กรอสโซน

Q: คำจำกัดความและสัญลักษณ์

Grossone ถูกกำหนดด้วยตัวเลขวงกลม ① เซอร์เกเยฟแนะนำผ่านสัจพจน์หน่วยอนันต์ ซึ่งโดยทั่วไปจะสรุปเป็นสามส่วน: [ 8 ] [ 11 ]

กรอสโซน (สัญลักษณ์① ) เป็นตัวเลขที่ออกแบบมาเพื่อรองรับการคำนวณเชิงตัวเลขด้วยอนันต์และอนันต์เล็ก^{[ 1 ]}^{[ 2 ]}^{[ 3 ]}ในกรอบของกรอสโซน①ถูกนำเสนอเป็นจำนวนธรรมชาติซึ่งมีคุณสมบัติที่สมาชิกสุดท้ายของเซตของจำนวนธรรมชาติ จะมี [ ⁴^]เช่นเดียวกับที่เห็นได้จากปริมาณที่เข้าใกล้ด้วยลิมิตที่เพิ่มขึ้นเป็นอนันต์ด้วยระดับจำกัด : มันจะมีค่าจำกัด ^เสมอแต่เมื่อมองว่าเป็นส่วนรวมที่สมบูรณ์ ค่าที่ได้คือ① [ ⁵^]^①ครอบครองพื้นที่กึ่งอนันต์กึ่งจำกัด^[⁶^]

①ได้รับการเปรียบเทียบกับi [ ^{7 ]}ซึ่งทำหน้าที่เป็นสัญลักษณ์สำหรับรากที่สองของลบหนึ่ง: แม้ว่าจะไม่มีจำนวนจริงใด^เป็นรากที่สองของจำนวนลบ แต่สำหรับการคำนวณบางอย่าง การแนะนำจำนวนจินตนาการซึ่งสามารถทำการคำนวณเลขคณิตกับจำนวนที่มีคุณสมบัติดังกล่าวได้นั้น มีประโยชน์

แม้จะคล้ายกับจำนวนอนันต์อย่างแท้จริง①จะถูกกำหนดค่าที่แตกต่างจากทั้งจำนวนอเลฟ ของแคนเตอร์ $ℵ$ และจำนวนเชิงอันดับ $ω$ และยังแตกต่างจากสัญลักษณ์ทั่วไปสำหรับอนันต์ ∞ เนื่องจากมีการกำหนดที่เฉพาะเจาะจงมากขึ้น^{[ 8 ]}

กรอสโซนได้รับการศึกษาในตรรกศาสตร์ทางคณิตศาสตร์ การวิเคราะห์เชิงตัวเลข การเพิ่มประสิทธิภาพ ออโตมาตาเซลลูลาร์ ความน่าจะเป็น และปรัชญาคณิตศาสตร์ แม้ว่านักคณิตศาสตร์บางคนจะวิจารณ์ว่านิยามไม่เพียงพอหรือเป็นเรื่องธรรมดา^{[ 9 ]}^{[ 10 ]}^{[ 11 ]}

พื้นหลัง

เดิมทีพัฒนาโดยนักคณิตศาสตร์ Yaroslav D. Sergeyev Sergeyev ได้นำเสนอแนวทาง grossone ในหนังสือArithmetic of Infinityและในเอกสารต่อมาเกี่ยวกับการคำนวณเชิงตัวเลขด้วยปริมาณอนันต์และอนันต์เล็ก^{[ 12 ]}^{[ 2 ]}หลักการสำคัญของแนวทางนี้คือ "ส่วนน้อยกว่าทั้งหมด" ซึ่งไม่เพียงแต่ใช้กับเซตจำกัดและปริมาณจำกัดเท่านั้น แต่ยังใช้กับเซตอนันต์และกระบวนการอีกด้วย^{[ 8 ]}ซึ่งแตกต่างจาก ทฤษฎีเซตแบบ Cantorian มาตรฐาน ซึ่งเซตของจำนวนธรรมชาติและเซตของจำนวนธรรมชาติคู่มีขนาด เท่ากัน คือ $ℵ$ เนื่องจากสามารถวางในรูปแบบหนึ่งต่อหนึ่งได้ในทางตรงกันข้าม ในกรอบงาน grossone จำนวนธรรมชาติจะถูกกำหนด①องค์ประกอบ: ในฐานะ①ฟังก์ชันที่มีคุณสมบัติของจำนวนธรรมชาติ จำนวนธรรมชาติคู่และจำนวนธรรมชาติคี่แต่ละตัวจะถูกกำหนด $①/2$ องค์ประกอบ^{[ 8 ]}^{[ 11 ]}

คำจำกัดความและสัญลักษณ์

Grossone ถูกกำหนดด้วยตัวเลขวงกลม①เซอร์เกเยฟแนะนำผ่านสัจพจน์หน่วยอนันต์ ซึ่งโดยทั่วไปจะสรุปเป็นสามส่วน: ^{[ 8 ]}^{[ 11 ]}

อนันต์ : จำนวนธรรมชาติจำกัดทุกจำนวน $n$ จะน้อยกว่าหนึ่งกรอสโซ นั่นคือ $n <$ ①
เอกลักษณ์ : ① สอดคล้องกับเอกลักษณ์ต่างๆ เช่น $0\cdot① = 0$ , $① - ① = 0$ , $①/① = 1$ , $① 0 = 1$ , $1 ① = 1$ , และ $0 ① =$ 0
การหารลงตัว : สำหรับจำนวนเต็มบวกจำกัด $n$ ใดๆ ลำดับเลขคณิต $N = {k, k + n, k + 2 n, \dots}$ โดยที่ $1 \leq k \leq n$ จะถูกพิจารณาว่าเป็น $n$ ส่วนเท่าๆ กันของ $ℕ$ แต่ละส่วนประกอบด้วย $①/ n$ สมาชิก

ในกรอบแนวคิดนี้ ① ถือว่ามีค่ามากกว่าจำนวนธรรมชาติจำกัดทุกจำนวน และมักถูกแทนด้วยองค์ประกอบสุดท้ายของลำดับจำนวนธรรมชาติ:

1, 2, 3, \dots, ① - 2, ① - 1, ①.

นี่แตกต่างจากการปฏิบัติต่อ $ℕ$ ในทฤษฎีเซตมาตรฐาน ซึ่งจำนวนธรรมชาติไม่มีสมาชิกที่ยิ่งใหญ่ที่สุด

การตีความ

การตีความหน่วยอนันต์

ในการนำเสนอครั้งแรกของ Sergeyev นั้น grossone ถูกนำเสนอเป็นหน่วยวัดอนันต์ กล่าวคือ จำนวนสมาชิกของเซต $ℕ$ ของจำนวนธรรมชาติ Sergeyev ระบุว่า①ไม่ใช่จำนวนเชิงคาร์ดินัล $ℵ$ ของ Cantor และไม่ใช่จำนวนเชิงลำดับ $ω$ แต่เป็นตัวเลขใหม่ที่มีทั้งคุณสมบัติเชิงคาร์ดินัลและเชิงลำดับที่คล้ายคลึงกับจำนวนธรรมชาติจำกัด^{[ 3 ]}

ในการตีความนี้ จำนวนธรรมชาติสามารถเขียนได้ในรูปแบบ

ℕ = {1, 2, 3, \dots, ①}

โดยที่①ถือเป็นองค์ประกอบที่ใหญ่ที่สุดของ $ℕ$ ในระบบตัวเลขกรอสโซน^{[ 3 ]}เซอร์เกเยฟยังแยกแยะ $ℕ$ ออกจากเซตขยายของจำนวนธรรมชาติที่มีนิพจน์เช่น $① + 1$ , $① 2$ และตัวเลขฐานกรอสโซนที่สูงกว่า^{[ 3 ]}ดังนั้น ในระบบของเซอร์เกเยฟ ① จึงไม่ใช่จำนวนที่ใหญ่ที่สุดสัมบูรณ์ในเลขคณิตกรอสโซนทั้งหมด แต่เป็นจำนวนกรอสโซนขององค์ประกอบของจำนวนธรรมชาติทั่วไปตามที่แสดงในระบบนั้น

การตีความแบบจำกัดทั่วไป

Louis Kauffmanเสนอการตีความที่แตกต่างกันของสัญกรณ์ grossone ในแง่ของจำนวนจำกัดทั่วไป ในการตีความนี้ ① ไม่ถือเป็นจำนวนธรรมชาติอนันต์ที่สมบูรณ์ แต่ถือเป็นจุดสิ้นสุดเชิงสัญลักษณ์ของส่วนเริ่มต้นจำกัดที่กำหนดขึ้นเอง^{[ 13 ]} Kauffman เขียนว่า

N = {1, 2, 3, \dots, ① - 2, ① - 1, ①}

ไม่ใช่เซตอนันต์ แต่เป็นโครงสร้างเชิงสัญลักษณ์ที่แสดงถึงเซตจำกัดทั่วไป^{[ 13 ]}

ตามการตีความของ Kauffman ① ไม่ใช่จำนวนธรรมชาติเฉพาะเจาะจง แต่สามารถถือได้ว่าเป็นจำนวนธรรมชาติทั่วไปในสูตรจำกัด สำหรับการรับรู้แบบจำกัดใดๆ ของ ① สัญลักษณ์ ① แทนองค์ประกอบสูงสุดของการรับรู้นั้น ในแง่นี้ อาจถือได้ว่ามีค่ามากกว่าจำนวนเต็มใดๆ ที่กำหนดไว้ล่วงหน้า^{[ 13 ]} Kauffman อธิบายสิ่งนี้ว่าเป็นการผ่อนคลายแนวทางดั้งเดิมของ Sergeyev เนื่องจากการตีความแบบทั่วไป-จำกัดไม่จำเป็นต้องให้ ① มีคุณสมบัติการหารลงตัวทั้งหมดตามสมมติฐานในทฤษฎีของ Sergeyev เช่น หารลงตัวด้วยจำนวนเต็มบวกจำกัดทุกจำนวน^{[ 13 ]}

Kauffman ได้กำหนดหลักการถ่ายโอนสำหรับการตีความนี้: ข้อความ $P (①)$ ที่เกี่ยวข้องกับ ① ถือว่าเป็นจริงเมื่อมีจำนวนธรรมชาติ $N$ เช่นนั้น $P (n)$ เป็นจริงสำหรับจำนวนธรรมชาติจำกัดทั้งหมด $n > N$ ^{[ 13} ] สิ่งนี้อนุญาตให้ใช้สัญกรณ์ grossone เป็นวิธีการเขียน ^สูตรจำกัดที่มีจุดสิ้นสุดเชิงสัญลักษณ์ขนาดใหญ่อย่างไม่มีที่สิ้นสุด โดยไม่ต้องตีความวัตถุพื้นฐานว่าเป็นเซตอนันต์ที่สมบูรณ์ของ Cantorian

ดังนั้น การตีความจำกัดทั่วไปจึงแตกต่างจากทั้งทฤษฎีเซตแคนทอเรียนทั่วไปและการตีความหน่วยอนันต์ดั้งเดิมของเซอร์เกเยฟ โดยถือว่าสัญกรณ์กรอสโซนเป็นอุปกรณ์อย่างเป็นทางการสำหรับการให้เหตุผลเกี่ยวกับโครงสร้างจำกัดใดๆ และพฤติกรรมจำกัดของโครงสร้างเหล่านั้น แทนที่จะเป็นการผูกมัดกับเซตอนันต์ที่สมบูรณ์^{[ 13 ]}

ความสัมพันธ์กับทฤษฎีอนันต์อื่นๆ

Grossone แตกต่างจากจำนวนเชิงคาร์ดินัลมาตรฐาน $ℵ$ และจำนวนเชิงอันดับ $ω$ ที่ใช้ในทฤษฎีเซต Sergeyev โต้แย้งว่าสัญลักษณ์เหล่านี้เป็นของภาษาคณิตศาสตร์ที่แตกต่างกันและไม่ควรสับสนกับ ① ^{[ 8 ]}

ความสัมพันธ์ระหว่าง grossone และการวิเคราะห์แบบไม่มาตรฐานเป็นที่ถกเถียงกัน Gutman และ Kutateladze โต้แย้งว่าทฤษฎี grossone แบบไม่เป็นทางการของ Sergeyev ยอมรับการทำให้เป็นทางการภายในการวิเคราะห์แบบไม่มาตรฐานแบบคลาสสิก โดยจำลอง grossone ด้วย $ν!$ โดยที่ $ν$ เป็นจำนวนธรรมชาติแบบไม่มาตรฐานที่มีขนาดใหญ่มาก^{[ 10 ]} Sergeyev ปฏิเสธการตีความนี้และโต้แย้งว่าวิธีการ grossone เป็นอิสระจากการวิเคราะห์แบบไม่มาตรฐาน^{[ 14 ]}

Gabriele Lolli ได้นำเสนอการจัดการเชิงสัจพจน์ของ grossone ในปี 2015 โดยใช้ภาษาลำดับที่สองและตรรกะลำดับที่สองเชิงทำนาย การกำหนดรูปแบบของ Lolli ไม่สามารถกำหนดสัจพจน์ได้อย่างจำกัด และแสดงให้เห็นว่าเป็นส่วนขยายแบบอนุรักษ์นิยมของเลขคณิตของ Peano ^{[ 9 ]} Franco Montagna, Giulia Simi และ Andrea Sorbi ได้ศึกษาระบบที่เป็นทางการที่เกี่ยวข้องซึ่งได้รับแรงบันดาลใจจาก grossone รวมถึงเอกภพที่มีขอบเขตของจำนวนธรรมชาติจำกัดและอนันต์^{[ 15 ]}

แอปพลิเคชัน

วิธีการที่อิงตาม Grossone ได้รับการเสนอสำหรับหลากหลายสาขาในคณิตศาสตร์ประยุกต์และการคำนวณ การสำรวจของ Sergeyev ในปี 2017 ได้กล่าวถึงการประยุกต์ใช้ที่เสนอสำหรับเซตอนันต์ อนุกรมลู่เข้า ความน่าจะเป็น แฟรกทัล การหาอนุพันธ์เชิงตัวเลข สมการเชิงอนุพันธ์สามัญ และการเพิ่มประสิทธิภาพ^{[ 8 ]}

ในการเขียนโปรแกรมทางคณิตศาสตร์และการวิจัยการดำเนินงาน Sonia De Cosmis และ Renato De Leone เสนอการใช้ grossone ในขั้นตอน anti-cycling สำหรับวิธีการ simplex และในฟังก์ชันปรับโทษที่สามารถหาอนุพันธ์ได้อย่างแม่นยำสำหรับการเขียนโปรแกรมแบบไม่เชิงเส้น^{[ 16 ]} Louis D'Alotto ได้นำสัจพจน์หน่วยอนันต์และ grossone มาใช้ในการจำแนกประเภทของออโตมาตาเซลลูลาร์หนึ่งมิติ^{[ 17 ]}

ในการเพิ่มประสิทธิภาพ Marco Cococcioni, Massimo Pappalardo และ Sergeyev ได้เสนอวิธีการแบบ grossone สำหรับการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นแบบหลายวัตถุประสงค์เชิงพจนานุกรม^{[ 18 ]}ต่อมางานของ Cococcioni และผู้ร่วมงานได้เสนอวิธีการตัดระนาบสำหรับการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นแบบจำนวนเต็มหลายวัตถุประสงค์เชิงพจนานุกรมโดยใช้วิธีการแบบ grossone ^{[ 19 ]} Cristian S. Calude และ Monica Dumitrescu ใช้รูปแบบที่ได้รับแรงบันดาลใจจาก grossone เพื่อศึกษาความน่าจะเป็นอนันต์บนเซตอนันต์ของจำนวนเต็มบวก^{[ 20 ]}

ศักยภาพที่ไม่มีที่สิ้นสุดและขีดจำกัด

Grossone ได้รับการกล่าวถึงในความสัมพันธ์กับการแบ่งแยกแบบดั้งเดิมระหว่างอนันต์ศักยภาพและอนันต์จริงโดยเฉพาะอย่างยิ่งในส่วนที่เกี่ยวข้องกับการใช้ลิมิต Sergeyev เปรียบเทียบวิธีการตาม ① กับการจัดการอนันต์ตามลิมิตแบบปกติ: ในคำอธิบายของเขา แนวคิดลิมิตของ d'Alembert–Cauchy แทนที่ปริมาณอนันต์จริงและอนันต์เล็กด้วยปริมาณศักยภาพ ในขณะที่สัญกรณ์ grossone มีจุดประสงค์เพื่อให้สามารถประเมินนิพจน์ที่จุดอนันต์หรืออนันต์เล็กที่กำหนดได้^{[ 8 ]}

การตีความแบบทั่วไป-จำกัดของ Kauffman ทำให้เกิดการเชื่อมโยงที่แตกต่างกันกับอนันต์ที่ไม่สมบูรณ์ Kauffman เริ่มต้นจากจุดยืนที่ว่าไม่มีเซตอนันต์ที่สมบูรณ์ และตีความ ① ว่าเป็นจุดสิ้นสุดเชิงสัญลักษณ์ของส่วนเริ่มต้นจำกัดที่กำหนดขึ้นเอง แทนที่จะเป็นเซตอนันต์ที่สมบูรณ์ตามแนวคิดของ Cantorian ^{[ 13 ]}จากการตีความนี้ สูตรที่มี ① สามารถเข้าใจได้ว่าเป็นสูตรจำกัดที่มีขอบเขตบนขนาดใหญ่ที่ไม่ระบุ Kauffman ระบุว่านิพจน์ที่เกี่ยวข้องกับ ① สามารถอ่านได้ว่าเป็นสูตรจำกัดทั่วไป และในกรณีที่เหมาะสม ก็สามารถบ่งชี้ถึงพฤติกรรมของลิมิตหรือผลรวมอนันต์ที่สอดคล้องกันได้^{[ 13 ]}

การใช้งานที่เกี่ยวข้องปรากฏในงานเกี่ยวกับอนุกรมอนันต์ Zhigljavsky เสนอสัจพจน์สำหรับการใช้ grossone ในการหาผลรวม รวมถึงหลักการ "การเปลี่ยนไปสู่ลิมิต" ซึ่งหากลำดับมีแนวโน้มเป็นศูนย์เมื่อ $n$ มีแนวโน้มเป็นอนันต์ พจน์ที่มีดัชนี ① จะมีค่าเล็กน้อยมาก เขาอธิบายสัจพจน์เหล่านี้ว่าทำให้การแทนที่ $\infty$ ด้วย ① มีความหมายเมื่อแปลปัญหาการหาผลรวมแบบคลาสสิกเป็นสัญกรณ์ grossone ^{[ 5 ]}

การตีความเหล่านี้ไม่ควรนำมาปะปนกัน ในวิธีการดั้งเดิมของ Sergeyev นั้น ① ถือเป็นหน่วยวัดอนันต์ที่แท้จริง ในทางตรงกันข้าม ในการตีความแบบทั่วไป-จำกัดของ Kauffman นั้น ① เป็นเครื่องมือเชิงสัญลักษณ์สำหรับการให้เหตุผลเกี่ยวกับโครงสร้างจำกัดใดๆ และพฤติกรรมจำกัดของโครงสร้างเหล่านั้นโดยไม่ต้องสมมติว่ามีเซตอนันต์ที่สมบูรณ์^{[ 13 ]}

การวิจารณ์

แนวคิดเรื่อง grossone เป็นหัวข้อของการศึกษาอย่างเป็นทางการและการวิพากษ์วิจารณ์ Lolli อธิบายแนวทางของ Sergeyev ว่าเกี่ยวข้องกับองค์ประกอบของสัจนิยม รูปแบบนิยม และลัทธิจำกัด พร้อมทั้งระบุประเด็นที่ต้องการการชี้แจงหรือการพัฒนาเพิ่มเติม^{[ 21 ]} Paul Ernest อธิบาย grossone ว่าเป็นข้อโต้แย้งร่วมสมัยเกี่ยวกับอนันต์ในการปฏิบัติทางคณิตศาสตร์ โดยสังเกตทั้งขอบเขตของบันทึกการตีพิมพ์ของ Sergeyev และความรุนแรงของการวิพากษ์วิจารณ์ที่มุ่งเป้าไปที่ทฤษฎี^{[ 11 ]}

Gutman และ Kutateladze โต้แย้งว่า grossone สามารถทำให้เป็นทางการได้ภายในการวิเคราะห์ที่ไม่เป็นมาตรฐาน และวิจารณ์การนำเสนอของ Sergeyev ว่าไม่จำเป็นหรือไม่แม่นยำ^{[ 10 ]}ต่อมา Gutman, Katz, Kudryk และ Kutateladze ได้เปรียบเทียบ grossone กับฟิลด์ Levi-Civita และกรอบไฮเปอร์เรียล และโต้แย้งว่าระบบย่อยที่สอดคล้องกันใดๆ ของระบบของ Sergeyev จะถูกรวมเข้ากับวิธีการที่ไม่เป็นมาตรฐานที่มีอยู่^{[ 22 ]} Sergeyev ตอบโต้ข้อกล่าวอ้างดังกล่าวในบทความปี 2019 โดยปกป้องความเป็นอิสระของวิธีการ grossone จากการวิเคราะห์ที่ไม่เป็นมาตรฐาน^{[ 14 ]}

ในปี 2023 Ernest สรุปว่าคุณค่าของแนวทาง grossone ยังคงไม่แน่นอน และยังไม่มีปัญหาสำคัญใดที่ได้รับการแก้ไขโดยแนวทางนี้ซึ่งไม่สามารถแก้ไขได้ด้วยวิธีการที่มีอยู่^{[ 11 ]}

ดูเพิ่มเติม

↑ Sergeyev, Yaroslav D. (2014). "ตัวอย่างการใช้ค่าอนันต์และค่าอนันต์เล็กในการคำนวณเชิงตัวเลข" ความก้าวหน้าในชีวิตเทียมและการคำนวณเชิงวิวัฒนาการการสื่อสารในวิทยาการคอมพิวเตอร์และสารสนเทศ เล่มที่445หน้า 190–200 doi : 10.1007 /978-3-319-12745-3_15 ISBN 978-3-319-12744-6.
1 2 Sergeyev, Yaroslav D. (2008). "แนวทางการประยุกต์ใช้ใหม่สำหรับการดำเนินการคำนวณด้วยปริมาณอนันต์และอนันต์เล็ก" Informatica . 19 (4): 567– 596. doi : 10.15388/Informatica.2008.231 .
1 2 3 4 Sergeyev, Yaroslav D. (2009). "การคำนวณเชิงตัวเลขและการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ด้วยจำนวนอนันต์และจำนวนอนันต์เล็ก" วารสารคณิตศาสตร์ประยุกต์และการคำนวณ 29 ( 1– 2 ): 177– 195. doi : 10.1007/s12190-008-0123-7 .
↑ Montagna, Franco; Simi, Giulia; Sorbi, Andrea (2015). "การให้ความสำคัญกับ Pirahã อย่างจริงจัง". Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation . 21 ( 1– 3): 52– 69. Bibcode : 2015CNSNS..21...52M . doi : 10.1016/j.cnsns.2014.06.052 .
1 2 Zhigljavsky, Anatoly (2012). "การคำนวณผลรวมของอนุกรมลู่เข้าและลู่ออกโดยมีเงื่อนไขโดยใช้แนวคิดของ grossone" คณิตศาสตร์ประยุกต์และการคำนวณ 218 ( 16): 8064– 8076. doi : 10.1016/j.amc.2011.12.034 .
↑ INSTICC (2012-10-25). คอมพิวเตอร์อินฟินิตี้และการคำนวณเชิงตัวเลขด้วยอินฟินิตี้และอินฟินิตี้ซิมอล(...) "ดร. ยาโรสลาฟ ดี. เซอร์เกเยฟ (IJCCI 2012) . สืบค้นเมื่อ 2026-05-02 –ผ่าน Vimeo.
↑ Rizza, Davide; Iannone, Paola; Thoma, Athina (กรกฎาคม 2018). "การสำรวจญาณวิทยาของนักเรียนมัธยมศึกษาผ่านกิจกรรมในชั้นเรียนเกี่ยวกับอนันต์"รายงานการประชุมครั้งที่ 42 ของกลุ่มนานาชาติเพื่อจิตวิทยาการศึกษาคณิตศาสตร์เล่ม3 หน้า131–138 . hdl : 2134/34064
1 2 3 4 5 6 7 Sergeyev, Yaroslav D. (2017). "Numerical infinities and infinitesimals: Methodology, applications, and repercussion on two Hilbert problems". EMS Surveys in Mathematical Sciences . 4 (2): 219– 320. doi : 10.4171/EMSS/4-2-3 .(เอกสารฉบับนี้กำลังอยู่ในขั้นตอนการแสดงความกังวลโปรด ดูที่doi : 10.4171/EMSS/4-2-3 )
1 2 Lolli, Gabriele (2015). "การสืบสวนเชิงอภิคณิตศาสตร์เกี่ยวกับทฤษฎีของ Grossone" คณิตศาสตร์ประยุกต์และการคำนวณ 255 : 3– 14. doi : 10.1016 /j.amc.2014.03.140 .
1 2 3 Gutman, AE; Kutateladze, SS (2008). "เกี่ยวกับทฤษฎีของ grossone". วารสารคณิตศาสตร์ไซบีเรีย49 (5): 835– 841. arXiv : 0808.1164 . Bibcode : 2008SibMJ..49..835G . doi : 10.1007/s11202-008-0082-0 .
1 2 3 4 5 Ernest, Paul (2023). "การปฏิเสธ ความไม่เห็นด้วย ข้อโต้แย้ง และการยอมรับในการปฏิบัติทางคณิตศาสตร์ : ตอนต่างๆ ในการสร้างอนันต์ทางสังคม" ปรัชญาสากล 33 15. doi : 10.1007 /s10516-023-09652-8 .
↑เซอร์เกเยฟ, ยาโรสลาฟ ดี. (2013) เลขคณิตแห่งอนันต์ ( ฉบับที่ 2) โคเซนซา : เอดิซิโอนี่ โอริซซอนติ เมริดิโอนาลี่ASIN B00G7RB1FS .
1 2 3 4 5 6 7 8 9 Kauffman, Louis H. (2015). "การคำนวณอนันต์และไฟไนต์ทั่วไป". คณิตศาสตร์ประยุกต์และการคำนวณ . 255 : 25– 35. arXiv : 1401.7545 . doi : 10.1016/j.amc.2014.06.054 .
1 2 Sergeyev, Yaroslav D. (2019). "ความเป็นอิสระของวิธีการอนันต์ตาม Grossone จากการวิเคราะห์ที่ไม่เป็นมาตรฐานและความคิดเห็นเกี่ยวกับข้อผิดพลาดทางตรรกะในข้อความบางส่วนที่ยืนยันสิ่งที่ตรงกันข้าม" พื้นฐานของวิทยาศาสตร์ 24 ( 1): 153– 170. arXiv : 1802.01408 . doi : 10.1007/s10699-018-9566-y .
↑ Montagna, Franco; Simi, Giulia; Sorbi, Andrea (2015). "การให้ความสำคัญกับ Pirahã อย่างจริงจัง". Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation . 21 ( 1– 3): 52– 69. Bibcode : 2015CNSNS..21...52M . doi : 10.1016/j.cnsns.2014.06.052 .
↑ De Cosmis, Sonia; De Leone, Renato (2012). "การใช้ grossone ในการเขียนโปรแกรมทางคณิตศาสตร์และการวิจัยการดำเนินงาน" คณิตศาสตร์ประยุกต์และการคำนวณ 218 ( 16): 8029– 8038. arXiv : 1107.5681 . doi : 10.1016/j.amc.2011.07.042 .
↑ D'Alotto, Louis (2015). "การจำแนกประเภทของออโตมาตาเซลลูลาร์หนึ่งมิติโดยใช้การคำนวณอนันต์" คณิตศาสตร์ประยุกต์และการคำนวณ 255 : 15– 24. doi : 10.1016 /j.amc.2014.06.087 .
↑ Cococcioni, Marco; Pappalardo, Massimo; Sergeyev, Yaroslav D. (2018). "การเขียนโปรแกรมเชิงเส้นหลายวัตถุประสงค์แบบ Lexicographic โดยใช้วิธีการ Grossone: ทฤษฎีและอัลกอริทึม" คณิตศาสตร์ประยุกต์และการคำนวณ 318 : 298– 311. doi : 10.1016 /j.amc.2017.05.058 . hdl : 11568/877746 .
↑ Cococcioni, Marco; Cudazzo, Alessandro; Fiaschi, Lorenzo; Pappalardo, Massimo; Sergeyev, Yaroslav D. (2024). "วิธีการตัดระนาบแบบใหม่สำหรับการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นจำนวนเต็มหลายวัตถุประสงค์แบบเลกซิโคกราฟิก" Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation . 129 107674. Bibcode : 2024CNSNS.12907674C . doi : 10.1016/j.cnsns.2023.107674 . hdl : 11568/1217533 .
↑คาลูด, คริสเตียน เอส.; ดูมิเตรสคู, โมนิกา (2020) "ความน่าจะเป็นขั้นต่ำตามกรอสโซน" ส.วิทยาการคอมพิวเตอร์ . 1 36. ดอย : 10.1007/s42979-019-0042-8 .
↑ Lolli, Gabriele (2025). "จำนวนอนันต์ การคำนวณอนันต์ ปรัชญาของ grossone" Soft Computing . 29 (8): 4287– 4299. doi : 10.1007/s00500-025-10573-4 .
↑ Gutman, Alexander E.; Katz, Mikhail G.; Kudryk, Taras S.; Kutateladze, Semen S. (2017). "นักคณิตศาสตร์อัจฉริยะสอบตกโอลิมปิก". พื้นฐานของวิทยาศาสตร์ 22 ( 3): 539– 555. arXiv : 1606.00160 . doi : 10.1007/s10699-016-9485-8 .

[1] Sergeyev, Yaroslav D. (2014). "ตัวอย่างการใช้ค่าอนันต์และค่าอนันต์เล็กในการคำนวณเชิงตัวเลข" ความก้าวหน้าในชีวิตเทียมและการคำนวณเชิงวิวัฒนาการการสื่อสารในวิทยาการคอมพิวเตอร์และสารสนเทศ เล่มที่445หน้า 190–200 doi : 10.1007 /978-3-319-12745-3_15 ISBN 978-3-319-12744-6.

[Sergeyev2008-2] 1 2 Sergeyev, Yaroslav D. (2008). "แนวทางการประยุกต์ใช้ใหม่สำหรับการดำเนินการคำนวณด้วยปริมาณอนันต์และอนันต์เล็ก" Informatica . 19 (4): 567– 596. doi : 10.15388/Informatica.2008.231 .

[Sergeyev2009-3] 1 2 3 4 Sergeyev, Yaroslav D. (2009). "การคำนวณเชิงตัวเลขและการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ด้วยจำนวนอนันต์และจำนวนอนันต์เล็ก" วารสารคณิตศาสตร์ประยุกต์และการคำนวณ 29 ( 1– 2 ): 177– 195. doi : 10.1007/s12190-008-0123-7 .

[:0-4] Montagna, Franco; Simi, Giulia; Sorbi, Andrea (2015). "การให้ความสำคัญกับ Pirahã อย่างจริงจัง". Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation . 21 ( 1– 3): 52– 69. Bibcode : 2015CNSNS..21...52M . doi : 10.1016/j.cnsns.2014.06.052 .

[Zhigljavsky2012-5] 1 2 Zhigljavsky, Anatoly (2012). "การคำนวณผลรวมของอนุกรมลู่เข้าและลู่ออกโดยมีเงื่อนไขโดยใช้แนวคิดของ grossone" คณิตศาสตร์ประยุกต์และการคำนวณ 218 ( 16): 8064– 8076. doi : 10.1016/j.amc.2011.12.034 .

[6] INSTICC (2012-10-25). คอมพิวเตอร์อินฟินิตี้และการคำนวณเชิงตัวเลขด้วยอินฟินิตี้และอินฟินิตี้ซิมอล(...) "ดร. ยาโรสลาฟ ดี. เซอร์เกเยฟ (IJCCI 2012) . สืบค้นเมื่อ 2026-05-02 –ผ่าน Vimeo.

[7] Rizza, Davide; Iannone, Paola; Thoma, Athina (กรกฎาคม 2018). "การสำรวจญาณวิทยาของนักเรียนมัธยมศึกษาผ่านกิจกรรมในชั้นเรียนเกี่ยวกับอนันต์"รายงานการประชุมครั้งที่ 42 ของกลุ่มนานาชาติเพื่อจิตวิทยาการศึกษาคณิตศาสตร์เล่ม3 หน้า131–138 . hdl : 2134/34064

[Sergeyev2017-8] 1 2 3 4 5 6 7 Sergeyev, Yaroslav D. (2017). "Numerical infinities and infinitesimals: Methodology, applications, and repercussion on two Hilbert problems". EMS Surveys in Mathematical Sciences . 4 (2): 219– 320. doi : 10.4171/EMSS/4-2-3 .(เอกสารฉบับนี้กำลังอยู่ในขั้นตอนการแสดงความกังวลโปรด ดูที่doi : 10.4171/EMSS/4-2-3 )

[Lolli2015-9] 1 2 Lolli, Gabriele (2015). "การสืบสวนเชิงอภิคณิตศาสตร์เกี่ยวกับทฤษฎีของ Grossone" คณิตศาสตร์ประยุกต์และการคำนวณ 255 : 3– 14. doi : 10.1016 /j.amc.2014.03.140 .

[Gutman2008-10] 1 2 3 Gutman, AE; Kutateladze, SS (2008). "เกี่ยวกับทฤษฎีของ grossone". วารสารคณิตศาสตร์ไซบีเรีย49 (5): 835– 841. arXiv : 0808.1164 . Bibcode : 2008SibMJ..49..835G . doi : 10.1007/s11202-008-0082-0 .

[Ernest2023-11] 1 2 3 4 5 Ernest, Paul (2023). "การปฏิเสธ ความไม่เห็นด้วย ข้อโต้แย้ง และการยอมรับในการปฏิบัติทางคณิตศาสตร์ : ตอนต่างๆ ในการสร้างอนันต์ทางสังคม" ปรัชญาสากล 33 15. doi : 10.1007 /s10516-023-09652-8 .

[SergeyevBook-12] เซอร์เกเยฟ, ยาโรสลาฟ ดี. (2013) เลขคณิตแห่งอนันต์ ( ฉบับที่ 2) โคเซนซา : เอดิซิโอนี่ โอริซซอนติ เมริดิโอนาลี่ASIN B00G7RB1FS .

[Kauffman2015-13] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Kauffman, Louis H. (2015). "การคำนวณอนันต์และไฟไนต์ทั่วไป". คณิตศาสตร์ประยุกต์และการคำนวณ . 255 : 25– 35. arXiv : 1401.7545 . doi : 10.1016/j.amc.2014.06.054 .

[Sergeyev2019-14] 1 2 Sergeyev, Yaroslav D. (2019). "ความเป็นอิสระของวิธีการอนันต์ตาม Grossone จากการวิเคราะห์ที่ไม่เป็นมาตรฐานและความคิดเห็นเกี่ยวกับข้อผิดพลาดทางตรรกะในข้อความบางส่วนที่ยืนยันสิ่งที่ตรงกันข้าม" พื้นฐานของวิทยาศาสตร์ 24 ( 1): 153– 170. arXiv : 1802.01408 . doi : 10.1007/s10699-018-9566-y .

[Montagna2015-15] Montagna, Franco; Simi, Giulia; Sorbi, Andrea (2015). "การให้ความสำคัญกับ Pirahã อย่างจริงจัง". Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation . 21 ( 1– 3): 52– 69. Bibcode : 2015CNSNS..21...52M . doi : 10.1016/j.cnsns.2014.06.052 .

[DeCosmis2012-16] De Cosmis, Sonia; De Leone, Renato (2012). "การใช้ grossone ในการเขียนโปรแกรมทางคณิตศาสตร์และการวิจัยการดำเนินงาน" คณิตศาสตร์ประยุกต์และการคำนวณ 218 ( 16): 8029– 8038. arXiv : 1107.5681 . doi : 10.1016/j.amc.2011.07.042 .

[DAlotto2015-17] D'Alotto, Louis (2015). "การจำแนกประเภทของออโตมาตาเซลลูลาร์หนึ่งมิติโดยใช้การคำนวณอนันต์" คณิตศาสตร์ประยุกต์และการคำนวณ 255 : 15– 24. doi : 10.1016 /j.amc.2014.06.087 .

[Cococcioni2018-18] Cococcioni, Marco; Pappalardo, Massimo; Sergeyev, Yaroslav D. (2018). "การเขียนโปรแกรมเชิงเส้นหลายวัตถุประสงค์แบบ Lexicographic โดยใช้วิธีการ Grossone: ทฤษฎีและอัลกอริทึม" คณิตศาสตร์ประยุกต์และการคำนวณ 318 : 298– 311. doi : 10.1016 /j.amc.2017.05.058 . hdl : 11568/877746 .

[Cococcioni2024-19] Cococcioni, Marco; Cudazzo, Alessandro; Fiaschi, Lorenzo; Pappalardo, Massimo; Sergeyev, Yaroslav D. (2024). "วิธีการตัดระนาบแบบใหม่สำหรับการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นจำนวนเต็มหลายวัตถุประสงค์แบบเลกซิโคกราฟิก" Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation . 129 107674. Bibcode : 2024CNSNS.12907674C . doi : 10.1016/j.cnsns.2023.107674 . hdl : 11568/1217533 .

[Calude2020-20] คาลูด, คริสเตียน เอส.; ดูมิเตรสคู, โมนิกา (2020) "ความน่าจะเป็นขั้นต่ำตามกรอสโซน" ส.วิทยาการคอมพิวเตอร์ . 1 36. ดอย : 10.1007/s42979-019-0042-8 .

[Lolli2025-21] Lolli, Gabriele (2025). "จำนวนอนันต์ การคำนวณอนันต์ ปรัชญาของ grossone" Soft Computing . 29 (8): 4287– 4299. doi : 10.1007/s00500-025-10573-4 .

[Gutman2017-22] Gutman, Alexander E.; Katz, Mikhail G.; Kudryk, Taras S.; Kutateladze, Semen S. (2017). "นักคณิตศาสตร์อัจฉริยะสอบตกโอลิมปิก". พื้นฐานของวิทยาศาสตร์ 22 ( 3): 539– 555. arXiv : 1606.00160 . doi : 10.1007/s10699-016-9485-8 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

5

[

7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 15 ]

[ 16 ]

[ 17 ]

[ 18 ]

[ 19 ]

[ 20 ]

[ 21 ]

[ 22 ]