การพาความร้อนอิสระเกิดจากการเปลี่ยนแปลงความหนาแน่นของของเหลวเนื่องจากการเปลี่ยนแปลงหรือความแตกต่าง ของอุณหภูมิ โดยปกติความหนาแน่นจะลดลงเมื่ออุณหภูมิเพิ่มขึ้นและทำให้ของเหลวลอยขึ้น การเคลื่อนที่นี้เกิดจาก แรง ลอยตัวแรงหลักที่ต้านการเคลื่อนที่คือ แรง หนืดเลขกราสฮอฟเป็นวิธีหนึ่งในการวัดปริมาณแรงที่ต้านกัน^{[ 3 ]}

หมายเลข Grashof คือ:

${\displaystyle \mathrm {Gr} _{L}={\frac {g\beta (T_{s}-T_{\infty })L^{3}}{\nu ^{2}}}\,}$สำหรับแผ่นเรียบแนวตั้ง

${\displaystyle \mathrm {Gr} _{D}={\frac {g\beta (T_{s}-T_{\infty })D^{3}}{\nu ^{2}}}\,}$สำหรับท่อและตัวถังทึบ

ที่ไหน:

• g คือความเร่งโน้มถ่วงเนื่องจากโลก
• βคือสัมประสิทธิ์การขยายตัวเชิงปริมาตร (เท่ากับประมาณ1/ Tสำหรับก๊าซอุดมคติ )
• Ts อุณหภูมิพื้นผิว
• T คืออุณหภูมิโดยรวม
• Lคือความยาวในแนวตั้ง
• Dคือเส้นผ่านศูนย์กลาง
• νคือความหนืดจลน์

ตัว อักษรย่อ LและDบ่งบอกถึงฐานมาตราส่วนความยาวสำหรับเลขกราสฮอฟ (Grashof number)

การเปลี่ยนผ่านไปสู่การไหลแบบปั่นป่วนเกิดขึ้นในช่วง10 ⁸ < Gr < 10 ⁹สำหรับการพาความร้อนตามธรรมชาติจากแผ่นเรียบแนวตั้ง ที่ค่าเลขกราสฮอฟสูงขึ้นชั้นขอบเขต จะเป็นแบบปั่นป่วน ที่ค่าเลขกราสฮอฟต่ำลง ชั้นขอบเขตจะ เป็นแบบราบเรียบ นั่นคือในช่วง10 ³ < Gr < 10 ⁶

มีรูปแบบที่คล้ายคลึงกันของเลขกราสฮอฟที่ใช้ในกรณีของ ปัญหา การถ่ายโอนมวลแบบการพาความร้อนตามธรรมชาติ ในกรณีของการถ่ายโอนมวล การพาความร้อนตามธรรมชาติเกิดจากความแตกต่างของความเข้มข้นมากกว่าความแตกต่างของอุณหภูมิ^{[ 2 ]}

$${\displaystyle \mathrm {Gr} _{c}={\frac {g\beta ^{*}(C_{a,s}-C_{a,a})L^{3}}{\nu ^{2}}}}$$

ที่ไหน

$${\displaystyle \beta ^{*}=-{\frac {1}{\rho }}\left({\frac {\partial \rho }{\partial C_{a}}}\right)_{T,p}}$$

และ:

• g คือความเร่งโน้มถ่วงเนื่องจากโลก
• C คือความเข้มข้นของชนิดaที่พื้นผิว
• C คือความเข้มข้นของชนิดaในตัวกลางแวดล้อม
• Lคือความยาวลักษณะเฉพาะ
• νคือความหนืดจลน์
• ρคือความหนาแน่นของของเหลว
• Caคือความเข้มข้นของสารประกอบ a
• Tคืออุณหภูมิ (ค่าคงที่)
• pคือความดัน (ค่าคงที่)

การอภิปรายเกี่ยวกับสมการพลังงานนี้เกี่ยวข้องกับการไหลแบบสมมาตรเชิงการหมุน การวิเคราะห์นี้จะพิจารณาถึงผลกระทบของความเร่งโน้มถ่วงต่อการไหลและการถ่ายเทความร้อน สมการทางคณิตศาสตร์ที่จะกล่าวต่อไปนี้ใช้ได้ทั้งกับการไหลแบบสมมาตรเชิงการหมุนและการไหลแบบระนาบสองมิติ

$${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial s}}(\rho ur_{0}^{n})+{\frac {\partial }{\partial y}}(\rho vr_{0}^{n})=0}$$

ที่ไหน:

• ${\displaystyle s}$คือทิศทางการหมุน กล่าวคือ ทิศทางที่ขนานกับพื้นผิว
• ${\displaystyle u}$คือความเร็วสัมผัส กล่าวคือ ความเร็วที่ขนานกับพื้นผิว
• ${\displaystyle y}$คือทิศทางระนาบ กล่าวคือ ทิศทางที่ตั้งฉากกับพื้นผิว
• ${\displaystyle v}$คือความเร็วปกติ กล่าวคือ ความเร็วที่ตั้งฉากกับพื้นผิว
• ${\displaystyle r_{0}}$คือรัศมี

ในสมการนี้ ตัวยกnใช้เพื่อแยกความแตกต่างระหว่างการไหลแบบสมมาตรเชิงการหมุนกับการไหลแบบระนาบ คุณลักษณะต่อไปนี้ของสมการนี้เป็นจริง

• ${\displaystyle n}$= 1: การไหลแบบสมมาตรเชิงการหมุน
• ${\displaystyle n}$= 0: การไหลแบบระนาบสองมิติ
• ${\displaystyle g}$ความเร่งโน้มถ่วง

เมื่อเพิ่มคุณสมบัติทางกายภาพของของเหลวเข้าไป สมการนี้จะขยายเป็นสมการต่อไปนี้:

$${\displaystyle \rho \left(u{\frac {\partial u}{\partial s}}+v{\frac {\partial u}{\partial y}}\right)={\frac {\partial }{\partial y}}\left(\mu {\frac {\partial u}{\partial y}}\right)-{\frac {dp}{ds}}+\rho g.}$$

จากตรงนี้เราสามารถทำให้สมการโมเมนตัมง่ายขึ้นได้อีกโดยกำหนดให้ความเร็วของของไหลโดยรวมเป็น 0 (${\displaystyle u=0}$)

$${\displaystyle {\frac {dp}{ds}}=\rho _{0}g}$$

ความสัมพันธ์นี้แสดงให้เห็นว่าความชันของความดันเป็นเพียงผลคูณของความหนาแน่นของของเหลวโดยรวมและความเร่งโน้มถ่วง ขั้นตอนต่อไปคือการแทนค่าความชันของความดันลงในสมการโมเมนตัม

$${\displaystyle \left(u{\frac {\partial u}{\partial s}}+v{\frac {\partial u}{\partial y}}\right)=\nu \left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}\right)+g{\frac {\rho -\rho _{0}}{\rho }}=\nu \left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}\right)-{\frac {\rho _{0}}{\rho }}g\beta (T-T_{0})}$$

โดยที่ความสัมพันธ์ระหว่างสัมประสิทธิ์การขยายตัวเชิงปริมาตรกับความหนาแน่น${\displaystyle \rho -\rho _{0}=-\rho _{0}\beta (T-T_{0})}$พบข้างต้นและความสัมพันธ์ของความหนืดจลน์${\displaystyle \nu ={\frac {\mu }{\rho }}}$ถูกนำไปแทนค่าลงในสมการโมเมนตัม$${\displaystyle u\left({\frac {\partial u}{\partial s}}\right)+v\left({\frac {\partial v}{\partial y}}\right)=\nu \left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}\right)-{\frac {\rho _{0}}{\rho }}g\beta (T-T_{0})}$$

ในการหาค่าเลขกราสฮอฟจากจุดนี้ สมการก่อนหน้านี้จะต้องถูกทำให้เป็นค่าไร้มิติ หมายความว่าตัวแปรทุกตัวในสมการจะต้องไม่มีมิติ และควรเป็นอัตราส่วนที่แสดงลักษณะเฉพาะของรูปทรงเรขาคณิตและการจัดวางของปัญหา ทำได้โดยการหารตัวแปรแต่ละตัวด้วยค่าคงที่ที่สอดคล้องกัน เช่น ความยาวจะถูกหารด้วยความยาวลักษณะเฉพาะ${\displaystyle L_{c}}$ความเร็วจะถูกหารด้วยความเร็วอ้างอิงที่เหมาะสม${\displaystyle V}$ซึ่งเมื่อพิจารณาจากเลขเรย์โนลด์แล้วจะได้${\displaystyle V={\frac {\mathrm {Re} _{L}\nu }{L_{c}}}}$อุณหภูมิจะถูกหารด้วยผลต่างของอุณหภูมิที่เหมาะสม${\displaystyle (T_{s}-T_{0})}$พารามิเตอร์ไร้มิติเหล่านี้มีลักษณะดังต่อไปนี้:

• ${\displaystyle s^{*}={\frac {s}{L_{c}}}}$,
• ${\displaystyle y^{*}={\frac {y}{L_{c}}}}$,
• ${\displaystyle u^{*}={\frac {u}{V}}}$,
• ${\displaystyle v^{*}={\frac {v}{V}}}$, และ
• ${\displaystyle T^{*}={\frac {(T-T_{0})}{(T_{s}-T_{0})}}}$.

เครื่องหมายดอกจันแทนพารามิเตอร์ไร้มิติ การรวมสมการไร้มิติเหล่านี้เข้ากับสมการโมเมนตัมจะได้สมการที่ลดรูปแล้วดังต่อไปนี้

${\displaystyle u^{*}{\frac {\partial u^{*}}{\partial s^{*}}}+v^{*}{\frac {\partial u^{*}}{\partial y^{*}}}=-\left[{\frac {\rho _{0}g\beta (T_{s}-T_{0})L_{c}^{3}}{\rho \nu ^{2}\mathrm {Re} _{L}^{2}}}\right]T^{*}+{\frac {1}{\mathrm {Re} _{L}}}{\frac {\partial ^{2}u^{*}}{\partial {y^{*}}^{2}}}}$

${\displaystyle =-\left({\frac {\rho _{0}}{\rho }}\right)\left[{\frac {g\beta (T_{s}-T_{0})L_{c}^{3}}{\nu ^{2}}}\right]{\frac {T^{*}}{\mathrm {Re} _{L}^{2}}}+{\frac {1}{\mathrm {Re} _{L}}}{\frac {\partial ^{2}u^{*}}{\partial {y^{*}}^{2}}}}$

ที่ไหน:

${\displaystyle T_{s}}$อุณหภูมิพื้นผิว

${\displaystyle T_{0}}$อุณหภูมิของของเหลวโดยรวม

${\displaystyle L_{c}}$คือความยาวลักษณะเฉพาะ

พารามิเตอร์ไร้มิติที่อยู่ในวงเล็บในสมการข้างต้นเรียกว่าเลขกราสฮอฟ (Grashof number):

${\displaystyle \mathrm {Gr} ={\frac {g\beta (T_{s}-T_{0})L_{c}^{3}}{\nu ^{2}}}.}$

อีกรูปแบบหนึ่งของการวิเคราะห์มิติที่จะให้ผลลัพธ์เป็นเลขกราสฮอฟ (Grashof number) คือทฤษฎีบทบัคกิงแฮม π (Buckingham π theorem ) วิธีนี้คำนึงถึงแรงลอยตัวต่อหน่วยปริมาตรด้วย${\displaystyle F_{b}}$เนื่องจากความแตกต่างของความหนาแน่นระหว่างชั้นขอบเขตและของเหลวส่วนใหญ่

$${\displaystyle F_{b}=(\rho -\rho _{0})g}$$

สมการนี้สามารถปรับเปลี่ยนเพื่อให้ได้ผลลัพธ์ดังนี้

$${\displaystyle F_{b}=-\beta g\rho _{0}\Delta T.}$$

รายชื่อตัวแปรที่ใช้ในวิธี Buckingham π แสดงไว้ด้านล่าง พร้อมด้วยสัญลักษณ์และมิติของตัวแปรเหล่านั้น

ตัวแปร	เครื่องหมาย	มิติ
ความยาวที่สำคัญ	${\displaystyle L}$	${\displaystyle \mathrm {L} }$
ความหนืดของของเหลว	${\displaystyle \mu }$	${\displaystyle \mathrm {\frac {M}{Lt}} }$
ความจุความร้อนของของเหลว	${\displaystyle c_{p}}$	${\displaystyle \mathrm {\frac {Q}{MT}} }$
ค่าการนำความร้อนของของเหลว	${\displaystyle k}$	${\displaystyle \mathrm {\frac {Q}{LtT}} }$
สัมประสิทธิ์การขยายตัวเชิงปริมาตร	${\displaystyle \beta }$	${\displaystyle \mathrm {\frac {1}{T}} }$
ความเร่งโน้มถ่วง	${\displaystyle g}$	${\displaystyle \mathrm {\frac {L}{t^{2}}} }$
ความแตกต่างของอุณหภูมิ	${\displaystyle \Delta T}$	${\displaystyle \mathrm {T} }$
สัมประสิทธิ์การถ่ายเทความร้อน	${\displaystyle h}$	${\displaystyle \mathrm {\frac {Q}{L^{2}tT}} }$

โดยอ้างอิงถึงทฤษฎีบท Buckingham πจะมี กลุ่มไร้มิติ 9 – 5 = 4กลุ่ม เลือกL ,${\displaystyle \mu ,}$เค , จีและ${\displaystyle \beta }$โดยใช้เป็นตัวแปรอ้างอิง ดังนั้น${\displaystyle \pi }$กลุ่มต่างๆ มีดังนี้:

${\displaystyle \pi _{1}=L^{a}\mu ^{b}k^{c}\beta ^{d}g^{e}c_{p}}$,

${\displaystyle \pi _{2}=L^{f}\mu ^{g}k^{h}\beta ^{i}g^{j}\rho }$,

${\displaystyle \pi _{3}=L^{k}\mu ^{l}k^{m}\beta ^{n}g^{o}\Delta T}$,

${\displaystyle \pi _{4}=L^{q}\mu ^{r}k^{s}\beta ^{t}g^{u}h}$.

การแก้ปัญหาเหล่านี้${\displaystyle \pi }$กลุ่มต่างๆ มอบให้:

${\displaystyle \pi _{1}={\frac {\mu (c_{p})}{k}}=\mathrm {Pr} }$,

${\displaystyle \pi _{2}={\frac {l^{3}g\rho ^{2}}{\mu ^{2}}}}$,

${\displaystyle \pi _{3}=\beta \Delta T}$,

${\displaystyle \pi _{4}={\frac {hL}{k}}=\mathrm {Nu} }$

จากทั้งสองกลุ่ม${\displaystyle \pi _{2}}$และ${\displaystyle \pi _{3},}$ผลคูณของจำนวนนี้จะก่อให้เกิดเลขกราสฮอฟ:

${\displaystyle \pi _{2}\pi _{3}={\frac {\beta g\rho ^{2}\Delta TL^{3}}{\mu ^{2}}}=\mathrm {Gr} .}$

การเอาไป${\displaystyle \nu ={\frac {\mu }{\rho }}}$และ${\displaystyle \Delta T=(T_{s}-T_{0})}$สมการข้างต้นสามารถแสดงได้เป็นผลลัพธ์เดียวกันกับการหาค่าเลขกราสฮอฟจากสมการพลังงาน

${\displaystyle \mathrm {Gr} ={\frac {\beta g\Delta TL^{3}}{\nu ^{2}}}}$

ในการพาความร้อนแบบบังคับเลขเรย์โนลด์เป็นตัวกำหนดการไหลของของเหลว แต่ในการพาความร้อนแบบธรรมชาติ เลขกราสฮอฟเป็นพารามิเตอร์ไร้หน่วยที่ควบคุมการไหลของของเหลว การใช้สมการพลังงานและแรงลอยตัวร่วมกับการวิเคราะห์มิติทำให้ได้สองวิธีที่แตกต่างกันในการหาค่าเลขกราสฮอฟ

นอกจากนี้ ยังสามารถหาค่าของเลขกราสฮอฟได้โดยใช้นิยามทางกายภาพของเลขดังกล่าว ดังนี้:

$${\displaystyle \mathrm {Gr} ={\frac {\mathrm {Buoyancy~Force} }{\mathrm {Friction~Force} }}={\frac {mg}{\tau A}}={\frac {L^{3}\rho \beta (\Delta T)g}{\mu (V/L)L^{2}}}={\frac {L^{2}\beta (\Delta T)g}{\nu V}}}$$

อย่างไรก็ตาม นิพจน์ข้างต้น โดยเฉพาะส่วนสุดท้ายทางด้านขวามือ มีความแตกต่างเล็กน้อยจากเลขกราสฮอฟที่ปรากฏในเอกสาร การใช้มาตราส่วนที่ถูกต้องตามมิติในแง่ของความหนืดไดนามิกจะช่วยให้ได้รูปแบบสุดท้าย

$${\displaystyle \mathrm {\mu } =\rho VL}$$การเขียนค่าข้างต้นในหน่วย Gr จะได้ดังนี้;

$${\displaystyle \mathrm {Gr} ={\frac {L^{3}\beta (\Delta T)g}{\nu ^{2}}}}$$การใช้เหตุผลเชิงฟิสิกส์ช่วยให้เข้าใจความหมายของตัวเลขได้ดีขึ้น ในทางกลับกัน นิยามของความเร็วต่อไปนี้สามารถใช้เป็นค่าความเร็วเฉพาะเพื่อทำให้ความเร็วบางอย่างไม่มีมิติได้

$${\displaystyle \mathrm {V} ={\frac {L^{2}\beta (\Delta T)g}{\nu Gr}}}$$