ในเรขาคณิตเชิงพีชคณิตผลหารเชิงเรขาคณิตของวาไรตี้เชิงพีชคณิตXกับการกระทำของกลุ่มเชิงพีชคณิตGคือมอร์ฟิซึมของวาไรตี้ เช่นนั้น^{[ 1 ]}${\displaystyle \pi :X\to Y}$

(i) แผนที่นี้เป็นแผนที่ทั่วถึง และไฟเบอร์ของมันคือวงโคจร G ใน X อย่างแน่นอน${\displaystyle \pi }$

(ii) โทโพโลยีของYคือโทโพโลยีผลหาร : เซตย่อย Y เป็นเซตเปิดก็ต่อเมื่อ Y เป็นเซตเปิด${\displaystyle U\subset Y}$${\displaystyle \pi ^{-1}(U)}$

(iii) สำหรับเซตย่อยเปิดใดๆเป็นการสมสัณฐาน (ในที่นี้kคือฟิลด์ฐาน)${\displaystyle U\subset Y}$${\displaystyle \pi ^{\#}:k[U]\to k[\pi ^{-1}(U)]^{G}}$

แนวคิดนี้ปรากฏในทฤษฎีตัวแปรทางเรขาคณิต (i), (ii) กล่าวว่าYเป็นปริภูมิวงโคจรของXในโทโพโลยี (iii) อาจกล่าวได้ว่าเป็นไอโซมอร์ฟิซึมของชีฟโดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้าXไม่สามารถแยกตัวประกอบได้Y ก็ไม่สามารถแยกตัวประกอบได้เช่นกัน และฟังก์ชันตรรกยะบนYอาจถูกมองว่าเป็นฟังก์ชันตรรกยะที่ไม่เปลี่ยนแปลงบนX (เช่นตัวแปรตรรกยะที่ไม่เปลี่ยนแปลงของX ) ${\displaystyle {\mathcal {O}__{Y}\simeq \pi _{*}({\mathcal {O}__{X}^{G})}$${\displaystyle k(Y)=k(X)^{G}}$

ตัวอย่างเช่น ถ้าHเป็นกลุ่มย่อยปิดของGแล้ว ก็จะเป็นผลหารเชิงเรขาคณิตผลหาร GITอาจเป็นหรือไม่เป็นผลหารเชิงเรขาคณิตก็ได้ แต่ทั้งสองเป็นผลหารเชิงหมวดหมู่ ซึ่งเป็นเอกลักษณ์ กล่าวคือ ไม่สามารถมีผลหารทั้งสองประเภทได้ (โดยที่ผลหารทั้งสองไม่เหมือนกัน) ${\displaystyle G/H}$

ผลหารเชิงเรขาคณิตเป็นผลหารเชิงหมวดหมู่สิ่งนี้ได้รับการพิสูจน์แล้วในทฤษฎีตัวแปรเชิงเรขาคณิตของมัมฟอร์ด

ผลหารเชิงเรขาคณิตคือผลหารที่ดีซึ่งมีเส้นใยเป็นวงโคจรของกลุ่มนั้น อย่างแม่นยำ

• แผนที่มาตรฐานเป็นผลหารทางเรขาคณิต${\displaystyle \mathbb {A} ^{n+1}\setminus 0\to \mathbb {P} ^{n}}$
• ถ้าLเป็นมัดเส้นตรงเชิงเส้นบนวาไรตี้ พีชคณิต G Xแล้ว เมื่อเขียนแทนเซตของจุดเสถียรที่เกี่ยวข้องกับLผลหาร${\displaystyle X_{(0)}^{s}}$

${\displaystyle X_{(0)}^{s}\to X_{(0)}^{s}/G}$  

เป็นผลหารทางเรขาคณิต