ในสาขาคณิตศาสตร์ของสมการเชิงอนุพันธ์สามัญเชิงตัวเลข ตัวรวมเชิงเรขาคณิตเป็นวิธีการเชิงตัวเลขที่รักษาคุณสมบัติทางเรขาคณิตของการไหล ที่แม่นยำ ของสมการเชิงอนุพันธ์

เราสามารถกระตุ้นความสนใจในการศึกษาตัวรวมเชิงเรขาคณิตได้โดยพิจารณาจากการเคลื่อนที่ของ ลูกตุ้ม

สมมติว่าเรามีลูกตุ้มที่มีมวลที่หัวลูกตุ้มและมวลที่ก้านลูกตุ้มเป็นศูนย์และมีความยาวกำหนดให้ความเร่งเนื่องจากแรงโน้มถ่วงเป็น ให้ เป็นการกระจัดเชิงมุมของก้านลูกตุ้มจากแนวดิ่ง และ เป็นโมเมนตัมของลูกตุ้มแฮมิลโทเนียนของระบบ ซึ่งเป็นผลรวมของพลังงานจลน์และพลังงานศักย์คือ ${\displaystyle m=1}$${\displaystyle \ell =1}$${\displaystyle g=1}$${\displaystyle q(t)}$${\displaystyle p(t)}$

$${\displaystyle H(q,p)=T(p)+U(q)={\frac {1}{2}}p^{2}-\cos q,}$$

ซึ่งให้สมการของแฮมิลตัน

$${\displaystyle ({\dot {q}},{\dot {p}})=\left({\frac {\partial H}{\partial p}},-{\frac {\partial H}{\partial q}}\right)=(p,-\sin q).\,}$$

โดยปกติแล้ว เราจะถือว่าปริภูมิการกำหนดค่า ของทั้งหมดเป็นวงกลมหน่วยเพื่อให้อยู่บนทรงกระบอกอย่างไรก็ตาม เราจะใช้แทน เพราะปริภูมิ นั้นวาดได้ง่ายกว่า กำหนดและเรามาทดลองโดยใช้วิธีเชิงตัวเลขอย่างง่ายเพื่อหาปริพันธ์ของระบบนี้ ตามปกติ เราเลือกขนาดขั้นตอนคงที่และสำหรับจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบใดๆเราเขียนเราใช้วิธีการต่อไปนี้ ${\displaystyle Q}$${\displaystyle q}$${\displaystyle \mathbb {S} ^{1}}$${\displaystyle (q,p)}$${\displaystyle \mathbb {S} ^{1}\times \mathbb {R} }$${\displaystyle (q,p)\in \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle (q,p)}$${\displaystyle z(t)=(q(t),p(t))^{\mathrm {T} }}$${\displaystyle f(z)=(p,-\sin q)^{\mathrm {T} }}$${\displaystyle h}$${\displaystyle k}$${\displaystyle z_{k}:=z(kh)}$

${\displaystyle z_{k+1}=z_{k}+hf(z_{k})\,}$( ออยเลอร์แบบชัดเจน )

${\displaystyle z_{k+1}=z_{k}+hf(z_{k+1})\,}$( ออยเลอร์โดยปริยาย )

${\displaystyle z_{k+1}=z_{k}+hf(q_{k},p_{k+1})\,}$( ออยเลอร์เชิงซิมเพล็กติก )

${\displaystyle z_{k+1}=z_{k}+hf((z_{k+1}+z_{k})/2)\,}$( กฎจุดกึ่งกลางโดยปริยาย )

(โปรดทราบว่า วิธีซิมเพล็กติกออยเลอร์จะพิจารณาค่าqโดยใช้วิธีออยเลอร์แบบชัดแจ้งและแบบไม่ชัดแจ้ง) ${\displaystyle p}$

การสังเกตว่าค่าคงที่ตลอดเส้นโค้งคำตอบของสมการของแฮมิลตันช่วยให้เราสามารถอธิบายวิถีที่แน่นอนของระบบได้ นั่นคือเส้นโค้งระดับของเราแสดงวิถีที่แน่นอนและคำตอบเชิงตัวเลขของระบบใน สำหรับวิธีออยเลอร์แบบชัดแจ้งและแบบไม่ชัดแจ้ง เราใช้และz ₀ = (0.5, 0)และ(1.5, 0)ตามลำดับ สำหรับอีกสองวิธี เราใช้และz ₀ = (0, 0.7) , (0, 1.4)และ(0, 2.1 ) ${\displaystyle H}$${\displaystyle p^{2}/2-\cos q}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle h=0.2}$${\displaystyle h=0.3}$

วิธีออยเลอร์แบบชัดแจ้ง (หรือแบบไม่ชัดแจ้ง) จะหมุนวนออกไปจาก (หรือเข้าสู่) จุดกำเนิด ส่วนอีกสองวิธีแสดงพฤติกรรมเชิงคุณภาพที่ถูกต้อง โดยกฎจุดกึ่งกลางแบบไม่ชัดแจ้งนั้นสอดคล้องกับคำตอบที่ถูกต้องมากกว่าวิธีออยเลอร์แบบซิมเพล็กติก

โปรดจำไว้ว่าการไหลที่แน่นอนของระบบแฮมิลโทเนียนที่มีหนึ่งองศาอิสระนั้นรักษาพื้นที่ไว้ได้ ในแง่ที่ว่า สูตรนี้สามารถตรวจสอบได้ง่ายด้วยมือ สำหรับตัวอย่างลูกตุ้มของเรา เราจะเห็นว่าการไหลเชิงตัวเลขของวิธีออยเลอร์แบบชัดเจนนั้นไม่รักษาพื้นที่ไว้ได้ กล่าวคือ ${\displaystyle \phi _{t}}$$${\displaystyle \det {\frac {\partial \phi _{t}}{\partial (q_{0},p_{0})}}=1~{\text{ สำหรับทุก }}~t.}$$${\displaystyle \Phi _{{\mathrm {eE} },h}:z_{k}\mapsto z_{k+1}}$

$${\displaystyle \det {\frac {\partial }{\partial (q_{0},p_{0})}}\Phi _{{\mathrm {eE} },h}(z_{0})={\begin{vmatrix}1&h\\-h\cos q_{0}&1\end{vmatrix}}=1+h^{2}\cos q_{0}.}$$

สามารถทำการคำนวณที่คล้ายกันได้สำหรับวิธีออยเลอร์โดยปริยาย โดยที่ค่าดีเทอร์มิแนนต์คือ

$${\displaystyle \det {\frac {\partial }{\partial (q_{0},p_{0})}}\Phi _{{\mathrm {iE} },h}(z_{0})=(1+h^{2}\cos q_{1})^{-1}.}$$

อย่างไรก็ตาม วิธีซิมเพล็กติกออยเลอร์นั้นรักษาพื้นที่ไว้ได้:

$${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&-h\\0&1\end{pmatrix}}{\frac {\partial }{\partial (q_{0},p_{0})}}\Phi _{{\mathrm {sE} },h}(z_{0})={\begin{pmatrix}1&0\\-h\cos q_{0}&1\end{pmatrix}},}$$

ดังนั้นกฎจุดกึ่งกลางโดยปริยายจึงมีคุณสมบัติทางเรขาคณิตที่คล้ายคลึงกัน ${\displaystyle \det(\partial \Phi _{{\mathrm {sE} },h}/\partial (q_{0},p_{0}))=1}$

โดยสรุป ตัวอย่างลูกตุ้มแสดงให้เห็นว่า นอกเหนือจากวิธีออยเลอร์แบบชัดแจ้งและแบบไม่ชัดแจ้งที่ไม่เหมาะสมในการแก้ปัญหาแล้ว วิธีออยเลอร์แบบซิมเพล็กติกและกฎจุดกึ่งกลางแบบไม่ชัดแจ้งยังสอดคล้องกับการไหลที่แม่นยำของระบบได้ดี โดยกฎจุดกึ่งกลางสอดคล้องได้ดีกว่า ยิ่งไปกว่านั้น สองวิธีหลังนี้ยังรักษาพื้นที่ไว้ได้เช่นเดียวกับการไหลที่แม่นยำ พวกมันเป็นตัวอย่างของตัวรวมเชิงเรขาคณิต (อันที่จริงคือซิมเพล็กติก ) สองตัวอย่างที่เห็นได้ชัด

วิธีเฟรมเคลื่อนที่สามารถใช้สร้างวิธีการเชิงตัวเลขที่รักษาความสมมาตร ของ Lie ของ ODE ได้ วิธีการที่มีอยู่ เช่นRunge-Kuttaสามารถปรับเปลี่ยนได้โดยใช้วิธีเฟรมเคลื่อนที่เพื่อสร้างเวอร์ชันที่ไม่เปลี่ยนแปลง^{[ 1 ]}

• การเคลื่อนตัวของพลังงาน
• การเลียนแบบ (คณิตศาสตร์)

• Hairer, Ernst; Lubich, Christian; Wanner, Gerhard (2002). การบูรณาการเชิงตัวเลขทางเรขาคณิต: อัลกอริทึมที่รักษาโครงสร้างสำหรับสมการเชิงอนุพันธ์สามัญ . Springer-Verlag. ISBN 3-540-43003-2.
• Leimkuhler, Ben; Reich, Sebastian (2005). การจำลองพลศาสตร์แฮมิลโทเนียน . สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์. ISBN 0-521-77290-7.
• Budd, CJ; Piggott, MD (2003). "การอินทิเกรตเชิงเรขาคณิตและการประยุกต์ใช้" คู่มือการวิเคราะห์เชิงตัวเลข เล่มที่ 11. Elsevier. หน้า  35–139 . doi : 10.1016/S1570-8659(02)11002-7 . ISBN 9780444512475.
• Kim, Pilwon (2007). "การทำให้รูปแบบเชิงตัวเลขคงที่โดยใช้เฟรมเคลื่อนที่". BIT Numerical Mathematics. Vol. 47, no. 3. Springer. หน้า  525–546 . doi : 10.1007/s10543-007-0138-8 .