กลไกสี่ข้อต่อ

ในการศึกษากลไก กลไก สี่แท่งหรือที่เรียกว่าสี่แท่งเป็นกลไกเชื่อมโยงแบบปิด ที่เคลื่อนที่ได้ง่ายที่สุด ประกอบด้วยตัว สี่ตัว เรียกว่าแท่งหรือข้อต่อเชื่อมต่อกันเป็นวงด้วยข้อต่อ สี่ข้อ โดยทั่วไป ข้อต่อจะถูกจัดเรียงเพื่อให้ข้อต่อเคลื่อนที่ในระนาบขนานกัน และชุดประกอบนี้เรียกว่ากลไกสี่แท่งแบบระนาบ กลไกสี่แท่งแบบทรงกลมและแบบสามมิติก็มีอยู่และใช้งานจริงเช่นกัน^[¹^]

กลไกสี่บาร์แบบระนาบ

กลไกสี่ข้อต่อแบบระนาบสร้างขึ้นจากข้อต่อสี่ชิ้นที่เชื่อมต่อกันเป็นวงด้วยข้อต่อแบบหนึ่งองศาอิสระ สี่ ข้อ ข้อต่ออาจเป็นข้อต่อแบบหมุน – หรือที่รู้จักกันในชื่อข้อต่อแบบหมุดหรือข้อต่อแบบบานพับ – ซึ่งแทนด้วย R หรือข้อต่อแบบเลื่อน – หรือที่รู้จักกันในชื่อข้อต่อแบบคู่ – ซึ่งแทนด้วย P ^{[หมายเหตุ 1 ]}

ชิ้นส่วนที่ยึดอยู่กับที่เมื่อเทียบกับผู้มองเรียกว่าชิ้นส่วนยึดกับพื้น (ground link) ชิ้นส่วนที่เชื่อมต่อกับพื้นด้วยข้อต่อแบบหมุนได้ที่สามารถหมุนได้ครบหนึ่งรอบเรียกว่าชิ้นส่วนข้อเหวี่ยง (crank link ) ชิ้นส่วนที่เชื่อมต่อกับพื้นด้วยข้อต่อแบบหมุนได้ที่ไม่สามารถหมุนได้ครบหนึ่งรอบเรียกว่า ชิ้นส่วนโยก (rocker link) ชิ้นส่วนที่เชื่อมต่อกับเส้นพื้นด้วยข้อต่อแบบเลื่อน (prismatic joint) เรียกว่า ตัวเลื่อน (slider) บางครั้งตัวเลื่อนก็ถูกพิจารณาว่าเป็นข้อเหวี่ยงที่มีจุดหมุนแบบบานพับที่ระยะห่างอนันต์ในแนวตั้งฉากกับการเคลื่อนที่ของตัวเลื่อน ชิ้น ส่วนที่เชื่อมต่อกับชิ้นส่วนอื่นสองชิ้นเรียกว่าชิ้นส่วนลอยตัว (floating link)หรือตัวเชื่อมต่อ (coupler) ตัวเชื่อมต่อที่เชื่อมต่อข้อเหวี่ยงและตัวเลื่อนในกลไกข้อเหวี่ยงและตัวเลื่อนเดี่ยว มักเรียกว่าก้านเชื่อมต่อ (connecting rod )อย่างไรก็ตาม คำนี้ยังถูกใช้เพื่ออ้างถึงตัวเชื่อมต่อทุกประเภทด้วย

กลไกเชื่อมโยงสี่ข้อต่อแบบระนาบมีสามประเภทพื้นฐาน ขึ้นอยู่กับการใช้ข้อต่อแบบหมุนหรือแบบเลื่อน:

กลไกข้อต่อหมุนสี่จุด: ใช้สัญลักษณ์ RRRR ประกอบด้วยชิ้นส่วนสี่ชิ้นที่เชื่อมต่อกันด้วยข้อต่อหมุนสี่จุดกลไกแบบสี่เหลี่ยมระนาบหมายถึงการจัดเรียงทุกรูปแบบนี้ตัวอย่างของกลไก 4R ได้แก่:
- กลไกข้อเหวี่ยงคู่
- กลไกข้อเหวี่ยง-โยก (แบบเหยียบ) (ใช้ในปั๊มสูบน้ำ )
- กลไกโยกคู่ (ใช้ในระบบบังคับเลี้ยวแบบแอคเคอร์แมน )
- กลไกเชื่อมโยง แบบสี่เหลี่ยมด้านขนาน (การเคลื่อนที่แบบขนาน^{[หมายเหตุ 2 ]} ) และแบบสี่เหลี่ยมด้านตรงข้าม (สี่เหลี่ยมด้านขนานกลับ, สี่เหลี่ยมด้านขนานผกผัน, สี่เหลี่ยมผีเสื้อ, สี่เหลี่ยมผูกโบว์)
- การเชื่อมต่อเดลทอยด์ (แกลโลเวย์) และแทรพีเซียม (อาร์กลิน)
กลไกข้อต่อหมุนสามข้อ: ใช้สัญลักษณ์ RRRP, PRRR, RPRR หรือ RRPR ประกอบด้วยชิ้นส่วนสี่ชิ้นที่เชื่อมต่อกันด้วยข้อต่อหมุนสามข้อและข้อต่อเลื่อนหนึ่งข้อ กลไกข้อเหวี่ยงเลื่อน (RRRP) เป็นรูปแบบหนึ่งที่ชิ้นส่วนหนึ่งเป็นข้อเหวี่ยง ซึ่งเชื่อมต่อกับตัวเลื่อนด้วยก้านเชื่อมต่อ กลไกข้อเหวี่ยงเลื่อนกลับด้านเป็นอีกรูปแบบหนึ่งที่มีข้อเหวี่ยงสองข้อโดยมีตัวเลื่อนทำหน้าที่เป็นตัวเชื่อมต่อตัวอย่างของกลไก 3R1P ได้แก่:
- กลไกข้อเหวี่ยงแบบเลื่อนเดี่ยว (ใช้ในเครื่องยนต์สันดาปภายใน )
- กลไก Whitworth Quick Return (ใช้ในเครื่องขึ้นรูปโลหะ รุ่นแรกๆ )
- กลไกข้อเหวี่ยงและคันโยกแบบมีร่องเพื่อคืนตัวอย่างรวดเร็ว (ใช้ในเครื่องขึ้นรูป)
- กลไกแบบลูกสูบคงที่ (ใช้ในปั๊มมือ )
ข้อต่อหมุนสองข้อและข้อต่อเลื่อนสองข้อ: เรียกว่า PRRP ^{[ 2 ]}และสร้างขึ้นโดยการเชื่อมต่อตัวเลื่อนสองตัวด้วยข้อต่อเชื่อม ตัวเลื่อนคู่หมายถึงการจัดเรียงทั้งหมดในประเภทนี้ตัวอย่างของกลไก 2R2P ได้แก่:
- เครื่องมือวัดระยะของอาร์คิมีดีส (เครื่องมือวัดระยะรูปวงรี)
- กลไก แอกสก็อต (ข้อต่อแบบมีร่อง) (ใช้ในตัวขับวาล์ว )
- การจับคู่ของโอลด์แฮม

กลไกสี่ข้อต่อระนาบสามารถออกแบบมาเพื่อนำทางการเคลื่อนที่ได้หลากหลายรูปแบบ และมักเป็นกลไก พื้นฐาน ที่พบในเครื่องจักร หลายชนิด ด้วยเหตุนี้จลศาสตร์และพลศาสตร์ของกลไกสี่ข้อต่อระนาบจึงเป็นหัวข้อสำคัญในวิศวกรรมเครื่องกลเช่น กัน

การเชื่อมโยงรูปสี่เหลี่ยมระนาบ

กลไกแบบสี่เหลี่ยมระนาบ RRRR หรือกลไก 4R มีข้อต่อหมุนได้สี่ข้อ โดยปกติแล้วจะมีข้อต่อหนึ่งข้อที่ยึดอยู่กับที่ เรียกว่าข้อต่อพื้นข้อต่อคงที่หรือโครง ข้อต่อสองข้อที่เชื่อมต่อกับโครงเรียกว่าข้อต่อที่ต่อกับพื้นและโดยทั่วไปจะเป็นข้อต่อขาเข้าและขาออกของระบบ บางครั้งเรียกว่าข้อต่อขาเข้าและข้อต่อขาออกข้อต่อสุดท้ายเป็นข้อต่อลอยตัวซึ่งเรียกอีกอย่างว่าตัวเชื่อมต่อหรือก้านเชื่อมต่อเพราะทำหน้าที่เชื่อมต่อขาเข้ากับขาออก

หากสมมติว่าเฟรมอยู่ในแนวนอน จะมีความเป็นไปได้สี่ประการสำหรับลิงก์อินพุตและเอาต์พุต: ^{[ 2 ]}

ข้อเหวี่ยง: สามารถหมุนได้ 360 องศาเต็ม
ก้านโยก: สามารถหมุนได้ในมุมที่จำกัด ซึ่งไม่รวม 0° หรือ 180°
จอยสติ๊กแบบ 0 องศา: สามารถหมุนได้ในช่วงมุมจำกัด ซึ่งรวมถึง 0 องศา แต่ไม่สามารถหมุนได้ถึง 180 องศา
จอยสติ๊กแบบ π: สามารถหมุนได้ในช่วงมุมจำกัด ซึ่งรวมถึง 180° แต่ไม่สามารถหมุนที่ 0° ได้

ผู้เขียนบางคนไม่ได้แยกแยะความแตกต่างระหว่างประเภทของเก้าอี้โยก

สภาวะกราสฮอฟ

เงื่อนไขของกราสฮอฟสำหรับกลไกสี่ข้อต่อระบุว่า: ถ้าผลรวมของข้อต่อที่สั้นที่สุดและยาวที่สุดของกลไกสี่เหลี่ยมระนาบมีค่าน้อยกว่าหรือเท่ากับผลรวมของข้อต่ออีกสองข้อที่เหลือ ข้อต่อที่สั้นที่สุดจะสามารถหมุนได้เต็มรอบเมื่อเทียบกับข้อต่อข้างเคียง กล่าวอีกนัยหนึ่ง เงื่อนไขนี้จะเป็นจริงถ้าS + L ≤ P + Qโดยที่Sคือข้อต่อที่สั้นที่สุดLคือข้อต่อที่ยาวที่สุด และPกับQคือข้อต่ออื่นๆ

การจำแนกประเภท

การเคลื่อนที่ของกลไกรูปสี่เหลี่ยมสามารถจำแนกได้เป็นแปดกรณีตามขนาดของชิ้นส่วนทั้งสี่ ให้ a, b, g และ h แทนความยาวของข้อเหวี่ยงขาเข้า ข้อเหวี่ยงขาออก ชิ้นส่วนยึดกับพื้น และชิ้นส่วนลอยตัว ตามลำดับ จากนั้น เราสามารถสร้างพจน์ทั้งสามได้ดังนี้:

T_{1}=g+hab

;

T_{2}=b+gah

;

T_{3}=b+hag

.

การเคลื่อนที่ของกลไกรูปสี่เหลี่ยมสามารถจำแนกได้เป็นแปดประเภทตามค่าบวกและค่าลบของเทอมทั้งสามนี้ T ¹ T และ T ^[² ]

$T_{1}$	$T_{2}$	$T_{3}$	สภาวะกราสฮอฟ	ลิงก์อินพุต	ลิงก์เอาต์พุต
−	−	+	กราชอฟ	ข้อเหวี่ยง	ข้อเหวี่ยง
+	+	+	กราชอฟ	ข้อเหวี่ยง	ร็อคเกอร์
+	−	−	กราชอฟ	ร็อคเกอร์	ข้อเหวี่ยง
−	+	−	กราชอฟ	ร็อคเกอร์	ร็อคเกอร์
−	−	−	ไม่ใช่กราชอฟ	โอ-ร็อคเกอร์	โอ-ร็อคเกอร์
−	+	+	ไม่ใช่กราชอฟ	π-ร็อคเกอร์	π-ร็อคเกอร์
+	−	+	ไม่ใช่กราชอฟ	π-ร็อคเกอร์	โอ-ร็อคเกอร์
+	+	−	ไม่ใช่กราชอฟ	โอ-ร็อคเกอร์	π-ร็อคเกอร์

กรณี T = 0, T = 0 และ T = 0 นั้นน่าสนใจเพราะการเชื่อมโยงจะพับ หากเราแยกแยะการเชื่อมโยงรูปสี่เหลี่ยมที่พับแล้ว จะมีกรณีที่แตกต่างกัน 27กรณี^{[ 3 ]}

รูปนี้แสดงตัวอย่างกรณีต่างๆ สำหรับกลไกเชื่อมโยงรูปสี่เหลี่ยมด้านเท่าระนาบ^{[ 4 ]}

การกำหนดค่าของกลไกรูปสี่เหลี่ยมสามารถจำแนกได้เป็นสามประเภท ได้แก่ แบบนูน แบบเว้า และแบบไขว้ ในกรณีแบบนูนและแบบเว้า จะไม่มีข้อต่อสองข้อใดไขว้กัน ในกรณีแบบไขว้ ข้อต่อสองข้อจะไขว้กัน ในกรณีแบบนูน มุมภายในทั้งสี่มุมจะมีค่าน้อยกว่า 180 องศา และในการกำหนดค่าแบบเว้า มุมภายในหนึ่งมุมจะมีค่ามากกว่า 180 องศา มีความสัมพันธ์ทางเรขาคณิตอย่างง่ายระหว่างความยาวของเส้นทแยงมุมทั้งสองของรูปสี่เหลี่ยม สำหรับกลไกแบบนูนและแบบไขว้ ความยาวของเส้นทแยงมุมหนึ่งจะเพิ่มขึ้นก็ต่อเมื่ออีกเส้นหนึ่งลดลง ในทางกลับกัน สำหรับกลไกแบบไม่นูนและไม่ไขว้ จะเป็นไปในทางตรงกันข้าม เส้นทแยงมุมหนึ่งจะเพิ่มขึ้นก็ต่อเมื่ออีกเส้นหนึ่งเพิ่มขึ้นด้วย^{[ 5 ]}

การออกแบบกลไกสี่ข้อต่อ

การสังเคราะห์หรือการออกแบบกลไก สี่ข้อต่อ มีความสำคัญเมื่อต้องการสร้างการเคลื่อนที่เอาต์พุตที่ต้องการสำหรับการเคลื่อนที่อินพุตที่เฉพาะเจาะจง เพื่อลดต้นทุนและเพิ่มประสิทธิภาพสูงสุด นักออกแบบจะเลือกกลไกที่ง่ายที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้เพื่อให้ได้การเคลื่อนที่ที่ต้องการ เมื่อเลือกประเภทกลไกที่จะออกแบบ ความยาวของข้อต่อจะต้องถูกกำหนดโดยกระบวนการที่เรียกว่าการสังเคราะห์มิติ การสังเคราะห์มิติเกี่ยวข้องกับ วิธีการ วนซ้ำและวิเคราะห์ซึ่งในบางสถานการณ์อาจเป็นกระบวนการที่ไม่มีประสิทธิภาพ อย่างไรก็ตาม ในสถานการณ์เฉพาะ อาจไม่มีขั้นตอนที่แน่นอนและละเอียดในการออกแบบกลไกที่แม่นยำ^{[ 6 ]}

อัตราส่วนเวลา

อัตราส่วนเวลา ( Q ) ของกลไกสี่แท่งเป็นการวัดการคืนตัวอย่างรวดเร็วและกำหนดไว้ดังนี้: ^{[ 6 ]}

Q={\frac {\text{เวลาของจังหวะที่ช้ากว่า}}{\text{เวลาของจังหวะที่เร็วกว่า}}}\geq 1

กลไกสี่แท่งจะมีสองจังหวะคือ จังหวะไปข้างหน้าและจังหวะกลับ ซึ่งเมื่อรวมกันแล้วจะสร้างเป็นวัฏจักร แต่ละจังหวะอาจเหมือนกันหรือมีความเร็วเฉลี่ยต่างกัน อัตราส่วนเวลาจะกำหนดความเร็วของจังหวะไปข้างหน้าเมื่อเทียบกับจังหวะกลับที่เร็วกว่า เวลาวัฏจักรทั้งหมด ( $) สำหรับ$ กลไกคือ: ^{[ 6 ]}

\Delta t_{\text{cycle}}={\text{เวลาของจังหวะที่ช้ากว่า}}+{\text{เวลาของจังหวะที่เร็วกว่า}}

กลไกสี่บาร์ส่วนใหญ่ขับเคลื่อนด้วยแอคทูเอเตอร์แบบหมุนหรือข้อเหวี่ยงที่ต้องการความเร็วคงที่เฉพาะ ความเร็วที่ต้องการนี้ ( ω ) เกี่ยวข้องกับเวลาของรอบดังต่อไปนี้: ^{[ 6 ]}

\omega _{\text{crank}}=(\Delta t_{\text{cycle}})^{-1}

กลไกบางอย่างที่สร้างการเคลื่อนที่แบบไปกลับหรือแบบซ้ำๆ ได้รับการออกแบบมาเพื่อสร้างการเคลื่อนที่แบบสมมาตร กล่าวคือ จังหวะการเคลื่อนที่ไปข้างหน้าของเครื่องจักรจะเคลื่อนที่ด้วยจังหวะเดียวกับจังหวะการเคลื่อนที่กลับ กลไกเหล่านี้ซึ่งมักเรียกว่า การออกแบบ แบบอินไลน์มักจะทำงานในทั้งสองทิศทาง เนื่องจากออกแรงเท่ากันในทั้งสองทิศทาง^{[ 6 ]}

ตัวอย่างของกลไกการเคลื่อนที่แบบสมมาตร ได้แก่:

ที่ปัดน้ำฝน
กลไกเครื่องยนต์หรือลูกสูบ
ที่หมุนกระจกรถยนต์

การใช้งานอื่นๆ ต้องการให้กลไกที่จะออกแบบมีอัตราเร็วเฉลี่ยในทิศทางหนึ่งเร็วกว่าอีกทิศทางหนึ่ง กลไกประเภทนี้เป็นที่ต้องการมากที่สุดสำหรับการออกแบบเมื่อจำเป็นต้องทำงานในทิศทางเดียวเท่านั้น ความเร็วในการทำงานในจังหวะเดียวนี้ก็มีความสำคัญมากในการใช้งานเครื่องจักรบางประเภท โดยทั่วไปแล้ว จังหวะการกลับและจังหวะที่ไม่ต้องใช้แรงงานมากควรทำให้เสร็จเร็วที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ เพื่อให้เวลาส่วนใหญ่ในแต่ละรอบถูกจัดสรรให้กับจังหวะที่ต้องใช้แรงงานมาก กลไก การกลับอย่างรวดเร็ว เหล่านี้ มักเรียกว่าออฟเซ็ต^{[ 6 ]}

ตัวอย่างของกลไกการชดเชย ได้แก่:

เครื่องตัด
อุปกรณ์เคลื่อนย้ายพัสดุ

ด้วยกลไกออฟเซ็ต สิ่งสำคัญอย่างยิ่งคือต้องเข้าใจว่าออฟเซ็ตส่งผลต่ออัตราส่วนเวลาอย่างไรและในระดับใด ในการเชื่อมโยงเรขาคณิตของการเชื่อมโยงเฉพาะกับจังหวะการเคลื่อนที่ จะใช้มุมความไม่สมดุล ( β ) มุมนี้เกี่ยวข้องกับอัตราส่วนเวลาQดังนี้: ^{[ 6 ]}

Q={\frac {180^{\circ }+\beta }{180^{\circ }-\beta }}

ด้วยการจัดเรียงพีชคณิตอย่างง่าย สมการนี้สามารถเขียนใหม่เพื่อหาค่าβ ได้ : ^{[ 6 ]}

\beta =180^{\circ }\times {\frac {Q-1}{Q+1}}

แผนภูมิเวลา

แผนภูมิเวลามักใช้เพื่อประสานการเคลื่อนที่ระหว่างกลไกสองหรือมากกว่านั้น โดยจะแสดงข้อมูลกราฟิกที่แสดงว่ากลไกแต่ละตัวหยุดนิ่งหรือเคลื่อนที่ไปข้างหน้าและกลับที่ตำแหน่งใดและเมื่อใด แผนภูมิเวลาช่วยให้นักออกแบบสามารถอธิบาย พฤติกรรม จลนศาสตร์ ที่ต้องการ ของกลไก ได้ในเชิงคุณภาพ ^{[ 6 ]}

แผนภูมิเหล่านี้ยังใช้เพื่อประมาณความเร็วและความเร่งของข้อต่อสี่แท่งบางชนิดความเร็วของข้อต่อคืออัตราการเปลี่ยนแปลงตำแหน่งของข้อต่อเมื่อเทียบกับเวลา ในขณะที่ความเร่งของข้อต่อคืออัตราการเปลี่ยนแปลงความเร็วเมื่อเทียบกับเวลาทั้งความเร็วและความเร่งเป็น ปริมาณ เวกเตอร์กล่าวคือมีทั้งขนาดและทิศทางอย่างไรก็ตาม ในแผนภูมิเวลาจะใช้เฉพาะขนาดเท่านั้น เมื่อใช้กับกลไกสองกลไก แผนภูมิเวลาจะถือว่าความเร่งคงที่สมมติฐานนี้สร้างสมการพหุนามสำหรับความเร็วเป็นฟังก์ชันของเวลา ความเร่งคงที่ทำให้กราฟความเร็วเทียบกับเวลาปรากฏเป็นเส้นตรง ซึ่งแสดงความสัมพันธ์ระหว่างการกระจัด ( ΔR ) ความเร็วสูงสุด ( )ความเร่ง ( a ) และเวลา ( Δt ) สมการต่อไปนี้แสดงให้เห็นสิ่งนี้^{[ 6 ]}^{[ 7 ]}

Δ R = ⁠ 1 / 2 ⁠ v Δ t

Δ R = ⁠ 1 / 4 ⁠ ก (Δ เสื้อ) 2

เมื่อทราบการกระจัดและเวลาแล้ว จะสามารถคำนวณความเร็วสูงสุดและความเร่งของแต่ละกลไกในคู่ที่กำหนดได้^{[ 6 ]}

กลไกข้อเหวี่ยงเลื่อน

กลไกข้อเหวี่ยงเลื่อน (Slider-crank linkage) เป็นกลไกสี่ข้อต่อที่มีข้อต่อหมุนสามข้อและข้อต่อเลื่อนหนึ่งข้อ การหมุนของข้อเหวี่ยง จะขับเคลื่อนการเคลื่อนที่เชิงเส้นของตัวเลื่อน หรือการขยายตัวของ ก๊าซที่ดันลูกสูบเลื่อนในกระบอกสูบสามารถขับเคลื่อนการหมุนของข้อเหวี่ยงได้

คันโยกเลื่อนมีสองประเภท ได้แก่ แบบตรงแนวและแบบเยื้องศูนย์

อินไลน์: กลไกข้อเหวี่ยงแบบเลื่อนในแนวเดียวกันนั้น มีตำแหน่งของตัวเลื่อนที่ทำให้แนวการเคลื่อนที่ของข้อต่อบานพับของตัวเลื่อนผ่านข้อต่อฐานของข้อเหวี่ยง これにより ทำให้การเคลื่อนที่ของตัวเลื่อนไปมามีความสมมาตรขณะที่ข้อเหวี่ยงหมุน
ออฟเซ็ต: หากแนวการเคลื่อนที่ของข้อต่อบานพับของตัวเลื่อนไม่ผ่านจุดหมุนฐานของข้อเหวี่ยง การเคลื่อนที่ของตัวเลื่อนจะไม่สมมาตร มันจะเคลื่อนที่เร็วกว่าในทิศทางหนึ่งมากกว่าอีกทิศทางหนึ่ง กลไกนี้เรียกว่ากลไกการกลับอย่างรวดเร็ว

กลไกสี่ข้อต่อทรงกลมและเชิงพื้นที่

ถ้ากลไกมีข้อต่อบานพับสี่ข้อที่มีแกนทำมุมตัดกันที่จุดเดียว ข้อต่อจะเคลื่อนที่บนทรงกลมศูนย์กลางร่วมกัน และชุดประกอบนี้เรียกว่ากลไกสี่ข้อต่อทรงกลม สมการอินพุต-เอาต์พุตของกลไกสี่ข้อต่อทรงกลมสามารถนำไปใช้กับกลไกสี่ข้อต่อเชิงพื้นที่ได้เมื่อตัวแปรถูกแทนที่ด้วยตัวเลขคู่^{[ 8 ]}โปรดทราบว่าเอกสารการประชุมที่อ้างถึงนั้นสับสนระหว่างผกผันเทียมของ Moore-Penroseกับผกผันด้านเดียวของเมทริกซ์อย่างไม่ถูกต้อง โดยอ้างอย่างผิดๆ ว่าผกผันด้านเดียวของเมทริกซ์นั้นมีเอกลักษณ์เฉพาะตัวเสมอ ซึ่งขัดแย้งกับข้อเท็จจริงที่ว่า $(1,0)^{T}$ ยอมรับเซตของเมทริกซ์ $\{(1,x)\mid x\in \mathbb {C} \}$ เช่นเดียวกับ ส่วนกลับด้านซ้ายทั้งหมดของมัน

กลไกเชื่อมโยงของเบนเน็ตต์เป็นกลไกเชื่อมโยงสี่แท่งเชิงพื้นที่ที่มีข้อต่อบานพับซึ่งมีแกนที่ทำมุมในลักษณะเฉพาะที่ทำให้ระบบสามารถเคลื่อนที่ได้^{[ 9 ]}^{[ 10 ]}^{[ 2 ]}

ข้อต่ออเนกประสงค์
ระบบบังคับเลี้ยวของรถแทรกเตอร์
ระบบกันสะเทือนแบบสี่ข้อต่อของเบนเน็ตต์

ตัวอย่าง

ความเชื่อมโยงและกลไกอื่นๆ

แอปพลิเคชัน

ระบบกันสะเทือนของจักรยาน
ความเชื่อมโยงทางชีวภาพ
สะพานชักแบบคานคู่
ระบบกันสะเทือนแบบปีกนกคู่
ตัวปิดประตู
บันไดพับได้และเก้าอี้พับได้
เครื่องจักรที่ใช้เท้าเหยียบ ( หินลับมี ด เครื่องกลึง จักรเย็บผ้าเครื่องเหยียบเท้าฯลฯ)
คันเกียร์
เก้าอี้โยก (เฟอร์นิเจอร์)
พัดลมแบบส่าย
ปั๊มแจ็ค
ถังขยะแบบเหยียบ
ที่ปัดน้ำฝน

ปั๊มสูบน้ำมันในบ่อ
ระบบกันสะเทือนของรถไฟโดยใช้กลไกของวัตต์ (Watt's linkage )
ระบบกันสะเทือนด้านหลังของรถยนต์ใช้หลักการเชื่อมโยงของวัตต์ (Watt's linkage)
ระบบช่วงล่างสำหรับรถหุ้มเกราะตระกูลVPK-3927 Volk
กลไกปิดประตูอัตโนมัติ
จักรเย็บผ้า บริษัท ฮาว แมชชีน จำกัด
หินลับมีดแบบใช้แป้นเหยียบ
เครื่องกลึงเกลียวแบบใช้เท้าเหยียบของ Brown Bros
เกียร์โอเวอร์ไดรฟ์ 3 สปีดของฟอร์ด
คันเกียร์ของรถจักรยานยนต์รุ่น SV650S ปี 2003
เก้าอี้พับได้
แผนภาพแสดงระบบกันสะเทือนของจักรยานเสือภูเขา Specialized Stumpjumper FSR
ภาพเคลื่อนไหวของหัวรถจักรไอน้ำที่มีระบบวาล์วแบบ Walschaerts

การจำลอง

ระบบกลไกข้อเหวี่ยง-โยก 4 ข้อต่อ: ข้อต่อสีฟ้าหมุนครบหนึ่งรอบ ข้อต่อสีเขียวโยกไปมา
กลไกข้อเหวี่ยง คู่แบบ 4 ข้อต่อ ข้อต่อสีฟ้าหมุนครบหนึ่งรอบข้อต่อสีเขียวหมุนครบหนึ่งรอบ
ระบบกันสะเทือนแบบ Double-Rocker 4-Bar Linkage: ข้อต่อสีเหลืองและข้อต่อสีเขียวจะโยกไปมา
กลไก 4 ข้อต่อแบบสี่เหลี่ยมด้านขนานและสี่เหลี่ยมด้านตรงข้าม(สาธิตเงื่อนไขการเปลี่ยนจุดตรงกลาง)
กลไก 4 ข้อต่อรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานและสี่เหลี่ยมด้านตรงข้าม (การกลับด้าน): (สาธิตเงื่อนไขการเปลี่ยนจุดตรงกลาง)
ระบบกลไก 4 บาร์แบบเดลทอยด์/ไคท์ (แกลโลเวย์): แสดงทั้งสองแบบ: • แบบข้อเหวี่ยง-โยก• แบบข้อเหวี่ยงคู่
กลไกคันโยก 4 บาร์รูปทรงสี่เหลี่ยมคางหมู (Arglin): แสดงการกลับด้านที่เป็นเอกลักษณ์ทั้งสี่แบบ: • คันโยกข้อเหวี่ยง-คันโยกโยก• คันโยกข้อเหวี่ยง-คันโยกโยก• คันโยกข้อเหวี่ยงคู่• คันโยกโยกคู่