ตัวดึงดูดที่ซ่อนอยู่

ในทฤษฎีการแยกสาขา การสั่นแบบจำกัด ขอบเขต ที่เกิดขึ้นโดยไม่สูญเสียเสถียรภาพของเซตสถานะคงที่ เรียกว่าการสั่นแบบซ่อนเร้นใน ทฤษฎี การควบคุมแบบไม่เชิงเส้นการกำเนิดของการสั่นแบบซ่อนเร้นในระบบควบคุมแบบไม่แปรผันตามเวลาที่มีสถานะจำกัด หมายถึงการข้ามขอบเขตในโดเมนของพารามิเตอร์ ซึ่งเสถียรภาพเฉพาะที่ของสถานะคงที่หมายถึงเสถียรภาพโดยรวม (ดูตัวอย่างเช่นข้อสันนิษฐานของ Kalman ) หากการสั่นแบบซ่อนเร้น (หรือชุดของการสั่นแบบซ่อนเร้นดังกล่าวที่เติมเต็มเซตย่อยขนาดกะทัดรัดของปริภูมิเฟสของระบบพลวัต ) ดึงดูดการสั่นที่อยู่ใกล้เคียงทั้งหมด มันจะเรียกว่าตัวดึงดูดแบบซ่อนเร้นสำหรับระบบพลวัตที่มีจุดสมดุลที่ไม่ซ้ำกันซึ่งดึงดูดได้ทั่วโลก การกำเนิดของตัวดึงดูดแบบซ่อนเร้นสอดคล้องกับการเปลี่ยนแปลงเชิงคุณภาพในพฤติกรรมจากเสถียรภาพเดียวไปสู่เสถียรภาพสองแบบ ในกรณีทั่วไป ระบบพลวัตอาจกลายเป็นระบบที่มีเสถียรภาพหลายแบบและมีตัวดึงดูด เฉพาะที่อยู่ร่วมกัน ในปริภูมิเฟส ในขณะที่ตัวดึงดูดแบบธรรมดา กล่าวคือจุดสมดุลที่เสถียรสามารถหาได้ง่ายโดยวิธีวิเคราะห์หรือเชิงตัวเลข การค้นหา ตัวดึงดูด แบบเป็นคาบและแบบอลวนอาจกลายเป็นปัญหาที่ท้าทาย (ดูตัวอย่างเช่นส่วนที่สองของปัญหาข้อที่ 16 ของฮิลเบิร์ต )

ในการระบุตัวดึงดูดเฉพาะที่ในการทดลองทางกายภาพหรือเชิงตัวเลข จำเป็นต้องเลือกสถานะเริ่มต้นของระบบภายในขอบเขตการดึงดูดของตัวดึงดูดและสังเกตว่าสถานะของระบบหลังจากกระบวนการเปลี่ยนแปลงชั่วคราว แสดงให้เห็นถึงตัวดึงดูดอย่างไร การจำแนกตัวดึงดูดว่าเป็นแบบซ่อนเร้นหรือแบบกระตุ้นตัวเอง สะท้อนให้เห็นถึงความยากลำบากในการเปิดเผยขอบเขตการดึงดูดและการค้นหาตัวดึงดูด เฉพาะที่ ในปริภูมิเฟส

คำจำกัดความ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}ตัวดึงดูดเรียกว่าตัวดึงดูดที่ซ่อนอยู่ หากแอ่งดึงดูดของมันไม่ตัดกับบริเวณใกล้เคียงแบบเปิดของจุดสมดุล มิฉะนั้นจะเรียกว่าตัวดึงดูดที่กระตุ้นตัวเอง

การจำแนกประเภทของตัวดึงดูดว่าเป็นแบบซ่อนเร้นหรือแบบกระตุ้นตัวเองนั้น ได้รับการนำเสนอโดยG. LeonovและN. Kuznetsovในส่วนที่เกี่ยวข้องกับการค้นพบตัวดึงดูด Chua ที่ซ่อนอยู่ ^{[ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ]} เป็นครั้งแรกในปี 2552 ในทำนองเดียวกัน การแกว่งแบบจำกัดขอบเขตใดๆ ก็ตาม ซึ่งไม่จำเป็นต้องมีบริเวณใกล้เคียงแบบเปิดเป็นแอ่งดึงดูดในปริภูมิเฟส จะถูกจัดประเภทเป็นการแกว่งแบบกระตุ้นตัวเองหรือแบบซ่อนเร้น

สำหรับตัวดึงดูดแบบกระตุ้นตัวเอง บริเวณดึงดูดของมันจะเชื่อมโยงกับจุดสมดุลที่ไม่เสถียร ดังนั้นจึงสามารถหาตัวดึงดูดแบบกระตุ้นตัวเองได้ด้วยวิธีการคำนวณมาตรฐาน โดยหลังจากกระบวนการชั่วคราว วิถีการเคลื่อนที่ที่เริ่มต้นในบริเวณใกล้เคียงกับจุดสมดุลที่ไม่เสถียรจะถูกดึงดูดไปยังสถานะของการสั่น และจากนั้นก็ติดตามสถานะนั้น (ดูตัวอย่างเช่น กระบวนการ สั่นด้วยตนเอง ) ดังนั้น ตัวดึงดูดแบบกระตุ้นตัวเอง แม้จะอยู่ร่วมกันในกรณีที่มีหลายเสถียรภาพก็สามารถเปิดเผยและแสดงภาพได้ด้วยวิธีการคำนวณเชิงตัวเลขได้อย่างง่ายดาย ในระบบ Lorenzสำหรับพารามิเตอร์แบบคลาสสิก ตัวดึงดูดจะกระตุ้นตัวเองเมื่อเทียบกับจุดสมดุลที่มีอยู่ทั้งหมด และสามารถมองเห็นได้ด้วยวิถีการเคลื่อนที่ใดๆ จากบริเวณใกล้เคียง อย่างไรก็ตาม สำหรับค่าพารามิเตอร์อื่นๆ บางค่า จะมีตัวดึงดูดแบบไม่สำคัญสองตัวที่อยู่ร่วมกับตัวดึงดูดแบบอลวน ซึ่งเป็นตัวดึงดูดแบบกระตุ้นตัวเองเมื่อเทียบกับจุดสมดุลศูนย์เท่านั้น ตัวดึงดูดแบบคลาสสิกในVan der Pol , Beluosov–Zhabotinsky , Rössler , Chua , Hénon dynamical system นั้นตื่นเต้นในตัวเอง

ข้อสันนิษฐานคือมิติ Lyapunov ของตัวดึงดูดที่กระตุ้นตัวเองจะไม่เกินมิติ Lyapunov ของสมดุลที่ไม่เสถียรหนึ่ง ซึ่งแมนิโฟลด์ที่ไม่เสถียรจะตัดกับแอ่งดึงดูดและแสดงภาพตัวดึงดูด^{[ 8 ]}

ตัวดึงดูดที่ซ่อนอยู่มีแอ่งดึงดูดซึ่งไม่ได้เชื่อมต่อกับจุดสมดุลและ "ซ่อนอยู่" ในปริภูมิเฟส ตัวอย่างเช่น ตัวดึงดูดที่ซ่อนอยู่เป็นตัวดึงดูดในระบบที่ไม่มีจุดสมดุล เช่น ระบบไดนามิกไฟฟ้าเชิงกลแบบหมุนที่มีเอฟเฟกต์ Sommerfeld (1902) ในระบบที่มีจุดสมดุลเพียงจุดเดียวซึ่งมีเสถียรภาพ เช่น ตัวอย่างค้านต่อสมมติฐานของ Aizerman (1949) และสมมติฐานของ Kalman (1957) เกี่ยวกับเสถียรภาพเดียวของระบบควบคุมแบบไม่เชิงเส้น หนึ่งในปัญหาทางทฤษฎีที่เกี่ยวข้องครั้งแรกคือส่วนที่สองของปัญหาที่ 16 ของ Hilbertเกี่ยวกับจำนวนและการจัดเรียงร่วมกันของวงจรจำกัดในระบบพหุนามสองมิติ โดยที่วงจรจำกัดที่มีเสถียรภาพแบบซ้อนกันเป็นตัวดึงดูดแบบคาบที่ซ่อนอยู่ แนวคิดของตัวดึงดูดที่ซ่อนอยู่ได้กลายเป็นตัวเร่งปฏิกิริยาสำหรับการค้นพบตัวดึงดูดที่ซ่อนอยู่ในแบบจำลองไดนามิกประยุกต์หลายแบบ^{[ 1 ] [ 9 ] [ 10 ]}

โดยทั่วไป ปัญหาของตัวดึงดูดที่ซ่อนอยู่คือไม่มีวิธีการทั่วไปที่ตรงไปตรงมาในการติดตามหรือทำนายสถานะดังกล่าวสำหรับพลวัตของระบบ (ดูเช่น^{[ 11 ]} ) ในขณะที่สำหรับระบบสองมิติ การแกว่งที่ซ่อนอยู่สามารถตรวจสอบได้โดยใช้วิธีการวิเคราะห์ (ดูเช่น ผลลัพธ์ในส่วนที่สองของปัญหาที่ 16 ของฮิลเบิร์ต ) สำหรับการศึกษาเสถียรภาพและการแกว่งในระบบหลายมิติที่ไม่เป็นเชิงเส้นที่ซับซ้อน มักใช้วิธีการเชิงตัวเลข ในกรณีหลายมิติ การรวมวิถีด้วยข้อมูลเริ่มต้นแบบสุ่มไม่น่าจะให้ตำแหน่งของตัวดึงดูดที่ซ่อนอยู่ เนื่องจากแอ่งดึงดูดอาจมีขนาดเล็กมาก และมิติของตัวดึงดูดเองอาจน้อยกว่ามิติของระบบที่พิจารณามาก ดังนั้น สำหรับการระบุตำแหน่งเชิงตัวเลขของตัวดึงดูดที่ซ่อนอยู่ในปริภูมิหลายมิติ จำเป็นต้องพัฒนาขั้นตอนการคำนวณเชิงวิเคราะห์-เชิงตัวเลขแบบพิเศษ^{[ 1 ] [ 12 ] [ 8 ]}ซึ่งช่วยให้สามารถเลือกข้อมูลเริ่มต้นในโดเมนการดึงดูดของการแกว่งที่ซ่อนอยู่ (ซึ่งไม่มีบริเวณใกล้เคียงของจุดสมดุล) จากนั้นจึงทำการคำนวณวิถี มีวิธีการที่มีประสิทธิภาพที่สอดคล้องกันโดยอาศัย โฮโมโทปีและการต่อเนื่องเชิงตัวเลข : มีการสร้างลำดับของระบบที่คล้ายกัน โดยที่สำหรับระบบแรก (เริ่มต้น) ข้อมูลเริ่มต้นสำหรับการคำนวณเชิงตัวเลขของโซลูชันการแกว่ง (การแกว่งเริ่มต้น) สามารถหาได้จากการวิเคราะห์ จากนั้นการแปลงของการแกว่งเริ่มต้นนี้ในการเปลี่ยนจากระบบหนึ่งไปยังอีกระบบหนึ่งจะถูกติดตามในเชิงตัวเลข

การจำแนกประเภทของตัวดึงดูดว่าเป็นแบบที่เกิดขึ้นเองหรือแบบซ่อนเร้นนั้นเป็นข้อสมมติฐานพื้นฐานสำหรับการเกิดขึ้นของทฤษฎีการสั่นแบบซ่อนเร้น ซึ่งแสดงถึงการพัฒนาสมัยใหม่ของทฤษฎีการสั่นของ Andronov ^{[ 13 ] : 39 [ 14 ]} ถือเป็นกุญแจสำคัญในการกำหนดขอบเขตที่แน่นอนของเสถียรภาพทั่วโลก ซึ่งบางส่วนถูกจำแนกโดย N. Kuznetsov ว่าเป็นแบบไม่สำคัญ (เช่น กำหนดโดยการแตกแขนงแบบท้องถิ่น) หรือแบบซ่อนเร้น (เช่น กำหนดโดยการแตกแขนงแบบไม่เฉพาะที่และการกำเนิดของการสั่นแบบซ่อนเร้น) ^{[ 15 ] [ 16 ]}

• ระบบอลวนที่มีเสถียรภาพหลายสถานะและตัวดึงดูดที่ซ่อนอยู่ (บรรณาธิการ: Wang, Kuznetsov, Chen), Springer, 2021 ( doi:10.1007/978-3-030-75821-9 )
• ระบบพลวัตแบบไม่เชิงเส้นที่มีตัวดึงดูดแบบกระตุ้นตัวเองและแบบซ่อนเร้น (บรรณาธิการ: Pham, Vaidyanathan, Volos และคณะ), Springer, 2018 ( doi:10.1007/978-3-319-71243-7 )

• N. Kuznetsov, บรรยายพิเศษ หัวข้อทฤษฎีการสั่นแบบซ่อนเร้นและความเสถียรของระบบพลวัต , การประชุมเชิงปฏิบัติการนานาชาติว่าด้วยคณิตศาสตร์ประยุกต์, สาธารณรัฐเช็ก, 2021
• การบรรยายพิเศษของรางวัล Afraimovich: N. Kuznetsov ทฤษฎีการสั่นที่ซ่อนเร้นและความเสถียรของระบบพลวัต การประชุมนานาชาติว่าด้วยพลวัตไม่เชิงเส้นและความซับซ้อน ปี 2021