ในทางคณิตศาสตร์พื้นผิวขั้นต่ำสุดคือพื้นผิวที่ทำให้พื้นที่ของมันมีค่าน้อยที่สุดในบริเวณนั้น ซึ่งเทียบเท่ากับการมีค่าความโค้งเฉลี่ยเป็น ศูนย์ (ดูคำจำกัดความด้านล่าง)

คำว่า "พื้นผิวขั้นต่ำ" (minimal surface) ถูกนำมาใช้เนื่องจากพื้นผิวเหล่านี้เกิดขึ้นครั้งแรกในฐานะพื้นผิวที่ลดพื้นที่ผิวรวมให้เหลือน้อยที่สุดภายใต้ข้อจำกัดบางประการ แบบจำลองทางกายภาพของพื้นผิวขั้นต่ำที่ลดพื้นที่ให้เหลือน้อยที่สุดสามารถสร้างได้โดยการจุ่มโครงลวดลงในสารละลายสบู่ ทำให้เกิดฟิล์มสบู่ซึ่งเป็นพื้นผิวขั้นต่ำที่มีขอบเขตเป็นโครงลวด อย่างไรก็ตาม คำนี้ถูกใช้กับพื้นผิวทั่วไปที่อาจตัดกันเองหรือไม่มีข้อจำกัด สำหรับข้อจำกัดที่กำหนด อาจมีพื้นผิวขั้นต่ำหลายพื้นผิวที่มีพื้นที่แตกต่างกัน (ตัวอย่างเช่น ดูพื้นผิวขั้นต่ำของการหมุน ) คำจำกัดความมาตรฐานเกี่ยวข้องกับค่าเหมาะสมที่สุด เฉพาะที่เท่านั้น ไม่ใช่ค่าเหมาะสมที่สุดโดยรวม

พื้นผิวขั้นต่ำสามารถกำหนดได้หลายวิธีที่เทียบเท่ากันใน${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ข้อเท็จจริงที่ว่าทฤษฎีพื้นผิวขั้นต่ำนั้นเทียบเท่ากัน แสดงให้เห็นว่าทฤษฎีพื้นผิวขั้นต่ำนั้นอยู่ตรงทางแยกของสาขาวิชาคณิตศาสตร์หลายสาขา โดยเฉพาะเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ แคลคูลัสของการแปรผันทฤษฎีศักย์การวิเคราะห์เชิงซ้อนและฟิสิกส์คณิตศาสตร์^{[ 1 ]}

นิยามพื้นที่น้อยที่สุดในระดับท้องถิ่น : พื้นผิว${\displaystyle M\subset \mathbb {R} ^{3}}$จะมีค่าน้อยที่สุดก็ต่อเมื่อทุกจุดp ∈ Mมีบริเวณใกล้เคียงที่ล้อมรอบด้วยเส้นโค้งปิดแบบง่าย ซึ่งมีพื้นที่น้อยที่สุดในบรรดาพื้นผิวทั้งหมดที่มีขอบเขตเดียวกัน

คุณสมบัตินี้เป็นแบบเฉพาะที่: อาจมีบริเวณต่างๆ ในพื้นที่ผิวที่เล็กที่สุด ร่วมกับพื้นที่ผิวอื่นๆ ที่มีขนาดเล็กกว่าแต่มีขอบเขตเดียวกัน คุณสมบัตินี้สร้างความเชื่อมโยงกับฟิล์มสบู่ ฟิล์มสบู่ที่เสียรูปโดยมีโครงลวดเป็นขอบเขตจะทำให้พื้นที่เล็กที่สุด

นิยามเชิงแปรผัน : พื้นผิว${\displaystyle M\subset \mathbb {R} ^{3}}$จะมีค่าน้อยที่สุดก็ต่อเมื่อเป็นจุดวิกฤตของพื้นที่ที่ใช้งานได้สำหรับรูปแบบ ที่รองรับอย่างกะทัดรัดทั้งหมด เท่านั้น

นิยามนี้ทำให้พื้นผิวขั้นต่ำเป็นสิ่งที่เทียบเคียงได้ใน 2 มิติกับเส้นจีโอเดสิกซึ่งถูกกำหนดในทำนองเดียวกันว่าเป็นจุดวิกฤตของฟังก์ชันความยาว

นิยามของความโค้งเฉลี่ย : พื้นผิว${\displaystyle M\subset \mathbb {R} ^{3}}$จะมีค่าน้อยที่สุดก็ต่อเมื่อค่าความโค้งเฉลี่ยเท่ากับศูนย์ที่ทุกจุด เท่านั้น

ผลลัพธ์โดยตรงจากคำจำกัดความนี้คือ ทุกจุดบนพื้นผิวเป็นจุดอานม้า ที่มี ความโค้งหลักเท่ากันและตรงข้ามกันนอกจากนี้ ยังทำให้พื้นผิวขั้นต่ำกลายเป็นคำตอบแบบสถิตของการไหลของความโค้งเฉลี่ยตามสมการของยัง-ลาปลาสความโค้งเฉลี่ยของฟิล์มสบู่เป็นสัดส่วนกับความแตกต่างของความดันระหว่างด้านต่างๆ หากฟิล์มสบู่ไม่ล้อมรอบบริเวณใดๆ ความโค้งเฉลี่ยของมันจะเป็นศูนย์ ในทางตรงกันข้ามฟองสบู่ ทรงกลม จะล้อมรอบบริเวณที่มีความดันแตกต่างจากบริเวณภายนอก ดังนั้นจึงไม่มีความโค้งเฉลี่ยเป็นศูนย์

นิยามสมการเชิงอนุพันธ์ : พื้นผิว${\displaystyle M\subset \mathbb {R} ^{3}}$สร้างขึ้นจากภาพของภูมิภาค${\displaystyle X\subset \mathbb {R} ^{2}}$ภายใต้ฟังก์ชัน${\displaystyle \mathbf {f} :X\to M}$,${\displaystyle (x,y)\mapsto (x,y,u(x,y))}$, ที่ไหน${\displaystyle u:X\to \mathbb {R} }$เป็นฟังก์ชันค่าจริง และจะเป็นฟังก์ชันขั้นต่ำสุดก็ต่อเมื่อ${\displaystyle u}$พอใจ

${\displaystyle (1+u_{x}^{2})u_{yy}-2u_{x}u_{y}u_{xy}+(1+u_{y}^{2})u_{xx}=0}$

สมการเชิงอนุพันธ์ย่อยในคำจำกัดความนี้เดิมทีค้นพบในปี 1762 โดยLagrange [ ^{2 ]}และJean Baptiste Meusnier ค้นพบในปี 1776 ว่ามันบ่งชี้ ^ถึงความโค้งเฉลี่ยที่เป็นศูนย์^{[ 3 ]}สมการนี้ให้คำจำกัดความที่ไม่สมมาตรในแง่ที่ว่าตำแหน่งบน${\displaystyle z}$แกน x ถูกกำหนดเป็นฟังก์ชัน${\displaystyle u}$ของ${\displaystyle x}$และ${\displaystyle y}$ไม่ใช่ทุกพื้นผิวที่จะแสดงในลักษณะนี้ได้อย่างสะดวก จึงมีคำจำกัดความทางเลือกที่อิงตามการแสดงผลแบบทั่วไปมากกว่า${\displaystyle \mathbf {x}$ :\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{3},(u,v)\mapsto (x,y,z)} คือ

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial u}}{\frac {{\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial v}}{\boldsymbol {\times }}({\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial u}}{\boldsymbol {\times }}{\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial v}})}{\sqrt {({\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial u}}{\boldsymbol {\times }}{\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial v}}){\boldsymbol {\cdot }}({\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial u}}{\boldsymbol {\times }}{\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial v}})}}}={\frac {\partial }{\partial v}}{\frac {{\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial u}}{\boldsymbol {\times }}({\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial u}}{\boldsymbol {\times }}{\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial v}})}{\sqrt {({\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial u}}{\boldsymbol {\times }}{\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial v}}){\boldsymbol {\cdot }}({\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial u}}{\boldsymbol {\times }}{\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial v}})}}}}$.

นิยามของพลังงาน : การจุ่มแบบสอดคล้อง${\displaystyle X:M\rightarrow \mathbb {R} ^{3}}$จะมีค่าน้อยที่สุดก็ต่อเมื่อเป็นจุดวิกฤตของพลังงาน Dirichletสำหรับรูปแบบที่รองรับอย่างกะทัดรัดทั้งหมด หรือเทียบเท่ากับถ้าจุดใด ๆ${\displaystyle p\in M}$เป็นย่านที่มีพลังงานต่ำที่สุดเมื่อเทียบกับขอบเขตของย่านนั้น

คำจำกัดความนี้เชื่อมโยงพื้นผิวขั้นต่ำเข้ากับฟังก์ชันฮาร์มอนิกและทฤษฎีศักย์

นิยามฮาร์โมนิก : ถ้า${\displaystyle X=(x_{1},x_{2},x_{3}):M\rightarrow \mathbb {R} ^{3}}$เป็นการจุ่มแบบไอโซเมตริก ของพื้นผิวรีมันน์ลงในปริภูมิ 3 มิติ จากนั้น${\displaystyle X}$กล่าวกันว่ามีค่าน้อยที่สุดเมื่อใดก็ตามที่${\displaystyle x_{i}}$เป็นฟังก์ชันฮาร์มอนิกบน${\displaystyle M}$สำหรับแต่ละคน${\displaystyle i}$.

ผลลัพธ์โดยตรงจากคำจำกัดความนี้และหลักการสูงสุดสำหรับฟังก์ชันฮาร์มอนิกคือ ไม่มี พื้นผิวขั้นต่ำ ที่สมบูรณ์แบบและกะทัดรัด ใน${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$.

นิยามของแผนที่เกาส์ : พื้นผิว${\displaystyle M\subset \mathbb {R} ^{3}}$จะมีค่าน้อยที่สุดก็ต่อเมื่อแผนที่เกาส์ที่ฉายภาพแบบสเตอริโอกราฟิก ของมันมีค่าน้อยที่สุดเท่านั้น${\displaystyle g:M\rightarrow \mathbb {C} \cup {\infty }}$มีลักษณะเป็นเมโรเมอร์ฟิกเมื่อเทียบกับ โครงสร้าง พื้นผิวรีมันน์ พื้นฐาน และ${\displaystyle M}$ไม่ใช่ชิ้นส่วนของทรงกลม

นิยามนี้ใช้หลักการที่ว่า ความโค้งเฉลี่ยคือครึ่งหนึ่งของร่องรอยของตัวดำเนินการรูปร่างซึ่งเชื่อมโยงกับอนุพันธ์ของแผนที่เกาส์ หากแผนที่เกาส์ที่ฉายภาพเป็นไปตามสมการโคชี-รีมันน์ ร่องรอยนั้นจะเป็นศูนย์ หรือทุกจุดของMจะเป็นจุดสะดือซึ่งในกรณีนี้ จุดนั้นจะเป็นส่วนหนึ่งของทรงกลม

นิยามพื้นที่น้อยที่สุดในระดับท้องถิ่นและนิยามแปรผันช่วยให้สามารถขยายพื้นผิวขั้นต่ำไปยังแมนิโฟลด์แบบรีมันน์ อื่นๆ ได้${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$[ ^{4 ]​}

ทฤษฎีพื้นผิวขั้นต่ำมีที่มาจากลากรองจ์ซึ่งในปี 1762 ได้พิจารณาปัญหาการแปรผันของการหาพื้นผิว${\displaystyle z=z(x,y)}$ของพื้นที่น้อยที่สุดที่ทอดยาวไปตามเส้นโค้งปิดที่กำหนด เขาได้อนุพันธ์สมการออยเลอร์-ลากรองจ์เพื่อหาคำตอบ

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left({\frac {z_{x}}{\sqrt {1+z_{x}^{2}+z_{y}^{2}}}}\right)+{\frac {d}{dy}}\left({\frac {z_{y}}{\sqrt {1+z_{x}^{2}+z_{y}^{2}}}}\right)=0}$

เขาไม่ประสบความสำเร็จในการค้นหาวิธีแก้ปัญหาใดๆ นอกเหนือจากระนาบนั้น ในปี 1776 ฌอง บาติสต์ มารี เมอสนิเยร์ค้นพบว่าเส้นโค้งเฮลิคอยด์และเส้นโค้งแคทเทนอยด์สอดคล้องกับสมการ และนิพจน์เชิงอนุพันธ์สอดคล้องกับความโค้งเฉลี่ย สองเท่า ของพื้นผิว จึงสรุปได้ว่าพื้นผิวที่มีความโค้งเฉลี่ยเป็นศูนย์จะมีพื้นที่น้อยที่สุด

โดยการขยายสมการของลากรองจ์ไปเป็น

${\displaystyle \left(1+z_{x}^{2}\right)z_{yy}-2z_{x}z_{y}z_{xy}+\left(1+z_{y}^{2}\right)z_{xx}=0}$

ในปี 1795 กัสปาร์ด มงเกและเลอฌองเดรได้คิดค้นสูตรการแสดงแทนสำหรับพื้นผิวคำตอบ แม้ว่าไฮน์ริช เชิร์ก จะนำสูตรเหล่านี้ไปใช้ในการสร้าง พื้นผิวของเขาได้สำเร็จในปี 1830 แต่โดยทั่วไปแล้วสูตรเหล่านี้ก็ถูกมองว่าใช้งานจริงไม่ได้คาตาลันพิสูจน์ในปี 1842/43 ว่าเฮลิคอยด์เป็นพื้นผิวขั้นต่ำ สุดเพียงพื้นผิวเดียว ที่มีลักษณะเป็นเส้น โค้ง

ความก้าวหน้าค่อนข้างช้าจนกระทั่งกลางศตวรรษ เมื่อปัญหาของ Björlingได้รับการแก้ไขโดยใช้วิธีการเชิงซ้อน "ยุคทองแรก" ของพื้นผิวขั้นต่ำจึงเริ่มต้นขึ้นSchwarzค้นพบวิธีแก้ปัญหา Plateauสำหรับรูปสี่เหลี่ยมด้านเท่าในปี 1865 และสำหรับรูปสี่เหลี่ยมทั่วไปในปี 1867 (ซึ่งทำให้สามารถสร้างตระกูลพื้นผิว เป็นคาบได้ ) โดยใช้วิธีการเชิงซ้อนWeierstrassและEnneperพัฒนาสูตรการแสดงผล ที่มีประโยชน์มากขึ้น โดยเชื่อมโยงพื้นผิวขั้นต่ำเข้ากับ การวิเคราะห์เชิงซ้อนและฟังก์ชันฮาร์มอนิกอย่างแน่นหนาผลงานสำคัญอื่นๆ มาจาก Beltrami, Bonnet, Darboux, Lie, Riemann, Serret และ Weingarten

ระหว่างปี ค.ศ. 1925 ถึง 1950 ทฤษฎีพื้นผิวขั้นต่ำได้รับการฟื้นฟูขึ้นมาอีกครั้ง โดยมุ่งเน้นไปที่พื้นผิวขั้นต่ำแบบไม่ใช้พารามิเตอร์เป็นหลัก การแก้ปัญหา Plateau อย่างสมบูรณ์โดยJesse DouglasและTibor Radóถือเป็นความสำเร็จครั้งสำคัญปัญหาของ Bernsteinและ งานของ Robert Ossermanเกี่ยวกับพื้นผิวขั้นต่ำที่สมบูรณ์ซึ่งมีความโค้งรวมจำกัดก็มีความสำคัญเช่นกัน

การฟื้นฟูครั้งใหม่เริ่มต้นขึ้นในทศวรรษ 1980 สาเหตุหนึ่งมาจากการค้นพบในปี 1982 โดยเซลโซ คอสตา เกี่ยวกับพื้นผิวที่หักล้างข้อสันนิษฐานที่ว่าระนาบ แคทเทนอยด์ และเฮลิคอยด์ เป็นพื้นผิวขั้นต่ำที่ฝังตัวอย่างสมบูรณ์เพียงชนิดเดียวในเรขาคณิต${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ของประเภทโทโพโลยีจำกัด สิ่งนี้ไม่เพียงกระตุ้นให้เกิดงานวิจัยใหม่ ๆ เกี่ยวกับการใช้วิธีการพาราเมตริกแบบเก่าเท่านั้น แต่ยังแสดงให้เห็นถึงความสำคัญของกราฟิกคอมพิวเตอร์ในการแสดงภาพพื้นผิวที่ศึกษา และวิธีการเชิงตัวเลขในการแก้ปัญหา "ปัญหาคาบ" (เมื่อใช้วิธีพื้นผิวคู่ควบเพื่อกำหนดส่วนของพื้นผิวที่สามารถประกอบเข้าด้วยกันเป็นพื้นผิวสมมาตรขนาดใหญ่ พารามิเตอร์บางอย่างจำเป็นต้องจับคู่เชิงตัวเลขเพื่อสร้างพื้นผิวฝังตัว) สาเหตุอีกประการหนึ่งคือการตรวจสอบโดย H. Karcher ว่าพื้นผิวขั้นต่ำแบบคาบสามมิติที่ Alan Schoen อธิบายไว้ในเชิงประจักษ์ในปี 1970 นั้นมีอยู่จริง สิ่งนี้ได้นำไปสู่ตระกูลพื้นผิวและวิธีการมากมายในการสร้างพื้นผิวใหม่จากพื้นผิวเก่า ตัวอย่างเช่น โดยการเพิ่มด้ามจับหรือการบิดเบือนพื้นผิวเหล่านั้น

ปัจจุบัน ทฤษฎีพื้นผิวขั้นต่ำได้แตกแขนงออกไปสู่ส่วนย่อยขั้นต่ำในเรขาคณิตแวดล้อมอื่นๆ ซึ่งมีความเกี่ยวข้องกับฟิสิกส์เชิงคณิตศาสตร์ (เช่นข้อสันนิษฐานมวลบวกข้อสันนิษฐานของเพนโรส ) และเรขาคณิตสามมิติ (เช่น ข้อสันนิษฐานของสมิธ ข้อสันนิษฐานของปวงกาเรข้อสันนิษฐานการสร้างเรขาคณิตของเธอร์สตัน)

ตัวอย่างคลาสสิกของพื้นผิวขั้นต่ำ ได้แก่:

• เครื่องบินซึ่งเป็นกรณีง่ายๆ
• แคทเทนอยด์ : พื้นผิวขั้นต่ำที่เกิดจากการหมุนเส้นโค้งแคทเทนรีหนึ่งรอบรอบเส้นไดเรกทริก ซ์
• เฮลิคอยด์ : พื้นผิวที่เกิดจากการกวาดของเส้นตรงที่หมุนด้วยความเร็วสม่ำเสมอรอบแกนที่ตั้งฉากกับเส้นตรงนั้น และในขณะเดียวกันก็เคลื่อนที่ไปตามแกนนั้นด้วยความเร็วสม่ำเสมอ

พื้นผิวจากยุคทองของศตวรรษที่ 19 ได้แก่:

• พื้นผิวขั้นต่ำของ Schwarz : พื้นผิวแบบสามมิติที่เติมเต็ม${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$
• พื้นผิวขั้นต่ำของรีมันน์ : พื้นผิวเป็นคาบที่ได้รับการอธิบายหลังการเสียชีวิต ของผู้เขียน
• พื้นผิวเอ็นเนเปอร์
• พื้นผิวเฮนเนเบิร์ก : พื้นผิวขั้นต่ำที่ไม่สามารถกำหนดทิศทางได้เป็นครั้งแรก
• พื้นผิวที่เรียบง่ายของ Bour
• พื้นผิวนีโอเวียส : พื้นผิวที่มีคาบสามมิติ

พื้นผิวสมัยใหม่ประกอบด้วย:

• ไจโรอยด์ : หนึ่งในพื้นผิวของโชเอนจากปี 1970 พื้นผิวที่มีคาบสามมิติซึ่งมีความน่าสนใจเป็นพิเศษสำหรับโครงสร้างผลึกเหลว
• ตระกูล หอคอยอานม้า : การสรุปทั่วไปของพื้นผิวที่สองของเชิร์ก
• พื้นผิวขั้นต่ำของคอสต้า : การหักล้างสมมติฐานที่มีชื่อเสียง อธิบายไว้ในปี 1982 โดยเซลโซ คอสต้าและต่อมาแสดงภาพโดยจิ ม ฮอฟฟ์แมน จิม ฮอฟฟ์แมน เดวิด ฮอฟฟ์แมน และวิลเลียม มีคส์ที่ 3 ได้ขยายคำจำกัดความเพื่อสร้างตระกูลของพื้นผิวที่มีสมมาตรการหมุนที่แตกต่างกัน
• ตระกูลพื้นผิว Chen –Gackstatterซึ่งเพิ่มด้ามจับให้กับพื้นผิว Enneper

พื้นผิวขั้นต่ำสามารถกำหนดได้ในแมนิโฟลด์ อื่นๆ นอกเหนือจาก${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$เช่นปริภูมิไฮเปอร์โบลิกปริภูมิหลายมิติ หรือแมนิโฟลด์แบบรีมันน์

นิยามของพื้นผิวขั้นต่ำสามารถขยาย/ทำให้ครอบคลุมถึงพื้นผิวที่มีความโค้งเฉลี่ยคงที่ได้ กล่าวคือ พื้นผิวที่มีความโค้งเฉลี่ยคงที่ ซึ่งไม่จำเป็นต้องเท่ากับศูนย์

ในเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์แบบไม่ต่อเนื่องพื้นผิวขั้นต่ำแบบไม่ต่อเนื่องจะถูกศึกษา: คอมเพล็กซ์ซิมพลิเชียลของสามเหลี่ยมที่ลดพื้นที่ให้น้อยที่สุดภายใต้การรบกวนเล็กน้อยของตำแหน่งจุดยอด^{[ 5 ]}การแบ่งส่วนแบบไม่ต่อเนื่องดังกล่าวมักใช้เพื่อประมาณพื้นผิวขั้นต่ำในเชิงตัวเลข แม้ว่าจะไม่มีสูตรสำเร็จรูปที่ทราบก็ตาม

การเคลื่อนที่แบบบราวน์บนพื้นผิวขั้นต่ำนำไปสู่การพิสูจน์เชิงความน่าจะเป็นของทฤษฎีบทหลายข้อบนพื้นผิวขั้นต่ำ^{[ 6 ]}

เส้นโค้งของ พื้นผิว ไอโซเทอร์มอลก่อให้เกิดเครือข่ายไอโซเทอร์มอล^{[ 7 ]}

พื้นผิวขั้นต่ำกลายเป็นหัวข้อการศึกษาทางวิทยาศาสตร์ที่เข้มข้น โดยเฉพาะอย่างยิ่งในด้านวิศวกรรมโมเลกุลและวิทยาศาสตร์วัสดุเนื่องจากคาดว่าจะมีการประยุกต์ใช้ในการประกอบตัวเองของวัสดุที่ซับซ้อน^{[ 8 ]}เอนโดพลาสมิกเรติคูลัมซึ่งเป็นโครงสร้างที่สำคัญในชีววิทยาของเซลล์ ถูกเสนอว่าอยู่ภายใต้แรงกดดันทางวิวัฒนาการเพื่อให้สอดคล้องกับพื้นผิวขั้นต่ำที่ไม่ธรรมดา^{[ 9 ]}

ในสาขาของทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปและเรขาคณิตลอเรนซ์การขยายและการปรับเปลี่ยนแนวคิดของพื้นผิวขั้นต่ำที่เรียกว่าขอบฟ้าปรากฏนั้นมีความสำคัญ^{[ 10 ]}ตรงกันข้ามกับขอบฟ้าเหตุการณ์พวกมันแสดงถึง แนวทางที่อิงตาม ความโค้งในการทำความเข้าใจขอบเขตของหลุมดำ

โครงสร้างที่มีพื้นผิวน้อยสามารถใช้เป็นเต็นท์ได้

พื้นผิวขั้นต่ำเป็นส่วนหนึ่งของ เครื่องมือ ออกแบบเชิงสร้างสรรค์ที่นักออกแบบสมัยใหม่ใช้ ในด้านสถาปัตยกรรมมีความสนใจอย่างมากในโครงสร้างแรงดึงซึ่งมีความเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับพื้นผิวขั้นต่ำ ตัวอย่างที่โดดเด่นสามารถพบได้ในผลงานของFrei Otto , Shigeru BanและZaha Hadidการออกแบบสนามกีฬาโอลิมปิกมิวนิกโดย Frei Otto ได้รับแรงบันดาลใจจากพื้นผิวสบู่^{[ 11 ]}อีกตัวอย่างที่โดดเด่น ซึ่งออกแบบโดย Frei Otto เช่นกัน คือศาลาเยอรมันในงาน Expo 67ที่มอนทรีออล ประเทศแคนาดา^{[ 12 ]}

ในวงการศิลปะ พื้นผิวที่เรียบง่ายได้รับการสำรวจอย่างกว้างขวางในงานประติมากรรมของโรเบิร์ต เอ็งก์แมน (1927–2018), โรเบิร์ต ลองเฮิร์สต์ (1949– ) และชาร์ลส์ โอ. เพอร์รี (1929–2011) เป็นต้น

ตำราเรียน

• R. Courant . หลักการของ Dirichlet, การแปลงแบบคอนฟอร์มอล และพื้นผิวขั้นต่ำ ภาคผนวกโดยM. Schiffer . สำนักพิมพ์ Interscience Publishers, Inc., นิวยอร์ก, นิวยอร์ก, 1950. xiii+330 หน้า
• H. Blaine Lawson, Jr. บรรยายเรื่องซับแมนิโฟลด์ขั้นต่ำ เล่มที่ 1 ฉบับพิมพ์ครั้งที่สอง ชุดบรรยายคณิตศาสตร์ เล่มที่ 9 สำนักพิมพ์ Publish or Perish, Inc., Wilmington, Del., 1980. iv+178 หน้าISBN 0-914098-18-7
• โรเบิร์ต ออสเซอร์แมน . การสำรวจพื้นผิวขั้นต่ำ.ฉบับพิมพ์ครั้งที่สอง. สำนักพิมพ์โดเวอร์ อิงค์, นิวยอร์ก, 1986. vi+207 หน้า. ISBN 0-486-64998-9, MR 0852409 
• โยฮันเนส ซีซี นิตเช. บรรยายเรื่องพื้นผิวขั้นต่ำ เล่ม 1 บทนำ หลักการพื้นฐาน เรขาคณิต และปัญหาค่าขอบเขตพื้นฐานแปลจากภาษาเยอรมันโดย เจอร์รี เอ็ม. ไฟน์เบิร์ก พร้อมคำนำภาษาเยอรมัน สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์ เคมบริดจ์ 1989 xxvi+563 หน้าISBN 0-521-24427-7
• นิชิกาวะ, เซกิ (2002). ปัญหาเชิงแปรผันในเรขาคณิต . การแปลบทความทางคณิตศาสตร์; ชุดอิวานามิในคณิตศาสตร์สมัยใหม่ เล่มที่ 205. แปลโดย อาเบะ, คิเน็ตสึ. พรอวิเดนซ์, โรดไอส์แลนด์: สมาคมคณิตศาสตร์อเมริกัน . ISBN 0-8218-1356-0ISSN 0065-9282 แปลจาก: {{cite book}}: CS1 maint: postscript ( link )

• 西川青季 (1998).幾何学的変分問題. 岩波講座現代数学の基礎 (ภาษาญี่ปุ่น) ฉบับที่ 28. โตเกียว:岩波書店. ไอเอสบีเอ็น 4-00-010642-2.

• อุลริช เดียร์เกส, สเตฟาน ฮิลเดอบรันต์ และฟรีดริช โซวิญีพื้นผิวน้อยที่สุดแก้ไขและขยายฉบับพิมพ์ครั้งที่สอง ด้วยความช่วยเหลือและการสนับสนุนจาก A. Küster และ R. Jakob Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 339. สปริงเกอร์, ไฮเดลเบิร์ก, 2010. xvi+688 หน้าISBN 978-3-642-11697-1, ดอย: 10.1007/978-3-642-11698-8 , MR 2566897 
• โทเบียส โฮลค์ โคลดิ้งและวิลเลียม พี. มินิคอซซี , II. หลักสูตรในพื้นผิวขั้นต่ำบัณฑิตศึกษาสาขาคณิตศาสตร์ 121. American Mathematical Society, Providence, RI, 2011. xii+313 pp. ISBN 978-0-8218-5323-8

แหล่งข้อมูลออนไลน์

• Karcher, Hermann; Polthier, Konrad (1995). "การสัมผัสฟิล์มสบู่ - บทนำเกี่ยวกับพื้นผิวขั้นต่ำ" สืบค้นเมื่อ 27 ธันวาคม 2006(บทนำเชิงกราฟิกเกี่ยวกับพื้นผิวขั้นต่ำและฟิล์มสบู่)
• Jacek Klinowski. "Periodic Minimal Surfaces Gallery" . สืบค้นเมื่อ 2 กุมภาพันธ์ 2552 .(รวมภาพพื้นผิวเรียบง่าย ทั้งแบบคลาสสิกและแบบสมัยใหม่)
• Martin Steffens และ Christian Teitzel. "Grape Minimal Surface Library" . สืบค้นเมื่อ27 ตุลาคม 2551 .(ชุดของพื้นผิวที่เรียบง่าย)
• แหล่งอ้างอิงต่างๆ (2000). "แบบจำลอง EG" . สืบค้นเมื่อ28 กันยายน 2004 .(วารสารออนไลน์ที่มีแบบจำลองพื้นผิวขั้นต่ำที่ตีพิมพ์แล้วหลายแบบ)

• "พื้นผิวขั้นต่ำ" , สารานุกรมคณิตศาสตร์ , EMS Press , 2001 [1994]
• หน้าแรกของ 3D-XplorMath-J —โปรแกรม Java และแอปเพล็ตสำหรับการแสดงภาพทางคณิตศาสตร์แบบโต้ตอบ
• แกลเลอรีของพื้นผิวขั้นต่ำที่หมุนได้
• แกลเลอรีพื้นผิวขั้นต่ำที่หมุนได้/ซูมได้ ซึ่งสร้างขึ้นโดยใช้ WebGL