ในทางคณิตศาสตร์ปัญหาข้อที่สี่ของฮิลเบิร์ตในรายการปัญหาของฮิลเบิร์ต ปี 1900 เป็นคำถามพื้นฐานในเรขาคณิตโดยสรุปจากต้นฉบับ คำถามนั้นคือ การค้นหาเรขาคณิต ทั้งหมด ที่มี ระบบ สัจพจน์ของเรขาคณิตแบบคลาสสิก ( ยูคลิด ไฮเปอร์โบลิกและวงรี ) โดยไม่รวมสัจพจน์ความสอดคล้องที่เกี่ยวข้องกับแนวคิดของมุม และเพิ่ม " อสมการสามเหลี่ยม " ซึ่งถือเป็นสัจพจน์เข้าไป

หากเราถือว่าสัจพจน์ความต่อเนื่องเป็นบวกด้วยแล้ว ในกรณีของระนาบยุคลิด เราจะพบกับปัญหาที่ฌอง กาสตง ดาร์บูซ์ ตั้งไว้ ว่า "เพื่อกำหนดแคลคูลัสของปัญหาการแปรผันทั้งหมดในระนาบซึ่งคำตอบคือเส้นตรงระนาบทั้งหมด" ^{[ 1 ]}

มีการตีความคำกล่าวเดิมของเดวิด ฮิลเบิร์ต ไว้หลายแบบ อย่างไรก็ตาม มีการค้นหาวิธีแก้ปัญหา โดยนักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมันจอร์จ ฮาเมลเป็นคนแรกที่ช่วยแก้ปัญหาข้อที่สี่ของฮิลเบิร์ต^{[ 2 ]}

นักคณิตศาสตร์ชาวโซเวียต Aleksei Pogorelovได้เสนอวิธีแก้ปัญหาที่ได้รับการยอมรับในปี 1973 ^{[ 3 ] [ 4 ]}ในปี 1976 นักคณิตศาสตร์ชาวอาร์เมเนียRouben V. Ambartzumianได้เสนอวิธีพิสูจน์อีกวิธีหนึ่งของปัญหาที่สี่ของ Hilbert ^{[ 5 ]}

ฮิลเบิร์ตกล่าวถึงการมีอยู่ของเรขาคณิตที่ไม่ใช่แบบยุคลิดและเรขาคณิตที่ไม่ใช่แบบอาร์คิมีเดียน

...เรขาคณิตซึ่งสัจพจน์ทั้งหมดของเรขาคณิตยุคลิดทั่วไปเป็นจริง โดยเฉพาะอย่างยิ่งสัจพจน์ความสอดคล้องทั้งหมด ยกเว้นสัจพจน์ความสอดคล้องของสามเหลี่ยม (หรือทั้งหมด ยกเว้นทฤษฎีบทความเท่ากันของมุมฐานในสามเหลี่ยมหน้าจั่ว) และนอกจากนี้ ข้อเสนอที่ว่าในทุกสามเหลี่ยม ผลรวมของสองด้านมากกว่าด้านที่สาม ถือเป็นสัจพจน์เฉพาะ^{[ 6 ]}

เนื่องจากแนวคิดที่ว่า 'เส้นตรง' ถูกนิยามว่าเป็นเส้นทางที่สั้นที่สุดระหว่างสองจุด เขาจึงกล่าวถึงความจำเป็นของความสอดคล้องกันของสามเหลี่ยมในการพิสูจน์ของยูคลิดที่ว่าเส้นตรงในระนาบเป็นระยะทางที่สั้นที่สุดระหว่างสองจุด เขาสรุปได้ดังนี้:

ทฤษฎีบทเส้นตรงที่เป็นระยะทางที่สั้นที่สุดระหว่างสองจุดและทฤษฎีบทของยูคลิดเกี่ยวกับด้านของสามเหลี่ยมซึ่งเทียบเท่ากันโดยพื้นฐาน มีบทบาทสำคัญไม่เพียงแต่ในทฤษฎีจำนวนเท่านั้น แต่ยังรวมถึงทฤษฎีพื้นผิวและแคลคูลัสของการแปรผันด้วย ด้วยเหตุนี้ และเพราะข้าพเจ้าเชื่อว่าการตรวจสอบเงื่อนไขสำหรับความถูกต้องของทฤษฎีบทนี้อย่างละเอียดจะทำให้แนวคิดเรื่องระยะทาง รวมถึงแนวคิดพื้นฐานอื่นๆ เช่น แนวคิดเรื่องระนาบ และความเป็นไปได้ในการกำหนดระนาบโดยใช้แนวคิดเรื่องเส้นตรง ปรากฏชัดขึ้นการสร้างและการจัดการเรขาคณิตที่เป็นไปได้ในที่นี้อย่างเป็นระบบจึงดูน่าปรารถนาสำหรับข้าพเจ้า^{[ 6 ]}

ทฤษฎีบทของเดซาร์กส์ซึ่งตั้งชื่อตามจิราร์ด เดซาร์กส์กล่าวว่า ถ้าสามเหลี่ยมสองรูปวางอยู่บนระนาบเดียวกัน โดยที่เส้นที่เชื่อมจุดยอดที่สอดคล้องกันของสามเหลี่ยมทั้งสองมาบรรจบกันที่จุดเดียว จุดสามจุดที่เส้นต่อขยายของด้านที่สอดคล้องกันสามคู่ของสามเหลี่ยมทั้งสองตัดกัน จะอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน เงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับการแก้ปัญหาข้อที่สี่ของฮิลเบิร์ต คือ ข้อกำหนดที่ว่าปริภูมิเมตริกที่สอดคล้องกับสัจพจน์ของปัญหานี้จะต้องเป็นปริภูมิเดซาร์กส์ นั่นคือ:

• ถ้าปริภูมิมีมิติ 2 ทฤษฎีบทของเดซาร์กส์และทฤษฎีบทผกผันของมันควรจะเป็นจริง
• ถ้าปริภูมิมีมิติมากกว่า 2 แล้ว จุดสามจุดใดๆ ก็ตามจะต้องอยู่บนระนาบเดียวกัน

สำหรับปริภูมิเดซาร์เกสจอร์จ ฮาเมลได้พิสูจน์ว่าทุกคำตอบของปัญหาที่สี่ของฮิลเบิร์ตสามารถแสดงได้ในปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟ จริง หรือในโดเมนแบบนูนหากกำหนดความสอดคล้องกันของส่วนต่างๆ โดยความเท่าเทียมกันของความยาวในเมตริกพิเศษซึ่งเส้นของปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟเป็นเส้นจีโอเดสิก ${\displaystyle RP^{n}}$${\displaystyle RP^{n}}$

เมตริกประเภทนี้เรียกว่าเมตริกแบบแบนหรือเมตริกเชิงฉาย

ดังนั้น วิธีแก้ปัญหาข้อที่สี่ของฮิลเบิร์ตจึงลดลงเหลือเพียงการแก้ปัญหาการกำหนดเมตริกส์แบบแบนที่สมบูรณ์ทั้งหมดโดยวิธีสร้างสรรค์

Hamel แก้ปัญหานี้ภายใต้สมมติฐานของเมตริกที่มีความสม่ำเสมอสูง^{[ 2 ]}อย่างไรก็ตาม ดังที่ตัวอย่างง่ายๆ แสดงให้เห็น คลาสของเมตริกแบบแบนที่สม่ำเสมอมีขนาดเล็กกว่าคลาสของเมตริกแบบแบนทั้งหมด สัจพจน์ของเรขาคณิตที่กำลังพิจารณาบ่งบอกถึงความต่อเนื่องของเมตริกเท่านั้น ดังนั้น เพื่อแก้ปัญหาข้อที่สี่ของ Hilbert ให้สมบูรณ์ จำเป็นต้องกำหนดเมตริกแบบแบนที่ต่อเนื่องทั้งหมดอย่างสร้างสรรค์

ก่อนปี 1900 เป็นที่ทราบกันดีถึงแบบจำลอง Cayley–Kleinของเรขาคณิต Lobachevsky ในดิสก์หน่วย ซึ่งเส้นจีโอเดสิกเป็นคอร์ดของดิสก์ และระยะห่างระหว่างจุดต่างๆ ถูกกำหนดให้เป็นลอการิทึมของอัตราส่วนไขว้ของควอดรูเพิล สำหรับเมตริกแบบรีมันน์สองมิติEugenio Beltrami (1835–1900) พิสูจน์ว่าเมตริกแบบแบนเป็นเมตริกที่มีความโค้งคงที่^{[ 7 ]}

สำหรับเมตริกแบบรีมันน์หลายมิติ ข้อความนี้ได้รับการพิสูจน์โดยอี. คาร์ตันในปี ค.ศ. 1930

ในปี พ.ศ. 2333 เฮอร์มันน์ มินคอฟสกี ได้นำเสนอแนวคิดของปริภูมิที่ปัจจุบันเรียกว่า ปริภูมิบานาคมิติจำกัดเพื่อแก้ปัญหาในทฤษฎีจำนวน^{[ 8 ]}

ให้เป็นไฮเปอร์เซอร์เฟซนูนขนาดกะทัดรัดในปริภูมิยุคลิดที่กำหนดโดย ${\displaystyle F_{0}\subset \mathbb {E} ^{n}}$

${\displaystyle F_{0}=\{y\in E^{n}:F(y)=1\},}$

โดยที่ฟังก์ชันนั้นเป็นไปตามเงื่อนไขต่อไปนี้: ${\displaystyle F=F(y)}$

1. ${\displaystyle F(y)\geqslant 0,\qquad F(y)=0\ลูกศรซ้าย y=0;}$
2. ${\displaystyle F(\lambda y)=\lambda F(y),\qquad \lambda \geqslant 0;}$
3. ${\displaystyle F(y)\in C^{k}(E^{n}\setminus \{0\}),\qquad k\geqslant 3;}$
4. และรูปแบบนั้นมีความแน่นอนในเชิงบวก${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}F^{2}}{\partial y^{i}\,\partial y^{j}}}\xi ^{i}\xi ^{j}>0}$

ความยาวของเวกเตอร์OAถูกกำหนดโดย:

${\displaystyle \|OA\|_{M}={\frac {\|OA\|_{\mathbb {E} }}{\|OL\|_{\mathbb {E} }}}.}$

ปริภูมิที่มีเมตริกแบบนี้เรียกว่าปริภูมิมินคอฟสกี

พื้นผิวไฮเปอร์เซอร์เฟซเป็นพื้นผิวนูนและอาจมีรูปร่างไม่สม่ำเสมอ เมตริกที่กำหนดไว้เป็นแบบแบน ${\displaystyle F_{0}}$

ให้Mและเป็นแมนิโฟลด์เรียบมิติจำกัด และบันเดิลสัมผัส ของมัน ตามลำดับ ฟังก์ชันเรียกว่าเมตริกฟินส์เลอร์ถ้า ${\displaystyle TM=\{(x,y)|x\in M,y\in T_{x}M\}}$${\displaystyle F(x,y)\colon TM\rightarrow [0,+\infty )}$

1. ${\displaystyle F(x,y)\in C^{k}(TM\setminus \{0\}),\qquad k\geqslant 3}$;
2. สำหรับจุดใดๆข้อจำกัดของon คือบรรทัดฐานของ Minkowski${\displaystyle x\in M}$${\displaystyle F(x,y)}$${\displaystyle T_{x}M}$

${\displaystyle (M,F)}$คือพื้นที่ฟินส์เลอร์

ให้เป็นเซตแบบนูน เปิดที่มีขอบเขต โดยมีขอบเขตเป็นคลาสC ²และความโค้งปกติเป็นบวก เช่นเดียวกับปริภูมิ Lobachevsky พื้นผิวไฮเปอร์เรียกว่าค่าสัมบูรณ์ของเรขาคณิตของ Hilbert ^{[ 9 ]}${\displaystyle U\subset (\mathbb {E} ^{n+1},\|\cdot \|_{\mathbb {E} })}$${\displaystyle \partial U}$

ระยะทางของฮิลเบิร์ต (ดูรูป) ถูกกำหนดโดย

${\displaystyle d_{U}(p,q)={\frac {1}{2}}\ln {\frac {\|q-q_{1}\|_{E}}{\|q-p_{1}\|_{E}}}\times {\frac {\|p-p_{1}\|_{E}}{\|p-q_{1}\|_{E}}}.}$

ระยะทางดังกล่าวเหนี่ยวนำให้เกิดเมตริกฮิลเบิร์ต-ฟินส์เลอร์บนUสำหรับทุก ๆ และ(ดูรูป) เรามี ${\displaystyle d_{U}}$${\displaystyle F_{U}}$${\displaystyle x\in U}$${\displaystyle y\in T_{x}U}$

${\displaystyle F_{U}(x,y)={\frac {1}{2}}\|y\|_{\mathbb {E} }\left({\frac {1}{\|x-x_{+}\|_{\mathbb {E} }}}+{\frac {1}{\|x-x_{-}\|_{\mathbb {E} }}}\right).}$

เมตริกนี้สมมาตรและแบนราบ ในปี ค.ศ. 1895 ฮิลเบิร์ตได้นำเสนอเมตริกนี้ในฐานะที่เป็นการขยายความของเรขาคณิตโลบาเชฟสกี หากพื้นผิวไฮเปอร์เซอร์เฟซเป็นทรงรี เราก็จะได้เรขาคณิตโลบาเชฟสกี ${\displaystyle \partial U}$

ในปี ค.ศ. 1930 ฟังก์ได้นำเสนอเมตริกแบบไม่สมมาตร ซึ่งกำหนดขึ้นในโดเมนที่ล้อมรอบด้วยไฮเปอร์เซอร์เฟซนูนปิด และเป็นระนาบด้วย

Georg Hamelเป็นคนแรกที่มีส่วนร่วมในการแก้ปัญหาข้อที่สี่ของ Hilbert ^{[ 2 ]}เขาพิสูจน์ข้อความต่อไปนี้

ทฤษฎีบทเมตริกฟินส์เลอร์ปกติจะเป็นเมตริกแบนราบก็ต่อเมื่อเป็นไปตามเงื่อนไขต่อไปนี้: ${\displaystyle F(x,y)=F(x_{1},\ldots ,x_{n},y_{1},\ldots ,y_{n})}$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}F^{2}}{\partial x^{i}\,\partial y^{j}}}={\frac {\partial ^{2}F^{2}}{\partial x^{j}\,\partial y^{i}}},\,i,j=1,\ldots ,n.}$

พิจารณาเซตของเส้นตรงที่มีทิศทางทั้งหมดบนระนาบ แต่ละเส้นตรงถูกกำหนดโดยพารามิเตอร์และโดยที่คือระยะห่างจากจุดกำเนิดไปยังเส้นตรง และคือมุมระหว่างเส้นตรงกับ แกน xจากนั้นเซตของเส้นตรงที่มีทิศทางทั้งหมดจะเป็น โฮโมมอร์ฟิกกับทรงกระบอกวงกลมรัศมี 1 ที่มีองค์ประกอบพื้นที่ ให้ เป็นเส้นโค้งที่หาความยาวได้บนระนาบ จากนั้นความยาวของคือ โดยที่คือเซตของเส้นตรงที่ตัดกับเส้นโค้งและคือจำนวนจุดตัดของเส้นตรงกับCrofton พิสูจน์ข้อความนี้ในปี 1870 ^{[ 10 ]}${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \varphi ,}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle dS=d\rho \,d\varphi }$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \gamma }$$${\displaystyle L={\frac {1}{4}}\iint _{\Omega }n(\rho ,\varphi )\,dp\,d\varphi }$$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle n(p,\varphi )}$${\displaystyle \gamma }$

ข้อความที่คล้ายกันนี้ใช้ได้กับปริภูมิเชิงฉาย (projective space) ด้วยเช่นกัน

ในปี 1966 ในการบรรยายที่การประชุมคณิตศาสตร์นานาชาติในมอสโกเฮอร์เบิร์ต บูเซมันน์ได้นำเสนอเมตริกแบบระนาบชนิดใหม่ บนเซตของเส้นตรงบนระนาบเชิงโปรเจกทีฟเขาได้นำเสนอมาตรวัดที่ไม่เป็นลบแบบบวกสมบูรณ์ซึ่งเป็นไปตามเงื่อนไขต่อไปนี้: ${\displaystyle RP^{2}}$${\displaystyle \sigma }$

1. ${\displaystyle \sigma (\tau P)=0}$โดยที่เป็นเซตของเส้นตรงที่ผ่านจุดP${\displaystyle \tau P}$
2. ${\displaystyle \sigma (\tau X)>0}$โดยที่เป็นเซตของเส้นตรงที่ผ่านเซตXซึ่งประกอบด้วยส่วนของเส้นตรง${\displaystyle \tau X}$
3. ${\displaystyle \sigma (RP^{n})}$มีค่าจำกัด

ถ้าเราพิจารณาเมตริกในโดเมนนูนใดๆของปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟ เงื่อนไข 3) ควรถูกแทนที่ด้วยสิ่งต่อไปนี้: สำหรับเซตH ใดๆ ที่Hบรรจุอยู่ในและการปิดของHไม่ตัดกับขอบเขตของอสมการ ${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle RP^{2}}$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle \Omega }$

${\displaystyle \sigma (\pi H)<\infty }$ถือ^{[ 11 ]}

เมื่อใช้มาตรการนี้ ค่าเมตริกจะถูกกำหนดโดย ${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle RP^{2}}$

${\displaystyle |x,y|=\sigma \left(\tau [x,y]\right),}$

เซตของเส้นตรงที่ตัดกับส่วนของเส้นตรงนั้นอยู่ ที่ไหน${\displaystyle \tau [x,y]}$${\displaystyle [x,y]}$

อสมการสามเหลี่ยมสำหรับเมตริกนี้เป็นผลมาจากทฤษฎีบทของปาสช์

ทฤษฎีบท - เมตริกบนระนาบแบน กล่าวคือ เส้นจีโอเดสิกเป็นเส้นตรงของปริภูมิเชิงฉาย ${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle RP^{2}}$

แต่ Busemann ไม่ได้เห็นด้วยกับความคิดที่ว่าเมตริกครอบคลุมเมตริกแบบราบทั้งหมด เขาเขียนว่า"อิสระในการเลือกเมตริกที่มีจีโอเดสิกที่กำหนดสำหรับเมตริกที่ไม่ใช่แบบรีมันน์นั้นยิ่งใหญ่มากจนอาจเป็นที่สงสัยว่ามีลักษณะเฉพาะที่น่าเชื่อถือของปริภูมิเดซาร์เกเซียนทั้งหมดจริงหรือไม่ " ^{[ 11 ]}${\displaystyle \sigma }$

ทฤษฎีบทต่อไปนี้ได้รับการพิสูจน์โดยPogorelovในปี พ.ศ. 2516 ^{[ 3 ] [ 4 ]}

ทฤษฎีบทเมตริกแบบระนาบสมบูรณ์ต่อเนื่องสองมิติใดๆ ก็เป็นเมตริกแบบ -เมตริก${\displaystyle \sigma }$

ด้วยเหตุนี้ ปัญหาข้อที่สี่ของฮิลเบิร์ตสำหรับกรณีสองมิติจึงได้รับการแก้ไขอย่างสมบูรณ์แล้ว

ผลที่ตามมาคือ คุณสามารถนำรูปทรงนูนระนาบเดียวกันสองรูปมาต่อกันโดยให้ขอบชนกัน และมีการบิดมุมระหว่างกัน จะทำให้ได้วัตถุสามมิติที่ไม่มีรอยพับ โดยที่พื้นผิวทั้งสองด้านสามารถคลี่ออกได้

ในปี พ.ศ. 2519 Ambartsumian ได้เสนอการพิสูจน์อีกวิธีหนึ่งของปัญหาที่สี่ของ Hilbert ^{[ 5 ]}

การพิสูจน์ของเขาใช้ข้อเท็จจริงที่ว่าในกรณีสองมิติ ค่าการวัดทั้งหมดสามารถกู้คืนได้ด้วยค่าบนรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก และด้วยเหตุนี้จึงสามารถกำหนดบนรูปสามเหลี่ยมได้ในลักษณะเดียวกับที่พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมถูกกำหนดบนทรงกลม เนื่องจากอสมการของรูปสามเหลี่ยมเป็นจริง จึงสรุปได้ว่าค่าการวัดนี้เป็นบวกบนรูปสามเหลี่ยมที่ไม่เสื่อมสภาพ และถูกกำหนดบนเซตบอเรล ทั้งหมด อย่างไรก็ตาม โครงสร้างนี้ไม่สามารถขยายไปสู่มิติที่สูงกว่าได้เนื่องจากปัญหาที่สามของฮิลเบิร์ตซึ่งแก้ไขโดยแม็กซ์ เดห์น

ในกรณีสองมิติ รูปหลายเหลี่ยมที่มีปริมาตรเท่ากันจะสมมาตรแบบกรรไกร แต่ดังที่เดห์นได้แสดงให้เห็นแล้วว่า ข้อนี้ไม่เป็นจริงสำหรับมิติที่สูงกว่า

สำหรับกรณีสามมิติ โปโกเรลอฟได้พิสูจน์ทฤษฎีบทต่อไปนี้

ทฤษฎีบท. เมตริกแบบระนาบสมบูรณ์ปกติสามมิติใดๆ ก็เป็นเมตริกแบบ -เมตริก เช่นกัน${\displaystyle \sigma }$

อย่างไรก็ตาม ในกรณีสามมิติค่าที่วัดได้อาจเป็นค่าบวกหรือค่าลบก็ได้ เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับเมตริกปกติที่กำหนดโดยฟังก์ชันของเซตที่จะแบนราบนั้น มีสามเงื่อนไขดังต่อไปนี้: ${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \sigma }$

1. ค่าบนระนาบใดๆ ก็ตามเท่ากับศูนย์${\displaystyle \sigma }$
2. ค่าในกรวยใดๆ ก็ตามจะเป็นค่าที่ไม่ติดลบ${\displaystyle \sigma }$
3. ค่าจะเป็นบวกหากกรวยนั้นมีจุดภายในอยู่${\displaystyle \sigma }$

นอกจากนี้ โปโกเรลอฟยังแสดงให้เห็นว่าเมตริกแบนต่อเนื่องสมบูรณ์ใดๆ ในกรณีสามมิติเป็นลิมิตของเมตริกแบบปกติ ที่มีการลู่เข้าอย่างสม่ำเสมอในโดเมนย่อยกระชับใดๆ ของโดเมนของเมตริก เขาเรียก เมตริก เหล่านี้ว่าเมตริกแบบทั่วไป${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \sigma }$

ดังนั้น โปโกเรลอฟจึงสามารถพิสูจน์ข้อความต่อไปนี้ได้

ทฤษฎีบทในกรณีสามมิติ เมตริกแบบระนาบต่อเนื่องสมบูรณ์ใดๆ ก็ตาม จะเป็นเมตริกในความหมายทั่วไป${\displaystyle \sigma }$

Busemann ในบทวิจารณ์หนังสือ "ปัญหาที่สี่ของฮิลเบิร์ต" ของ Pogorelov เขียนว่า "ตามกระแสในยุคนั้น ฮิลเบิร์ตจำกัดตัวเองไว้ที่n = 2, 3 และ Pogorelov ก็เช่นกัน อย่างไรก็ตาม ไม่ต้องสงสัยเลยว่านี่มีเหตุผลทางการสอน เพราะเขามุ่งเป้าไปที่ผู้อ่านกลุ่มกว้าง ความแตกต่างที่แท้จริงคือระหว่างn = 2 และn > 2 วิธีการของ Pogorelov ใช้ได้กับn > 3 แต่ต้องใช้เทคนิคที่ซับซ้อนกว่า" ^{[ 12 ]}

กรณีหลายมิติของปัญหาฮิลเบิร์ตที่สี่ได้รับการศึกษาโดยซาโบ^{[ 13 ]}ในปี พ.ศ. 2529 เขาได้พิสูจน์ทฤษฎีบทโปโกเรลอฟแบบทั่วไป ตามที่เขาเขียนไว้

ทฤษฎีบท. ปริภูมิเดซาร์เกเซียน n มิติ แต่ละปริภูมิในกลุ่มถูกสร้างขึ้นโดยการสร้างแบบบลาชเค-บูเซมันน์ ${\displaystyle C^{n+2},n>2}$

มาตรวัดที่สร้างมาตรวัดแบบราบเรียบมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้: ${\displaystyle \sigma }$

1. ค่าt ของไฮเปอร์เพลนที่ผ่านจุดคงที่จุดหนึ่งจะมีค่าเท่ากับศูนย์${\displaystyle \sigma }$
2. ค่า-measure ของเซตของระนาบไฮเปอร์ที่ตัดกับส่วนของเส้นตรงสองส่วน [ x , y ], [ y , z ] โดยที่x , yและzไม่อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน จะมีค่าเป็นบวก${\displaystyle \sigma }$

มีการยกตัวอย่างเมตริกแบบราบที่ไม่ถูกสร้างขึ้นโดยโครงสร้างของ Blaschke–Busemann Szabo อธิบายเมตริกแบบราบต่อเนื่องทั้งหมดในแง่ของฟังก์ชันทั่วไป

ปัญหาข้อที่สี่ของฮิลเบิร์ตมีความเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับคุณสมบัติของทรงนูนทรงหลายเหลี่ยมนูนเรียกว่าโซโนโทปถ้ามันเป็นผลรวมมินคอฟสกีของส่วนต่างๆ ทรงนูนที่เป็นลิมิตของโซโนโทปในเมตริกบลาชเคอ-เฮาส์ดอร์ฟเรียกว่าโซนอยด์สำหรับโซนอยด์ฟังก์ชันรองรับจะแสดงด้วย

$${\displaystyle h(x)=\int _{S^{n-1}}\left|\left\langle x,u\right\rangle \right|\partial \sigma (u),}$$

1

โดยที่ เป็น ค่าบอเรลบวกคู่บนทรงกลม ${\displaystyle \sigma (u)}$${\displaystyle S^{n-1}}$

พื้นที่ Minkowski ถูกสร้างขึ้นโดยการสร้าง Blaschke–Busemann ก็ต่อเมื่อฟังก์ชันสนับสนุนของอินดิเคทริกซ์มีรูปแบบของ (1) โดยที่เป็นจำนวนคู่และไม่จำเป็นต้องเป็นการวัด Borel บวก^{[ 14 ]}วัตถุที่ถูกล้อมรอบด้วยไฮเปอร์เซอร์เฟซดังกล่าวเรียกว่า โซนอย ด์ ทั่วไป${\displaystyle \sigma (u)}$

ทรงแปดเหลี่ยมในปริภูมิยูคลิดไม่ใช่โซนอยด์ทั่วไป จากข้อความข้างต้น สรุปได้ว่าเมตริกแบบราบของปริภูมิมิงโกวสกีที่มีนอร์มนั้นไม่ได้ถูกสร้างขึ้นโดยการสร้างของบลาชเค-บูเซมันน์ ${\displaystyle |x_{1}|+|x_{2}|+|x_{3}|\leq 1}$${\displaystyle E^{3}}$${\displaystyle \|x\|=\max\{|x_{1}|,|x_{2}|,|x_{3}|\}}$

พบความสอดคล้องระหว่างเมตริกฟินส์เลอร์แบบระนาบnมิติและรูปแบบซิมเพล็กติกพิเศษบนแมนิโฟลด์กราสส์มันน์в . ^{[ 15 ]}${\displaystyle G(n+1,2)}$${\displaystyle E^{n+1}}$

มีการพิจารณาหาคำตอบเป็นระยะของปัญหาข้อที่สี่ของฮิลเบิร์ต:

1. ให้ ( M , g ) เป็นแมนิโฟลด์รีมันน์แบบยุคลิดเฉพาะที่กระชับ สมมติว่าเมตริกฟินส์เลอร์บนMที่มีจีโอเดสิกเดียวกันกับในเมตริกgได้รับการกำหนดไว้แล้ว เมตริกฟินส์เลอร์จะเป็นผลรวมของเมตริกมินคอฟสกีเฉพาะที่และฟอร์ม 1 ปิด^{[ 16 ]}${\displaystyle C^{2}}$
2. ให้ ( M , g ) เป็นปริภูมิรีมันน์สมมาตรขนาดกะทัดรัดที่มีอันดับมากกว่าหนึ่ง ถ้าFเป็นเมตริกฟินส์เลอร์สมมาตรที่มีจีโอเดสิกตรงกับจีโอเดสิกของเมตริกรีมันน์gแล้ว ( M , g ) จะเป็นปริภูมิฟินส์เลอร์สมมาตร^{[ 16 ]}ยังไม่มีการพิสูจน์ทฤษฎีบทที่คล้ายกันนี้สำหรับปริภูมิสมมาตรอันดับหนึ่ง${\displaystyle C^{2}}$

การอธิบายปัญหาข้อที่สี่ของฮิลเบิร์ตอีกประการหนึ่งสามารถพบได้ในงานของปาอิวา^{[ 17 ]}

1. ปัญหาข้อที่สี่ของฮิลเบิร์ตสำหรับเมตริกฟินส์เลอร์แบบไม่สมมาตรยังไม่ได้รับการแก้ไข
2. ยังไม่มีการอธิบายเมตริกที่ระนาบk ทำให้ พื้นที่ kน้อยที่สุด (Busemann) ^{[ 18 ]}${\displaystyle RP^{n}}$

• Busemann, Herbert (1976). "ปัญหาที่ 4. ปริภูมิเดซาร์เกเซียน". ในBrowder, Felix E. (บรรณาธิการ). การพัฒนาทางคณิตศาสตร์ที่เกิดขึ้นจากปัญหาของฮิลเบิร์ต . รายงานการประชุมสัมมนาคณิตศาสตร์บริสุทธิ์ . เล่มที่ XXVIII. สมาคมคณิตศาสตร์อเมริกัน . หน้า  131–141 . ISBN 0-8218-1428-1. Zbl  0352.50010 .
• Papadopoulos, Athanase (2014). "ปัญหาที่สี่ของฮิลเบิร์ต". คู่มือเรขาคณิตของฮิลเบิร์ต (บรรณาธิการ: A. Papadopoulos และ M. Troyanov) . การบรรยาย IRMA ในคณิตศาสตร์และฟิสิกส์เชิงทฤษฎี . เล่มที่ 22. สมาคมคณิตศาสตร์แห่งยุโรป . หน้า  391– 432. ISBN 978-3-03719-147-7.