ในพีชคณิตเชิงเส้นเวกเตอร์ลักษณะทั่วไปของเมทริกซ์คือเวกเตอร์ที่ตรงตามเกณฑ์บางประการซึ่งผ่อนปรนกว่าเกณฑ์สำหรับเวกเตอร์ลักษณะ ( ทั่วไป) ^{[ 1 ]}${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle A}$

ให้เป็นปริภูมิเวกเตอร์มิติและให้เป็นเมทริกซ์แทนของแผนที่เชิงเส้นจากไปโดยสัมพันธ์กับฐานเรียง ลำดับบางฐาน${\displaystyle V}$${\displaystyle n}$${\displaystyle A}$${\displaystyle V}$${\displaystyle V}$

อาจไม่มีชุด เวกเตอร์ลักษณะ เฉพาะที่เป็นอิสระเชิงเส้นที่ สมบูรณ์ ซึ่งประกอบเป็นฐานที่สมบูรณ์สำหรับ เสมอไป กล่าวคือ เมทริกซ์อาจไม่สามารถทำให้เป็นแนวทแยงได้ [ ^{2 ] [ 3 ] สิ่ง} นี้เกิดขึ้นเมื่อความซ้ำเชิงพีชคณิต ของ ค่าลักษณะเฉพาะอย่างน้อยหนึ่งค่ามากกว่าความซ้ำเชิงเรขาคณิต ( มิติของปริภูมิว่างของเมทริกซ์หรือมิติของปริภูมิว่าง ) ในกรณีนี้เรียกว่าค่าลักษณะเฉพาะที่บกพร่องและเรียกว่า เมทริก ซ์ที่บกพร่อง^{[ 4 ]}${\displaystyle n}$${\displaystyle A}$${\displaystyle V}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \lambda _{i}}$${\displaystyle (A-\lambda _{i}I)}$${\displaystyle \lambda _{i}}$${\displaystyle A}$

เวกเตอร์ลักษณะทั่วไป^ที่สอดคล้องกับพร้อมกับเมทริกซ์จะสร้างโซ่จอร์แดนของเวกเตอร์ลักษณะทั่วไปที่เป็นอิสระเชิงเส้น ซึ่งเป็นฐานสำหรับปริภูมิย่อยไม่แปรเปลี่ยนของ^{[ 5} ] ^{[ 6 ] [ 7 ]}${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle \lambda _{i}}$${\displaystyle (A-\lambda _{i}I)}$${\displaystyle V}$

การใช้เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะทั่วไป ชุดของเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะที่เป็นอิสระเชิงเส้นของสามารถขยายได้ หากจำเป็น ไปสู่ฐานที่สมบูรณ์สำหรับ[ ^{8 ] ฐาน} นี้สามารถใช้เพื่อกำหนด "เมทริกซ์เกือบทแยงมุม" ในรูปแบบปกติของจอร์แดนคล้ายกับซึ่งมีประโยชน์ในการคำนวณฟังก์ชันเมทริกซ์บางอย่าง^ของ [ 9 ] ^{เมทริก} ซ์นี้ยังมีประโยชน์ในการแก้ระบบสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นโดยที่ไม่จำเป็นต้องทำให้เป็นเมทริกซ์ทแยงมุม^{[ 10 ] [ 11 ]}${\displaystyle A}$${\displaystyle V}$${\displaystyle J}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle J}$${\displaystyle \mathbf {x} '=A\mathbf {x} ,}$${\displaystyle A}$

มิติของปริภูมิไอเกนทั่วไปที่สอดคล้องกับค่าไอเกนที่กำหนดคือความหลากหลายทางพีชคณิตของ^{[ 12 ]}${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \lambda }$

มีหลายวิธีเทียบเท่ากันในการกำหนด เวก เตอร์ลักษณะเฉพาะทั่วไป^{[ 13 ] [ 14 ] [ 15 ] [ 16 ] [ 17 ] [ 18 ] [ 19 ] [ 20 ] สำหรับวัตถุประสงค์ของ} เรา เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะที่เกี่ยวข้องกับค่าลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์× คือเวกเตอร์ที่ไม่เป็น ^{ศูนย์}ซึ่งโดยที่คือเมทริกซ์เอกลักษณ์ × และคือเวกเตอร์ศูนย์ที่มีความยาว[ ^{21 ] นั่น} คืออยู่ในเคอร์เนลของการแปลงถ้ามีเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะที่เป็นอิสระเชิงเส้น แล้วจะคล้ายกับเมทริกซ์แนวทแยงนั่นคือ มีเมทริกซ์ผกผันได้ซึ่ง สามารถทำให้เป็นเมทริกซ์แนวทแยงได้ผ่านการแปลงความคล้ายคลึง [ 22 ] [ 23 ] เมทริกซ์เรียกว่า^{เมทริกซ์สเปกตรัมสำหรับเมท} ริกซ์เรียกว่าเมทริกซ์โมดอ ล สำหรับ^{[ 24 ]} เมทริกซ์ที่สามารถทำให้เป็น เมทริกซ์ แนวทแยง ได้ มีความน่าสนใจเป็นพิเศษ เนื่องจากสามารถคำนวณฟังก์ชันเมทริกซ์ของเมทริกซ์เหล่านั้นได้ง่าย^{[ 25 ]}${\displaystyle \mathbf {u} }$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle A}$${\displaystyle (A-\lambda I)\mathbf {u} =\mathbf {0} }$${\displaystyle I}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathbf {0} }$${\displaystyle n}$${\displaystyle \mathbf {u} }$${\displaystyle (A-\lambda I)}$${\displaystyle A}$${\displaystyle n}$${\displaystyle A}$${\displaystyle D}$${\displaystyle M}$${\displaystyle A}$${\displaystyle D=M^{-1}AM}$${\displaystyle D}$${\displaystyle A}$${\displaystyle M}$${\displaystyle A}$

ในทางกลับกัน หากไม่มีเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะที่เป็นอิสระเชิงเส้นที่เกี่ยวข้องกับมัน ก็จะไม่สามารถทำให้เป็นแนวทแยงได้^{[ 26 ] [ 27 ]}${\displaystyle A}$${\displaystyle n}$${\displaystyle A}$

นิยาม: เวกเตอร์คือเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะทั่วไปที่มีอันดับmของเมทริกซ์และสอดคล้องกับค่าลักษณะเฉพาะถ้า ${\displaystyle \mathbf {x} _{m}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle (A-\lambda I)^{m}\mathbf {x} _{m}=\mathbf {0} }$

แต่

${\displaystyle (A-\lambda I)^{m-1}\mathbf {x} _{m}\neq \mathbf {0} .}$^{[ 28 ]}

เห็นได้ชัดว่า เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะทั่วไปที่มีอันดับ 1 คือ เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะธรรมดา^{[ 29 ]}เมทริกซ์ ทุก เมทริกซ์ × มีเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะทั่วไปที่เป็นอิสระเชิงเส้นที่เกี่ยวข้องกับมัน และสามารถแสดงให้เห็นว่าคล้ายกับเมทริกซ์ "เกือบทแยงมุม" ในรูปแบบปกติของจอร์แดน^{[ 30 ]} นั่นคือ มีเมทริกซ์ผกผันได้อยู่เช่นนั้น[ ^{31 ] เมท} ริกซ์ในกรณีนี้เรียกว่าเมทริกซ์โมดอลทั่วไปสำหรับ^{[ 32 ]} ถ้าเป็นค่าลักษณะเฉพาะที่มีความซ้ำซ้อนเชิงพีชคณิตแล้วจะมี เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะทั่วไปที่เป็น อิสระเชิงเส้นที่สอดคล้องกับ^{[ 33 ]} ผลลัพธ์เหล่านี้ในทางกลับกัน ให้วิธีการที่ตรงไปตรงมาสำหรับ การ คำนวณฟังก์ชันเมทริกซ์บางอย่างของ^{[ 34 ]}${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle A}$${\displaystyle n}$${\displaystyle J}$${\displaystyle M}$${\displaystyle J=M^{-1}AM}$${\displaystyle M}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle A}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle A}$

หมายเหตุ: สำหรับเมทริกซ์เหนือฟิลด์ที่จะแสดงในรูปแบบปกติของจอร์แดน ค่าลักษณะเฉพาะทั้งหมดของเมทริกซ์จะต้องอยู่ในฟิลด์นั้น นั่นคือพหุนามลักษณะเฉพาะจะต้องแยกตัวประกอบได้อย่างสมบูรณ์เป็นตัวประกอบเชิงเส้น ฟิลด์จะต้องเป็นฟิลด์ปิดเชิงพีชคณิต ตัวอย่างเช่น ถ้า เมทริกซ์ มี องค์ประกอบ ที่เป็นค่าจริงอาจจำเป็นต้องให้ค่าลักษณะเฉพาะและส่วนประกอบของเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะมีค่าเป็นจำนวนเชิงซ้อน^{[ 35 ] [ 36 ] [ 37 ]}${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle A}$${\displaystyle F}$${\displaystyle A}$${\displaystyle F}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle F}$${\displaystyle A}$

เซตที่ครอบคลุมโดยเวกเตอร์ลักษณะทั่วไปทั้งหมดสำหรับรูปแบบ ที่กำหนดจะทำให้ ^เกิดปริภูมิลักษณะทั่วไปสำหรับ[ ^{38 ]}${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \lambda }$

ต่อไปนี้เป็นตัวอย่างบางส่วนเพื่ออธิบายแนวคิดของเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะทั่วไป รายละเอียดบางส่วนจะอธิบายในภายหลัง

ตัวอย่างนี้เรียบง่ายแต่แสดงให้เห็นประเด็นได้อย่างชัดเจน เมทริกซ์ประเภทนี้ถูกใช้บ่อยในตำราเรียน^{[ 39 ] [ 40 ] [ 41 ]} สมมติว่า

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}.}$

ดังนั้นจึงมีค่าลักษณะเฉพาะเพียงค่าเดียว คือและค่าความซ้ำซ้อนเชิงพีชคณิตของค่าลักษณะเฉพาะนี้คือ. ${\displaystyle \lambda =1}$${\displaystyle m=2}$

โปรดสังเกตว่าเมทริกซ์นี้อยู่ในรูปแบบปกติของจอร์แดน แต่ไม่ใช่เมทริกซ์ทแยงมุมดังนั้น เมทริกซ์นี้จึงไม่สามารถทำให้เป็นเมทริกซ์ทแยงมุมได้ เนื่องจากมี องค์ประกอบ เหนือแนวทแยงมุม หนึ่ง ตัว จึงจะมีเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะทั่วไปที่มีอันดับมากกว่า 1 เพียงหนึ่งตัว (หรืออาจสังเกตได้ว่าปริภูมิเวกเตอร์มีมิติ 2 ดังนั้นจึงมีเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะทั่วไปที่มีอันดับมากกว่า 1 ได้มากที่สุดหนึ่งตัว) อีกทางเลือกหนึ่งคือ สามารถคำนวณมิติของปริภูมิว่างของ เมทริกซ์ ได้เป็นและดังนั้นจึงมีเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะทั่วไปที่มีอันดับมากกว่า 1 ${\displaystyle V}$${\displaystyle A-\lambda I}$${\displaystyle p=1}$${\displaystyle m-p=1}$

เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะแบบธรรมดาจะคำนวณตามปกติ (ดู ตัวอย่างได้ในหน้า เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ ) โดยใช้เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะนี้ เราจะคำนวณเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะแบบทั่วไป โดยการแก้สมการ ${\displaystyle \mathbf {v} _{1}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}}$${\displaystyle \mathbf {v} _{2}}$

${\displaystyle (A-\lambda I)\mathbf {v} _{2}=\mathbf {v} _{1}.}$

การเขียนค่าต่างๆ ออกมา:

${\displaystyle \left({\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}-1{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}\right){\begin{pmatrix}v_{21}\\v_{22}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}v_{21}\\v_{22}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}.}$

สิ่งนี้ทำให้ง่ายขึ้นเป็น

${\displaystyle v_{22}=1.}$

องค์ประกอบนี้ไม่มีข้อจำกัดใดๆ เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะทั่วไปอันดับ 2 คือโดยที่aสามารถมีค่าสเกลาร์ใดๆ ก็ได้ การเลือกa = 0 มักจะเป็นวิธีที่ง่ายที่สุด ${\displaystyle v_{21}}$${\displaystyle \mathbf {v} _{2}={\begin{pmatrix}a\\1\end{pmatrix}}}$

โปรดทราบว่า

${\displaystyle (A-\lambda I)\mathbf {v} _{2}={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}=\mathbf {v} _{1},}$

ดังนั้นนี่จึงเป็นเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะทั่วไป เพราะว่า ${\displaystyle \mathbf {v} _{2}}$

${\displaystyle (A-\lambda I)^{2}\mathbf {v} _{2}=(A-\lambda I)[(A-\lambda I)\mathbf {v} _{2}]=(A-\lambda I)\mathbf {v} _{1}={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}=\mathbf {0} ,}$

ดังนั้น จึงเป็นเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะธรรมดา และและเป็นอิสระเชิงเส้น และด้วยเหตุนี้จึงเป็นฐานสำหรับปริภูมิเวกเตอร์ ${\displaystyle \mathbf {v} _{1}}$${\displaystyle \mathbf {v} _{1}}$${\displaystyle \mathbf {v} _{2}}$${\displaystyle V}$

ตัวอย่างนี้ซับซ้อนกว่าตัวอย่างที่ 1น่าเสียดายที่การสร้างตัวอย่างที่น่าสนใจที่มีลำดับต่ำนั้นค่อนข้างยาก^{[ 42 ]} เมทริกซ์

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&0&0&0&0\\3&1&0&0&0\\6&3&2&0&0\\10&6&3&2&0\\15&10&6&3&2\end{pmatrix}}}$

มีค่าลักษณะเฉพาะ และที่มีความซ้ำซ้อนเชิงพีชคณิตและแต่มี ความซ้ำซ้อนเชิงเรขาคณิตและ${\displaystyle \lambda _{1}=1}$${\displaystyle \lambda _{2}=2}$${\displaystyle \mu _{1}=2}$${\displaystyle \mu _{2}=3}$${\displaystyle \gamma _{1}=1}$${\displaystyle \gamma _{2}=1}$

ปริภูมิ ไอเก น ทั่วไปของคำนวณได้ดังนี้ คือเวกเตอร์ไอเก น ปกติที่เกี่ยวข้องกับคือเวกเตอร์ไอเกนทั่วไปที่เกี่ยวข้องกับคือเวกเตอร์ไอเกนปกติที่เกี่ยวข้องกับและ คือเวกเตอร์ไอเกนทั่วไปที่เกี่ยวข้องกับ ${\displaystyle A}$${\displaystyle \mathbf {x} _{1}}$${\displaystyle \lambda _{1}}$${\displaystyle \mathbf {x} _{2}}$${\displaystyle \lambda _{1}}$${\displaystyle \mathbf {y} _{1}}$${\displaystyle \lambda _{2}}$${\displaystyle \mathbf {y} _{2}}$${\displaystyle \mathbf {y} _{3}}$${\displaystyle \lambda _{2}}$

${\displaystyle (A-1I)\mathbf {x} _{1}={\begin{pmatrix}0&0&0&0&0\\3&0&0&0&0\\6&3&1&0&0\\10&6&3&1&0\\15&10&6&3&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0\\3\\-9\\9\\-3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\\0\end{pmatrix}}=\mathbf {0} ,}$

${\displaystyle (A-1I)\mathbf {x} _{2}={\begin{pmatrix}0&0&0&0&0\\3&0&0&0&0\\6&3&1&0&0\\10&6&3&1&0\\15&10&6&3&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\-15\\30\\-1\\-45\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\3\\-9\\9\\-3\end{pmatrix}}=\mathbf {x} _{1},}$

${\displaystyle (A-2I)\mathbf {y} _{1}={\begin{pmatrix}-1&0&0&0&0\\3&-1&0&0&0\\6&3&0&0&0\\10&6&3&0&0\\15&10&6&3&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\\9\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\\0\end{pmatrix}}=\mathbf {0} ,}$

${\displaystyle (A-2I)\mathbf {y} _{2}={\begin{pmatrix}-1&0&0&0&0\\3&-1&0&0&0\\6&3&0&0&0\\10&6&3&0&0\\15&10&6&3&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0\\0\\0\\3\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\\9\end{pmatrix}}=\mathbf {y} _{1},}$

${\displaystyle (A-2I)\mathbf {y} _{3}={\begin{pmatrix}-1&0&0&0&0\\3&-1&0&0&0\\6&3&0&0&0\\10&6&3&0&0\\15&10&6&3&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0\\0\\1\\-2\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\3\\0\end{pmatrix}}=\mathbf {y} _{2}.}$

ผลลัพธ์ที่ได้คือฐานสำหรับปริภูมิเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะทั่วไปของ แต่ละตัว เมื่อรวมกันแล้ว โซ่ ของเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะทั่วไป ทั้งสองจะครอบคลุมปริภูมิของเวกเตอร์คอลัมน์ 5 มิติทั้งหมด ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \left\{\mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2}\right\}=\left\{{\begin{pmatrix}0\\3\\-9\\9\\-3\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\-15\\30\\-1\\-45\end{pmatrix}}\right\},\left\{\mathbf {y} _{1},\mathbf {y} _{2},\mathbf {y} _{3}\right\}=\left\{{\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\\9\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\0\\0\\3\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\0\\1\\-2\\0\end{pmatrix}}\right\}.}$

เมทริกซ์ "เกือบทแยงมุม" ในรูปแบบปกติของจอร์แดนซึ่งคล้ายคลึงกับได้มาดังนี้: ${\displaystyle J}$${\displaystyle A}$

${\displaystyle M={\begin{pmatrix}\mathbf {x} _{1}&\mathbf {x} _{2}&\mathbf {y} _{1}&\mathbf {y} _{2}&\mathbf {y} _{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&1&0&0&0\\3&-15&0&0&0\\-9&30&0&0&1\\9&-1&0&3&-2\\-3&-45&9&0&0\end{pmatrix}},}$

${\displaystyle J={\begin{pmatrix}1&1&0&0&0\\0&1&0&0&0\\0&0&2&1&0\\0&0&0&2&1\\0&0&0&0&2\end{pmatrix}},}$

โดยที่เมท ริก ^ซ์โมดอลทั่วไปสำหรับคอลัมน์ของเป็นฐานแคนอนิกสำหรับและ[ ^{43 ]}${\displaystyle M}$${\displaystyle A}$${\displaystyle M}$${\displaystyle A}$${\displaystyle AM=MJ}$

นิยาม: ให้เป็นเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะทั่วไปอันดับmที่สอดคล้องกับเมทริกซ์และค่าลักษณะเฉพาะโซ่ที่สร้างโดยคือเซตของเวกเตอร์ที่กำหนดโดย ${\displaystyle \mathbf {x} _{m}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \mathbf {x} _{m}}$${\displaystyle \left\{\mathbf {x} _{m},\mathbf {x} _{m-1},\dots ,\mathbf {x} _{1}\right\}}$

โดยที่เป็นเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะธรรมดาที่มีค่าลักษณะเฉพาะที่กำหนดให้เสมอดังนั้น โดยทั่วไปแล้ว ${\displaystyle \mathbf {x} _{1}}$${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle \mathbf {x} _{j}=(A-\lambda I)^{m-j}\mathbf {x} _{m}=(A-\lambda I)\mathbf {x} _{j+1}\qquad (j=1,2,\dots ,m-1).}$

2

เวกเตอร์ที่กำหนดโดย ( 2 ) เป็นเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะทั่วไปของอันดับjที่สอดคล้องกับค่าลักษณะเฉพาะโซ่คือเซตของเวกเตอร์ที่เป็นอิสระเชิงเส้น^{[ 44 ]}${\displaystyle \mathbf {x} _{j}}$${\displaystyle \lambda }$

นิยาม: เซตของเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะทั่วไปที่เป็นอิสระเชิงเส้นจำนวนn ตัว จะเป็น ฐานหลักมาตรฐาน (canonical basis)ก็ต่อเมื่อเซตนั้นประกอบขึ้นจากโซ่จอร์แดน (Jordan chains) ทั้งหมด

ดังนั้น เมื่อเรากำหนดแล้วว่าเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะทั่วไปที่มีอันดับmอยู่ในฐานมาตรฐาน ก็จะสรุปได้ว่า เวกเตอร์ m − 1 ที่อยู่ในโซ่จอร์แดนที่สร้างขึ้นโดยก็อยู่ในฐานมาตรฐานเช่นกัน^{[ 45 ]}${\displaystyle \mathbf {x} _{m-1},\mathbf {x} _{m-2},\ldots ,\mathbf {x} _{1}}$${\displaystyle \mathbf {x} _{m}}$

ให้ λ เป็นค่าลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์ λ ที่มีความซ้ำซ้อนเชิงพีชคณิตเท่ากับ n ก่อนอื่น ให้หาอันดับ (อันดับเมทริกซ์) ของเมทริกซ์ λ โดยกำหนดให้ λ เป็นจำนวนเต็มตัวแรกที่ λ มีอันดับเท่ากับ n ( โดยที่ nคือจำนวนแถวหรือคอลัมน์ของλ นั่นคือ λ มีขนาดn × n ) ${\displaystyle \lambda _{i}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \mu _{i}}$${\displaystyle (A-\lambda _{i}I),(A-\lambda _{i}I)^{2},\ldots ,(A-\lambda _{i}I)^{m_{i}}}$${\displaystyle m_{i}}$${\displaystyle (A-\lambda _{i}I)^{m_{i}}}$${\displaystyle n-\mu _{i}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$

ตอนนี้กำหนดคำจำกัดความ

${\displaystyle \rho _{k}=\operatorname {rank} (A-\lambda _{i}I)^{k-1}-\operatorname {rank} (A-\lambda _{i}I)^{k}\qquad (k=1,2,\ldots ,m_{i}).}$

ตัวแปรนี้ระบุจำนวนเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะทั่วไปที่เป็นอิสระเชิงเส้นที่มีอันดับkซึ่งสอดคล้องกับค่าลักษณะเฉพาะที่จะปรากฏในฐานมาตรฐานสำหรับโปรดทราบว่า ${\displaystyle \rho _{k}}$${\displaystyle \lambda _{i}}$${\displaystyle A}$

${\displaystyle \operatorname {rank} (A-\lambda _{i}I)^{0}=\operatorname {rank} (I)=n}$[ ^{46 ]​}

ในส่วนก่อนหน้านี้ เราได้เห็นเทคนิคในการหาเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะทั่วไปที่เป็นอิสระเชิงเส้นของฐานมาตรฐานสำหรับปริภูมิเวกเตอร์ที่เกี่ยวข้องกับเมทริกซ์เทคนิคเหล่านี้สามารถนำมารวมกันเป็นขั้นตอนได้ดังนี้: ${\displaystyle n}$${\displaystyle V}$${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle A}$

จงแก้สมการลักษณะเฉพาะเพื่อหาค่าไอเกนและจำนวนเท่าเชิงพีชคณิตของ ค่าไอเก น เหล่านั้น${\displaystyle A}$${\displaystyle \lambda _{i}}$${\displaystyle \mu _{i}}$

สำหรับแต่ละรายการ${\displaystyle \lambda _{i}:}$

กำหนด;${\displaystyle n-\mu _{i}}$

กำหนด;${\displaystyle m_{i}}$

กำหนดค่าสำหรับ;${\displaystyle \rho _{k}}$${\displaystyle (k=1,\ldots ,m_{i})}$

กำหนดโซ่จอร์แดนแต่ละอันสำหรับ;${\displaystyle \lambda _{i}}$

เมทริกซ์

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}5&1&-2&4\\0&5&2&2\\0&0&5&3\\0&0&0&4\end{pmatrix}}}$

มีค่าไอเกนที่มีความซ้ำซ้อนเชิงพีชคณิตและค่าไอเกนที่มีความซ้ำซ้อนเชิงพีชคณิตนอกจากนี้เรายังมีเนื่องจากเรามี ${\displaystyle \lambda _{1}=5}$${\displaystyle \mu _{1}=3}$${\displaystyle \lambda _{2}=4}$${\displaystyle \mu _{2}=1}$${\displaystyle n=4}$${\displaystyle \lambda _{1}}$${\displaystyle n-\mu _{1}=4-3=1}$

${\displaystyle (A-5I)={\begin{pmatrix}0&1&-2&4\\0&0&2&2\\0&0&0&3\\0&0&0&-1\end{pmatrix}},\qquad \operatorname {rank} (A-5I)=3.}$

${\displaystyle (A-5I)^{2}={\begin{pmatrix}0&0&2&-8\\0&0&0&4\\0&0&0&-3\\0&0&0&1\end{pmatrix}},\qquad \operatorname {rank} (A-5I)^{2}=2.}$

${\displaystyle (A-5I)^{3}={\begin{pmatrix}0&0&0&14\\0&0&0&-4\\0&0&0&3\\0&0&0&-1\end{pmatrix}},\qquad \operatorname {rank} (A-5I)^{3}=1.}$

จำนวนเต็มตัวแรกที่มี อันดับคือ${\displaystyle m_{1}}$${\displaystyle (A-5I)^{m_{1}}}$${\displaystyle n-\mu _{1}=1}$${\displaystyle m_{1}=3}$

ตอนนี้เราจะกำหนด

${\displaystyle \rho _{3}=\operatorname {rank} (A-5I)^{2}-\operatorname {rank} (A-5I)^{3}=2-1=1,}$

${\displaystyle \rho _{2}=\operatorname {rank} (A-5I)^{1}-\operatorname {rank} (A-5I)^{2}=3-2=1,}$

${\displaystyle \rho _{1}=\operatorname {rank} (A-5I)^{0}-\operatorname {rank} (A-5I)^{1}=4-3=1.}$

ดังนั้น จะมีเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะทั่วไปที่เป็นอิสระเชิงเส้นสามตัว โดยแต่ละตัวมีอันดับ 3, 2 และ 1 เนื่องจากสอดคล้องกับสายโซ่เดียวของเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะทั่วไปที่เป็นอิสระเชิงเส้นสามตัว เราจึงทราบว่ามีเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะทั่วไปอันดับ 3 ที่สอดคล้องกับเช่นนั้น ${\displaystyle \lambda _{1}}$${\displaystyle \mathbf {x} _{3}}$${\displaystyle \lambda _{1}}$

${\displaystyle (A-5I)^{3}\mathbf {x} _{3}=\mathbf {0} }$

3

แต่

${\displaystyle (A-5I)^{2}\mathbf {x} _{3}\neq \mathbf {0} .}$

4

สมการ ( 3 ) และ ( 4 ) แสดงถึงระบบเชิงเส้นที่สามารถแก้หาค่าได้ให้ ${\displaystyle \mathbf {x} _{3}}$

${\displaystyle \mathbf {x} _{3}={\begin{pmatrix}x_{31}\\x_{32}\\x_{33}\\x_{34}\end{pmatrix}}.}$

แล้ว

${\displaystyle (A-5I)^{3}\mathbf {x} _{3}={\begin{pmatrix}0&0&0&14\\0&0&0&-4\\0&0&0&3\\0&0&0&-1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{31}\\x_{32}\\x_{33}\\x_{34}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}14x_{34}\\-4x_{34}\\3x_{34}\\-x_{34}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\end{pmatrix}}}$

และ

${\displaystyle (A-5I)^{2}\mathbf {x} _{3}={\begin{pmatrix}0&0&2&-8\\0&0&0&4\\0&0&0&-3\\0&0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{31}\\x_{32}\\x_{33}\\x_{34}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2x_{33}-8x_{34}\\4x_{34}\\-3x_{34}\\x_{34}\end{pmatrix}}\neq {\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\end{pmatrix}}.}$

ดังนั้น เพื่อให้เป็นไปตามเงื่อนไข ( 3 ) และ ( 4 ) เราต้องมีและไม่มีข้อจำกัดใดๆ สำหรับและโดยการเลือกเราจะได้ ${\displaystyle x_{34}=0}$${\displaystyle x_{33}\neq 0}$${\displaystyle x_{31}}$${\displaystyle x_{32}}$${\displaystyle x_{31}=x_{32}=x_{34}=0,x_{33}=1}$

${\displaystyle \mathbf {x} _{3}={\begin{pmatrix}0\\0\\1\\0\end{pmatrix}}}$

ในฐานะเวกเตอร์ลักษณะทั่วไปอันดับ 3 ที่สอดคล้องกับโปรดทราบว่าเป็นไปได้ที่จะได้รับเวกเตอร์ลักษณะทั่วไปอันดับ 3 อื่นๆ อีกมากมายโดยการเลือกค่าที่แตกต่างกันของ , และโดยที่อย่างไรก็ตาม ตัวเลือกแรกของเราเป็นตัวเลือกที่ง่ายที่สุด^{[ 47 ]}${\displaystyle \lambda _{1}=5}$${\displaystyle x_{31}}$${\displaystyle x_{32}}$${\displaystyle x_{33}}$${\displaystyle x_{33}\neq 0}$

เมื่อใช้สมการ ( 1 ) เราจะได้และเป็นเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะทั่วไปที่มีอันดับ 2 และ 1 ตามลำดับ โดยที่ ${\displaystyle \mathbf {x} _{2}}$${\displaystyle \mathbf {x} _{1}}$

${\displaystyle \mathbf {x} _{2}=(A-5I)\mathbf {x} _{3}={\begin{pmatrix}-2\\2\\0\\0\end{pmatrix}},}$

และ

${\displaystyle \mathbf {x} _{1}=(A-5I)\mathbf {x} _{2}={\begin{pmatrix}2\\0\\0\\0\end{pmatrix}}.}$

ค่าลักษณะเฉพาะอย่างง่าย สามารถจัดการได้โดยใช้เทคนิคมาตรฐานและมีเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะแบบปกติ ${\displaystyle \lambda _{2}=4}$

${\displaystyle \mathbf {y} _{1}={\begin{pmatrix}-14\\4\\-3\\1\end{pmatrix}}.}$

พื้นฐานที่เป็นหลักการสำหรับคือ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \left\{\mathbf {x} _{3},\mathbf {x} _{2},\mathbf {x} _{1},\mathbf {y} _{1}\right\}=\left\{{\begin{pmatrix}0\\0\\1\\0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-2\\2\\0\\0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}2\\0\\0\\0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-14\\4\\-3\\1\end{pmatrix}}\right\}.}$

${\displaystyle \mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2}}$และคือเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะทั่วไปที่เกี่ยวข้องกับในขณะที่คือเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะธรรมดาที่เกี่ยวข้องกับ ${\displaystyle \mathbf {x} _{3}}$${\displaystyle \lambda _{1}}$${\displaystyle \mathbf {y} _{1}}$${\displaystyle \lambda _{2}}$

นี่เป็นตัวอย่างที่ค่อนข้างง่าย โดยทั่วไปแล้ว จำนวนเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะทั่วไปที่เป็นอิสระเชิงเส้นที่มีอันดับจะไม่เท่ากันเสมอไป กล่าวคือ อาจมีโซ่หลายเส้นที่มีความยาวต่างกันซึ่งสอดคล้องกับค่าลักษณะเฉพาะเฉพาะค่าหนึ่ง^{[ 48 ]}${\displaystyle \rho _{k}}$${\displaystyle k}$

ให้เป็นเมทริกซ์ขนาดn × n เมทริกซ์โมดอลทั่วไปสำหรับคือ เมทริกซ์ขนาด n × nที่คอลัมน์ของมัน เมื่อพิจารณาว่าเป็นเวกเตอร์ จะก่อให้เกิดฐานมาตรฐานสำหรับและปรากฏในตามกฎต่อไปนี้: ${\displaystyle A}$${\displaystyle M}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle M}$

• โซ่จอร์แดนทั้งหมดที่ประกอบด้วยเวกเตอร์เดียว (กล่าวคือ เวกเตอร์ที่มีความยาวเดียว) จะปรากฏในคอลัมน์แรกๆ ของตาราง${\displaystyle M}$
• เวกเตอร์ทั้งหมดของสายโซ่หนึ่งๆ จะปรากฏอยู่ด้วยกันในคอลัมน์ที่อยู่ติดกันของ.${\displaystyle M}$
• แต่ละสายโซ่จะปรากฏตามลำดับที่เพิ่มขึ้น (นั่นคือ เวกเตอร์ลักษณะทั่วไปของลำดับที่ 1 จะปรากฏก่อนเวกเตอร์ลักษณะทั่วไปของลำดับที่ 2 ของสายโซ่เดียวกัน ซึ่งจะปรากฏก่อนเวกเตอร์ลักษณะทั่วไปของลำดับที่ 3 ของสายโซ่เดียวกัน เป็นต้น) ^{[ 49 ]}${\displaystyle M}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\color {red}\ulcorner }\lambda _{1}1{\hphantom {\lambda _{1}\lambda _{1}}}{\color {red}\urcorner }{\hphantom {\ulcorner \lambda _{2}1\lambda _{2}\urcorner [\lambda _{3}]\ddots \ulcorner \lambda _{n}1\lambda _{n}\urcorner }}\\{\hphantom {\ulcorner \lambda _{1}1}}\lambda _{1}1{\hphantom {\lambda _{1}\urcorner \ulcorner \lambda _{2}1\lambda _{2}\urcorner [\lambda _{3}]\ddots \ulcorner \lambda _{n}1\lambda _{n}\urcorner }}\\{\color {red}\llcorner }{\hphantom {\lambda _{1}1\lambda _{1}}}\lambda _{1}{\color {red}\lrcorner }{\hphantom {\ulcorner \lambda _{2}1\lambda _{2}\urcorner [\lambda _{3}]\ddots \ulcorner \lambda _{n}1\lambda _{n}\urcorner }}\\{\hphantom {\ulcorner \lambda _{1}1\lambda _{1}1\lambda _{1}\urcorner }}{\color {red}\ulcorner }\lambda _{2}1{\hphantom {n}}{\color {red}\urcorner }{\hphantom {[\lambda _{3}]\ddots \ulcorner \lambda _{n}1\lambda _{n}\urcorner }}\\{\hphantom {\ulcorner \lambda _{1}1\lambda _{1}1\lambda _{1}\lrcorner }}{\color {red}\llcorner }{\hphantom {\lambda _{2}}}\lambda _{2}{\color {red}\lrcorner }{\hphantom {[\lambda _{3}]\ddots \ulcorner \lambda _{n}1\lambda _{n}\urcorner }}\\{\hphantom {\ulcorner \lambda _{1}1\lambda _{1}1\lambda _{1}\urcorner \ulcorner \lambda _{2}1\lambda _{2}\urcorner }}{\color {red}[}\lambda _{3}{\color {red}]}{\hphantom {\ddots \ulcorner \lambda _{n}1\lambda _{n}\urcorner }}\\{\hphantom {\ulcorner \lambda _{1}1\lambda _{1}1\lambda _{1}\urcorner \ulcorner \lambda _{2}1\lambda _{2}\urcorner [\lambda _{3}]}}\ddots {\hphantom {\ulcorner \lambda _{n}1\lambda _{n}\urcorner }}\\{\hphantom {\ulcorner \lambda _{1}1\lambda _{1}1\lambda _{1}\urcorner \ulcorner \lambda _{2}1\lambda _{2}\urcorner [\lambda _{3}]\ddots }}{\color {red}\ulcorner }\lambda _{n}1{\hphantom {n}}{\color {red}\urcorner }\\{\hphantom {\llcorner \lambda _{1}1\lambda _{1}1\lambda _{1}\urcorner \ulcorner \lambda _{2}1\lambda _{2}\urcorner [\lambda _{3}]\ddots }}{\color {red}\llcorner }{\hphantom {\lambda _{n}}}\lambda _{n}{\color {red}\lrcorner }\end{bmatrix}}}$

ตัวอย่างของเมทริกซ์ในรูปแบบปกติของจอร์แดนบล็อกสีแดงเรียกว่าบล็อกจอร์แดน

ให้ V เป็น ปริภูมิเวกเตอร์ nมิติ ให้ V เป็นแผนที่เชิงเส้นในL ( V )ซึ่งเป็นเซตของแผนที่เชิงเส้นทั้งหมดจาก V ไปยังตัวมันเอง และให้ V เป็นเมทริกซ์แทน V เทียบกับฐานเรียงลำดับบางฐาน สามารถแสดงได้ว่า ถ้าพหุนามลักษณะเฉพาะของV แยกตัวประกอบได้เป็นตัวประกอบเชิงเส้น ดังนั้น V จะมีรูปแบบ ${\displaystyle V}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle V}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle f(\lambda )}$${\displaystyle A}$${\displaystyle f(\lambda )}$

${\displaystyle f(\lambda )=\pm (\lambda -\lambda _{1})^{\mu _{1}}(\lambda -\lambda _{2})^{\mu _{2}}\cdots (\lambda -\lambda _{r})^{\mu _{r}},}$

โดยที่ค่าไอเกนที่แตกต่างกันของแต่ละค่าคือความซ้ำซ้อนเชิงพีชคณิตของค่าไอเกนที่สอดคล้องกันและคล้ายกับเมทริกซ์ในรูปแบบปกติของจอร์แดนโดยที่แต่ละค่าปรากฏต่อเนื่องกันบนแนวทแยง และค่าที่อยู่เหนือแต่ละค่าโดยตรง(นั่นคือ บนซูเปอร์ไดอะโกนัล ) จะเป็น 0 หรือ 1: ในแต่ละบล็อก ค่าที่อยู่เหนือการปรากฏครั้งแรกของแต่ละค่าจะเป็น 0 เสมอ (ยกเว้นในบล็อกแรก) ค่าอื่นๆ ทั้งหมดบนซูเปอร์ไดอะโกนัลจะเป็น 1 ค่าอื่นๆ ทั้งหมด (นั่นคือ นอกแนวทแยงและซูเปอร์ไดอะโกนัล) จะเป็น 0 (แต่ไม่มีการกำหนดลำดับใดๆ ระหว่างค่าไอเกน หรือระหว่างบล็อกสำหรับค่าไอเกนที่กำหนด) เมทริกซ์นี้ใกล้เคียงที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้กับเมทริกซ์ทแยงมุมของถ้าสามารถทำให้เป็นเมทริกซ์ทแยงมุมได้ ค่าทั้งหมดที่อยู่เหนือแนวทแยงมุมจะเป็นศูนย์^{[ 50 ]} โปรดทราบว่าตำราเรียนบางเล่มมีค่าที่อยู่บนซับไดอะโกนัลนั่นคือ อยู่ใต้แนวทแยงมุมหลักโดยตรง แทนที่จะอยู่บนซูเปอร์ไดอะโกนัล ค่าไอเกนยังคงอยู่บนแนวทแยงหลัก^{[ 51 ] [ 52 ]}${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},\ldots ,\lambda _{r}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \mu _{i}}$${\displaystyle \lambda _{i}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle J}$${\displaystyle \lambda _{i}}$${\displaystyle \mu _{i}}$${\displaystyle \lambda _{i}}$${\displaystyle \lambda _{i}}$${\displaystyle J}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$

เมทริกซ์n × nทุก เมทริกซ์ จะคล้ายกับเมทริกซ์ในรูปแบบปกติของจอร์แดน ซึ่งได้มาจากการแปลงความคล้ายคลึงโดยที่เป็นเมทริกซ์โมดอลทั่วไปสำหรับ[ ^{53 ] (}ดูหมายเหตุข้างต้น) ${\displaystyle A}$${\displaystyle J}$${\displaystyle J=M^{-1}AM}$${\displaystyle M}$${\displaystyle A}$

จงหาเมทริกซ์ในรูปแบบปกติของจอร์แดนที่คล้ายกับ

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}0&4&2\\-3&8&3\\4&-8&-2\end{pmatrix}}.}$

คำตอบ: สมการลักษณะเฉพาะของคือดังนั้น จึงเป็นค่าลักษณะเฉพาะที่มีความซ้ำซ้อนเชิงพีชคณิตเท่ากับสาม เมื่อปฏิบัติตามขั้นตอนในส่วนก่อนหน้า เราพบว่า ${\displaystyle A}$${\displaystyle (\lambda -2)^{3}=0}$${\displaystyle \lambda =2}$

${\displaystyle \operatorname {rank} (A-2I)=1}$

และ

${\displaystyle \operatorname {rank} (A-2I)^{2}=0=n-\mu .}$

ดังนั้นและซึ่งหมายความว่าฐานมาตรฐานสำหรับจะประกอบด้วยเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะทั่วไปที่เป็นอิสระเชิงเส้นหนึ่งตัวที่มีอันดับ 2 และเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะทั่วไปที่เป็นอิสระเชิงเส้นสองตัวที่มีอันดับ 1 หรือเทียบเท่ากับโซ่ของเวกเตอร์สองตัวและโซ่ของเวกเตอร์หนึ่งตัวเมื่อกำหนดให้เราพบว่า ${\displaystyle \rho _{2}=1}$${\displaystyle \rho _{1}=2}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \left\{\mathbf {x} _{2},\mathbf {x} _{1}\right\}}$${\displaystyle \left\{\mathbf {y} _{1}\right\}}$${\displaystyle M={\begin{pmatrix}\mathbf {y} _{1}&\mathbf {x} _{1}&\mathbf {x} _{2}\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle M={\begin{pmatrix}2&2&0\\1&3&0\\0&-4&1\end{pmatrix}},}$

และ

${\displaystyle J={\begin{pmatrix}2&0&0\\0&2&1\\0&0&2\end{pmatrix}},}$

โดยที่เป็นเมทริกซ์โมดอลทั่วไปสำหรับคอลัมน์ของเป็นฐานมาตรฐานสำหรับและ^{[ 54} ] โปรดทราบว่าเนื่องจากเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะทั่วไปเองก็ไม่เป็นเอกลักษณ์ และเนื่องจากบางคอลัมน์ของทั้งและ อาจสลับกันได้ จึงสรุป ^ได้ว่าทั้งและไม่เป็นเอกลักษณ์^{[ 55 ]}${\displaystyle M}$${\displaystyle A}$${\displaystyle M}$${\displaystyle A}$${\displaystyle AM=MJ}$${\displaystyle M}$${\displaystyle J}$${\displaystyle M}$${\displaystyle J}$

ในตัวอย่างที่ 3เราพบฐานมาตรฐานของเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะทั่วไปที่เป็นอิสระเชิงเส้นสำหรับเมทริกซ์เมทริกซ์โมดอลทั่วไปสำหรับคือ ${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$

${\displaystyle M={\begin{pmatrix}\mathbf {y} _{1}&\mathbf {x} _{1}&\mathbf {x} _{2}&\mathbf {x} _{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-14&2&-2&0\\4&0&2&0\\-3&0&0&1\\1&0&0&0\end{pmatrix}}.}$

เมทริกซ์ในรูปแบบปกติของจอร์แดน คล้ายกับคือ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle J={\begin{pmatrix}4&0&0&0\\0&5&1&0\\0&0&5&1\\0&0&0&5\end{pmatrix}},}$

ดังนั้น. ${\displaystyle AM=MJ}$

สามการดำเนินการพื้นฐานที่สุดที่สามารถทำได้กับเมทริกซ์จัตุรัสได้แก่ การบวกเมทริกซ์ การคูณด้วยสเกลาร์ และการคูณเมทริกซ์^{[ 56 ]} การดำเนินการเหล่านี้จำเป็นอย่างยิ่งสำหรับการกำหนด ฟังก์ชัน พหุนามของเมทริกซ์n × n [ ^{57 ] หาก} เราจำได้จากแคลคูลัส พื้นฐาน ว่าฟังก์ชันหลายฟังก์ชันสามารถเขียนได้ในรูปอนุกรมแมคลาลินเราก็สามารถกำหนดฟังก์ชันทั่วไปของเมทริกซ์ได้ง่ายขึ้น^{[ 58 ]} ถ้าเมทริกซ์สามารถทำให้เป็นแนวทแยงได้ นั่นคือ ${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$

${\displaystyle D=M^{-1}AM,}$

กับ

${\displaystyle D={\begin{pmatrix}\lambda _{1}&0&\cdots &0\\0&\lambda _{2}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &\lambda _{n}\end{pmatrix}},}$

แล้ว

${\displaystyle D^{k}={\begin{pmatrix}\lambda _{1}^{k}&0&\cdots &0\\0&\lambda _{2}^{k}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &\lambda _{n}^{k}\end{pmatrix}}}$

และการประเมินอนุกรม Maclaurin สำหรับฟังก์ชันของนั้นง่ายขึ้นมาก^{[ 59 ]} ตัวอย่างเช่น เพื่อให้ได้กำลังk ใดๆ ของเราจำเป็นต้องคำนวณคูณด้วย แล้วคูณผลลัพธ์ด้วย เท่านั้น ^{[ 60 ]}${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle D^{k}}$${\displaystyle D^{k}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M^{-1}}$

โดยใช้เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะทั่วไป เราสามารถหาฟอร์มปกติของจอร์แดนสำหรับและผลลัพธ์เหล่านี้สามารถขยายไปสู่วิธีการที่ตรงไปตรงมาสำหรับการคำนวณฟังก์ชันของเมทริกซ์ที่ไม่สามารถทำให้เป็นแนวทแยงได้^{[ 61 ]} (ดูการแยกส่วนฟังก์ชันเมทริกซ์#จอร์แดน ) ${\displaystyle A}$