สถานะพื้นฐานของ ระบบ กลศาสตร์ควอนตัมคือสถานะนิ่ง ที่มี พลังงานต่ำที่สุดพลังงานของสถานะพื้นฐานนี้เรียกว่าพลังงาน จุดศูนย์ของระบบสถานะกระตุ้นคือสถานะใดๆ ที่มีพลังงานมากกว่าสถานะพื้นฐาน ในทฤษฎีสนามควอนตัมสถานะพื้นฐานมักเรียกว่าสุญญากาศ

หากมีสถานะพื้นฐานมากกว่าหนึ่งสถานะ จะเรียกว่าสถานะเหล่านั้นเสื่อมสภาพระบบหลายระบบมีสถานะพื้นฐานที่เสื่อมสภาพ การเสื่อมสภาพเกิดขึ้นเมื่อใดก็ตามที่มีตัวดำเนินการเอกภาพซึ่งกระทำต่อสถานะพื้นฐานอย่างไม่ธรรมดาและสลับที่ได้กับแฮมิลโทเนียนของระบบ

ตามกฎข้อที่สามของเทอร์โมไดนามิกส์ระบบที่อุณหภูมิศูนย์สัมบูรณ์ จะอยู่ในสถานะพื้นฐาน ดังนั้นเอนโทรปี ของระบบ จึงถูกกำหนดโดยความเสื่อมของสถานะพื้นฐาน ระบบหลายระบบ เช่นโครงผลึก ที่สมบูรณ์แบบ มีสถานะพื้นฐานที่ไม่ซ้ำกัน และด้วยเหตุนี้จึงมีเอนโทรปีเป็นศูนย์ที่อุณหภูมิศูนย์สัมบูรณ์ นอกจากนี้ สถานะกระตุ้นสูงสุดก็อาจมี อุณหภูมิ ศูนย์สัมบูรณ์ได้ เช่นกัน สำหรับระบบที่แสดงอุณหภูมิติดลบ

ใน มิติเดียวสถานะพื้นฐานของ^สมการชโรดิงเกอร์สามารถพิสูจน์ ได้ ว่าไม่มีโหนด [ ^{1 ]}

พิจารณาพลังงานเฉลี่ยของสถานะที่มีจุดบัพที่x = 0กล่าวคือψ (0) = 0พลังงานเฉลี่ยในสถานะนี้จะเป็น

$${\displaystyle \langle \psi |H|\psi \rangle =\int dx\,\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\psi ^{*}{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}+V(x)|\psi (x)|^{2}\right),}$$

โดยที่V ( x )คือศักยภาพ

ด้วยการประกอบชิ้นส่วนเข้าด้วยกัน :

$${\displaystyle \int _{a}^{b}\psi ^{*}{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}dx=\left[\psi ^{*}{\frac {d\psi }{dx}}\right]_{a}^{b}-\int _{a}^{b}{\frac {d\psi ^{*}}{dx}}{\frac {d\psi }{dx}}dx=\left[\psi ^{*}{\frac {d\psi }{dx}}\right]_{a}^{b}-\int _{a}^{b}\left|{\frac {d\psi }{dx}}\right|^{2}dx}$$

ดังนั้นในกรณีที่เท่ากับศูนย์จะได้ว่า: ${\displaystyle \left[\psi ^{*}{\frac {d\psi }{dx}}\right]_{-\infty }^{\infty }=\lim _{b\to \infty }\psi ^{*}(b){\frac {d\psi }{dx}}(b)-\lim _{a\to -\infty }\psi ^{*}(a){\frac {d\psi }{dx}}(a)}$$${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\int _{-\infty }^{\infty }\psi ^{*}{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}dx={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\int _{-\infty }^{\infty }\left|{\frac {d\psi }{dx}}\right|^{2}dx}$$

ทีนี้ ลองพิจารณาช่วง เล็กๆ รอบๆ; นั่นคือ . กำหนด ฟังก์ชันคลื่นใหม่ ( ที่ผิดรูป ) ψ ' ( x )เป็นสำหรับ; และสำหรับ; และคงที่สำหรับ. ถ้ามีขนาดเล็กพอ การทำเช่นนี้เป็นไปได้เสมอ ดังนั้น ψ ' ( x ) จึงต่อเนื่อง ${\displaystyle x=0}$${\displaystyle x\in [-\varepsilon ,\varepsilon ]}$${\displaystyle \psi '(x)=\psi (x)}$${\displaystyle x<-\varepsilon }$${\displaystyle \psi '(x)=-\psi (x)}$${\displaystyle x>\varepsilon }$${\displaystyle x\in [-\varepsilon ,\varepsilon ]}$${\displaystyle \varepsilon }$

สมมติว่าประมาณนั้นเราอาจเขียนได้ว่า ค่าปกติอยู่ ที่ใด${\displaystyle \psi (x)\approx -cx}$${\displaystyle x=0}$$${\displaystyle \psi '(x)=N{\begin{cases}|\psi (x)|,&|x|>\varepsilon ,\\c\varepsilon ,&|x|\leq \varepsilon ,\end{cases}}}$$${\displaystyle N={\frac {1}{\sqrt {1+{\frac {4}{3}}|c|^{2}\varepsilon ^{3}}}}}$

โปรดทราบว่าความหนาแน่นของพลังงานจลน์ยังคงใช้ได้ทุกที่เนื่องจากการปรับค่าให้เป็นมาตรฐาน ที่สำคัญกว่านั้นคือ พลังงานจลน์เฉลี่ยลด ลงเนื่องจากการเปลี่ยนรูปเป็นψ '${\textstyle {\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left|{\frac {d\psi '}{dx}}\right|^{2}<{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left|{\frac {d\psi }{dx}}\right|^{2}}$${\displaystyle O(\varepsilon )}$

ทีนี้ ลองพิจารณาพลังงานศักยภาพดู เพื่อความชัดเจน เราเลือกแล้วจะเห็นได้ชัดว่า นอกช่วงความหนาแน่นของพลังงานศักยภาพจะมีค่าน้อยกว่าสำหรับψ 'เพราะว่า${\displaystyle V(x)\geq 0}$${\displaystyle x\in [-\varepsilon ,\varepsilon ]}$${\displaystyle |\psi '|<|\psi |}$

ในทางกลับกัน ในช่วงเวลานั้นเรามี ซึ่งเป็นจริงตามลำดับ ${\displaystyle x\in [-\varepsilon ,\varepsilon ]}$$${\displaystyle {V_{\text{avg}}^{\varepsilon }}'=\int _{-\varepsilon }^{\varepsilon }dx\,V(x)|\psi '|^{2}={\frac {\varepsilon ^{2}|c|^{2}}{1+{\frac {4}{3}}|c|^{2}\varepsilon ^{3}}}\int _{-\varepsilon }^{\varepsilon }dx\,V(x)\simeq 2\varepsilon ^{3}|c|^{2}V(0)+\cdots ,}$$${\displaystyle \varepsilon ^{3}}$

อย่างไรก็ตาม การมีส่วนร่วมของบริเวณนี้ต่อพลังงานศักยภาพสำหรับสถานะψที่มีจุดบัพนั้น ต่ำกว่า แต่ก็ยังคงอยู่ในลำดับที่ต่ำกว่าเช่นเดียวกับสถานะที่เปลี่ยนรูป ψ 'และมีความสำคัญรองลงมาจากการลดลงของพลังงานจลน์เฉลี่ย ดังนั้น พลังงานศักยภาพจึงไม่เปลี่ยนแปลงจนถึงลำดับหากเราเปลี่ยนรูปสถานะที่มีจุดบัพไปเป็นสถานะψ 'ที่ไม่มีจุดบัพ และสามารถละเลยการเปลี่ยนแปลงนี้ได้ $${\displaystyle V_{\text{avg}}^{\varepsilon }=\int _{-\varepsilon }^{\varepsilon }dx\,V(x)|\psi |^{2}=|c|^{2}\int _{-\varepsilon }^{\varepsilon }dx\,x^{2}V(x)\simeq {\frac {2}{3}}\varepsilon ^{3}|c|^{2}V(0)+\cdots ,}$$${\displaystyle O(\varepsilon ^{3})}$${\displaystyle \varepsilon ^{2}}$${\displaystyle \psi }$

ดังนั้นเราจึงสามารถกำจัดโหนดทั้งหมดและลดพลังงานลงได้ซึ่งหมายความว่าไม่สามารถเป็นสถานะพื้นฐานได้ ดังนั้นฟังก์ชันคลื่นสถานะพื้นฐานจึงไม่มีโหนด การพิสูจน์จึงเสร็จสมบูรณ์ (จากนั้นพลังงานเฉลี่ยอาจลดลงได้อีกโดยการกำจัดความผันผวน จนถึงค่าต่ำสุดสัมบูรณ์แบบแปรผัน) ${\displaystyle O(\varepsilon )}$${\displaystyle \psi }$

เนื่องจากสถานะพื้นฐานไม่มีโหนด จึง ไม่เสื่อมสภาพ ในเชิงพื้นที่กล่าวคือไม่มีสถานะควอนตัมคงที่สองสถานะที่มีค่าพลังงานไอเกนของสถานะพื้นฐาน (สมมติว่าชื่อคือ ) และ สถานะสปินเดียวกัน ดังนั้นจึงจะแตกต่างกันเฉพาะใน ฟังก์ชันคลื่นในปริภูมิตำแหน่งเท่านั้น^{[ 1 ]}${\displaystyle E_{g}}$

เหตุผลมาจากการขัดแย้ง : เพราะถ้าสถานะพื้นฐานจะเสื่อมสภาพ ก็จะมีสถานะคงที่แบบตั้งฉากกัน สองสถานะ ^{[ 2 ]}และ— ซึ่งต่อมาแสดงโดยฟังก์ชันคลื่นตำแหน่ง-พื้นที่ที่มีค่าเชิงซ้อนและ— และการซ้อนทับ ใดๆ กับจำนวนเชิงซ้อนที่ตรงตามเงื่อนไขก็จะเป็นสถานะดังกล่าวเช่นกัน กล่าวคือ จะมีค่าพลังงานไอเกนเดียวกันและสถานะสปินเดียวกัน ${\displaystyle \left|\psi _{1}\right\rangle }$${\displaystyle \left|\psi _{2}\right\rangle }$${\displaystyle \psi _{1}(x,t)=\psi _{1}(x,0)\cdot e^{-iE_{g}t/\hbar }}$${\displaystyle \psi _{2}(x,t)=\psi _{2}(x,0)\cdot e^{-iE_{g}t/\hbar }}$${\displaystyle \left|\psi _{3}\right\rangle :=c_{1}\left|\psi _{1}\right\rangle +c_{2}\left|\psi _{2}\right\rangle }$${\displaystyle c_{1},c_{2}}$${\displaystyle |c_{1}|^{2}+|c_{2}|^{2}=1}$${\displaystyle E_{g}}$

สมมติให้เป็นจุดสุ่มจุดหนึ่ง (ซึ่งฟังก์ชันคลื่นทั้งสองถูกกำหนดไว้) และตั้งค่า: และ โดยที่ (ตามสมมติฐานคือไม่มีจุดบัพ ) ${\displaystyle x_{0}}$$${\displaystyle c_{1}={\frac {\psi _{2}(x_{0},0)}{a}}}$$$${\displaystyle c_{2}={\frac {-\psi _{1}(x_{0},0)}{a}}}$$$${\displaystyle a={\sqrt {|\psi _{1}(x_{0},0)|^{2}+|\psi _{2}(x_{0},0)|^{2}}}>0}$$

ดังนั้น ฟังก์ชันคลื่นในปริภูมิตำแหน่งของคือ ${\displaystyle \left|\psi _{3}\right\rangle }$$${\displaystyle \psi _{3}(x,t)=c_{1}\psi _{1}(x,t)+c_{2}\psi _{2}(x,t)={\frac {1}{a}}\left(\psi _{2}(x_{0},0)\cdot \psi _{1}(x,0)-\psi _{1}(x_{0},0)\cdot \psi _{2}(x,0)\right)\cdot e^{-iE_{g}t/\hbar }.}$$

ดังนั้น สำหรับทุกๆ $${\displaystyle \psi _{3}(x_{0},t)={\frac {1}{a}}\left(\psi _{2}(x_{0},0)\cdot \psi _{1}(x_{0},0)-\psi _{1}(x_{0},0)\cdot \psi _{2}(x_{0},0)\right)\cdot e^{-iE_{g}t/\hbar }=0}$$${\displaystyle t}$

แต่ie เป็นจุดบัพของฟังก์ชันคลื่นสถานะพื้นฐาน ซึ่งขัดแย้งกับสมมติฐานที่ว่าฟังก์ชันคลื่นนี้ไม่สามารถมีจุดบัพได้ ${\displaystyle \left\langle \psi _{3}|\psi _{3}\right\rangle =|c_{1}|^{2}+|c_{2}|^{2}=1}$${\displaystyle x_{0}}$

โปรดทราบว่าสถานะพื้นฐานอาจเป็นสถานะเสื่อมเนื่องจากสถานะสปิน ที่แตกต่างกัน เช่นและในขณะที่มีฟังก์ชันคลื่นในปริภูมิตำแหน่งเดียวกัน: การซ้อนทับกันของสถานะเหล่านี้จะสร้างสถานะสปินผสม แต่ส่วนเชิงพื้นที่ (ซึ่งเป็นปัจจัยร่วมของทั้งสอง) จะยังคงไม่เปลี่ยนแปลง ${\displaystyle \left|\uparrow \right\rangle }$${\displaystyle \left|\downarrow \right\rangle }$

• ฟังก์ชันคลื่นของสถานะพื้นฐานของอนุภาคในกล่องหนึ่งมิติ เป็น คลื่นไซน์ครึ่งคาบซึ่งมีค่าเป็นศูนย์ที่ขอบทั้งสองของบ่อศักย์ พลังงานของอนุภาคกำหนดโดย โดยที่hคือค่าคงที่ของพลังค์ m คือมวลของอนุภาคnคือสถานะพลังงาน ( n = 1 สอดคล้องกับพลังงานสถานะพื้นฐาน) และLคือความกว้างของบ่อศักย์${\textstyle {\frac {h^{2}n^{2}}{8mL^{2}}}}$
• ฟังก์ชันคลื่นของสถานะพื้นฐานของอะตอมไฮโดรเจนเป็นการกระจายแบบสมมาตรทรงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่นิวเคลียสโดยจะมีค่ามากที่สุดที่จุดศูนย์กลางและลดลงแบบเอกซ์โปเนน เชียล ที่ระยะห่างมากขึ้นอิเล็กตรอนมีแนวโน้มที่จะพบมากที่สุดที่ระยะห่างจากนิวเคลียสเท่ากับรัศมีของโบร์ฟังก์ชันนี้เรียกว่าออร์บิทัลอะตอม 1s สำหรับไฮโดรเจน (H) อิเล็กตรอนในสถานะพื้นฐานมีพลังงาน−13.6 eVเมื่อเทียบกับเกณฑ์การแตกตัวเป็นไอออนกล่าวอีกนัยหนึ่ง 13.6 eV คือพลังงานที่ต้องป้อนเข้าไปเพื่อให้อิเล็กตรอนหลุดออกจากอะตอม
• นับตั้งแต่ปี 1997 นิยามที่แน่นอนของหนึ่งวินาทีคือระยะเวลาของ...9 192 631 770ช่วงเวลาของการแผ่รังสีที่สอดคล้องกับการเปลี่ยนผ่านระหว่าง ระดับ ไฮเปอร์ไฟน์ สอง ระดับของสถานะพื้นฐานของ อะตอม ซีเซียม -133 ที่หยุดนิ่งที่อุณหภูมิ 0 K ^{[ 3 ]}

• เฟย์นแมน, ริชาร์ด ; ไลตัน, โรเบิร์ต; แซนด์ส, แมทธิว (1965). "ดูส่วนที่ 2-5 สำหรับระดับพลังงาน, 19 สำหรับอะตอมไฮโดรเจน" . การบรรยายฟิสิกส์ของเฟย์นแมน . เล่ม 3.