ทฤษฎีพลังงานบวก (หรือที่รู้จักกันในชื่อทฤษฎีมวลบวก ) หมายถึงชุดผลลัพธ์พื้นฐานในทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปและเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์รูปแบบมาตรฐานโดยทั่วไปกล่าวว่า พลังงานโน้มถ่วงของระบบที่แยกตัวออกจากสิ่งแวดล้อมนั้นมีค่าไม่เป็นลบ และจะมีค่าเป็นศูนย์ได้ก็ต่อเมื่อระบบนั้นไม่มีวัตถุที่ก่อให้เกิดแรงโน้มถ่วง แม้ว่าข้อความเหล่านี้มักถูกมองว่าเป็นเรื่องทางกายภาพเป็นหลัก แต่ก็สามารถกำหนดให้เป็นทฤษฎีทางคณิตศาสตร์ ได้ ซึ่งสามารถพิสูจน์ได้โดยใช้เทคนิคของเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์สมการเชิงอนุพันธ์ย่อยและทฤษฎีการวัดทางเรขาคณิต

ริชาร์ด โชเอ็นและชิง-ตุง เยาเป็นคนแรกที่พิสูจน์ทฤษฎีมวลบวกได้ในปี 1979 และ 1981 ตามลำดับ ต่อมา ในปี 1982 เอ็ดเวิร์ด วิทเทนได้เสนอเค้าโครงของการพิสูจน์ทางเลือก ซึ่งภายหลังนักคณิตศาสตร์ได้ทำการพิสูจน์อย่างละเอียดถี่ถ้วน วิทเทนและเยาได้รับรางวัลฟิลด์ส เมดัลสาขาคณิตศาสตร์ ส่วนหนึ่งจากผลงานของพวกเขาในหัวข้อนี้

ทฤษฎีบทพลังงานบวกของ Schoen-Yau/Witten ที่กำหนดขึ้นอย่างไม่แม่นยำนั้นระบุไว้ดังนี้:

เมื่อกำหนด ชุดข้อมูลเริ่มต้นที่มีลักษณะแบนราบในเชิงอะซิมโทติกแล้วเราสามารถกำหนดพลังงาน-โมเมนตัมของแต่ละบริเวณอนันต์เป็นองค์ประกอบของปริภูมิมีนโกวสกีได้ โดยมีเงื่อนไขว่าชุดข้อมูลเริ่มต้นนั้นสมบูรณ์ในเชิงจีโอเด สิก และเป็นไปตามเงื่อนไขพลังงานเด่นแต่ละองค์ประกอบดังกล่าวจะต้องอยู่ในอนาคตเชิงสาเหตุของจุดกำเนิด หากบริเวณอนันต์ใดมีพลังงาน-โมเมนตัมเป็นศูนย์ ชุดข้อมูลเริ่มต้นนั้นจะเป็นแบบไม่สำคัญในแง่ที่ว่าสามารถฝังตัวทางเรขาคณิตในปริภูมิมีนโกวสกีได้

ความหมายของคำศัพท์เหล่านี้จะกล่าวถึงต่อไปนี้ มีสูตรทางเลือกและไม่เทียบเท่ากันสำหรับแนวคิดที่แตกต่างกันของพลังงาน-โมเมนตัม และสำหรับชุดข้อมูลเริ่มต้นประเภทต่างๆ สูตรเหล่านี้บางส่วนยังไม่ได้รับการพิสูจน์อย่างเข้มงวด และในปัจจุบันยังเป็นปัญหาที่ยังไม่ได้รับการแก้ไขว่าสูตรข้างต้นใช้ได้กับชุดข้อมูลเริ่มต้นที่มีมิติใดๆ หรือไม่

บทพิสูจน์ดั้งเดิมของทฤษฎีบทเกี่ยวกับมวล ADMนั้นจัดทำโดยRichard SchoenและShing-Tung Yauในปี 1979 โดยใช้วิธีการแปรผันและพื้นผิวขั้นต่ำEdward Wittenได้ให้บทพิสูจน์อีกแบบหนึ่งในปี 1981 โดยอาศัยการใช้สปินเนอร์ซึ่งได้รับแรงบันดาลใจจากทฤษฎีบทพลังงานบวกในบริบทของซูเปอร์กราวิตี้ ส่วนขยายของทฤษฎีบทสำหรับมวลบอนดีนั้นจัดทำโดยLudvigsenและ James Vickers, Gary HorowitzและMalcolm Perry , และ Schoen และ Yau

แกรี่ กิบบอนส์ , สตีเฟน ฮอว์คิง , ฮอโรวิตซ์ และเพอร์รี ได้พิสูจน์การขยายทฤษฎีบทไปยังปริภูมิเวลาแบบแอนติ-เดอ ซิตเตอร์ เชิงอะซิมโทติก และทฤษฎีไอน์สไตน์-แม็กซ์เวลล์ มวลของปริภูมิเวลาแบบแอนติ-เดอ ซิตเตอร์เชิงอะซิมโทติกมีค่าไม่เป็นลบ และมีค่าเท่ากับศูนย์เฉพาะในกรณีของปริภูมิเวลาแบบแอนติ-เดอ ซิตเตอร์เท่านั้น ในทฤษฎีไอน์สไตน์-แม็กซ์เวลล์ สำหรับปริภูมิเวลาที่มีประจุไฟฟ้า และประจุแม่เหล็กมวลของปริภูมิเวลาจะเป็นไปตาม (ในหน่วยเกาส์เซียน ) ${\displaystyle Q}$${\displaystyle P}$

${\displaystyle M\geq {\sqrt {Q^{2}+P^{2}}},}$

โดยมีความเท่าเทียมกันสำหรับคำตอบของ หลุมดำสุดขั้ว ของ Majumdar – Papapetrou

ชุดข้อมูลเริ่มต้นประกอบด้วยแมนิโฟลด์แบบรีมันน์( M , g )และฟิลด์เทนเซอร์ 2 มิติสมมาตรkบนMกล่าวได้ว่าชุดข้อมูลเริ่มต้น( M , g , k )คือ:

• สมมาตรตามเวลาหากkเป็นศูนย์
• มีค่าสูงสุดหากtr ^g k = 0 ^{[ 1 ]}
• ตรงตามเงื่อนไขพลังงานที่เด่นชัดถ้า

${\displaystyle R^{g}-|k|_{g}^{2}+(\operatorname {tr} _{g}k)^{2}\geq 2{\big |}\operatorname {div} ^{g}kd(\operatorname {tr} _{g}k){\big |__{g},}$

โดยที่R ^gหมายถึง^ความโค้งสเกลาร์ของg [ ^{2 ]}

โปรดทราบว่าชุดข้อมูลเริ่มต้นแบบสมมาตรตามเวลา( M , g , 0)จะสอดคล้องกับเงื่อนไขพลังงานเด่นก็ต่อเมื่อความโค้งสเกลาร์ของgไม่เป็นลบเท่านั้น กล่าวได้ว่าแมนิโฟลด์ลอเรนซ์( M , g )เป็นการพัฒนาของชุดข้อมูลเริ่มต้น( M , g , k )ก็ต่อเมื่อมีการฝังพื้นผิวไฮเปอร์ (ซึ่งจำเป็นต้องเป็นแบบสเปซไลค์) ของMลงในMพร้อมกับสนามเวกเตอร์ปกติหน่วยต่อเนื่อง โดยที่เมตริกที่เหนี่ยวนำคือgและรูปแบบพื้นฐานที่สองเมื่อเทียบกับเวกเตอร์ปกติหน่วยที่กำหนดคือ k

นิยามนี้ได้รับแรงบันดาลใจจากเรขาคณิตแบบลอเรนซ์เมื่อกำหนดแมนิโฟลด์แบบลอเรนซ์( M , g )ที่มีมิติn + 1และการฝังตัวแบบสเปซไลค์fจากแมนิโฟลด์แบบ เชื่อมต่อ n มิติ MไปยังMซึ่งมีบันเดิลปกติแบบไม่สำคัญ เราอาจพิจารณาเมตริกแบบรีมันน์ที่เหนี่ยวนำg = f ^* gเช่นเดียวกับรูปแบบพื้นฐานที่สองkของfโดยสัมพันธ์กับเวกเตอร์ปกติหน่วยต่อเนื่องสองแบบตามแนวfสามสิ่ง( M , g , k )เป็นชุดข้อมูลเริ่มต้น ตามสมการของเกาส์-โคดัซซีเราจะได้ว่า

${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {G}}(\nu ,\nu )&={\frac {1}{2}}{\Big (}R^{g}-|k|_{g}^{2}+(\operatorname {tr} ^{g}k)^{2}{\Big )}\\{\overline {G}}(\nu ,\cdot )&=d(\operatorname {tr} ^{g}k)-\operatorname {div} ^{g}k.\end{aligned}}}$

โดยที่Gแทนเทนเซอร์ของไอน์สไตน์Ric ^g - ⁠1/2R g ^gของ gและ νหมายถึงเวกเตอร์หน่วยปกติต่อเนื่องตามแนว fที่ใช้ในการกำหนด kดังนั้นเงื่อนไขพลังงานที่เด่นดังที่กล่าวมาข้างต้น ในบริบท Lorentzian นี้ จะเหมือนกับการยืนยันที่ว่า G ( ν , ⋅)เมื่อมองในฐานะเวกเตอร์ฟิลด์ตามแนว f จะเป็น ^แบบไทม์ไลค์หรือศูนย์ และมีทิศทางเดียวกับ ν [ ^{3 ]}

ในเอกสารทางวิชาการมีแนวคิดเรื่อง "แบนราบเชิงอะซิมโทติก" หลายแบบที่ไม่เทียบเท่ากัน โดยปกติแล้วจะนิยามในแง่ของปริภูมิโฮลเดอร์แบบถ่วงน้ำหนักหรือปริภูมิโซโบเลฟแบบถ่วงน้ำหนัก

อย่างไรก็ตาม มีคุณสมบัติบางอย่างที่พบได้ทั่วไปในแทบทุกวิธีการ โดยพิจารณาชุดข้อมูลเริ่มต้น( M , g , k )ซึ่งอาจมีหรือไม่มีขอบเขตก็ได้ ให้nแทนจำนวนมิติของชุดข้อมูล และต้องมีเซตย่อยกระชับKของMซึ่งแต่ละส่วนประกอบที่เชื่อมต่อกันของส่วนเติมเต็มM − K จะมีลักษณะสมมาตรกับส่วน เติม เต็มของทรงกลมปิดในปริภูมิยุคลิดℝn ส่วนประกอบที่เชื่อมต่อกันเหล่า ^นี้เรียกว่าปลายของM

ให้( M , g , 0)เป็นชุดข้อมูลเริ่มต้นแบบสมมาตรตามเวลาที่สอดคล้องกับเงื่อนไขพลังงานเด่น สมมติว่า( M , g )เป็นแมนิโฟลด์รีมันน์เรียบสามมิติแบบมีทิศทางที่มีขอบเขต และแต่ละส่วนประกอบของขอบเขตมีค่าความโค้งเฉลี่ยเป็นบวก สมมติว่ามันมีปลายด้านหนึ่ง และเป็นแบบ Schwarzschild ในเชิงอะ ซิมโทติก ในความหมายต่อไปนี้:

สมมติว่าKเป็นเซตย่อยแบบพรีคอมแพ็กต์เปิดของMซึ่งมีดิฟฟีโอโมฟิซึมΦ : ℝ ³ − B (0) → M − Kและสมมติว่ามีจำนวนmที่ทำให้เทนเซอร์ 2 มิติสมมาตร

${\displaystyle h_{ij}=(\Phi ^{\ast }g)_{ij}-\delta _{ij}-{\frac {m}{2|x|}}\delta _{ij}}$

บนℝ ³ − B (0)เป็นเช่นนั้นสำหรับi , j , p , q ใดๆ ฟังก์ชันและทั้งหมดมีขอบเขต${\displaystyle |x|^{2}h_{ij}(x),}$${\displaystyle |x|^{3}\partial _{p}h_{ij}(x),}$${\displaystyle |x|^{4}\partial _{p}\partial _{q}h_{ij}(x)}$

ทฤษฎีบทของ Schoen และ Yau ยืนยันว่าmต้องไม่เป็นลบ นอกจากนี้ หากฟังก์ชันและมีขอบเขตสำหรับทุก ๆแล้วmต้องเป็นบวก เว้นแต่ขอบเขตของMจะว่างเปล่า และ( M , g )เป็นไอโซเมตริกกับℝ ³ด้วยเมตริกแบบรีมันน์มาตรฐาน ${\displaystyle |x|^{5}\partial _{p}\partial _{q}\partial _{r}h_{ij}(x),}$${\displaystyle |x|^{5}\partial _{p}\partial _{q}\partial _{r}\partial _{s}h_{ij}(x),}$${\displaystyle |x|^{5}\partial _{p}\partial _{q}\partial _{r}\partial _{s}\partial _{t}h_{ij}(x)}$${\displaystyle i,j,p,q,r,s,t,}$

โปรดสังเกตว่าเงื่อนไขเกี่ยวกับh นั้นยืนยันว่าhพร้อมกับอนุพันธ์บางส่วนของมัน มีค่าเล็กเมื่อxมีค่ามาก เนื่องจากhวัดความบกพร่องระหว่างgในพิกัดΦและการแสดงมาตรฐานของส่วนt =ค่าคงที่ของเมตริก Schwarzschildเงื่อนไขเหล่านี้จึงเป็นการหาปริมาณของคำว่า "asymptotically Schwarzschild" ซึ่งสามารถตีความในเชิงคณิตศาสตร์ล้วนๆ ได้ว่าเป็นรูปแบบที่เข้มงวดของ "asymptotically flat" โดยที่สัมประสิทธิ์ของ ส่วน | x | ⁻¹ของการขยายเมตริกนั้นถูกประกาศว่าเป็นผลคูณคงที่ของเมตริกยุคลิด ตรงข้ามกับเทนเซอร์ 2 มิติสมมาตรทั่วไป

โปรดทราบด้วยว่าทฤษฎีบทของ Schoen และ Yau ดังที่กล่าวไว้ข้างต้นนั้น แท้จริงแล้ว (แม้จะดูแตกต่างออกไป) เป็นรูปแบบที่แข็งแกร่งของกรณี "ปลายหลายด้าน" หาก( M , g )เป็นแมนิโฟลด์แบบรีมันน์ที่สมบูรณ์ที่มีปลายหลายด้าน ผลลัพธ์ข้างต้นจะใช้ได้กับปลายด้านเดียวใดๆ ก็ได้ โดยมีเงื่อนไขว่ามีทรงกลมที่มีความโค้งเฉลี่ยเป็นบวกอยู่ที่ปลายด้านอื่นๆ ทุกด้าน สิ่งนี้รับประกันได้ ตัวอย่างเช่น หากปลายแต่ละด้านแบนราบในเชิงอะซิมโทติกในความหมายข้างต้น เราสามารถเลือกทรงกลมพิกัดขนาดใหญ่เป็นขอบเขต และลบส่วนที่เหลือที่สอดคล้องกันของแต่ละปลายออกจนกว่าจะได้แมนิโฟลด์แบบรีมันน์ที่มีขอบเขตและมีปลายด้านเดียว

ให้( M , g , k )เป็นชุดข้อมูลเริ่มต้นที่สอดคล้องกับเงื่อนไขพลังงานเด่น สมมติว่า( M , g )เป็นแมนิโฟลด์รีมันน์แบบเรียบสมบูรณ์สามมิติที่มีทิศทาง (ไม่มีขอบเขต) และสมมติว่ามีปลายจำนวนจำกัด โดยแต่ละปลายมีลักษณะแบนราบในเชิงอะซิมโทติกในความหมายต่อไปนี้

สมมติว่าเป็นเซตย่อยแบบพรีคอมแพ็กต์เปิด ซึ่งมีส่วนประกอบที่เชื่อมต่อกันจำนวนจำกัดและสำหรับแต่ละมีดิฟเฟโอโมฟิซึมที่ทำให้เทนเซอร์ 2 มิติสมมาตร สอดคล้องกับเงื่อนไขต่อไปนี้: ${\displaystyle K\subset M}$${\displaystyle M\smallsetminus K}$${\displaystyle M_{1},\ldots ,M_{n},}$${\displaystyle i=1,\ldots ,n}$${\displaystyle \Phi _{i}:\mathbb {R} ^{3}\smallsetminus B_{1}(0)\to M_{i}}$${\displaystyle h_{ij}=(\Phi ^{\ast }g)_{ij}-\delta _{ij}}$

• ${\displaystyle |x|h_{ij}(x),}$${\displaystyle |x|^{2}\partial _{p}h_{ij}(x),}$และมีขอบเขตสำหรับทุกคน${\displaystyle |x|^{3}\partial _{p}\partial _{q}h_{ij}(x)}$${\displaystyle i,j,p,q.}$

สมมติเพิ่มเติมว่า

• ${\displaystyle |x|^{4}R^{\Phi _{i}^{\ast }g}}$และมีขอบเขตสำหรับสิ่งใดๆ${\displaystyle |x|^{5}\partial _{p}R^{\Phi _{i}^{\ast }g}}$${\displaystyle p}$
• ${\displaystyle |x|^{2}(\Phi _{i}^{\ast }k)_{ij}(x),}$${\displaystyle |x|^{3}\partial _{p}(\Phi _{i}^{\ast }k)_{ij}(x),}$และสำหรับสิ่งใดก็ตาม${\displaystyle |x|^{4}\partial _{p}\partial _{q}(\Phi _{i}^{\ast }k)_{ij}(x)}$${\displaystyle p,q,i,j}$
• ${\displaystyle |x|^{3}((\Phi _{i}^{\ast }k)_{11}(x)+(\Phi ^{\ast }k)_{22}(x)+(\Phi _{i}^{\ast }k)_{33}(x))}$มีขอบเขตจำกัด

สรุปได้ว่า พลังงาน ADM ของแต่ละอันถูกกำหนดดังนี้ ${\displaystyle M_{1},\ldots ,M_{n},}$

${\displaystyle {\text{E}}(M_{i})={\frac {1}{16\pi }}\lim _{r\to \infty }\int _{|x|=r}\sum _{p=1}^{3}\sum _{q=1}^{3}{\big (}\partial _{q}(\Phi _{i}^{\ast }g)_{pq}-\partial _{p}(\Phi _{i}^{\ast }g)_{qq}{\big )}{\frac {x^{p}}{|x|}}\,d{\mathcal {H}}^{2}(x),}$

มีค่าไม่เป็นลบ นอกจากนี้ สมมติเพิ่มเติมว่า

• ${\displaystyle |x|^{4}\partial _{p}\partial _{q}\partial _{r}h_{ij}(x)}$และมีขอบเขตสำหรับสิ่งใดๆ${\displaystyle |x|^{4}\partial _{p}\partial _{r}\partial _{s}\partial _{t}h_{ij}(x)}$${\displaystyle i,j,p,q,r,s,}$

สมมติฐานที่ว่าสำหรับบางค่าหมายความว่าn = 1ว่าM เป็นดิฟเฟโอเมอ ร์ ฟิกกับℝ ³และว่าปริภูมิ Minkowski ℝ ^3,1เป็นการพัฒนาของชุดข้อมูลเริ่มต้น( M , g , k )${\displaystyle {\text{E}}(M_{i})=0}$${\displaystyle i\in \{1,\ldots ,n\}}$

ให้เป็นแมนิโฟลด์รีมันน์แบบเรียบสมบูรณ์สามมิติที่มีทิศทาง (ไม่มีขอบเขต) และให้เป็นเทนเซอร์ 2 มิติแบบสมมาตรเรียบ บนโดยที่ ${\displaystyle (M,g)}$${\displaystyle k}$${\displaystyle M}$

${\displaystyle R^{g}-|k|_{g}^{2}+(\operatorname {tr} _{g}k)^{2}\geq 2{\big |}\operatorname {div} ^{g}k-d(\operatorname {tr} _{g}k){\big |}_{g}.}$

สมมติว่าเป็นเซตย่อยแบบพรีคอมแพ็กต์เปิด ซึ่งมีส่วนประกอบที่เชื่อมต่อกันจำนวนจำกัดและสำหรับแต่ละมีดิฟเฟโอโมฟิซึมที่ทำให้เทนเซอร์ 2 มิติสมมาตร สอดคล้องกับเงื่อนไขต่อไปนี้: ${\displaystyle K\subset M}$${\displaystyle M\smallsetminus K}$${\displaystyle M_{1},\ldots ,M_{n},}$${\displaystyle \alpha =1,\ldots ,n}$${\displaystyle \Phi _{\alpha }:\mathbb {R} ^{3}\smallsetminus B_{1}(0)\to M_{i}}$${\displaystyle h_{ij}=(\Phi _{\alpha }^{\ast }g)_{ij}-\delta _{ij}}$

• ${\displaystyle |x|h_{ij}(x),}$${\displaystyle |x|^{2}\partial _{p}h_{ij}(x),}$และมีขอบเขตสำหรับทุกคน${\displaystyle |x|^{3}\partial _{p}\partial _{q}h_{ij}(x)}$${\displaystyle i,j,p,q.}$
• ${\displaystyle |x|^{2}(\Phi _{\alpha }^{\ast }k)_{ij}(x)}$และมีขอบเขตสำหรับทุกคน${\displaystyle |x|^{3}\partial _{p}(\Phi _{\alpha }^{\ast }k)_{ij}(x),}$${\displaystyle i,j,p.}$

สำหรับแต่ละกรณีให้กำหนดพลังงาน ADM และโมเมนตัมเชิงเส้นโดย ${\displaystyle \alpha =1,\ldots ,n,}$

${\displaystyle {\text{E}}(M_{\alpha })={\frac {1}{16\pi }}\lim _{r\to \infty }\int _{|x|=r}\sum _{p=1}^{3}\sum _{q=1}^{3}{\big (}\partial _{q}(\Phi _{\alpha }^{\ast }g)_{pq}-\partial _{p}(\Phi _{\alpha }^{\ast }g)_{qq}{\big )}{\frac {x^{p}}{|x|}}\,d{\mathcal {H}}^{2}(x),}$

${\displaystyle {\text{P}}(M_{\alpha })_{p}={\frac {1}{8\pi }}\lim _{r\to \infty }\int _{|x|=r}\sum _{q=1}^{3}{\big (}(\Phi _{\alpha }^{\ast }k)_{pq}-{\big (}(\Phi _{\alpha }^{\ast }k)_{11}+(\Phi _{\alpha }^{\ast }k)_{22}+(\Phi _{\alpha }^{\ast }k)_{33}{\big )}\delta _{pq}{\big )}{\frac {x^{q}}{|x|}}\,d{\mathcal {H}}^{2}(x).}$

สำหรับแต่ละกรณีให้พิจารณาว่านี่คือเวกเตอร์ในปริภูมิ Minkowski ข้อสรุปของ Witten คือ สำหรับแต่ละกรณีมันจำเป็นต้องเป็นเวกเตอร์ที่ไม่ใช่เชิงปริภูมิที่ชี้ไปยังอนาคต หากเวกเตอร์นี้เป็นศูนย์สำหรับทุกกรณีแล้วจะสมมูลกับและการพัฒนาแบบไฮเปอร์โบลิกทั่วโลกสูงสุดของชุดข้อมูลเริ่มต้นจะมีค่าความโค้งเป็นศูนย์ ${\displaystyle \alpha =1,\ldots ,n,}$${\displaystyle ({\text{P}}(M_{\alpha })_{1},{\text{P}}(M_{\alpha })_{2},{\text{P}}(M_{\alpha })_{3},{\text{E}}(M_{\alpha }))}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \alpha ,}$${\displaystyle n=1,}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3},}$${\displaystyle (M,g,k)}$

จากข้อความข้างต้น ข้อสรุปของ Witten แข็งแกร่งกว่าของ Schoen และ Yau อย่างไรก็ตาม บทความที่สามของ Schoen และ Yau ^{[ 4 ]}แสดงให้เห็นว่าผลลัพธ์ในปี 1981 ของพวกเขาบ่งชี้ถึงผลลัพธ์ของ Witten โดยคงไว้เพียงสมมติฐานเพิ่มเติมที่ว่าและถูกจำกัดสำหรับค่าใดๆนอกจากนี้ยังต้องสังเกตว่าผลลัพธ์ในปี 1981 ของ Schoen และ Yau อาศัยผลลัพธ์ในปี 1979 ของพวกเขา ซึ่งพิสูจน์โดยการขัดแย้ง ดังนั้นการขยายผลลัพธ์ในปี 1981 ของพวกเขาก็พิสูจน์โดยการขัดแย้งเช่นกัน ในทางตรงกันข้าม การพิสูจน์ของ Witten เป็นไปตามตรรกะโดยตรง แสดงให้เห็นพลังงาน ADM โดยตรงว่าเป็นปริมาณที่ไม่เป็นลบ ยิ่งไปกว่านั้น การพิสูจน์ของ Witten ในกรณีนี้สามารถขยายไปยังแมนิโฟลด์มิติสูงกว่าได้โดยไม่ต้องใช้ความพยายามมากนัก ภายใต้เงื่อนไขทางโทโพโลยีที่ว่าแมนิโฟลด์ยอมรับโครงสร้างสปิน^{[ 5 ]}ผลลัพธ์และการพิสูจน์ในปี 1979 ของ Schoen และ Yau สามารถขยายไปยังกรณีของมิติใดๆ ที่น้อยกว่าแปดได้^{[ 6 ]}เมื่อไม่นานมานี้ ผลลัพธ์ของ Witten โดยใช้วิธีการของ Schoen และ Yau (1981) ได้รับการขยายไปยังบริบทเดียวกัน^{[ 7 ]}โดยสรุป: ตามวิธีการของ Schoen และ Yau ทฤษฎีบทพลังงานบวกได้รับการพิสูจน์แล้วในมิติที่น้อยกว่าแปด ในขณะที่ตามวิธีการของ Witten ได้รับการพิสูจน์แล้วในมิติใดก็ได้ แต่มีข้อจำกัดในการตั้งค่าของแมนิโฟลด์สปิน ${\displaystyle |x|^{4}R^{\Phi _{i}^{\ast }g}}$${\displaystyle |x|^{5}\partial _{p}R^{\Phi _{i}^{\ast }g}}$${\displaystyle p.}$${\displaystyle \operatorname {tr} _{g}k=0}$

ณ เดือนเมษายน 2560 Schoen และ Yau ได้เผยแพร่บทความฉบับร่างที่พิสูจน์กรณีทั่วไปของมิติสูงในกรณีพิเศษโดยไม่มีข้อจำกัดใด ๆ เกี่ยวกับมิติหรือโทโพโลยี อย่างไรก็ตาม (ณ เดือนพฤษภาคม 2563) บทความดังกล่าวยังไม่ได้รับการตีพิมพ์ในวารสารวิชาการใด ๆ ${\displaystyle \operatorname {tr} _{g}k=0,}$

• ในปี 1984 Schoen ได้ใช้ทฤษฎีมวลบวกในงานของเขา ซึ่งเป็นการแก้ปัญหา Yamabeได้ สำเร็จ
• ทฤษฎีมวลบวกถูกนำมาใช้ใน การพิสูจน์ อสมการเพนโรสแบบรีมันน์ของฮิวเบิร์ต เบรย์

• ฟองอากาศที่ว่างเปล่า