ในทางคณิตศาสตร์ฟังก์ชันHeun ท้องถิ่น^{[ 1 ]}คือคำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์ของ Heunที่เป็นโฮโลมอร์ฟิกและ 1 ที่จุดเอกฐานz  = 0 ฟังก์ชัน Heun ท้องถิ่นเรียกว่าฟังก์ชันHeunซึ่งเขียนแทนด้วยHfถ้ามันเป็นปกติที่z  = 1 ด้วย และเรียกว่าพหุนาม Heunซึ่งเขียนแทนด้วยHpถ้ามันเป็นปกติที่จุดเอกฐานจำกัดทั้งสามจุด  z  = 0, 1  , a${\displaystyle H\ell (a,q;\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta ;z)}$

สมการของเฮินเป็น สมการเชิงอนุพันธ์สามัญเชิงเส้น อันดับสอง(ODE) ในรูปแบบ

${\displaystyle {\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+\left[{\frac {\gamma }{z}}+{\frac {\delta }{z-1}}+{\frac {\epsilon }{z-a}}\right]{\frac {dw}{dz}}+{\frac {\alpha \beta z-q}{z(z-1)(z-a)}}w=0.}$

เงื่อนไขนี้กำหนดให้เลขชี้กำลังลักษณะเฉพาะสำหรับภาวะเอกฐานปกติที่อนันต์คือ α และ β (ดูด้านล่าง) ${\displaystyle \epsilon =\alpha +\beta -\gamma -\delta +1}$

จำนวนเชิงซ้อนqเรียกว่าพารามิเตอร์เสริม สมการของ Heun มีจุดเอกฐานปกติ สี่จุด ได้แก่ 0, 1,  aและ ∞ โดยมีเลขชี้กำลังเป็น (0, 1 − γ), (0, 1 − δ), (0, 1 − ϵ) และ (α, β) สมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นอันดับสองทุกสมการบนระนาบเชิงซ้อนแบบขยายที่มีจุดเอกฐานปกติอย่างมากที่สุดสี่จุด เช่นสมการ Laméหรือสมการเชิงอนุพันธ์ไฮเปอร์จีโอเมตริกสามารถแปลงเป็นสมการนี้ได้โดยการเปลี่ยนตัวแปร

การรวมตัวกันของจุดเอกฐานปกติหลายจุดของสมการ Heun กลายเป็นจุดเอกฐานไม่ปกติ ทำให้เกิดรูปแบบที่บรรจบกันหลายรูปแบบของสมการ ดังแสดงในตารางด้านล่าง

รูปแบบของสมการ Heun ^{[ 2 ]}

รูปร่าง	จุดเอกฐาน	สมการ
ทั่วไป	0, 1, a , ∞	${\displaystyle {\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+\left[{\frac {\gamma }{z}}+{\frac {\delta }{z-1}}+{\frac {\epsilon }{z-a}}\right]{\frac {dw}{dz}}+{\frac {\alpha \beta z-q}{z(z-1)(z-a)}}w=0}$
คอนฟลูเอนท์	0, 1, ∞ (ไม่สม่ำเสมอ, อันดับ 1)	${\displaystyle {\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+\left[{\frac {\gamma }{z}}+{\frac {\delta }{z-1}}+\epsilon \right]{\frac {dw}{dz}}+{\frac {\alpha z-q}{z(z-1)}}w=0}$
บรรจบกันสองครั้ง	0 (ไม่สม่ำเสมอ, อันดับ 1), ∞ (ไม่สม่ำเสมอ, อันดับ 1)	${\displaystyle {\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+\left[{\frac {\delta }{z^{2}}}+{\frac {\gamma }{z}}+1\right]{\frac {dw}{dz}}+{\frac {\alpha z-q}{z^{2}}}w=0}$
ไบคอนฟลูเอนท์	0, ∞ (ไม่สม่ำเสมอ, อันดับ 2)	${\displaystyle {\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}-\left[{\frac {\gamma }{z}}+\delta +z\right]{\frac {dw}{dz}}+{\frac {\alpha z-q}{z}}w=0}$
ไตรคอนฟลูเอนท์	∞ (ไม่ปกติ, อันดับ 3)	${\displaystyle {\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+\left(\gamma +z\right)z{\frac {dw}{dz}}+\left(\alpha z-q\right)w=0}$

สมการของ Heun ในรูปแบบ q -analogถูกค้นพบโดยHahn  ( 1971 ) ^{[ 3 ]}และได้รับการศึกษาโดย Takemura ในปี 2017 ^{[ 4 ]}

สมการของ Heun มีกลุ่มสมมาตรลำดับที่ 192 ซึ่งสมมาตรกับกลุ่ม Coxeterของแผนภาพ Coxeter D ₄ซึ่งคล้ายคลึงกับสมมาตร 24 ประการของสมการเชิงอนุพันธ์ไฮเปอร์จีโอเมตริกที่ Kummer ได้รับ

สมมาตรที่ตรึงฟังก์ชัน Heun เฉพาะที่ก่อให้เกิดกลุ่มลำดับ 24 ที่สมมาตรกับกลุ่มสมมาตรบน 4 จุด ดังนั้นจึงมี 192/24 = 8 = 2 × 4 คำตอบที่แตกต่างกันโดยพื้นฐานซึ่งกำหนดโดยการกระทำต่อฟังก์ชัน Heun เฉพาะที่โดยสมมาตรเหล่านี้ ซึ่งให้คำตอบสำหรับเลขชี้กำลัง 2 ตัวสำหรับแต่ละจุดเอกฐาน 4 จุด รายการสมมาตรทั้งหมด 192 รายการได้รับการจัดทำโดยMaier (2007) ^{[ 5 ]}โดยใช้การคำนวณด้วยเครื่องจักร ความพยายามก่อนหน้านี้หลายครั้งโดยผู้เขียนต่างๆ ในการจัดทำรายการเหล่านี้ด้วยมือมีข้อผิดพลาดและการละเว้นมากมาย ตัวอย่างเช่น คำตอบเฉพาะที่ 48 รายการส่วนใหญ่ที่ Heun ระบุไว้มีข้อผิดพลาดร้ายแรง

• พหุนามไฮเนอ-สตีลต์เจส (Heine–Stieltjes polynomials ) เป็นการขยายความของพหุนามเฮือน (Heun polynomials)