• ในของไหลโฟนอนจะเป็นแบบตามยาวและเป็นโบซอนโกลด์สโตนของสมมาตรกาลิเลียน ที่ถูกทำลายโดยธรรมชาติ ในของแข็งสถานการณ์จะซับซ้อนกว่านั้น โบซอนโกลด์สโตนเป็นทั้งโฟนอนตามยาวและตามขวาง และบังเอิญเป็นโบซอนโกลด์สโตนของสมมาตรกาลิเลียน สมมาตรการเลื่อน และสมมาตรการหมุนที่ถูกทำลายโดยธรรมชาติ โดยไม่มีความสัมพันธ์แบบหนึ่งต่อหนึ่งที่ง่ายระหว่างโหมดโกลด์สโตนกับสมมาตรที่ถูกทำลาย
• ในแม่เหล็กสมมาตรการหมุนดั้งเดิม (ที่มีอยู่เมื่อไม่มีสนามแม่เหล็กภายนอก) จะถูกทำลายโดยธรรมชาติ ทำให้ทิศทางการแม่เหล็กชี้ไปในทิศทางเฉพาะ อนุภาคโกลด์สโตนจึงกลายเป็นแมกนอน กล่าวคือ คลื่นสปินที่ทิศทางการแม่เหล็กเฉพาะที่สั่นไหว
• ไพอนเป็นโบซอนเทียมโกลด์สโตนที่เกิดขึ้นจากการแตกสลายโดยธรรมชาติของสมมาตรไครัล-เฟลเวอร์ของ QCD ที่เกิดจากการควบแน่นของควาร์กอันเนื่องมาจากอันตรกิริยาแรง สมมาตรเหล่านี้ถูกทำลายอย่างชัดเจนยิ่งขึ้นโดยมวลของควาร์ก ดังนั้นไพอนจึงไม่ใช่อนุภาคไร้มวล แต่มีมวล น้อยกว่า มวลของแฮดรอนทั่วไปอย่างมาก
• ส่วนประกอบโพลาไรเซชันตามยาวของโบซอน W และ Zสอดคล้องกับโบซอนโกลด์สโตนของส่วนที่ถูกทำลายโดยธรรมชาติของสมมาตรอิเล็กโทรวีค SU(2) ⊗ U(1) ซึ่งอย่างไรก็ตามไม่สามารถสังเกตได้^{[ nb 1 ]} เนื่องจากสมมาตรนี้ถูกเกจ โบซอนโกลด์สโตนทั้งสามตัวจึงถูกดูดซับโดยโบซอนเกจทั้งสามตัวที่สอดคล้องกับตัวสร้างที่ถูกทำลายทั้งสามตัว ซึ่งทำให้โบซอนเกจทั้งสามตัวนี้มีมวลและระดับความเป็นอิสระของโพลาไรเซชันที่สามที่จำเป็นที่เกี่ยวข้อง ปรากฏการณ์นี้ได้รับการอธิบายในแบบจำลองมาตรฐานผ่านกลไกฮิกส์ปรากฏการณ์ที่คล้ายคลึงกันเกิดขึ้นในสภาพนำยิ่งยวดซึ่งเป็นแหล่งที่มาของแรงบันดาลใจดั้งเดิมสำหรับนัมบู กล่าวคือ โฟตอนพัฒนามวลไดนามิก (แสดงเป็นการกีดกันฟลักซ์แม่เหล็กจากตัวนำยิ่งยวด) ดูทฤษฎี Ginzburg– Landau
• ความผันผวนดั้งเดิมในช่วงเงินเฟ้อสามารถมองได้ว่าเป็นโบซอนโกลด์สโตนที่เกิดขึ้นเนื่องจากการแตกสมมาตรโดยธรรมชาติของสมมาตรการแปลเวลาของเอกภพเดอซิทเทอร์ความผันผวนเหล่านี้ในฟิลด์สเกลาร์อินฟลาตอน จะ ก่อ ให้เกิดการก่อตัวของโครงสร้างจักรวาลในภายหลัง^{[ 8 ]}
• Ricciardi และ Umezawa เสนอทฤษฎีทั่วไป (สมองควอนตัม) เกี่ยวกับกลไกสมองที่เป็นไปได้ในการจัดเก็บและเรียกคืนความทรงจำในแง่ของโบซอน Nambu–Goldstone ในปี 1967 ^{[ 9 ]}ทฤษฎีนี้ได้รับการขยายเพิ่มเติมในปี 1995 โดย Giuseppe Vitiello โดยคำนึงถึงว่าสมองเป็นระบบ "เปิด" (แบบจำลองควอนตัมแบบกระจายพลังงานของสมอง) ^{[ 10 ]}การประยุกต์ใช้การแตกสมมาตรโดยธรรมชาติและทฤษฎีบทของ Goldstone กับระบบชีวภาพโดยทั่วไป ได้รับการตีพิมพ์โดย E. Del Giudice, S. Doglia, M. Milani และ G. Vitiello ^{[ 11 ] [ 12 ]}และโดย E. Del Giudice, G. Preparata และ G. Vitiello ^{[ 13 ]} Mari Jibu และKunio Yasue ^{[ 14 ]}และ Giuseppe Vitiello ^{[ 15 ]}ได้อภิปรายถึงนัยสำคัญของจิตสำนึกโดยอิงจากผลการค้นพบเหล่านี้

พิจารณาฟิลด์สเกลาร์เชิงซ้อนϕโดยมีข้อจำกัดว่า${\displaystyle \phi ^{*}\phi =v^{2}}$ซึ่งเป็นค่าคงที่ วิธีหนึ่งในการกำหนดข้อจำกัดประเภทนี้คือการรวมพจน์ปฏิสัมพันธ์ที่เป็นไปได้ ไว้ใน ความหนาแน่นลากรางจ์

${\displaystyle \lambda (\phi ^{*}\phi -v^{2})^{2}~,}$

และพิจารณาลิมิตเมื่อ λ → ∞นี่เรียกว่า "แบบจำลอง σ แบบไม่เชิงเส้นของอาเบเลียน" ^{[ nb 2 ]}

ข้อจำกัดและการกระทำด้านล่างจะไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้ การแปลงเฟส U (1) δϕ =i εϕฟิลด์สามารถกำหนดใหม่เพื่อให้ได้ฟิลด์สเกลาร์ จริง (เช่น อนุภาคสปินศูนย์) θโดยไม่มีข้อจำกัดใดๆ โดย

${\displaystyle \phi =ve^{i\theta }}$

โดยที่θ คืออนุภาค Nambu–Goldstone (ที่จริงแล้ว${\displaystyle v\theta }$คือ) และ การแปลงสมมาตร U (1) ส่งผลให้เกิดการเลื่อนบน θกล่าวคือ

${\displaystyle \delta \theta =\เอปไซลอน ~,}$

แต่ไม่รักษาสถานะพื้นฐาน|0〉 ไว้ (กล่าวคือ การแปลงแบบอนันต์ข้างต้นไม่ได้ทำลายสถานะพื้นฐานนั้น ซึ่งเป็นลักษณะเด่นของความไม่เปลี่ยนแปลง) ดังที่เห็นได้ชัดจากประจุของกระแสไฟฟ้าด้านล่าง

ดังนั้น สุญญากาศจึงเสื่อมสภาพและไม่คงที่ภายใต้การกระทำของสมมาตรที่ถูกทำลายโดยธรรมชาติ

ความหนาแน่นลากรางจ์ที่สอดคล้องกันกำหนดโดย

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}(\บางส่วน ^{\mu }\phi ^{*})\partial _{\mu }\phi -m^{2}\phi ^{*}\phi ={\frac {1}{2}}(-ive^{-i\theta }\partial ^{\mu }\theta )(ive^{i\theta }\บางส่วน _{\mu }\theta )-m^{2}v^{2},}$

and thus

${\displaystyle ={\frac {v^{2}}{2}}(\บางส่วน ^{\mu }\theta )(\partial _{\mu }\theta )-m^{2}v^{2}~.}$

Note that the constant term ${\displaystyle m^{2}v^{2}}$ in the Lagrangian density has no physical significance, and the other term in it is simply the kinetic term for a massless scalar.

The symmetry-induced conserved U(1) current is

${\displaystyle J_{\mu }=v^{2}\partial _{\mu }\theta ~.}$

The charge, Q, resulting from this current shifts θ and the ground state to a new, degenerate, ground state. Thus, a vacuum with 〈θ〉 = 0 will shift to a different vacuum with 〈θ〉 = ε. The current connects the original vacuum with the Nambu–Goldstone boson state, 〈0|J(0)|θ〉≠ 0.

In general, in a theory with several scalar fields, ϕ, the Nambu–Goldstone mode ϕ is massless, and parameterises the curve of possible (degenerate) vacuum states. Its hallmark under the broken symmetry transformation is nonvanishing vacuum expectation〈δϕ〉, an order parameter, for vanishing 〈ϕ〉 = 0, at some ground state |0〉 chosen at the minimum of the potential, 〈∂V/∂ϕ〉 = 0. In principle the vacuum should be the minimum of the effective potential which takes into account quantum effects, however it is equal to the classical potential to first approximation. Symmetry dictates that all variations of the potential with respect to the fields in all symmetry directions vanish. The vacuum value of the first order variation in any direction vanishes as just seen; while the vacuum value of the second order variation must also vanish, as follows. Vanishing vacuum values of field symmetry transformation increments add no new information.

By contrast, however, nonvanishing vacuum expectations of transformation increments, 〈δϕ〉, specify the relevant (Goldstone) null eigenvectors of the mass matrix,

and hence the corresponding zero-mass eigenvalues.

ทฤษฎีบทของโกลด์สโตนเวอร์ชันหนึ่งยังใช้ได้กับทฤษฎีที่ไม่ใช่สัมพัทธภาพด้วย^{[ 19 ] [ 20 ]}โดยพื้นฐานแล้วระบุว่า สำหรับแต่ละสมมาตรที่ถูกทำลายโดยธรรมชาติ จะมีอนุภาคเสมือน บางตัวที่สอดคล้องกัน ซึ่งโดยทั่วไปจะเป็นโบซอนและไม่มีช่องว่างพลังงานในสสารควบแน่น โบซอนโกลด์สโตนเหล่านี้ยังเรียกว่าโหมดไร้ช่องว่าง (เช่น สถานะที่ความสัมพันธ์การกระจายพลังงานเป็นเช่นนี้)${\displaystyle E\propto p^{n}}$และมีค่าเป็นศูนย์สำหรับ${\displaystyle p=0}$) เวอร์ชันที่ไม่เกี่ยวข้องกับสัมพัทธภาพของอนุภาคไร้มวล (เช่น โฟตอน ซึ่งความสัมพันธ์การกระจายตัวก็คือ )${\displaystyle E=pc}$และศูนย์สำหรับ${\displaystyle p=0}$) โปรดทราบว่าพลังงานในกรณีสสารควบแน่นที่ไม่เกี่ยวข้องกับสัมพัทธภาพคือH − μN − α → ⋅ P →และไม่ใช่Hอย่างที่ควรจะเป็นในกรณีสัมพัทธภาพ อย่างไรก็ตาม ตัวสร้างที่ถูกทำลายโดยธรรมชาติสองแบบที่แตกต่างกันอาจทำให้เกิดโบซอนนัมบู-โกลด์สโตนตัวเดียวกันได้

ตัวอย่างแรกคือ แอนติเฟอร์โรแมกเนตมีโกลด์สโตนโบซอน 2 ตัว เฟอร์โรแมกเนตมีโกลด์สโตนโบซอน 1 ตัว โดยในทั้งสองกรณีเรากำลังทำลายสมมาตรจาก SO(3) ไปเป็น SO(2) สำหรับแอนติเฟอร์โรแมกเนต การกระจายตัวคือ${\displaystyle E\propto p}$และค่าคาดหวังของสถานะพื้นฐานเป็นศูนย์ สำหรับเฟอร์โรแมกเนติกนั้น การกระจายตัวจะเป็น${\displaystyle E\propto p^{2}}$และค่าคาดหวังของสถานะพื้นฐานไม่ใช่ศูนย์ กล่าวคือมีสมมาตรที่ถูกทำลายโดยธรรมชาติสำหรับสถานะพื้นฐาน^{[ 21 ] [ 22 ]}

ตัวอย่างที่สอง ในของไหลยิ่งยวดทั้งสมมาตรจำนวนอนุภาคU(1) และ สมมาตรกาลิเลียนจะถูกทำลายโดยธรรมชาติ อย่างไรก็ตามโฟนอนเป็นโบซอนโกลด์สโตนสำหรับทั้งสอง^{[ 23 ] [ 24 ]}

นอกจากนี้ ในส่วนของการทำลายสมมาตร ยังมีความคล้ายคลึงกันอย่างใกล้ชิดระหว่างโหมดไร้ช่องว่างในสสารควบแน่นและโบซอนฮิกส์ เช่น ในการเปลี่ยนเฟสจากพาราแมกเนตเป็นเฟอร์โรแมกเนต^{[ 25 ] [ 26 ]}

ตรงกันข้ามกับกรณีของการแตกหักของสมมาตรภายใน เมื่อสมมาตรของปริภูมิเวลา เช่นสมมาตรลอเรนซ์สมมาตรคอนฟอร์มอล สมมาตรการหมุน หรือสมมาตรการเลื่อน ถูกทำลาย พารามิเตอร์ลำดับไม่จำเป็นต้องเป็นฟิลด์สเกลาร์ แต่อาจเป็นฟิลด์เทนเซอร์ และจำนวนโหมดไร้มวลอิสระอาจน้อยกว่าจำนวนตัวสร้างที่ถูกทำลายโดยธรรมชาติ สำหรับทฤษฎีที่มีพารามิเตอร์ลำดับ${\displaystyle \langle \phi ({\boldsymbol {r}})\rangle }$ซึ่งทำให้สมมาตรของกาลอวกาศแตกสลายไปเอง จำนวนตัวสร้างที่ถูกทำลาย${\displaystyle T^{a}}$ลบด้วยจำนวนคำตอบอิสระที่ไม่ใช่คำตอบพื้นฐาน${\displaystyle c_{a}({\boldsymbol {r}})}$ถึง

${\displaystyle c_{a}({\boldsymbol {r}})T^{a}\langle \phi ({\boldsymbol {r}})\rangle =0}$

คือจำนวนโหมดโกลด์สโตนที่เกิดขึ้น^{[ 27 ]}สำหรับสมมาตรภายใน สมการข้างต้นไม่มีคำตอบที่ไม่เป็นศูนย์ ดังนั้นทฤษฎีบทโกลด์สโตนตามปกติจึงใช้ได้ เมื่อมีคำตอบอยู่ นั่นเป็นเพราะโหมดโกลด์สโตนมีความสัมพันธ์เชิงเส้นระหว่างกัน โดยที่โหมดที่ได้สามารถแสดงเป็นเกรเดียนต์ของโหมดอื่นได้ เนื่องจากความขึ้นอยู่ของคำตอบกับปริภูมิเวลา${\displaystyle c_{a}({\boldsymbol {r}})}$อยู่ในทิศทางของตัวสร้างที่ไม่ขาดตอน เมื่อตัวสร้างการแปลทั้งหมดขาดตอน จะไม่มีวิธีแก้ปัญหาที่ไม่ใช่แบบธรรมดา และจำนวนโหมดโกลด์สโตนจะเท่ากับจำนวนตัวสร้างที่ขาดตอนอีกครั้ง

โดยทั่วไป โฟนอนคือโบซอนนัมบู-โกลด์สโตนที่มีประสิทธิภาพสำหรับสมมาตรการ แปลที่ถูกทำลายโดยธรรมชาติ ^{[ 28 ]}