• ในของไหลโฟนอนจะเป็นแบบตามยาวและเป็นโบซอนโกลด์สโตนของสมมาตรกาลิเลียน ที่ถูกทำลายโดยธรรมชาติ ในของแข็งสถานการณ์จะซับซ้อนกว่านั้น โบซอนโกลด์สโตนเป็นทั้งโฟนอนตามยาวและตามขวาง และบังเอิญเป็นโบซอนโกลด์สโตนของสมมาตรกาลิเลียน สมมาตรการเลื่อน และสมมาตรการหมุนที่ถูกทำลายโดยธรรมชาติ โดยไม่มีความสัมพันธ์แบบหนึ่งต่อหนึ่งที่ง่ายระหว่างโหมดโกลด์สโตนกับสมมาตรที่ถูกทำลาย
• ในแม่เหล็กสมมาตรการหมุนดั้งเดิม (ที่มีอยู่เมื่อไม่มีสนามแม่เหล็กภายนอก) จะถูกทำลายโดยธรรมชาติ ทำให้ทิศทางการแม่เหล็กชี้ไปในทิศทางเฉพาะ อนุภาคโกลด์สโตนจึงกลายเป็นแมกนอน กล่าวคือ คลื่นสปินที่ทิศทางการแม่เหล็กเฉพาะที่สั่นไหว
• ไพอนเป็นโบซอนเทียมโกลด์สโตนที่เกิดขึ้นจากการแตกสลายโดยธรรมชาติของสมมาตรไครัล-เฟลเวอร์ของ QCD ที่เกิดจากการควบแน่นของควาร์กอันเนื่องมาจากอันตรกิริยาแรง สมมาตรเหล่านี้ถูกทำลายอย่างชัดเจนยิ่งขึ้นโดยมวลของควาร์ก ดังนั้นไพอนจึงไม่ใช่อนุภาคไร้มวล แต่มีมวล น้อยกว่า มวลของแฮดรอนทั่วไปอย่างมาก
• ส่วนประกอบโพลาไรเซชันตามยาวของโบซอน W และ Zสอดคล้องกับโบซอนโกลด์สโตนของส่วนที่ถูกทำลายโดยธรรมชาติของสมมาตรอิเล็กโทรวีค SU(2) ⊗ U(1) ซึ่งอย่างไรก็ตามไม่สามารถสังเกตได้^{[ nb 1 ]} เนื่องจากสมมาตรนี้ถูกเกจ โบซอนโกลด์สโตนทั้งสามตัวจึงถูกดูดซับโดยโบซอนเกจทั้งสามตัวที่สอดคล้องกับตัวสร้างที่ถูกทำลายทั้งสามตัว ซึ่งทำให้โบซอนเกจทั้งสามตัวนี้มีมวลและระดับความเป็นอิสระของโพลาไรเซชันที่สามที่จำเป็นที่เกี่ยวข้อง ปรากฏการณ์นี้ได้รับการอธิบายในแบบจำลองมาตรฐานผ่านกลไกฮิกส์ปรากฏการณ์ที่คล้ายคลึงกันเกิดขึ้นในสภาพนำยิ่งยวดซึ่งเป็นแหล่งที่มาของแรงบันดาลใจดั้งเดิมสำหรับนัมบู กล่าวคือ โฟตอนพัฒนามวลไดนามิก (แสดงเป็นการกีดกันฟลักซ์แม่เหล็กจากตัวนำยิ่งยวด) ดูทฤษฎี Ginzburg– Landau
• ความผันผวนดั้งเดิมในช่วงเงินเฟ้อสามารถมองได้ว่าเป็นโบซอนโกลด์สโตนที่เกิดขึ้นเนื่องจากการแตกสมมาตรโดยธรรมชาติของสมมาตรการแปลเวลาของเอกภพเดอซิทเทอร์ความผันผวนเหล่านี้ในฟิลด์สเกลาร์อินฟลาตอน จะ ก่อ ให้เกิดการก่อตัวของโครงสร้างจักรวาลในภายหลัง^{[ 8 ]}
• Ricciardi และ Umezawa เสนอทฤษฎีทั่วไป (สมองควอนตัม) เกี่ยวกับกลไกสมองที่เป็นไปได้ในการจัดเก็บและเรียกคืนความทรงจำในแง่ของโบซอน Nambu–Goldstone ในปี 1967 ^{[ 9 ]}ทฤษฎีนี้ได้รับการขยายเพิ่มเติมในปี 1995 โดย Giuseppe Vitiello โดยคำนึงถึงว่าสมองเป็นระบบ "เปิด" (แบบจำลองควอนตัมแบบกระจายพลังงานของสมอง) ^{[ 10 ]}การประยุกต์ใช้การแตกสมมาตรโดยธรรมชาติและทฤษฎีบทของ Goldstone กับระบบชีวภาพโดยทั่วไป ได้รับการตีพิมพ์โดย E. Del Giudice, S. Doglia, M. Milani และ G. Vitiello ^{[ 11 ] [ 12 ]}และโดย E. Del Giudice, G. Preparata และ G. Vitiello ^{[ 13 ]} Mari Jibu และKunio Yasue ^{[ 14 ]}และ Giuseppe Vitiello ^{[ 15 ]}ได้อภิปรายถึงนัยสำคัญของจิตสำนึกโดยอิงจากผลการค้นพบเหล่านี้

พิจารณาฟิลด์สเกลาร์เชิงซ้อนϕโดยมีข้อจำกัดว่า${\displaystyle \phi ^{*}\phi =v^{2}}$ซึ่งเป็นค่าคงที่ วิธีหนึ่งในการกำหนดข้อจำกัดประเภทนี้คือการรวมพจน์ปฏิสัมพันธ์ที่เป็นไปได้ ไว้ใน ความหนาแน่นลากรางจ์

${\displaystyle \lambda (\phi ^{*}\phi -v^{2})^{2}~,}$

และพิจารณาลิมิตเมื่อ λ → ∞นี่เรียกว่า "แบบจำลอง σ แบบไม่เชิงเส้นของอาเบเลียน" ^{[ nb 2 ]}

ข้อจำกัดและการกระทำด้านล่างจะไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้ การแปลงเฟส U (1) δϕ =i εϕฟิลด์สามารถกำหนดใหม่เพื่อให้ได้ฟิลด์สเกลาร์ จริง (เช่น อนุภาคสปินศูนย์) θโดยไม่มีข้อจำกัดใดๆ โดย

${\displaystyle \phi =ve^{i\theta }}$

โดยที่θ คืออนุภาค Nambu–Goldstone (ที่จริงแล้ว${\displaystyle v\theta }$คือ) และ การแปลงสมมาตร U (1) ส่งผลให้เกิดการเลื่อนบน θกล่าวคือ

${\displaystyle \delta \theta =\เอปไซลอน ~,}$

แต่ไม่รักษาสถานะพื้นฐาน|0〉 ไว้ (กล่าวคือ การแปลงแบบอนันต์ข้างต้นไม่ได้ทำลายสถานะพื้นฐานนั้น ซึ่งเป็นลักษณะเด่นของความไม่เปลี่ยนแปลง) ดังที่เห็นได้ชัดจากประจุของกระแสไฟฟ้าด้านล่าง

ดังนั้น สุญญากาศจึงเสื่อมสภาพและไม่คงที่ภายใต้การกระทำของสมมาตรที่ถูกทำลายโดยธรรมชาติ

ความหนาแน่นลากรางจ์ที่สอดคล้องกันกำหนดโดย

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}(\บางส่วน ^{\mu }\phi ^{*})\partial _{\mu }\phi -m^{2}\phi ^{*}\phi ={\frac {1}{2}}(-ive^{-i\theta }\partial ^{\mu }\theta )(ive^{i\theta }\บางส่วน _{\mu }\theta )-m^{2}v^{2},}$

และด้วยเหตุนี้

${\displaystyle ={\frac {v^{2}}{2}}(\บางส่วน ^{\mu }\theta )(\บางส่วน _{\mu }\theta )-m^{2}v^{2}~.}$

โปรดสังเกตว่าพจน์คงที่${\displaystyle m^{2}v^{2}}$ ในความหนาแน่นของลากรางจ์นั้นไม่มีความสำคัญทางกายภาพ และพจน์อื่นในนั้นเป็นเพียงพจน์จลน์ของสเกลาร์ไร้มวล

กระแส U (1) อนุรักษ์ที่เหนี่ยวนำโดยสมมาตร คือ

${\displaystyle J_{\mu }=v^{2}\partial _{\mu }\theta ~.}$

ประจุQที่เกิดจากกระแสนี้จะเปลี่ยนθและสถานะพื้นฐานไปยังสถานะพื้นฐานใหม่ที่เสื่อมสภาพ ดังนั้น สุญญากาศที่มี〈θ〉 = 0จะเปลี่ยนไปเป็นสุญญากาศอื่นที่มี〈θ〉 = εกระแสนี้เชื่อมต่อสุญญากาศเดิมกับสถานะโบซอนของนัมบู-โกลด์สโตน〈0| J (0)| θ〉≠ 0

โดยทั่วไป ในทฤษฎีที่มีฟิลด์สเกลาร์หลายฟิลด์ϕ โหมด Nambu–Goldstone ϕ จะไม่มีมวลและกำหนดพารามิเตอร์เส้นโค้งของสถานะสุญญากาศที่เป็นไปได้ (เสื่อมสภาพ) จุดเด่นของมันภายใต้การแปลงสมมาตรที่แตกหักคือค่าคาดหวังสุญญากาศที่ไม่เป็นศูนย์〈δϕ 〉ซึ่งเป็นพารามิเตอร์ลำดับสำหรับค่า〈ϕ 〉 = 0 ที่เป็นศูนย์ ณ สถานะพื้นฐานบางสถานะ |0〉 ที่เลือกไว้ที่จุดต่ำสุดของศักยภาพ 〈∂ V /∂ ϕ 〉 = 0โดยหลักการแล้ว สุญญากาศควรเป็นจุดต่ำสุดของศักยภาพที่มีประสิทธิภาพซึ่งคำนึงถึงผลกระทบควอนตัม อย่างไรก็ตาม มันเท่ากับศักยภาพแบบคลาสสิกในการประมาณค่าครั้งแรก สมมาตรกำหนดให้การเปลี่ยนแปลงทั้งหมดของศักยภาพเมื่อเทียบกับฟิลด์ในทิศทางสมมาตรทั้งหมดเป็นศูนย์ ค่าสุญญากาศของการเปลี่ยนแปลงอันดับแรกในทิศทางใด ๆ จะเป็นศูนย์ดังที่ได้กล่าวไปแล้ว ในขณะที่ค่าสุญญากาศของการเปลี่ยนแปลงอันดับที่สองก็ต้องเป็นศูนย์เช่นกัน ดังต่อไปนี้ ค่าสุญญากาศที่หายไปของการเปลี่ยนแปลงสมมาตรของสนามไม่ได้ให้ข้อมูลใหม่ใดๆ เพิ่มเติม

ในทางตรงกันข้ามความคาดหวังสุญญากาศที่ไม่เป็นศูนย์ของส่วนเพิ่มการแปลง , 〈δϕ 〉ระบุเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะศูนย์ที่เกี่ยวข้อง (โกลด์สโตน) ของเมทริกซ์มวล

และด้วยเหตุนี้จึงได้ค่าไอเกนที่มีมวลเป็นศูนย์ที่สอดคล้องกัน

ทฤษฎีบทของโกลด์สโตนเวอร์ชันหนึ่งยังใช้ได้กับทฤษฎีที่ไม่ใช่สัมพัทธภาพด้วย^{[ 19 ] [ 20 ]}โดยพื้นฐานแล้วระบุว่า สำหรับแต่ละสมมาตรที่ถูกทำลายโดยธรรมชาติ จะมีอนุภาคเสมือน บางตัวที่สอดคล้องกัน ซึ่งโดยทั่วไปจะเป็นโบซอนและไม่มีช่องว่างพลังงานในสสารควบแน่น โบซอนโกลด์สโตนเหล่านี้ยังเรียกว่าโหมดไร้ช่องว่าง (เช่น สถานะที่ความสัมพันธ์การกระจายพลังงานเป็นเช่นนี้)${\displaystyle E\propto p^{n}}$และมีค่าเป็นศูนย์สำหรับ${\displaystyle p=0}$) เวอร์ชันที่ไม่เกี่ยวข้องกับสัมพัทธภาพของอนุภาคไร้มวล (เช่น โฟตอน ซึ่งความสัมพันธ์การกระจายตัวก็คือ )${\displaystyle E=pc}$และศูนย์สำหรับ${\displaystyle p=0}$) โปรดทราบว่าพลังงานในกรณีสสารควบแน่นที่ไม่เกี่ยวข้องกับสัมพัทธภาพคือH − μN − α → ⋅ P →และไม่ใช่Hอย่างที่ควรจะเป็นในกรณีสัมพัทธภาพ อย่างไรก็ตาม ตัวสร้างที่ถูกทำลายโดยธรรมชาติสองแบบที่แตกต่างกันอาจทำให้เกิดโบซอนนัมบู-โกลด์สโตนตัวเดียวกันได้

ตัวอย่างแรกคือ แอนติเฟอร์โรแมกเนตมีโกลด์สโตนโบซอน 2 ตัว เฟอร์โรแมกเนตมีโกลด์สโตนโบซอน 1 ตัว โดยในทั้งสองกรณีเรากำลังทำลายสมมาตรจาก SO(3) ไปเป็น SO(2) สำหรับแอนติเฟอร์โรแมกเนต การกระจายตัวคือ${\displaystyle E\propto p}$และค่าคาดหวังของสถานะพื้นฐานเป็นศูนย์ สำหรับเฟอร์โรแมกเนติกนั้น การกระจายตัวจะเป็น${\displaystyle E\propto p^{2}}$และค่าคาดหวังของสถานะพื้นฐานไม่ใช่ศูนย์ กล่าวคือมีสมมาตรที่ถูกทำลายโดยธรรมชาติสำหรับสถานะพื้นฐาน^{[ 21 ] [ 22 ]}

ตัวอย่างที่สอง ในของไหลยิ่งยวดทั้งสมมาตรจำนวนอนุภาคU(1) และ สมมาตรกาลิเลียนจะถูกทำลายโดยธรรมชาติ อย่างไรก็ตามโฟนอนเป็นโบซอนโกลด์สโตนสำหรับทั้งสอง^{[ 23 ] [ 24 ]}

นอกจากนี้ ในส่วนของการทำลายสมมาตร ยังมีความคล้ายคลึงกันอย่างใกล้ชิดระหว่างโหมดไร้ช่องว่างในสสารควบแน่นและโบซอนฮิกส์ เช่น ในการเปลี่ยนเฟสจากพาราแมกเนตเป็นเฟอร์โรแมกเนต^{[ 25 ] [ 26 ]}

ตรงกันข้ามกับกรณีของการแตกหักของสมมาตรภายใน เมื่อสมมาตรของปริภูมิเวลา เช่นสมมาตรลอเรนซ์สมมาตรคอนฟอร์มอล สมมาตรการหมุน หรือสมมาตรการเลื่อน ถูกทำลาย พารามิเตอร์ลำดับไม่จำเป็นต้องเป็นฟิลด์สเกลาร์ แต่อาจเป็นฟิลด์เทนเซอร์ และจำนวนโหมดไร้มวลอิสระอาจน้อยกว่าจำนวนตัวสร้างที่ถูกทำลายโดยธรรมชาติ สำหรับทฤษฎีที่มีพารามิเตอร์ลำดับ${\displaystyle \langle \phi ({\boldsymbol {r}})\rangle }$ซึ่งทำให้สมมาตรของกาลอวกาศแตกสลายไปเอง จำนวนตัวสร้างที่ถูกทำลาย${\displaystyle T^{a}}$ลบด้วยจำนวนคำตอบอิสระที่ไม่ใช่คำตอบพื้นฐาน${\displaystyle c_{a}({\boldsymbol {r}})}$ถึง

${\displaystyle c_{a}({\boldsymbol {r}})T^{a}\langle \phi ({\boldsymbol {r}})\rangle =0}$

คือจำนวนโหมดโกลด์สโตนที่เกิดขึ้น^{[ 27 ]}สำหรับสมมาตรภายใน สมการข้างต้นไม่มีคำตอบที่ไม่เป็นศูนย์ ดังนั้นทฤษฎีบทโกลด์สโตนตามปกติจึงใช้ได้ เมื่อมีคำตอบอยู่ นั่นเป็นเพราะโหมดโกลด์สโตนมีความสัมพันธ์เชิงเส้นระหว่างกัน โดยที่โหมดที่ได้สามารถแสดงเป็นเกรเดียนต์ของโหมดอื่นได้ เนื่องจากความขึ้นอยู่ของคำตอบกับปริภูมิเวลา${\displaystyle c_{a}({\boldsymbol {r}})}$อยู่ในทิศทางของตัวสร้างที่ไม่ขาดตอน เมื่อตัวสร้างการแปลทั้งหมดขาดตอน จะไม่มีวิธีแก้ปัญหาที่ไม่ใช่แบบธรรมดา และจำนวนโหมดโกลด์สโตนจะเท่ากับจำนวนตัวสร้างที่ขาดตอนอีกครั้ง

โดยทั่วไป โฟนอนคือโบซอนนัมบู-โกลด์สโตนที่มีประสิทธิภาพสำหรับสมมาตรการ แปลที่ถูกทำลายโดยธรรมชาติ ^{[ 28 ]}