ในพีชคณิตเชิงเส้นเมทริกซ์แฮงเคล (หรือเมทริกซ์คาตาเลคติแคนต์ ) ซึ่งตั้งชื่อตามเฮอร์มันน์ แฮงเคลคือเมทริกซ์สี่เหลี่ยมผืนผ้าที่ค่าตามแนวทแยงมุมเฉียงจากซ้ายไปขวาแต่ละค่ามีค่าคงที่ ตัวอย่างเช่น

$${\displaystyle \qquad {\begin{bmatrix}a&b&c&d&e\\b&c&d&e&f\\c&d&e&f&g\\d&e&f&g&h\\e&f&g&h&i\\\end{bmatrix}}.}$$

โดยทั่วไปแล้วเมทริกซ์แฮงเคลคือเมทริกซ์ ใดๆ ที่มีรูปแบบดังนี้ ${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle A}$

$${\displaystyle A={\begin{bmatrix}a_{0}&a_{1}&a_{2}&\ldots &a_{n-1}\\a_{1}&a_{2}&&&\vdots \\a_{2}&&&&a_{2n-4}\\\vdots &&&a_{2n-4}&a_{2n-3}\\a_{n-1}&\ldots &a_{2n-4}&a_{2n-3}&a_{2n-2}\end{bmatrix}}.}$$

ในแง่ของส่วนประกอบ ถ้ากำหนดให้องค์ประกอบของ เป็น และสมมติว่าแล้วเราจะได้สำหรับทุก ๆ${\displaystyle i,j}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A_{ij}}$${\displaystyle i\leq j}$${\displaystyle A_{i,j}=A_{i+k,jk}}$${\displaystyle k=0,...,ji.}$

• เมทริกซ์แฮงเคลจัตุรัสใดๆ ก็เป็นเมทริกซ์สมมาตรได้เช่นกัน
• ให้เป็นเมทริกซ์แลกเปลี่ยนถ้าเป็นเมทริกซ์แฮงเคล แล้ว โดยที่เป็นเมทริกซ์โทปลิตซ์${\displaystyle J_{n}}$${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle H}$${\displaystyle m\times n}$${\displaystyle H=TJ_{n}}$${\displaystyle T}$${\displaystyle m\times n}$
• ถ้าสมมาตรจริงจะมีค่าลักษณะเฉพาะเหมือน กัน กับเครื่องหมาย^{[ 1 ]}${\displaystyle T}$${\displaystyle H=TJ_{n}}$${\displaystyle T}$
• เมทริกซ์ฮิลเบิร์ตเป็นตัวอย่างหนึ่งของเมทริกซ์แฮงเคล
• ตัวกำหนดของเมทริกซ์แฮงเคลเรียกว่า ตัว เร่งปฏิกิริยา
• ถ้าเป็น เมทริก ซ์Hankel แล้ว โดยที่เป็นเมทริกซ์ Vandermonde ที่ต่อเนื่องกันและเป็นเมทริกซ์แนวทแยงมุมบล็อก โดยมีบล็อกสามเหลี่ยมสมมาตรและบล็อกสามเหลี่ยมด้านบนที่ไม่สมมาตร^{[ 2 ]}${\displaystyle H}$${\displaystyle n\times n}$${\displaystyle H=V^{T}DV}$${\displaystyle V}$${\displaystyle D}$

เมื่อกำหนดอนุกรมลอเรนต์อย่างเป็นทางการตัวดำเนินการแฮงเคล ที่สอดคล้องกันจะถูกกำหนดเป็น^{[ 3 ]} ซึ่งรับพหุนามและส่งไปยังผลคูณแต่ทิ้งกำลังทั้งหมดของที่มีเลขชี้กำลังไม่เป็นลบ เพื่อให้ได้องค์ประกอบในซึ่งเป็นอนุกรมกำลังอย่างเป็นทางการที่มีเลขชี้กำลังเป็นลบอย่างเคร่งครัด แผนที่นี้เป็นเชิงเส้นตามธรรมชาติและเมทริกซ์ของมันเมื่อเทียบกับองค์ประกอบและคือเมทริกซ์แฮงเคล เมทริกซ์แฮงเคลใดๆ เกิดขึ้นในลักษณะนี้ทฤษฎีบทของโครเนกเกอร์กล่าวว่าอันดับของเมทริกซ์นี้มีค่าจำกัดก็ต่อเมื่อเป็นฟังก์ชันตรรกยะนั่นคือ เศษส่วนของพหุนามสองตัว $${\displaystyle f(z)=\sum _{n=-\infty }^{N}a_{n}z^{n},}$$$${\displaystyle H_{f}:\mathbf {C} [z]\to \mathbf {z} ^{-1}\mathbf {C} [[z^{-1}]].}$$${\displaystyle g\in \mathbf {C} [z]}$${\displaystyle fg}$${\displaystyle z}$${\displaystyle z^{-1}\mathbf {C} [[z^{-1}]]}$${\displaystyle H_{f}}$${\displaystyle \mathbf {C} [z]}$${\displaystyle 1,z,z^{2},\dots \in \mathbf {C} [z]}$${\displaystyle z^{-1},z^{-2},\dots \in z^{-1}\mathbf {C} [[z^{-1}]]}$$${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{-1}&a_{-2}&\ldots \\a_{-2}&a_{-3}&\ldots \\a_{-3}&a_{-4}&\ldots \\\vdots &\vdots &\ddots \end{bmatrix}}.}$$${\displaystyle f}$$${\displaystyle f(z)={\frac {p(z)}{q(z)}}.}$$

เรามักสนใจการประมาณค่าของตัวดำเนินการแฮงเคล โดยอาจใช้ตัวดำเนินการลำดับต่ำ ในการประมาณค่าผลลัพธ์ของตัวดำเนินการ เราสามารถใช้บรรทัดฐานสเปกตรัม (บรรทัดฐาน 2 ของตัวดำเนินการ) เพื่อวัดข้อผิดพลาดของการประมาณค่าของเรา ซึ่งชี้ให้เห็นว่าการ แยกส่วน ค่าเอกลักษณ์ (singular value decomposition ) เป็นเทคนิคที่เป็นไปได้ในการประมาณการทำงานของตัวดำเนินการ

โปรดทราบว่าเมทริกซ์ไม่จำเป็นต้องเป็นเมทริกซ์จำกัด หากเป็นเมทริกซ์อนันต์ วิธีการคำนวณเวกเตอร์เอกฐานแต่ละตัวแบบดั้งเดิมจะไม่สามารถใช้งานได้โดยตรง นอกจากนี้ เรายังต้องการให้การประมาณค่าเป็นเมทริกซ์แฮงเคล ซึ่งสามารถแสดงได้ด้วยทฤษฎี AAK ${\displaystyle A}$

การแปลงเมทริกซ์แฮงเคลหรือเรียกสั้น ๆ ว่าการแปลงแฮงเคลของลำดับ คือ ลำดับของดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์แฮงเคลที่สร้างขึ้นจากกำหนดให้จำนวนเต็มกำหนดเมทริกซ์แฮง เคลมิติ ที่สอดคล้องกัน โดยมีองค์ประกอบเมทริกซ์ จาก นั้นลำดับที่กำหนดโดย คือการแปลงแฮงเคลของลำดับการแปลงแฮงเคลไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การแปลงทวินามของลำดับ นั่นคือ ถ้าเขียน เป็นการแปลงทวินามของลำดับแล้วจะได้${\displaystyle b_{k}}$${\displaystyle b_{k}}$${\displaystyle n>0}$${\displaystyle (n\times n)}$${\displaystyle B_{n}}$${\displaystyle [B_{n}]_{i,j}=b_{i+j}.}$${\displaystyle h_{n}}$$${\displaystyle h_{n}=\det B_{n}}$$${\displaystyle b_{k}.}$$${\displaystyle c_{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}b_{k}}$$${\displaystyle b_{n}}$${\displaystyle \det B_{n}=\det C_{n}.}$

เมทริกซ์ Hankel ถูกสร้างขึ้นเมื่อ ต้องการ สร้างแบบ จำลองสถานะหรือแบบจำลอง Markov ที่ซ่อนอยู่โดยกำหนดลำดับของข้อมูลเอาต์พุต^{[ 4 ]} การแยกส่วนค่าเอกลักษณ์ของเมทริกซ์ Hankel ช่วยให้สามารถคำนวณ เมทริกซ์ A , BและCซึ่งกำหนดแบบจำลองสถานะได้^{[ 5 ]}พบว่าเมทริกซ์ Hankel ที่สร้างจากสัญญาณมีประโยชน์สำหรับการแยกส่วนสัญญาณที่ไม่คงที่และการแสดงความถี่เวลา

วิธีการของโมเมนต์ที่ใช้กับการกระจายพหุนามส่งผลให้ได้เมทริกซ์ Hankel ซึ่งจำเป็นต้องผกผันเพื่อให้ได้พารามิเตอร์น้ำหนักของการประมาณการกระจายพหุนาม^{[ 6 ]}

• เมทริกซ์โคชี
• ตัวดำเนินการจาโคบี
• เมทริกซ์ Toeplitzคือเมทริกซ์ Hankel แบบ "กลับหัว" (กล่าวคือ แถวสลับกัน)
• เมทริกซ์แวนเดอร์มอนด์