ให้Xเป็นกราฟระบุทิศทางที่มี 3 จุดยอด{x, y, z}และ 4 เส้นเชื่อม{a: x → y, b: y → z, c: z → x, d: z → x}โดยมีวัฏจักรหลายวัฏจักร ดังนี้ :

• หนึ่งวัฏจักรแสดงด้วยลูป a+b+c โดยเครื่องหมายบวกแสดงว่าขอบทุกด้านเดินทางไปในทิศทางเดียวกัน เนื่องจากการดำเนินการบวกเป็นการสลับที่ได้ เครื่องหมาย + จึงแสดงว่าลูป a + b + c, b + c + a และ c + a + b ล้วนเป็นวัฏจักรเดียวกัน
• วัฏจักรที่สองแสดงด้วยลูป a + b + d
• วงจรที่สามแสดงด้วยลูป c − d โดยที่เครื่องหมายลบแสดงว่าขอบ d ถูกเดินทางย้อนกลับ

ถ้าเราตัดระนาบตามเส้นโค้ง a + b + d แล้วตัดที่ c และ "เชื่อม" ที่ d เราจะได้การตัดตามเส้นโค้ง a + b + c ซึ่งสามารถแสดงได้ด้วยความสัมพันธ์ต่อไปนี้: (a + b + d) + (c − d) = (a + b + c) เพื่อกำหนดความสัมพันธ์นี้อย่างเป็นทางการ เราจึงกำหนดกลุ่มสลับที่ต่อไปนี้:

• C คือกลุ่มอาเบเลียนอิสระที่สร้างขึ้นจากเซตของจุดยอด{x, y, z}แต่ละสมาชิกของC เรียกว่า โซ่ มิติศูนย์
• C คือกลุ่มอาเบเลียนอิสระที่สร้างขึ้นจากเซตของขอบที่มีทิศทาง {a,b,c,d} แต่ละสมาชิกของC เรียกว่าโซ่หนึ่งมิติวงจรทั้งสามที่กล่าวถึงข้างต้นเป็นโซ่หนึ่งมิติ และความสัมพันธ์ (a + b + d) + (c − d) = (a + b + c) ก็เป็นจริงในกลุ่มC ด้วย

องค์ประกอบส่วนใหญ่ของC ไม่ใช่วัฏจักร ตัวอย่างเช่น a + b, 2a + 5b − c เป็นต้น ไม่ใช่วัฏจักร ในการกำหนดวัฏจักรอย่างเป็นทางการ เราต้องกำหนดขอบเขต ก่อน ขอบเขตของขอบจะถูกแทนด้วย${\displaystyle \partial _{1}}$ตัวดำเนินการและถูกกำหนดให้เป็นเป้าหมายลบด้วยแหล่งที่มา ดังนั้น${\displaystyle \partial _{1}(a)=yx,~\partial _{1}(b)=zy,~\partial _{1}(c)=\partial _{1}(d)=xz.}$ดังนั้น${\displaystyle \partial _{1}}$เป็นการแมปจากกลุ่มC ไปยังกลุ่มC เนื่องจาก a, b, c, d เป็นตัวสร้างของC ดังนั้น${\displaystyle \partial _{1}}$โดยธรรมชาติแล้วจะขยายไปสู่โฮโมมอร์ฟิซึมกลุ่มจากC ไปยังC ในโฮโมมอร์ฟิซึมนี้${\displaystyle \partial _{1}(a+b+c)=\partial _{1}(a)+\partial _{1}(b)+\partial _{1}(c)=(yx)+(zy)+(xz)=0}$ในทำนองเดียวกัน${\displaystyle \partial _{1}}$แมปวัฏจักรใดๆ ในC ไปยังองค์ประกอบศูนย์ของC กล่าวอีกนัยหนึ่ง เซตของวัฏจักรในC สร้างปริภูมิว่าง (เคอร์เนล)ของ${\displaystyle \partial _{1}}$ในกรณีนี้ แกนหลักของ${\displaystyle \partial _{1}}$มีตัวสร้างสองตัว ตัวหนึ่งสอดคล้องกับ a + b + c และอีกตัวหนึ่งสอดคล้องกับ a + b + d (วัฏจักรที่สาม c − d เป็นผลรวมเชิงเส้นของสองวัฏจักรแรก) ดังนั้น${\displaystyle \ker \partial _{1}}$มีโครงสร้างเหมือนกับZ ²

ในปริภูมิโทโพโลยีทั่วไป เราจะกำหนดโซ่ที่มีมิติสูงกว่า โดยเฉพาะอย่างยิ่งC จะเป็นกลุ่มอาเบเลียนอิสระบนเซตของวัตถุ 2 มิติ อย่างไรก็ตาม ในกราฟไม่มีวัตถุดังกล่าว ดังนั้นC จึงเป็นกลุ่มที่ไม่มีนัยสำคัญ ดังนั้น ภาพของตัวดำเนินการขอบเขตที่สอง ${\displaystyle \partial _{2}}$เรื่องนี้ก็เป็นเรื่องเล็กน้อยเช่นกัน ดังนั้น:$${\displaystyle H_{1}(X)=\ker \partial _{1}{\big /}\operatorname {im} \partial _{2}\cong \mathbb {Z} ^{2}/\mathbb {Z} ^{0}=\mathbb {Z} ^{2}}$$สิ่งนี้สอดคล้องกับข้อเท็จจริงโดยสัญชาตญาณที่ว่ากราฟมี "รู" สองรู เลขชี้กำลังคือจำนวนรู

ตัวอย่างข้างต้นสามารถขยายความทั่วไปไปยังกราฟเชื่อม ต่อใดๆ G = ( V , E ) ให้Tเป็นต้นไม้แผ่คลุมของGขอบทุกขอบในE \ Tสอดคล้องกับวัฏจักร ซึ่งก็คือวัฏจักรที่เป็นอิสระเชิงเส้น นั่นเอง ดังนั้น กลุ่มโฮโมโลยีแรกH ของกราฟ จึง เป็นกลุ่มอาเบเลียนอิสระที่มี ตัวสร้าง | E \ T |ตัว จำนวนนี้เท่ากับ| E | − | V | + 1 ดังนั้น: ^{[ 1 ]}$${\displaystyle H_{1}(X)\cong \mathbb {Z} ^{|E|-|V|+1}.}$$ในกราฟที่ไม่เชื่อมต่อกัน เมื่อCคือเซตของส่วนประกอบที่เชื่อมต่อกัน การคำนวณที่คล้ายกันจะแสดงให้เห็นว่า:$${\displaystyle H_{1}(X)\cong \mathbb {Z} ^{|E|-|V|+|C|}.}$$โดยเฉพาะอย่างยิ่ง กลุ่มแรกจะเป็นกลุ่มที่ไม่สำคัญก็ต่อเมื่อX เป็นป่าเท่านั้น

กลับมาที่กราฟที่มี 3 จุดยอด{x, y, z}และ 4 ขอบ{a: x → y, b: y → z, c: z → x, d: z → x}จำได้ว่ากลุ่มC ถูกสร้างขึ้นจากเซตของจุดยอด เนื่องจากไม่มีองค์ประกอบมิติ (−1) ดังนั้นกลุ่มC จึงเป็นกลุ่มที่ไม่มีสมาชิกอื่น และด้วยเหตุนี้กลุ่มC ทั้งหมด จึงเป็นแกนหลักของตัวดำเนินการขอบเขตที่สอดคล้องกัน:${\displaystyle \ker \partial _{0}=C_{0}}$= กลุ่มอาเบเลียนอิสระที่สร้างขึ้นโดย{x, y, z}

ภาพของ${\displaystyle \partial _{1}}$ประกอบด้วยองค์ประกอบสำหรับแต่ละคู่ของจุดยอดที่เป็นขอบเขตของขอบ กล่าวคือ สร้างขึ้นจากผลต่าง{y − x, z − y, x − z}ในการคำนวณกลุ่มผลหารนั้น สะดวกที่จะนึกถึงองค์ประกอบทั้งหมดของ ${\displaystyle \operatorname {im} \partial _{1}}$ในฐานะ "เทียบเท่ากับศูนย์" ซึ่งหมายความว่า x, y และ z เทียบเท่ากัน – พวกมันอยู่ในชั้นความเทียบเท่า เดียวกัน ของผลหาร กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ${\displaystyle H_{0}(X)}$ถูกสร้างขึ้นโดยองค์ประกอบเดียว (จุดยอดใดก็ได้สามารถสร้างมันได้) ดังนั้นมันจึงสมมาตรกับZ

ตัวอย่างข้างต้นสามารถนำไปใช้กับกราฟเชื่อมต่อ ใดๆ ก็ได้ โดยเริ่มจากจุดยอดใดๆ ก็สามารถไปยังจุดยอดอื่นๆ ได้โดยการเพิ่มนิพจน์ที่สอดคล้องกับขอบอย่างน้อยหนึ่งนิพจน์ (เช่น เริ่มจาก x สามารถไปยัง z ได้โดยการเพิ่ม y − x และ z − y) เนื่องจากองค์ประกอบของ${\displaystyle \operatorname {im} \partial _{1}}$ถ้าค่าทั้งหมดเท่ากับศูนย์ นั่นหมายความว่าจุดยอดทั้งหมดของกราฟอยู่ในชั้นสมมูลเดียวกัน และดังนั้น${\displaystyle H_{0}(X)}$มีโครงสร้างเหมือนกับZ

โดยทั่วไป กราฟสามารถมีส่วนประกอบที่เชื่อมต่อกัน ได้หลายส่วน ให้Cเป็นเซตของส่วนประกอบเหล่านั้น ดังนั้น ส่วนประกอบที่เชื่อมต่อกันทุกส่วนจะเป็นชั้นสมมูลในกลุ่มผลหาร ดังนั้น:$${\displaystyle H_{0}(X)\cong \mathbb {Z} ^{|C|}.}$$สามารถสร้างได้จากทูเปิล| C |ใดๆ ของจุดยอด โดยแต่ละจุดยอดมาจากส่วนประกอบแต่ละส่วน

บ่อยครั้งที่สะดวกที่จะสมมติว่าโฮโมโลยีลำดับที่ 0 ของกราฟเชื่อมต่อเป็นโฮโมโลยีที่ไม่สำคัญ (ดังนั้น ถ้ากราฟมีจุดเพียงจุดเดียว โฮโมโลยีทั้งหมดของกราฟนั้นก็จะเป็นโฮโมโลยีที่ไม่สำคัญ) ซึ่งนำไปสู่คำนิยามของโฮโมโลยีแบบลดรูป สำหรับกราฟหนึ่ง โฮโมโลยีลำดับที่ 0 แบบลดรูปคือ:$${\displaystyle {\tilde {H_{0}}}(X)\cong \mathbb {Z} ^{|C|-1}.}$$การ "ลดขนาด" นี้มีผลเฉพาะกับโฮโมโลจีลำดับที่ 0 เท่านั้น โฮโมโลจีที่ลดขนาดลงในมิติที่สูงกว่าจะเท่ากับโฮโมโลจีมาตรฐาน

ในกราฟตัวอย่างข้างต้น เราสามารถเพิ่ม "เซลล์" สองมิติที่ล้อมรอบระหว่างขอบ c และ d ได้ สมมติให้เซลล์นี้เป็น A และกำหนดให้มีทิศทางตามเข็มนาฬิกา กำหนดให้เป็นกลุ่มอาเบเลียนอิสระที่สร้างขึ้นจากเซตของเซลล์สองมิติ ซึ่งในกรณีนี้คือเซตที่มีสมาชิกเพียงตัวเดียวA}แต่ละสมาชิกของC₂เรียกว่าโซ่สองมิติ

เช่นเดียวกับตัวดำเนินการขอบเขตจากC ไปยังC ซึ่งเราใช้สัญลักษณ์แทนด้วย${\displaystyle \partial _{1}}$มีตัวดำเนินการขอบเขตจากC ไปยังC ซึ่งเราใช้สัญลักษณ์แทนด้วย${\displaystyle \partial _{2}}$โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ขอบเขตของเซลล์ 2 มิติ A คือขอบ 1 มิติ c และ d โดยที่ c อยู่ในทิศทางที่ "ถูกต้อง" และ d อยู่ในทิศทางที่ "กลับกัน" ดังนั้น:${\displaystyle \partial _{2}(A)=cd}$ลำดับของโซ่และตัวดำเนินการขอบเขตสามารถนำเสนอได้ดังนี้:$${\displaystyle C_{2}\xrightarrow {\partial _{2}} C_{1}\xrightarrow {\partial _{1}} C_{0}}$$การเพิ่มเซลล์ 2 มิติ A หมายความว่าขอบเขตของมัน c − d ไม่ได้แสดงถึงรูอีกต่อไป (มันเป็นโฮโมโทปิกกับจุดเดียว) ดังนั้น กลุ่มของ "รู" จึงมีตัวสร้างเพียงตัวเดียว นั่นคือ a + b + c (มันเป็นโฮโมโทปิกกับ a+b+d) กลุ่มโฮโมโลยีกลุ่มแรกจึงถูกกำหนดให้เป็นกลุ่มผลหาร :$${\displaystyle H_{1}(X):=\ker \partial _{1}{\big /}\operatorname {im} \partial _{2}}$$ที่นี่,${\displaystyle \ker \partial _{1}}$เป็นกลุ่มของวัฏจักร 1 มิติ ซึ่งมีโครงสร้างเหมือนกับZ ²และ${\displaystyle \ชื่อผู้ดำเนินการ {im} \บางส่วน _{2}}$คือกลุ่มของวัฏจักร 1 มิติที่เป็นขอบเขตของเซลล์ 2 มิติ ซึ่งมีโครงสร้างเหมือนกับZดังนั้น ผลหารH ของพวกมัน จึงมีโครงสร้างเหมือนกับZซึ่งสอดคล้องกับข้อเท็จจริงที่ว่าXตอนนี้มีรูเดียว ก่อนหน้านี้ ภาพของ${\displaystyle \partial _{2}}$เป็นกลุ่มที่ไม่สำคัญดังนั้นผลหารจึงเท่ากับ${\displaystyle \ker \partial _{1}}$สมมติว่าตอนนี้เราเพิ่มเซลล์ 2 มิติที่มีทิศทางอีกเซลล์หนึ่ง B ระหว่างขอบ c และ d โดยที่${\displaystyle \partial _{2}(\mathrm {B} )=\partial _{2}(\mathrm {A} )=cd}$ตอนนี้C คือกลุ่มอาเบเลียนอิสระที่สร้างขึ้นโดย{A, B}สิ่งนี้ไม่เปลี่ยนแปลงH – มันยังคงสมมาตรกับZ ( Xยังคงมีรูมิติเดียว) แต่ตอนนี้C ประกอบด้วยวัฏจักรสองมิติ A − B ดังนั้น${\displaystyle \partial _{2}}$มีแกนกลางที่ไม่ธรรมดา วงจรนี้สร้างกลุ่มโฮโมโลยีที่สอง ซึ่งสอดคล้องกับข้อเท็จจริงที่ว่ามีรูสองมิติเพียงรูเดียว:$${\displaystyle H_{2}(X):=\ker \partial _{2}\cong \mathbb {Z} }$$เราสามารถดำเนินการต่อและเพิ่มเซลล์ 3 เซลล์ ซึ่งเป็นวัตถุสามมิติที่เป็นของแข็ง (เรียกว่า C) ที่ถูกล้อมรอบด้วย A และ B กำหนดให้C เป็นกลุ่มอาเบเลียนอิสระที่สร้างขึ้นโดย{C}และตัวดำเนินการขอบเขต${\displaystyle \partial _{3}:C_{3}\to C_{2}}$เราสามารถกำหนดทิศทางของ C ได้ดังนี้${\displaystyle \partial _{3}(\mathrm {C} )=\mathrm {A} -\mathrm {B} }$; โปรดสังเกตว่าขอบเขตของ C เป็นวัฏจักรในC ตอนนี้กลุ่มโฮโมโลยีที่สองคือ:$${\displaystyle H_{2}(X):=\ker \partial _{2}{\big /}\operatorname {im} \partial _{3}\cong {0}}$$ซึ่งสอดคล้องกับข้อเท็จจริงที่ว่าไม่มีช่องว่างสองมิติ (C "เติมเต็มช่องว่าง" ระหว่าง A และ B)

โดยทั่วไป เราสามารถกำหนดสายโซ่ที่มีมิติใดก็ได้ หากมิติสูงสุดของสายโซ่คือkเราจะได้ลำดับของกลุ่มดังต่อไปนี้:$${\displaystyle C_{k}\xrightarrow {\partial _{k}} C_{k-1}\cdots C_{1}\xrightarrow {\partial _{1}} C_{0}}$$สามารถพิสูจน์ได้ว่าขอบเขตใดๆ ของเซลล์มิติ ( k + 1) เป็น วัฏจักรมิติ kกล่าวอีกนัยหนึ่งคือ สำหรับk ใด ๆ${\displaystyle \ชื่อผู้ดำเนินการ {im} \บางส่วน _{k+1}}$(กลุ่มของขอบเขตที่มีk + 1 องค์ประกอบ) บรรจุอยู่ใน${\displaystyle \ker \partial _{k}}$(กลุ่มของ วัฏจักร kมิติ) ดังนั้น ผลหาร${\displaystyle \ker \partial _{k}{\big /}\operatorname {im} \partial _{k+1}}$มีนิยามที่ชัดเจน และนิยามว่าเป็น กลุ่มโฮโมโลจีลำดับที่ k :$${\displaystyle H_{k}(X):=\ker \partial _{k}{\big /}\operatorname {im} \partial _{k+1}}$$