ในสาขาคณิตศาสตร์โทโพโลยีเชิงเรขาคณิตการแยกแบบฮีการ์ด ( ภาษาเดนมาร์ก: [ˈhe̝ˀˌkɒˀ])^ⓘ ) คือการแยกส่วนของแมนิโฟลด์ 3 มิติซึ่งได้มาจากการแบ่งออกเป็นสองแฮนด์เดิลบอดี้

ให้VและWเป็นแฮนด์เดิลบอดี้ที่มีจีนัสgและให้ ƒ เป็นโฮมีโอเมอร์ฟิซึม ที่กลับทิศทาง จากขอบของVไปยังขอบของWโดยการเชื่อมVเข้ากับW ตามแนว ƒ เราจะได้แมนิ โฟลด์ 3 มิติแบบกะทัดรัดและมี ทิศทาง

${\displaystyle M=V\ถ้วย _{f}W.}$

ระนาบสามมิติแบบปิดและ สามารถกำหนดทิศทางได้ทุกระนาบสามารถได้มาด้วยวิธีนี้ ซึ่งเป็นผลมาจากผลลัพธ์เชิงลึกเกี่ยวกับการสร้างรูปสามเหลี่ยมของระนาบสามมิติโดยMoiseสิ่งนี้แตกต่างอย่างมากกับระนาบสามมิติที่มีมิติสูงกว่าซึ่งไม่จำเป็นต้องมีโครงสร้างที่เรียบหรือเป็นเส้นตรงแบบเป็นช่วงๆ หากสมมติว่ามีความเรียบ การมีอยู่ของการแยกแบบ Heegaard ก็เป็นผลมาจากงานของSmaleเกี่ยวกับการแยกส่วนของแฮนด์เดิลจากทฤษฎีของ Morse ด้วย

การแยกMออกเป็นสองส่วนเรียกว่าการแยกแบบฮีการ์ด (Heegaard splitting ) และขอบเขตร่วมH ของทั้งสองส่วน เรียกว่าพื้นผิวฮีการ์ดของการแยก การแยกจะพิจารณาถึงระดับไอโซโทปีด้วย

แผนที่การเชื่อมต่อ ƒ จำเป็นต้องระบุเพียงแค่การรับโคเซต คู่ ในกลุ่มคลาสการแมปของHเท่านั้น การเชื่อมต่อกับกลุ่มคลาสการแมปนี้เกิดขึ้นครั้งแรกโดยWBR Lickorish

การแยกแบบ Heegaard สามารถกำหนดได้สำหรับ 3-manifold ขนาดกะทัดรัดที่มีขอบเขต โดยการแทนที่ handlebodies ด้วยcompression bodiesแผนที่การเชื่อมต่อจะอยู่ระหว่างขอบเขตบวกของ compression bodies

เส้นโค้งปิดเรียกว่าเส้นโค้งสำคัญหากไม่ตรงกับจุด จุดเจาะ หรือส่วนประกอบขอบเขต^{[ 1 ]}

การแยกแบบ Heegaard สามารถลดทอนได้หากมีเส้นโค้งปิดแบบง่ายที่สำคัญบนHซึ่งล้อมรอบดิสก์ทั้งในVและในWการแยกจะไม่สามารถลดทอนได้ หากไม่สามารถลดทอนได้ จาก ทฤษฎีบทของ Hakenสรุปได้ว่าในแมนิโฟลด์ที่ลดทอนได้การแยกทุกแบบสามารถลดทอนได้ ${\displaystyle \alpha }$

การแยกแบบ Heegaard จะมีเสถียรภาพก็ต่อเมื่อมีเส้นโค้งปิดแบบง่ายที่สำคัญบนH โดยที่เป็นขอบเขตของวงกลมในVเป็นขอบเขตของวงกลมในWและและ ตัดกันเพียงครั้งเดียวเท่านั้น จาก ทฤษฎีบทของ Waldhausenสรุปได้ว่าการแยกแบบลดรูปได้ทุกแบบของแมนิโฟลด์แบบลดรูปไม่ได้นั้นมีเสถียรภาพ ${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta }$

การแยกแบบ Heegaard สามารถลดทอนได้อย่างอ่อนหากมีเส้นโค้งปิดเชิงเดี่ยวที่สำคัญซึ่งไม่ทับซ้อนกันและบนHโดยที่ขอบเขตของวงกลมในVและขอบเขตของวงกลมในWการแยกจะไม่สามารถลดทอนได้อย่างเข้มแข็งหากไม่สามารถลดทอนได้อย่างอ่อน ${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta }$

การแยกแบบ Heegaard เรียกว่าการแยกขั้นต่ำหรือจีนัสขั้นต่ำหากไม่มีการแยกอื่นใดของสามมิติโดยรอบที่มีจีนัส ต่ำกว่า ค่าต่ำสุดgของพื้นผิวการแยกคือจีนัส HeegaardของM

การแยกแบบ Heegaard ทั่วไปของMคือการแยกส่วนออกเป็น ตัวบีบอัด และพื้นผิวโดยที่และภายในของตัวบีบอัดจะต้องแยกจากกันเป็นคู่ๆ และการรวมกันของพวกมันจะต้องเป็นทั้งหมดของพื้นผิวก่อให้เกิดพื้นผิว Heegaard สำหรับส่วนย่อยของ(โปรดทราบว่าในที่นี้V _iและW _i แต่ละตัว สามารถมีส่วนประกอบได้มากกว่าหนึ่งส่วน) ${\displaystyle V_{i},W_{i},i=1,\dotsc ,n}$${\displaystyle H_{i},i=1,\dotsc ,n}$${\displaystyle \partial _{+}V_{i}=\partial _{+}W_{i}=H_{i}}$${\displaystyle \partial _{-}W_{i}=\partial _{-}V_{i+1}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle H_{i}}$${\displaystyle V_{i}\ถ้วย W_{i}}$${\displaystyle M}$

การแยกแบบ Heegaard ทั่วไปเรียกว่าไม่สามารถลดทอนได้อย่างเข้มแข็งหากแต่ละส่วนไม่สามารถลดทอนได้อย่างเข้มแข็งเช่นกัน ${\displaystyle V_{i}\ถ้วย W_{i}}$

มีแนวคิดที่คล้ายคลึงกันของตำแหน่งบาง (thin position ) ซึ่งกำหนดไว้สำหรับปม (knots) สำหรับการแยกแบบฮีการ์ด (Heegaard splittings) ความซับซ้อนของพื้นผิวที่เชื่อมต่อกันS , c(S) , ถูกกำหนดให้เป็น; ความซับซ้อนของพื้นผิวที่ไม่เชื่อมต่อกันคือผลรวมของความซับซ้อนของส่วนประกอบต่างๆ ความซับซ้อนของการแยกแบบฮีการ์ดทั่วไป (generalized Heegaard splitting) คือเซตหลายค่า (multi-set) โดยที่ดัชนีวิ่งไปตามพื้นผิวฮีการ์ดในการแยกแบบทั่วไป เซตหลายค่าเหล่านี้สามารถเรียงลำดับได้ดีโดยการเรียงลำดับตามพจนานุกรม (ลดลงอย่างต่อเนื่อง) การแยกแบบฮีการ์ดทั่วไปจะบางหากความซับซ้อนของมันน้อยที่สุด ${\displaystyle \operatorname {max} \left\{0,1-\chi (S)\right\}}$${\displaystyle \{c(S_{i})\}}$

สามทรงกลม

ทรงกลมสามมิติคือเซตของเวกเตอร์ในที่มีความยาวหนึ่ง การตัดกันของทรงกลมสามมิตินี้กับระนาบไฮเปอร์เพลนจะให้ ทรงกลม สองชั้นนี่คือการแยกแบบจีนัสศูนย์มาตรฐาน ของ ในทางกลับกัน ด้วยกลอุบายของอเล็กซานเดอร์ แมนิโฟลด์ทั้งหมดที่ยอมรับการแยกแบบจีนัสศูนย์จะเป็นโฮมีโอเมอร์ฟิกกับ${\displaystyle S^{3}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$${\displaystyle xyz}$${\displaystyle S^{3}}$${\displaystyle S^{3}}$

ภายใต้การระบุตัวตนตามปกติของเราอาจมองว่า อาศัยอยู่ในจากนั้นเซตของจุดที่แต่ละพิกัดมีนอร์มจะก่อให้เกิดทอรัสคลิฟฟอร์ด นี่คือการแยกแบบจีนัสหนึ่งมาตรฐานของ(ดูการอภิปรายเพิ่มเติมที่บันเดิลฮอปฟ์ ด้วย )${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$${\displaystyle S^{3}}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$${\displaystyle 1/{\sqrt {2}}}$${\displaystyle T^{2}}$${\displaystyle S^{3}}$

การรักษาเสถียรภาพ

เมื่อกำหนดการแยกแบบ Heegaard HในMการทำให้H มีเสถียรภาพจะเกิดขึ้นจากการนำผลรวมที่เชื่อมต่อกันของคู่กับคู่ มาใช้สามารถแสดงได้ง่ายว่ากระบวนการทำให้มีเสถียรภาพจะให้ผลลัพธ์เป็นการแยกที่มีเสถียรภาพ ในทางอุปนัย การแยกจะถือว่าเป็นมาตรฐานหากเป็นการทำให้เสถียรของการแยกมาตรฐาน${\displaystyle (M,H)}$${\displaystyle \left(S^{3},T^{2}\right)}$

ช่องว่างเลนส์

ทั้งหมดมีการแบ่งมาตรฐานของจีนัสหนึ่ง นี่คือภาพของทอรัสคลิฟฟอร์ดภายใต้แผนที่ผลหารที่ใช้ในการกำหนดปริภูมิเลนส์ที่กล่าวถึง จากโครงสร้างของกลุ่มชั้นการแมปของทอรัสสองตัว จึงสรุปได้ ว่ามีเพียงปริภูมิเลนส์เท่านั้นที่มีการแบ่งจีนัสหนึ่ง${\displaystyle S^{3}}$

สามทอรัส

โปรดจำไว้ว่าทอรัสสามมิติคือผลคูณคาร์ทีเซียนของวงกลมสามวงให้เป็นจุดในและพิจารณากราฟเป็นการง่ายที่จะแสดงว่าVซึ่ง เป็น ย่านใกล้เคียงปกติของเป็นแฮนด์เดิลบอดี้ เช่นเดียวกับดังนั้นขอบเขตของVในจึงเป็นการแยกแบบฮีการ์ด และนี่คือการแยกแบบมาตรฐาน ของ ชาร์ลส์ โฟรห์แมนและ โจเอล ฮาสส์ได้พิสูจน์แล้วว่าการแยกแบบฮีการ์ดของทอรัสสามมิติที่มีจีนัส 3 อื่นๆ นั้นเทียบเท่าทางโทโพโลยีกับการแยกแบบนี้ มิเชล บอยโลและฌอง-ปิแอร์ โอตาลได้พิสูจน์แล้วว่าโดยทั่วไปแล้วการแยกแบบฮีการ์ดของทอรัสสามมิติใดๆ นั้นเทียบเท่ากับผลลัพธ์ของการทำให้ตัวอย่างนี้เสถียร${\displaystyle T^{3}}$${\displaystyle S^{1}}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle S^{1}}$${\displaystyle \Gamma =S^{1}\times \{x_{0}\}\times \{x_{0}\}\cup \{x_{0}\}\times S^{1}\times \{x_{0}\}\cup \{x_{0}\}\times \{x_{0}\}\times S^{1}}$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle T^{3}-V}$${\displaystyle T^{3}}$${\displaystyle T^{3}}$

บทพิสูจน์ของอเล็กซานเดอร์

เมื่อพิจารณาถึงไอโซโทปี จะมีการฝังตัวแบบเฉพาะ ( เชิงเส้นเป็นช่วงๆ ) ของทรงกลมสองมิติลงในทรงกลมสามมิติ (ในมิติที่สูงกว่านี้เรียกว่าทฤษฎีบทของเชินฟลายในมิติที่สองเรียกว่าทฤษฎีบทเส้นโค้งจอร์แดน ) ซึ่งอาจกล่าวใหม่ได้ดังนี้ การแยกตัวแบบจีนัสศูนย์ของทรงกลมสามมิติมีเอกลักษณ์เฉพาะตัว${\displaystyle S^{3}}$

ทฤษฎีบทของวาลด์เฮาเซน

การแยกย่อยทุกครั้งจะเกิดขึ้นได้โดยการทำให้การแยกย่อยเฉพาะตัวที่มีจีนัสเป็นศูนย์มีความเสถียร${\displaystyle S^{3}}$

สมมติว่าMเป็นสามมิติแบบปิดที่สามารถกำหนดทิศทางได้

ทฤษฎีบทไรเดไมสเตอร์-ซิงเกอร์

สำหรับการแยกคู่ใดๆใน Mจะมีการแยกที่สามในMซึ่งเป็นการทำให้ทั้งสองมีเสถียรภาพ${\displaystyle H_{1}}$${\displaystyle H_{2}}$${\displaystyle H}$

เลมมาของฮาเคน

สมมติว่าเป็นทรงกลมสองมิติที่สำคัญในMและHคือการแยกแบบ Heegaard แล้วจะมีทรงกลมสองมิติที่สำคัญในMที่มาบรรจบกับHในเส้นโค้งเดียว${\displaystyle S_{1}}$${\displaystyle S_{2}}$

มีสามมิติหลายประเภทที่ทราบเซตของการแยกแบบฮีการ์ดอย่างสมบูรณ์ ตัวอย่างเช่น ทฤษฎีบทของวาลด์เฮาเซนแสดงให้เห็นว่าการแยกทั้งหมดของสามมิติเป็นแบบมาตรฐาน หลักการเดียวกันนี้ใช้ได้กับปริภูมิเลนส์ด้วย (ดังที่พิสูจน์โดยฟรานซิส โบนาฮอนและโอทัล) ${\displaystyle S^{3}}$

การแยกตัวของช่องว่างเส้นใย Seifertนั้นมีความละเอียดอ่อนกว่า ในกรณีนี้ การแยกตัวทั้งหมดอาจถูกจัดกลุ่มเป็นแนวตั้งหรือแนวนอน ได้ (ดังที่ Yoav Moriah และ Jennifer Schultensได้พิสูจน์แล้ว)

Cooper & Scharlemann (1999)ได้จำแนกการแยกส่วนของกลุ่มทอรัส (ซึ่งรวมถึงสามมิติทั้งหมดที่มีเรขาคณิตแบบ Sol ) จากงานของพวกเขา สรุปได้ว่ากลุ่มทอรัสทั้งหมดมีการแยกส่วนที่ไม่ซ้ำกันซึ่งมีจีนัสต่ำสุด การแยกส่วนอื่นๆ ทั้งหมดของกลุ่มทอรัสเป็นการทำให้เสถียรของการแยกส่วนที่มีจีนัสต่ำสุดนั้น

บทความของKobayashi (2001)จำแนกการแยก Heegaard ของ สามมิติ ไฮเปอร์โบลิกซึ่งเป็นส่วนเติมเต็มปมสองสะพาน

วิธีการคำนวณสามารถนำมาใช้เพื่อกำหนดหรือประมาณค่าจีนัสของฮีการ์ด (Heegaard genus) ของแมนิโฟลด์ 3 มิติได้ ซอฟต์แวร์Heegaard ของ John Berge ศึกษาการแยกตัวของฮีการ์ด (Heegaard splittings) ที่สร้างขึ้นโดยกลุ่มพื้นฐานของแมนิโฟลด์

การแยกแบบฮีการ์ด (Heegaard splittings) ปรากฏขึ้นในทฤษฎีพื้นผิวขั้นต่ำ (minimal surfaces)ครั้งแรกในงานของเบลน ลอว์สัน (Blaine Lawson)ซึ่งพิสูจน์ว่าพื้นผิวขั้นต่ำที่ฝังอยู่ในแมนิโฟลด์กระชับ (compact manifolds) ที่มีความโค้งภาคตัดขวางเป็นบวก (positive sectional curvature) คือการแยกแบบฮีการ์ด ผลลัพธ์นี้ได้รับการขยายโดยวิลเลียม มีคส์ (William Meeks) ไปยังแมนิโฟลด์ราบ (flat manifolds) ยกเว้นว่าเขาพิสูจน์ว่าพื้นผิวขั้นต่ำที่ฝังอยู่ในแมนิโฟลด์สามมิติราบ (flat three-manifold) นั้นเป็นได้ทั้งพื้นผิวฮีการ์ดหรือเส้นทาง จีโอเดสิกโดยสมบูรณ์ ( totally geodesic surface )

มีคส์และชิง-ตุง เยาได้นำผลลัพธ์ของวาลด์เฮาเซนมาใช้เพื่อพิสูจน์ผลลัพธ์เกี่ยวกับเอกลักษณ์ทางโทโพโลยีของพื้นผิวขั้นต่ำที่มีจีนัสจำกัดใน การจำแนกประเภททางโทโพโลยีขั้นสุดท้ายของพื้นผิวขั้นต่ำที่ฝังอยู่ใน ได้รับการนำเสนอโดยมีคส์และโฟรห์แมน ผลลัพธ์นี้อาศัยเทคนิคที่พัฒนาขึ้นเพื่อศึกษาโทโพโลยีของการแยกส่วนของฮีการ์ดเป็นอย่างมาก ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

แผนภาพ Heegaard ซึ่งเป็นการอธิบายเชิงการจัดเรียงแบบง่ายๆ ของการแยก Heegaard ได้ถูกนำมาใช้อย่างกว้างขวางในการสร้างตัวแปรคงที่ของสามมิติ ตัวอย่างล่าสุดคือHeegaard Floer homologyของPeter OzsvathและZoltán Szabóทฤษฎีนี้ใช้ผลคูณสมมาตรของพื้นผิว Heegaard เป็นปริภูมิแวดล้อม และทอรัสที่สร้างจากขอบเขตของวงกลมเมริเดียนสำหรับแฮนด์เดิลบอดี้ทั้งสองเป็นซับแมนิโฟลด์แบบลากรางจ์ ${\displaystyle g^{th}}$

แนวคิดเรื่องการแยกแบบฮีการ์ด (Heegaard splitting) ถูกนำเสนอโดยพอล ฮีการ์ด (Poul Heegaard)  ( 1898 ) แม้ว่าการแยกแบบฮีการ์ดจะได้รับการศึกษาอย่างกว้างขวางโดยนักคณิตศาสตร์ เช่น โวล์ฟกัง ฮาเคน ( Wolfgang Haken)และ ฟรีดเฮล์ม วัลด์เฮาเซน ( Friedhelm Waldhausen ) ในช่วงทศวรรษ 1960 แต่ก็ไม่ใช่จนกระทั่งอีกหลายทศวรรษต่อมาที่สาขานี้ได้รับการฟื้นฟูโดยแอนดรูว์ แคสสัน (Andrew Casson) และ คา เมรอน กอร์ดอน (Cameron Gordon )  ( 1987 ) โดยเฉพาะอย่างยิ่งผ่านแนวคิดเรื่องความไม่สามารถลดทอนได้อย่างเข้มแข็ง (strong irreducibility )

• การแยกส่วนแมนิโฟลด์
• จัดการการแยกส่วนของ 3 มิติ
• ตัวบีบอัด