริกซ์แนวทแยงมุม คล้ายกับคือ${\displaystyle D}$${\displaystyle A}$

${\displaystyle D={\begin{pmatrix}-1&0&0\\0&2&0\\0&0&4\end{pmatrix}}.}$

ตัวเลือกหนึ่งที่เป็นไปได้สำหรับเมทริกซ์ผกผันได้ ซึ่งมีคุณสมบัติดังนี้คือ ${\displaystyle M}$${\displaystyle D=M^{-1}AM,}$

${\displaystyle M={\begin{pmatrix}-3&0&2\\6&0&1\\1&1&1\end{pmatrix}}.}$^{[ 3 ]}

โปรดทราบว่าเนื่องจากเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะไม่เป็นเอกลักษณ์ และเนื่องจากคอลัมน์ของทั้งและสามารถสลับกันได้ จึงสรุปได้ว่าทั้งและไม่เป็นเอกลักษณ์^{[ 4 ]}${\displaystyle M}$${\displaystyle D}$${\displaystyle M}$${\displaystyle D}$

ให้เป็นเมทริกซ์ขนาดn × n เมทริกซ์โมดอลทั่วไปสำหรับคือ เมทริกซ์ขนาด n × nที่คอลัมน์ของมัน เมื่อพิจารณาเป็นเวกเตอร์ จะก่อให้เกิดฐานมาตรฐานสำหรับและปรากฏในตามกฎต่อไปนี้: ${\displaystyle A}$${\displaystyle M}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle M}$

• โซ่จอร์แดนทั้งหมดที่ประกอบด้วยเวกเตอร์เดียว (กล่าวคือ เวกเตอร์ที่มีความยาวเดียว) จะปรากฏในคอลัมน์แรกๆ ของตาราง${\displaystyle M}$
• เวกเตอร์ทั้งหมดของสายโซ่หนึ่งๆ จะปรากฏอยู่ด้วยกันในคอลัมน์ที่อยู่ติดกันของ.${\displaystyle M}$
• แต่ละสายโซ่จะปรากฏตามลำดับที่เพิ่มขึ้น (นั่นคือเวกเตอร์ลักษณะทั่วไปของลำดับที่ 1 จะปรากฏก่อนเวกเตอร์ลักษณะทั่วไปของลำดับที่ 2 ของสายโซ่เดียวกัน ซึ่งจะปรากฏก่อนเวกเตอร์ลักษณะทั่วไปของลำดับที่ 3 ของสายโซ่เดียวกัน เป็นต้น) ^{[ 5 ]}${\displaystyle M}$

สามารถแสดงให้เห็นได้ว่า

${\displaystyle AM=MJ,}$

1

โดยที่เป็นเมทริกซ์ในรูปแบบปกติของจอร์แดนเมื่อคูณด้วย ไว้ข้างหน้าเราจะได้ ${\displaystyle J}$${\displaystyle M^{-1}}$

${\displaystyle J=M^{-1}AM.}$

2

โปรดทราบว่าเมื่อคำนวณเมทริกซ์เหล่านี้ สมการ ( 1 ) เป็นสมการที่ง่ายที่สุดในการตรวจสอบ เนื่องจากไม่จำเป็นต้องผกผันเมทริกซ์^{[ 6 ]}

ตัวอย่างนี้แสดงให้เห็นเมทริกซ์โมดอลทั่วไปที่มีโซ่จอร์แดนสี่โซ่ น่าเสียดายที่การสร้างตัวอย่างที่น่าสนใจของลำดับต่ำนั้นค่อนข้างยาก^{[ 7 ]} เมทริกซ์

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}-1&0&-1&1&1&3&0\\0&1&0&0&0&0&0\\2&1&2&-1&-1&-6&0\\-2&0&-1&2&1&3&0\\0&0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&0&1&0\\-1&-1&0&1&2&4&1\end{pmatrix}}}$

มีค่าลักษณะเฉพาะเพียงค่าเดียวที่มีความซ้ำซ้อนเชิงพีชคณิตฐานมาตรฐานสำหรับจะประกอบด้วยเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะทั่วไปที่เป็นอิสระเชิงเส้นหนึ่งตัวที่มีอันดับ 3 (อันดับเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะทั่วไป ดูเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะทั่วไป ) สองตัวที่มีอันดับ 2 และสี่ตัวที่มีอันดับ 1 หรือเทียบเท่ากับ โซ่ของเวกเตอร์สามตัว โซ่ของเวกเตอร์สองตัวและโซ่ของเวกเตอร์หนึ่งตัวสอง โซ่${\displaystyle \lambda _{1}=1}$${\displaystyle \mu _{1}=7}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \left\{\mathbf {x} _{3},\mathbf {x} _{2},\mathbf {x} _{1}\right\}}$${\displaystyle \left\{\mathbf {y} _{2},\mathbf {y} _{1}\right\}}$${\displaystyle \left\{\mathbf {z} _{1}\right\}}$${\displaystyle \left\{\mathbf {w} _{1}\right\}}$

เมทริกซ์ "เกือบทแยงมุม" ในรูปแบบปกติของจอร์แดนซึ่งคล้ายคลึงกับได้มาดังนี้: ${\displaystyle J}$${\displaystyle A}$

${\displaystyle M={\begin{pmatrix}\mathbf {z} _{1}&\mathbf {w} _{1}&\mathbf {x} _{1}&\mathbf {x} _{2}&\mathbf {x} _{3}&\mathbf {y} _{1}&\mathbf {y} _{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&1&-1&0&0&-2&1\\0&3&0&0&1&0&0\\-1&1&1&1&0&2&0\\-2&0&-1&0&0&-2&0\\1&0&0&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&0&0\\0&0&0&-1&0&-1&0\end{pmatrix}},}$

${\displaystyle J={\begin{pmatrix}1&0&0&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&0&0\\0&0&1&1&0&0&0\\0&0&0&1&1&0&0\\0&0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&0&1&1\\0&0&0&0&0&0&1\end{pmatrix}},}$

โดยที่เป็นเมทริกซ์โมดอลทั่วไปสำหรับคอลัมน์ของเป็นฐานมาตรฐานสำหรับและ[ ^{8 ]} โปรดทราบว่าเนื่องจากเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะทั่วไปเองก็ไม่เป็นเอกลักษณ์ และเนื่องจากบางคอลัมน์ของทั้งและ อาจสลับกันได้ จึงสรุป ^ได้ว่าทั้งและไม่เป็นเอกลักษณ์^{[ 9 ]}${\displaystyle M}$${\displaystyle A}$${\displaystyle M}$${\displaystyle A}$${\displaystyle AM=MJ}$${\displaystyle M}$${\displaystyle J}$${\displaystyle M}$${\displaystyle J}$