ปัญหาข้อที่สิบเก้าของฮิลเบิร์ตเป็นหนึ่งใน 23 ปัญหาของฮิลเบิร์ตซึ่งจัดทำเป็นรายการที่รวบรวมโดยเดวิด ฮิลเบิร์ตในปี ค.ศ. 1900 ^{[ 1 ]} ปัญหานี้ ถามว่าคำตอบของปัญหาปกติในแคลคูลัสของการแปรผัน เป็น ฟังก์ชันวิเคราะห์เสมอ หรือ ไม่^{[ 2 ]}อย่างไม่เป็นทางการ และอาจจะไม่ตรงนัก เนื่องจากแนวคิดของฮิลเบิร์ตเกี่ยวกับ " ปัญหาการแปรผันปกติ " ระบุว่านี่คือปัญหาการแปรผันที่มี สม การออยเลอร์-ลากรางจ์เป็นสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยแบบวงรีที่มีสัมประสิทธิ์เชิงวิเคราะห์^{[ 3 ]}ปัญหาข้อที่สิบเก้าของฮิลเบิร์ต แม้จะมีคำกล่าวที่ดูเหมือนเป็นเชิงเทคนิค ก็ถามเพียงว่า ในกลุ่มของสมการเชิงอนุพันธ์ย่อย นี้ คำตอบใด ๆ จะได้รับคุณสมบัติที่ค่อนข้างง่ายและเข้าใจได้ดีของการเป็นฟังก์ชันวิเคราะห์จากสมการที่มันสอดคล้องหรือไม่ ปัญหาข้อที่สิบเก้าของฮิลเบิร์ตได้รับการแก้ไขอย่างอิสระในช่วงปลายทศวรรษ ค.ศ. 1950 โดยเอ็นนิโอ เดอ จิออร์จีและจอห์น ฟอร์บส์ แนช จูเนียร์

ข้อเท็จจริงที่น่าทึ่งที่สุดประการหนึ่งในองค์ประกอบของทฤษฎีฟังก์ชันวิเคราะห์สำหรับฉันคือ: มีสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยที่มีปริพันธ์เป็นฟังก์ชันวิเคราะห์ของตัวแปรอิสระทั้งหมด ซึ่งโดยสรุปคือสมการที่ไม่มีคำตอบอื่นใดนอกจากคำตอบวิเคราะห์^{[ 4 ]}

เดวิด ฮิลเบิร์ต นำเสนอสิ่งที่ปัจจุบันเรียกว่าปัญหาที่สิบเก้าของเขาในสุนทรพจน์ของเขาในการประชุมนานาชาติของนักคณิตศาสตร์ ครั้งที่ สอง^{[ 5 ]}ใน ( Hilbert 1900 , หน้า 288) เขากล่าวว่า ในความคิดเห็นของเขา ข้อเท็จจริงที่น่าทึ่งที่สุดข้อหนึ่งของทฤษฎีฟังก์ชันเชิงวิเคราะห์คือ มีกลุ่มของสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยที่ยอมรับเฉพาะฟังก์ชันเชิงวิเคราะห์เป็นคำตอบ โดยยกตัวอย่างสมการของลาปลาสสมการของลิอูวิลล์ [ ^{6 ]}สมการพื้นผิวขั้นต่ำและกลุ่มของสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยเชิงเส้นที่ศึกษาโดยเอมิล ปิการ์ด [ ^{7 ] จากนั้น}เขาสังเกตว่าสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยส่วนใหญ่ที่มีคุณสมบัตินี้คือสมการออยเลอร์-ลากรองจ์ของปัญหาแปรผันประเภทหนึ่งที่กำหนดไว้อย่างดี ซึ่งเป็นไปตามคุณสมบัติสามประการต่อไปนี้: ^{[ 8 ]}

(1)      ,${\displaystyle {\iint F(p,q,z;x,y)dxdy}={\text{Minimum}}\qquad \left[{\frac {\partial z}{\partial x}}=p\quad ;\quad {\frac {\partial z}{\partial y}}=q\right]}$

(2)      ,${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}F}{\partial ^{2}p}}\cdot {\frac {\partial ^{2}F}{\partial ^{2}q}}-\left({\frac {\partial ^{2}F}{{\partial p}{\partial q}}}\right)^{2}>0}$

      ( 3) Fเป็นฟังก์ชันวิเคราะห์ของอาร์กิวเมนต์ทั้งหมดp , q , z , xและy

ฮิลเบิร์ตเรียกสิ่งนี้ว่า " ปัญหาการแปรผันปกติ " ^{[ 9 ]}คุณสมบัติ(1)หมายความว่าสิ่งเหล่านี้เป็นปัญหาขั้นต่ำคุณสมบัติ(2)คือเงื่อนไขความเป็นวงรีของสมการออยเลอร์-ลากรางจ์ที่เกี่ยวข้องกับฟังก์ชัน ที่กำหนด ในขณะที่คุณสมบัติ(3)คือสมมติฐานความสม่ำเสมออย่างง่ายเกี่ยวกับฟังก์ชันF [ ^{10 ]}หลังจากระบุคลาสของปัญหาที่พิจารณาแล้ว เขาตั้งคำถามต่อไปนี้: " ...สมการเชิงอนุพันธ์ย่อยลากรางจ์ทุกสมการของปัญหาการแปรผันปกติมีคุณสมบัติในการยอมรับปริพันธ์เชิงวิเคราะห์แต่เพียงอย่างเดียวหรือไม่? ^" [ ^{11 ] เขา}ถามต่อไปว่านี่เป็นกรณีเช่นนั้นหรือไม่ แม้ว่าฟังก์ชันจะต้องสมมติค่าขอบเขตที่ต่อเนื่อง แต่ไม่ใช่เชิงวิเคราะห์ ดังที่เกิดขึ้นในปัญหาของดิริชเลต์สำหรับฟังก์ชันศักย์^{[ 8 ]}

ฮิลเบิร์ตระบุปัญหาที่สิบเก้าของเขาว่าเป็นปัญหาความสม่ำเสมอสำหรับสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยแบบวงรีที่มีสัมประสิทธิ์เชิงวิเคราะห์^{[ 8 ]}ดังนั้นความพยายามครั้งแรกของนักวิจัยที่พยายามแก้ปัญหานี้จึงมุ่งเน้นไปที่การศึกษาความสม่ำเสมอของคำตอบแบบคลาสสิกสำหรับสมการที่อยู่ในกลุ่มนี้ สำหรับ คำตอบ C 3  ปัญหาของฮิลเบิร์ตได้รับการตอบรับในเชิงบวกโดยเซอร์เกย์ เบิร์นสไต น์  ( 1904 ) ในวิทยานิพนธ์ของเขา เขาแสดงให้เห็นว่า คำตอบ C 3  ของสมการวิเคราะห์เชิงวงรีแบบไม่เชิงเส้นในสองตัวแปรเป็นเชิงวิเคราะห์ ผลลัพธ์ของเบิร์นสไตน์ได้รับการปรับปรุงในช่วงหลายปีที่ผ่านมาโดยผู้เขียนหลายคน เช่นเพโทรว์สกี (1939)ซึ่งลดข้อกำหนดด้านความสามารถในการหาอนุพันธ์ของคำตอบที่จำเป็นในการพิสูจน์ว่าเป็นเชิงวิเคราะห์ ในทางกลับกัน วิธีการโดยตรงในแคลคูลัสของการแปรผันแสดงให้เห็นถึงการมีอยู่ของคำตอบที่มีคุณสมบัติความสามารถในการหาอนุพันธ์ที่อ่อนมาก เป็นเวลาหลายปีที่มีช่องว่างระหว่างผลลัพธ์เหล่านี้ เป็นที่ทราบกันดีว่าคำตอบที่สร้างขึ้นนั้นมีอนุพันธ์อันดับสองที่สามารถหาปริพันธ์กำลังสองได้ แต่สิ่งนี้ยังไม่แข็งแกร่งพอที่จะนำไปใช้ในกลไกที่สามารถพิสูจน์ได้ว่าคำตอบเหล่านั้นเป็นเชิงวิเคราะห์ ซึ่งจำเป็นต้องมีความต่อเนื่องของอนุพันธ์อันดับแรก ช่องว่างนี้ได้รับการเติมเต็มโดยอิสระโดยEnnio De Giorgi  ( 1956 , 1957 ) และJohn Forbes Nash  ( 1957 , 1958 ) ซึ่งสามารถแสดงให้เห็นว่าคำตอบเหล่านั้นมีอนุพันธ์อันดับแรกที่มีความต่อเนื่องแบบ Hölderจากผลลัพธ์ก่อนหน้านี้ สิ่งนี้บ่งชี้ว่าคำตอบเป็นเชิงวิเคราะห์เมื่อใดก็ตามที่สมการเชิงอนุพันธ์มีสัมประสิทธิ์เชิงวิเคราะห์ ดังนั้นจึงเป็นการแก้ปัญหาข้อที่สิบเก้าของ Hilbert เสร็จสมบูรณ์ ต่อมาJürgen Moserได้ให้การพิสูจน์ทางเลือกของผลลัพธ์ที่ได้รับโดยEnnio De Giorgi  ( 1956 , 1957 ) และJohn Forbes Nash  ( 1957 , 1958 )

คำตอบเชิงบวกต่อปัญหาข้อที่สิบเก้าของฮิลเบิร์ตที่ได้รับจาก Ennio De Giorgi และ John Forbes Nash ทำให้เกิดคำถามว่าข้อสรุปเดียวกันนี้ใช้ได้กับสมการ Euler–Lagrange ของฟังก์ชัน ทั่วไปมากขึ้นหรือ ^ไม่ในช่วงปลายทศวรรษ 1960 Maz'ya (1968) [ ^{12 ]} De Giorgi (1968)และGiusti & Miranda (1968) ได้สร้าง ตัวอย่างค้าน หลายตัวอย่างโดยอิสระ[ ^{13 ] ซึ่ง}แสดงให้เห็นว่าโดยทั่วไปแล้วไม่มีหวังที่จะพิสูจน์ผลลัพธ์ความสม่ำเสมอดังกล่าวได้หากไม่เพิ่มสมมติฐานเพิ่มเติม

กล่าวคือMaz'ya (1968)ได้ยกตัวอย่างคัดค้านหลายกรณีที่เกี่ยวข้องกับสมการเชิงวงรีเดี่ยวที่มีอันดับมากกว่าสองและมีสัมประสิทธิ์เชิงวิเคราะห์^{[ 14 ]}สำหรับผู้เชี่ยวชาญ ข้อเท็จจริงที่ว่าสมการดังกล่าวอาจมีคำตอบที่ไม่เป็นเชิงวิเคราะห์และแม้กระทั่งคำตอบที่ไม่เรียบ ทำให้เกิดความตื่นเต้น^{[ 15 ]}

De Giorgi (1968)และGiusti & Miranda (1968)ได้ยกตัวอย่างค้านที่แสดงให้เห็นว่าในกรณีที่คำตอบเป็นเวกเตอร์แทนที่จะเป็นสเกลาร์ คำตอบนั้นไม่จำเป็นต้องเป็นเชิงวิเคราะห์ ตัวอย่างของ De Giorgi ประกอบด้วยระบบเชิงวงรีที่มีสัมประสิทธิ์จำกัด ในขณะที่ตัวอย่างของ Giusti และ Miranda มีสัมประสิทธิ์เชิงวิเคราะห์^{[ 16 ]}ต่อมาNečas (1977)ได้ให้ตัวอย่างอื่น ๆ ที่ละเอียดกว่าสำหรับปัญหาเวกเตอร์^{[ 17 ]}

ทฤษฎีบทสำคัญที่เดอ จอร์จีพิสูจน์ได้คือการประมาณค่าล่วงหน้าซึ่งระบุว่า ถ้าuเป็นคำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยเชิงเส้นอันดับสองแบบวงรีอย่างเคร่งครัดที่เหมาะสมในรูปแบบ

${\displaystyle D_{i}(a^{ij}(x)\,D_{j}u)=0}$

และอนุพันธ์อันดับแรกสามารถหาปริพันธ์กำลังสองได้ แสดงว่ามีความต่อเนื่องแบบโฮลเดอร์ ${\displaystyle u}$${\displaystyle u}$

ปัญหาของฮิลเบิร์ตถามว่า ตัวลดค่าต่ำสุดของฟังก์ชันพลังงาน เช่น ${\displaystyle w}$

${\displaystyle \int _{U}L(Dw)\,\mathrm {d} x}$

เป็นฟังก์ชันเชิงวิเคราะห์ โดยที่เป็นฟังก์ชันบนเซตกระชับบางเซตของR ⁿเป็น เวกเตอร์ เกรเดียนต์ของ ฟังก์ชัน และเป็นลากรางจ์ ซึ่งเป็นฟังก์ชันของอนุพันธ์ของที่สอดคล้องกับเงื่อนไขการเติบโต ความเรียบ และความนูนบางประการ ความเรียบของสามารถแสดงได้โดยใช้ทฤษฎีบทของเดอ จอร์จี ดังต่อไปนี้สมการออยเลอร์-ลากรางจ์สำหรับปัญหาแปรผันนี้คือสมการไม่เชิงเส้น ${\displaystyle w}$${\displaystyle U}$${\displaystyle Dw}$${\displaystyle L}$${\displaystyle w}$${\displaystyle w}$

${\displaystyle \sum \limits _{i=1}^{n}(L_{p_{i}}(Dw))_{x_{i}}=0}$

และการหาความแตกต่างนี้เมื่อเทียบกับสิ่งที่ให้ ${\displaystyle x_{k}}$

${\displaystyle \sum \limits _{i=1}^{n}(L_{p_{i}p_{j}}(Dw)w_{x_{j}x_{k}})_{x_{i}}=0}$

ซึ่งหมายความว่าสอดคล้องกับสมการเชิงเส้น ${\displaystyle u=w_{x_{k}}}$

${\displaystyle D_{i}(a^{ij}(x)D_{j}u)=0}$

กับ

${\displaystyle a^{ij}=L_{p_{i}p_{j}}(Dw)}$

ดังนั้น จากผลของ De Giorgi คำตอบwจะมีอนุพันธ์อันดับแรกที่ต่อเนื่องแบบ Hölder หากเมทริกซ์มีขอบเขตจำกัด หากไม่เป็นเช่นนั้น จะต้องมีขั้นตอนเพิ่มเติม คือ ต้องพิสูจน์ว่าคำตอบนั้นต่อเนื่องแบบ Lipschitz กล่าว คือ เกรเดียนต์เป็นฟังก์ชัน ${\displaystyle L_{p_{i}p_{j}}}$${\displaystyle w}$${\displaystyle Dw}$${\displaystyle L^{\infty }}$

เมื่อทราบว่าw มีอนุพันธ์อันดับที่ ( n +1) ที่ต่อเนื่องแบบ Hölder สำหรับn ≥ 1 บางค่าแล้ว สัมประสิทธิ์a ^ij จะมีอนุพันธ์อันดับที่ nที่ต่อเนื่องแบบ Hölder ดังนั้นทฤษฎีบทของ Schauder จึงบ่งชี้ว่าอนุพันธ์อันดับที่ ( n +2) ก็ต่อเนื่องแบบ Hölder เช่นกัน ดังนั้นการทำซ้ำเช่นนี้ไปเรื่อยๆ อย่างไม่มีที่สิ้นสุดจะแสดงให้เห็นว่าคำตอบw นั้นเรียบ

จอห์น แนช ได้ให้การประมาณค่าความต่อเนื่องสำหรับคำตอบของสมการพาราโบลิก

${\displaystyle D_{i}(a^{ij}(x)D_{j}u)=D_{t}(u)}$

โดยที่uเป็นฟังก์ชันที่มีขอบเขตของx ,..., x , tซึ่งกำหนดไว้สำหรับt ≥ 0 จากการประมาณค่าของเขา แนชสามารถอนุมานการประมาณค่าความต่อเนื่องสำหรับคำตอบของสมการเชิงวงรีได้

${\displaystyle D_{i}(a^{ij}(x)D_{j}u)=0}$โดยพิจารณากรณีพิเศษที่uไม่ขึ้นอยู่กับt