การเรียกซ้ำของ Panjerเป็นอัลกอริทึมในการคำนวณ การประมาณ ค่าการกระจายความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มแบบ ผสม โดยที่ทั้งและเป็นตัวแปรสุ่มและมีประเภทพิเศษ ในกรณีทั่วไป การกระจายของSเป็นการกระจายแบบผสมการเรียกซ้ำสำหรับกรณีพิเศษที่พิจารณาได้รับการแนะนำในบทความ^{[ 1 ]}โดยHarry Panjer (ศาสตราจารย์เกียรติคุณดีเด่นมหาวิทยาลัยวอเตอร์ลู^{[ 2 ]} ) มีการใช้งานอย่างแพร่หลายในวิทยาศาสตร์ประกันภัย (ดูความเสี่ยงเชิงระบบ ด้วย ) ${\displaystyle S=\sum _{i=1}^{N}X_{i}\,}$${\displaystyle N\,}$${\displaystyle X_{i}\,}$

เราสนใจตัวแปรสุ่มเชิงผสมที่และเป็นไปตามเงื่อนไขเบื้องต้นต่อไปนี้ ${\displaystyle S=\sum _{i=1}^{N}X_{i}\,}$${\displaystyle N\,}$${\displaystyle X_{i}\,}$

เราถือว่าตัวแปรสุ่มเป็น แบบอิสระและมีการกระจายเหมือนกัน (iid ) และไม่ขึ้นกับตัวแปรต้น นอกจากนี้ ตัวแปรสุ่มจะต้องกระจายอยู่บนโครงข่ายที่มีความกว้างของโครงข่ายเท่ากับ ${\displaystyle X_{i}\,}$${\displaystyle N\,}$${\displaystyle X_{i}\,}$${\displaystyle h\mathbb {N} _{0}\,}$${\displaystyle h>0\,}$

${\displaystyle f_{k}=P[X_{i}=hk].\,}$

ในทางปฏิบัติทางคณิตศาสตร์ประกันภัยจะได้มาจากการแบ่งฟังก์ชันความหนาแน่นของการเรียกร้องค่าสินไหมทดแทนออกเป็นช่วงๆ (ช่วงบน ช่วงล่าง...) ${\displaystyle X_{i}\,}$

จำนวนการเรียกร้องNเป็นตัวแปรสุ่มซึ่งกล่าวได้ว่ามี "การแจกแจงจำนวนการเรียกร้อง" และสามารถรับค่าได้ 0, 1, 2, ... เป็นต้น สำหรับ "การเรียกซ้ำของ Panjer" การแจกแจงความน่าจะ เป็น ของNจะต้องเป็นสมาชิกของกลุ่ม Panjerหรือที่รู้จักกันในชื่อกลุ่มการแจกแจง (a,b,0)กลุ่มนี้ประกอบด้วยตัวแปรสุ่มนับทั้งหมดที่ตรงตามความสัมพันธ์ต่อไปนี้:

${\displaystyle P[N=k]=p_{k}=\left(a+{\frac {b}{k}}\right)\cdot p_{k-1},~~k\geq 1.\,}$

สำหรับบางกรณีและซึ่งตรงตามเงื่อนไขค่าเริ่มต้นถูกกำหนดไว้ดังนี้${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle a+b\geq 0\,}$${\displaystyle p_{0}\,}$${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }p_{k}=1.\,}$

การเรียกซ้ำของ Panjer ใช้ประโยชน์จากความสัมพันธ์แบบวนซ้ำนี้เพื่อระบุวิธีการเรียกซ้ำในการสร้างการแจกแจงความน่าจะเป็นของSต่อไปนี้หมายถึงฟังก์ชันสร้างความน่าจะเป็นของN : สำหรับเรื่องนี้ โปรดดูตารางในกลุ่มการแจกแจง (a,b,0 ) ${\displaystyle W_{N}(x)\,}$

ในกรณีที่ทราบหมายเลขการเรียกร้อง โปรดสังเกตอัลกอริทึมDe Pril ^{[ 3 ]}อัลกอริทึมนี้เหมาะสำหรับการคำนวณการกระจายผลรวมของตัวแปรสุ่ม แบบ ไม่ต่อเนื่อง^{[ 4 ]}${\displaystyle n}$

ขณะนี้อัลกอริธึมให้การเรียกซ้ำเพื่อคำนวณค่า. ${\displaystyle g_{k}=P[S=hk]\,}$

ค่าเริ่มต้นจะพิจารณาจากกรณีพิเศษ ${\displaystyle g_{0}=W_{N}(f_{0})\,}$

${\displaystyle g_{0}=p_{0}\cdot \exp(f_{0}b)\quad {\text{ if }}\quad a=0,\,}$

และ

${\displaystyle g_{0}={\frac {p_{0}}{(1-f_{0}a)^{1+b/a}}}\quad {\text{ for }}\quad a\neq 0,\,}$

และดำเนินการต่อไป

${\displaystyle g_{k}={\frac {1}{1-f_{0}a}}\sum _{j=1}^{k}\left(a+{\frac {b\cdot j}{k}}\right)\cdot f_{j}\cdot g_{k-j}.\,}$

ตัวอย่างต่อไปนี้แสดงความหนาแน่นโดยประมาณของโดยที่และด้วยความกว้างของตารางh = 0.04 (ดูการกระจายแบบ Fréchet ) ${\displaystyle \scriptstyle S\,=\,\sum _{i=1}^{N}X_{i}}$${\displaystyle \scriptstyle N\,\sim \,{\text{NegBin}}(3.5,0.3)\,}$${\displaystyle \scriptstyle X\,\sim \,{\text{Frechet}}(1.7,1)}$

ดังที่สังเกตได้ ปัญหาอาจเกิดขึ้นในการเริ่มต้นการเรียกซ้ำ Guégan และ Hassani (2009) ได้เสนอวิธีแก้ปัญหาดังกล่าว^{[ 5 ]}

• การเรียกซ้ำของ Panjer และการแจกแจงที่สามารถนำไปใช้ได้