ในวิชาคณิตศาสตร์ทฤษฎีกลุ่ม ข้อสันนิษฐานของฮันนา นอยมันน์เป็นข้อความเกี่ยวกับอันดับของการตัดกันของกลุ่มย่อยที่สร้างขึ้นอย่างจำกัดสองกลุ่มของ กลุ่มอิสระข้อสันนิษฐานนี้ถูกตั้งขึ้นโดยฮันนา นอยมันน์ในปี 1957 ^{[ 1 ]} ในปี 2011 ข้อสันนิษฐานเวอร์ชันที่แข็งแกร่งขึ้น (ดูด้านล่าง ) ได้รับการพิสูจน์โดยอิสระโดยโจเอล ฟรีดแมน^{[ 2 ]} และโดยอิกอร์ มิเนเยฟ^{[ 3 ]}

ในปี 2017 Andrei Jaikin-Zapirain ได้เผยแพร่บทพิสูจน์ที่สามของสมมติฐาน Hanna Neumann ที่ได้รับการเสริมความแข็งแกร่ง โดยอาศัยข้อโต้แย้งเชิงโฮโมโลยีที่ได้รับแรงบันดาลใจจาก การพิจารณา pro-p-group ^{[ 4 ]}

หัวข้อของการคาดการณ์นี้เดิมทีได้รับแรงบันดาลใจจากทฤษฎีบทของ Howson ในปี 1954 ^{[ 5 ]}ซึ่งพิสูจน์ว่าการตัดกันของ กลุ่มย่อย ที่สร้างขึ้นอย่างจำกัด สอง กลุ่ม ใดๆ ของกลุ่มอิสระจะสร้างขึ้นอย่างจำกัดเสมอ นั่นคือมีอันดับ จำกัด ในบทความนี้ Howson พิสูจน์ว่าถ้าHและKเป็นกลุ่มย่อยของกลุ่มอิสระF ( X ) ที่มีอันดับจำกัดn  ≥ 1 และm  ≥ 1 แล้ว อันดับsของH  ∩  Kจะเป็นไปตาม:

s  − 1 ≤ 2 mn  −  m  −  n .

ในบทความปี 1956 ^{[ 6 ]} Hanna Neumannได้ปรับปรุงขอบเขตนี้โดยแสดงให้เห็นว่า:

s  − 1 ≤ 2 mn  −  2m  −  n .

ในส่วนเพิ่มเติมปี 1957 ^{[ 1 ]} Hanna Neumann ได้ปรับปรุงขอบเขตนี้เพิ่มเติมเพื่อแสดงให้เห็นว่าภายใต้สมมติฐานข้างต้น

s − 1 ≤ 2( m − 1)( n − 1)

เธอยังตั้งข้อสังเกตอีกว่า ตัวประกอบ 2 ในอสมการข้างต้นนั้นไม่จำเป็น และว่าโดยทั่วไปแล้วจะมี 2 อยู่เสมอ

s  − 1 ≤ ( m  − 1)( n  − 1)

ข้อความนี้ต่อมาเป็นที่รู้จักในชื่อสมมติฐานฮันนา นอยมันน์

ให้H , K ≤ F ( X ) เป็นกลุ่มย่อยที่สร้างขึ้นอย่างจำกัดและไม่เป็นศูนย์สองกลุ่มของกลุ่มอิสระF ( X ) และให้L  =  H  ∩  Kเป็นจุดตัดของHและKข้อสันนิษฐานกล่าวว่าในกรณีนี้

rank( L ) − 1 ≤ (rank( H ) − 1)(rank( K ) − 1)

สำหรับกลุ่มGปริมาณ rank( G ) คืออันดับของGซึ่งก็คือขนาดที่เล็กที่สุดของเซตตัวสร้างสำหรับGทุกกลุ่มย่อยของกลุ่มอิสระถือว่าเป็นกลุ่มอิสระเช่นกัน และอันดับของกลุ่มอิสระจะเท่ากับขนาดของฐานอิสระใดๆ ของกลุ่มอิสระนั้น

ถ้าH , K ≤ Gเป็นกลุ่มย่อยสองกลุ่มของกลุ่มGและถ้าa , b ∈ Gกำหนดโคเซตคู่ เดียวกัน HaK = HbKแล้วกลุ่มย่อยH  ∩  aKa ⁻¹และH  ∩  bKb ⁻¹จะเป็นคู่สมในG และดังนั้นจึงมี อันดับเดียวกัน เป็นที่ทราบกันว่าถ้าH , K ≤ F ( X ) เป็น กลุ่มย่อย ที่สร้างขึ้นอย่างจำกัดของกลุ่มอิสระ ที่สร้างขึ้นอย่างจำกัด F ( X ) แล้วจะมีคลาสโคเซตคู่HaKในF ( X ) อย่างมากที่สุดจำนวนจำกัดเท่านั้นที่H  ∩  aKa ⁻¹  ≠ {1} สมมติว่ามีโคเซตคู่อย่างน้อยหนึ่งชุด และให้a ,..., a เป็นตัวแทนที่แตกต่างกันทั้งหมดของโคเซตคู่ดัง กล่าว สมมติฐาน Hanna Neumann ที่แข็งแกร่งขึ้นซึ่งกำหนดโดยWalter Neumann บุตรชายของเธอ (1990) ^{[ 7 ]}ระบุว่าในสถานการณ์นี้

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}[{\rm {rank}}(H\cap a_{i}Ka_{i}^{-1})-1]\leq ({\rm {rank}}(H)-1)({\rm {rank}}(K)-1).}$

ข้อสันนิษฐานของฮันนา นอยมันน์ที่ได้รับการเสริมความแข็งแกร่งได้รับการพิสูจน์ในปี 2011 โดยโจเอล ฟรีดแมน^{[ 2 ]} หลังจากนั้นไม่นาน อิกอร์ มิเนเยฟ ก็ได้ให้การพิสูจน์อีกแบบหนึ่ง^{[ 3 ]}

• ในปี พ.ศ. 2514 เบิร์นส์ได้ปรับปรุง^{[ 8 ]}ขอบเขตของฮันนา นอยมันน์ในปี พ.ศ. 2590 และพิสูจน์ว่าภายใต้สมมติฐานเดียวกันกับในบทความของฮันนา นอยมันน์ จะมี

s ≤ 2 mn  − 3 m  − 2 n  + 4.

• ในเอกสารปี 1990 ^{[ 7 ]} Walter Neumann ได้กำหนดสมมติฐาน Hanna Neumann ที่แข็งแกร่งขึ้น (ดูข้อความข้างต้น)
• Tardos (1992) ^{[ 9 ]}ได้กำหนดสมมติฐาน Hanna Neumann ที่แข็งแกร่งขึ้นสำหรับกรณีที่อย่างน้อยหนึ่งกลุ่มย่อยHและKของF ( X ) มีอันดับสอง เช่นเดียวกับแนวทางอื่นๆ ส่วนใหญ่ในสมมติฐาน Hanna Neumann Tardos ใช้เทคนิคกราฟกลุ่มย่อย Stallings ^{[ 10 ]}สำหรับการวิเคราะห์กลุ่มย่อยของกลุ่มอิสระและจุดตัดของกลุ่มเหล่านั้น
• Warren Dicks (1994) ^{[ 11 ]}ได้สร้างความเท่าเทียมกันของสมมติฐาน Hanna Neumann ที่แข็งแกร่งขึ้นและข้อความเชิงทฤษฎีกราฟที่เขาเรียกว่าสมมติฐานกราฟที่รวมกัน
• Arzhantseva (2000) พิสูจน์^{[ 12 ]}ว่าถ้าHเป็นกลุ่มย่อยที่สร้างขึ้นอย่างจำกัดที่มีดัชนีอนันต์ในF ( X ) แล้ว ในความหมายทางสถิติบางอย่าง สำหรับกลุ่มย่อยที่สร้างขึ้นอย่างจำกัดทั่วไปในเรามีH  ∩  gKg ^{−1 = {1} สำหรับ} g  ทั้งหมดในFดังนั้น สมมติฐาน Hanna Neumann ที่แข็งแกร่งขึ้นจึงเป็นจริงสำหรับทุกH และKทั่วไป${\displaystyle K}$${\displaystyle F(X)}$
• ในปี พ.ศ. 2544 Dicks และFormanekได้พิสูจน์สมมติฐาน Hanna Neumann ที่แข็งแกร่งขึ้นสำหรับกรณีที่อย่างน้อยหนึ่งกลุ่มย่อยHและKของF ( X ) มีอันดับไม่เกินสาม^{[ 13 ]}
• Khan (2002) ^{[ 14 ]}และ Meakin และ Weil (2002) ^{[ 15 ]}แสดงให้เห็นโดยอิสระว่าข้อสรุปของสมมติฐาน Hanna Neumann ที่แข็งแกร่งขึ้นนั้นเป็นจริงหากกลุ่มย่อยH , KของF ( X ) กลุ่มใดกลุ่มหนึ่งถูกสร้างขึ้นในเชิงบวกนั่นคือ สร้างขึ้นโดยเซตคำจำกัดที่เกี่ยวข้องกับองค์ประกอบของX เท่านั้น แต่ไม่ใช่X ⁻¹เป็นตัวอักษร
• Ivanov ^{[ 16 ] [ 17 ]}และ Dicks และ Ivanov ^{[ 18 ]}ได้รับอนาล็อกและการสรุปทั่วไปของผลลัพธ์ของ Hanna Neumann สำหรับการตัดกันของกลุ่มย่อยHและKของผลคูณอิสระของกลุ่มหลายกลุ่ม
• Wise (2005) อ้างว่า^{[ 19 ]}สมมติฐาน Hanna Neumann ที่แข็งแกร่งขึ้นนั้นบ่งบอกถึงสมมติฐานทฤษฎีกลุ่มที่มีมายาวนานอีกประการหนึ่งซึ่งกล่าวว่ากลุ่มที่มีตัวสัมพันธ์หนึ่งตัว ทุกกลุ่ม ที่มีแรงบิดนั้นมีความสอดคล้องกัน (นั่นคือ กลุ่มย่อย ที่สร้างขึ้นอย่างจำกัด ทุก กลุ่มในกลุ่มดังกล่าวจะถูกนำเสนออย่างจำกัด )

• ทฤษฎีกลุ่มเรขาคณิต