ในทางคณิตศาสตร์ลำดับของ Gijswijt (ตั้งชื่อตามDion GijswijtโดยNeil Sloane ^{[ 1 ]} ) เป็นลำดับที่อธิบายตัวเองได้ โดยแต่ละพจน์จะนับจำนวนบล็อกตัวเลขที่ซ้ำกันสูงสุดในลำดับที่อยู่ก่อนหน้าพจน์นั้นทันที

ลำดับเริ่มต้นด้วย:

1, 1, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 2, 1, ... (ลำดับA090822ในOEIS )

ลำดับนี้มีคำจำกัดความคล้ายกับลำดับ Kolakoskiแต่แทนที่จะนับการเรียงตัวของพจน์เดี่ยวที่ยาวที่สุด ลำดับนี้จะนับการเรียงตัวของบล็อกพจน์ที่ยาวที่สุดไม่ว่าจะมีความยาวเท่าใดก็ตาม ลำดับของ Gijswijt เป็นที่รู้จักจากอัตราการเติบโตที่ช้าอย่างน่าทึ่ง ตัวอย่างเช่น เลข 4 ตัวแรกปรากฏที่พจน์ที่ 220 และเลข 5 ตัวแรกปรากฏใกล้กับพจน์ที่ rd ^{[ 1 ]}${\displaystyle 10^{10^{23}}}$

กระบวนการสร้างพจน์ในลำดับสามารถนิยามได้โดยการมองลำดับนั้นเป็นชุดตัวอักษรในอักษรของจำนวนธรรมชาติ :

1. ${\displaystyle a(1)=1}$, และ
2. ${\displaystyle a(n+1)=k}$โดยที่เป็นจำนวนธรรมชาติที่มากที่สุดที่สามารถเขียนคำนั้นในรูปแบบสำหรับบางคำและโดยที่มีความยาวไม่เป็นศูนย์${\displaystyle k}$${\displaystyle a(1)a(2)a(3)...a(n)}$${\displaystyle xy^{k}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle y}$

ลำดับนี้ ไม่ขึ้น อยู่กับฐาน กล่าวคือ หากพบกลุ่มตัวเลขที่ซ้ำกัน 10 ชุด ตัวเลขถัดไปในลำดับจะเป็นเลข 10 เพียงตัวเดียว ไม่ใช่เลข 1 ตามด้วยเลข 0

ตามนิยามแล้ว ลำดับเริ่มต้นด้วย 1 เลข 1 ในพจน์ที่สองแสดงถึงความยาว 1 ของกลุ่มเลข 1 ที่อยู่ก่อนหน้าในพจน์แรก เลข 2 ในพจน์ที่สามแสดงถึงความยาว 2 ของกลุ่มเลข 1 ที่อยู่ในพจน์แรกและพจน์ที่สอง ณ จุดนี้ ลำดับจะลดลงเป็นครั้งแรก: เลข 1 ในพจน์ที่สี่แสดงถึงความยาว 1 ของกลุ่มเลข 2 ในพจน์ที่สาม รวมทั้งความยาว 1 ของกลุ่ม "1, 2" ที่เชื่อมระหว่างพจน์ที่สองและพจน์ที่สาม ไม่มีกลุ่มของลำดับที่ซ้ำกันใดๆ ที่อยู่ก่อนหน้าพจน์ที่สี่ที่มีความยาวมากกว่า 1 กลุ่มเลข 1 สองตัวในพจน์แรกและพจน์ที่สองไม่สามารถนำมาพิจารณาในพจน์ที่สี่ได้ เพราะถูกคั่นด้วยตัวเลขที่แตกต่างกันในพจน์ที่สาม

เลข 1 ในพจน์ที่ห้าแสดงถึงความยาว 1 ของกลุ่มตัวเลขที่ "ซ้ำกัน" คือ "1" และ "2, 1" และ "1, 2, 1" และ "1, 1, 2, 1" ซึ่งอยู่ก่อนหน้าพจน์ที่ห้าทันที กลุ่มตัวเลขเหล่านี้ไม่ซ้ำกันมากกว่าหนึ่งครั้ง ดังนั้นพจน์ที่ห้าจึงมีค่าเป็น 1 เลข 2 ในพจน์ที่หกแสดงถึงความยาวของกลุ่มตัวเลข 1 ที่ซ้ำกันซึ่งอยู่ก่อนหน้าพจน์ที่หกทันที นั่นคือกลุ่มตัวเลข 1 ในพจน์ที่ 4 และ 5 เลข 2 ในพจน์ที่เจ็ดแสดงถึงการซ้ำกัน 2 ครั้งของกลุ่มตัวเลข "1, 1, 2" ซึ่งครอบคลุมพจน์ที่ 1-3 และจากนั้น 4-6 คำที่มีตัวเลข 3 ตัวนี้ปรากฏสองครั้งก่อนหน้าพจน์ที่เจ็ดทันที ดังนั้นค่าของพจน์ที่เจ็ดจึงเป็น 2

เลข 2 ในพจน์ที่แปดแสดงถึงความยาวของกลุ่มเลข 2 ที่ซ้ำกันสามครั้งก่อนหน้าพจน์ที่แปด ซึ่งก็คือเลข 2 ในพจน์ที่หกและเจ็ด ส่วนเลข 3 ในพจน์ที่เก้าแสดงถึงกลุ่มเลข 2 ที่ซ้ำกันสามครั้งก่อนหน้าพจน์ที่เก้า ซึ่งก็คือเลข 2 ในพจน์ที่หก เจ็ด และแปด

มีการวิจัยเกี่ยวกับลำดับของ Gijswijt เพียงจำกัด ดังนั้นจึงมีการพิสูจน์เกี่ยวกับลำดับนี้ได้น้อยมาก และยังมีคำถามที่ยังไม่ได้รับการแก้ไขอีกมากมาย

แม้จะเป็นที่ทราบกันดีว่าจำนวนธรรมชาติแต่ละจำนวนปรากฏอยู่ที่ตำแหน่งจำกัดภายในลำดับ แต่ก็มีการแสดงให้เห็นแล้วว่าลำดับนั้นมีค่าเฉลี่ย จำกัด ในการกำหนดนิยามนี้อย่างเป็นทางการบนลำดับอนันต์ ซึ่งการเรียงลำดับใหม่ของพจน์อาจมีความสำคัญนั้น เป็นที่ทราบกันดีว่า

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}a(i)\approx 1.904<\infty }$[ ^{1 ]​}

ในทำนองเดียวกัน เป็นที่ทราบกันว่าจำนวนธรรมชาติใดๆ ก็มีความหนาแน่น เป็นบวก ในลำดับ^{[ 2 ]}

ในปี 2549 Gijswijt พิสูจน์ว่าลำดับนี้ประกอบด้วยจำนวนธรรมชาติทุกจำนวน^{[ 3 ]} ลำดับนี้เติบโตแบบซูเปอร์ลอการิทึม โดย ประมาณโดยจำนวนธรรมชาติแรกสุดจะ อยู่ที่ตำแหน่งประมาณ Levi van de Pol ได้ค้นพบ นิพจน์สำหรับดัชนีแรกสุดที่จำนวนเต็มบวกที่กำหนดปรากฏขึ้น โดยใช้ค่าคงที่และลำดับของค่าคงที่^{[ 2 ]}${\displaystyle n}$${\displaystyle 2^{2^{3^{4^{5^{.^{.^{.{n-1}}}}}}}}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \epsilon _{1}}$${\displaystyle \nu _{k}}$

ตัวอย่างเช่น ตำแหน่งของเลข 5 ตัวแรก กำหนดโดย

${\displaystyle \phi ^{(1)}(5)=\lfloor 1-\epsilon _{1}+\epsilon _{1}\cdot 2^{418090195952691922788353}\rfloor }$

โดยที่. เมื่อขยายออกแล้ว ตัวเลขนี้มีค่าประมาณ ${\displaystyle \epsilon _{1}\approx 3.48669886438365597023}$

${\displaystyle 3.2719044223289929745\cdot 10^{125857689874791897769333}}$.

ลำดับแรกของเลข 4 สองตัวติดกัน เริ่มต้นที่ตำแหน่ง

${\displaystyle 255,\!895,\!648,\!634,\!818,\!208,\!370,\!064,\!452,\!304,\!769,\!558,\!261,\!700,\ !170,\!817,\!472,\!823,\!398,\!081,\!655,\!524,\!438,\!021,\!806,\!620,\!809,\!813,}$

${\displaystyle 295,\!008,\!281,\!436,\!789,\!493,\!636,\!144.}$

หมายเลขนี้มี 108 หลัก และถูกรายงานครั้งแรกโดยแวน เดอ โพล

ลำดับสามารถแบ่งออกเป็นลำดับ "บล็อก" และ "ส่วนเชื่อมต่อ" ที่แยกจากกันได้ ซึ่งสามารถนำมาใช้สร้างลำดับขึ้นใหม่ได้แบบเรียกซ้ำ ตัวอย่างเช่น ในระดับพื้นฐาน เราสามารถกำหนดและเป็นลำดับบล็อกและส่วนเชื่อมต่อแรกตามลำดับ เมื่อรวมกันแล้ว เราจะเห็นว่าพวกมันก่อตัวเป็นจุดเริ่มต้นของลำดับได้อย่างไร: ${\displaystyle B_{1}=1}$${\displaystyle S_{1}=2}$

${\displaystyle B_{1}B_{1}S_{1}=1,1,2}$

ขั้นตอนต่อไปคือการสร้างลำดับแบบเรียกซ้ำ กำหนดค่าโดยสังเกตว่าลำดับเริ่มต้นด้วยเราสามารถกำหนดสตริงเชื่อมต่อซึ่งให้ผลลัพธ์ดังนี้: ${\displaystyle B_{2}=B_{1}B_{1}S_{1}}$${\displaystyle B_{1}B_{1}}$${\displaystyle S_{2}=2,2,3}$

${\displaystyle B_{2}B_{2}S_{2}=1,1,2,1,1,2,2,2,3}$

เรากำหนดลำดับเฉพาะลำดับหนึ่งซึ่งให้คุณสมบัติที่ปรากฏอยู่ด้านบนสุดของลำดับนั้นด้วย ${\displaystyle S_{2}}$${\displaystyle B_{2}B_{2}S_{2}B_{2}B_{2}S_{2}}$

กระบวนการนี้สามารถดำเนินต่อไปได้เรื่อยๆ อย่างไม่มีที่สิ้นสุดปรากฏว่าเราสามารถค้นพบสายกาวได้โดยการสังเกตว่าจะไม่มีเลข 1 และจะหยุดเมื่อถึงเลข 1 ตัวแรกที่ตามมา[ ^{4 ] นอกจาก} นี้ยังได้รับการพิสูจน์แล้วว่าลำดับของ Gijswijt สามารถสร้างขึ้นได้ในลักษณะนี้อย่างไม่มีที่สิ้นสุด ‒ นั่นคือและมีความยาวจำกัดเสมอสำหรับค่าใดๆ^{[ 3 ]}${\displaystyle B_{n+1}=B_{n}B_{n}S_{n}}$${\displaystyle S_{n}}$${\displaystyle S_{n}}$${\displaystyle B_{n}B_{n}}$${\displaystyle B_{n}}$${\displaystyle S_{n}}$${\displaystyle n}$

การจัดการลำดับกาวในโครงสร้างแบบเรียกซ้ำนี้อย่างชาญฉลาด สามารถนำมาใช้เพื่อแสดงให้เห็นว่าลำดับของ Gijswijt ประกอบด้วยจำนวนธรรมชาติทั้งหมด รวมถึงคุณสมบัติอื่นๆ ของลำดับนั้นด้วย

• ลำดับการมองและการพูด
• ลำดับโคลาโคสกี
• ลายเซ็นต์

• 50 ล้านคำแรก
• ลำดับ OEIS A091579 (ความยาวของบล็อกส่วนต่อท้ายที่เกี่ยวข้องกับ A090822) -- (ความยาวของลำดับกาว)

ลำดับ OEIS A090822 (ลำดับของ Gijswijt)