ในทางคณิตศาสตร์แมนิโฟลด์สมบูรณ์ (หรือแมนิโฟลด์สมบูรณ์เชิง จีโอเดสิก ) Mคือแมนิโฟลด์แบบ รีมัน น์ (หรือแบบเสมือนรีมันน์ ) ซึ่งเมื่อเริ่มต้นจากจุดp ใดๆ บนMจะมีเส้นทางตรงทอดยาวไปอย่างไม่มีที่สิ้นสุดในทุกทิศทาง

ตามหลักการแล้ว แมนิโฟลด์จะสมบูรณ์ (ตามหลักจีโอเดสิก) หากสำหรับจีโอเดสิก สูงสุดใดๆ จะเป็นไปตามเงื่อนไข[ ^{1 ] จี}โอเดสิกจะสูงสุดหากโดเมนของมันไม่สามารถขยายได้ ${\displaystyle M}$${\displaystyle \ell :I\to M}$${\displaystyle I=(-\infty ,\infty )}$

ในทำนองเดียวกัน จะสมบูรณ์ ( ^ตามเส้นทางจีโอเดสิก) หากสำหรับทุกจุดแผนที่เอกซ์โพเนนเชียลที่ถูกกำหนดบนพื้นที่สัมผัสทั้งหมดที่[ ^{1 ]}${\displaystyle M}$${\displaystyle p\in M}$${\displaystyle p}$${\displaystyle T_{p}M}$${\displaystyle p}$

ทฤษฎีบทHopf–Rinowให้ลักษณะเฉพาะทางเลือกของความสมบูรณ์ ให้เป็น แมนิโฟลด์แบบรีมันน์ ที่เชื่อมต่อกันและให้เป็นฟังก์ชันระยะทางแบบรีมันน์ของ มัน${\displaystyle (M,g)}$${\displaystyle d_{g}:M\times M\to [0,\infty )}$

ทฤษฎีบท Hopf–Rinow ระบุว่าสมบูรณ์ (ตามเส้นทางจีโอเดสิก) ก็ต่อเมื่อตรงตามเงื่อนไขที่เทียบเท่ากันข้อใดข้อหนึ่งต่อไปนี้: ^{[ 2 ]}${\displaystyle (M,g)}$

• ปริภูมิเมตริกสมบูรณ์( ลำดับโคชี ทุก ตัวลู่เข้า)${\displaystyle (M,d_{g})}$${\displaystyle d_{g}}$
• เซตย่อยปิดและมีขอบเขตทั้งหมดของเป็นเซตกระชับ (compact set )${\displaystyle M}$

ปริภูมิยุคลิดทรงกลมและทอรัส (พร้อมด้วยเมตริกแบบรีมันน์ ตามธรรมชาติ ) ล้วนเป็นแมนิโฟลด์สมบูรณ์ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {S} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {T} ^{n}}$

แมนิโฟลด์รีมันน์ แบบกะทัดรัดทั้งหมดและแมนิโฟลด์เอกพันธุ์ทั้งหมดนั้นสมบูรณ์แบบในเชิงจีโอเดสิกปริภูมิสมมาตรทั้งหมดนั้นสมบูรณ์แบบในเชิงจีโอเดสิก

ตัวอย่างง่ายๆ ของแมนิโฟลด์ที่ไม่สมบูรณ์คือระนาบที่มีรูพรุน(พร้อมเมตริกที่เหนี่ยวนำ) ไม่สามารถกำหนดเส้นทางจีโอเดสิกที่ไปยังจุดกำเนิดบนเส้นจำนวนจริงทั้งหมดได้ จากทฤษฎีบทฮอปฟ์-ริโนว์ เราสามารถสังเกตได้อีกทางหนึ่งว่ามันไม่ใช่ปริภูมิเมตริกที่สมบูรณ์: ลำดับใดๆ ในระนาบที่ลู่เข้าสู่จุดกำเนิดจะเป็นลำดับโคชีที่ไม่ลู่เข้าในระนาบที่มีรูพรุน ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\smallsetminus \lbrace 0\rbrace }$

มีแมนิโฟลด์แบบซูโดรีมันน์ขนาดกะทัดรัดที่ไม่สมบูรณ์แบบตามเส้นทางจีโอเดสิก (แต่ไม่ใช่แมนิโฟลด์แบบรีมันน์) อยู่ ตัวอย่างเช่น โทรัสคลิฟตัน-โพห์ล

ในทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปซึ่งอธิบายแรงโน้มถ่วงในแง่ของเรขาคณิตแบบเสมือนรีมันน์ มีตัวอย่างสำคัญมากมายของปริภูมิที่ไม่สมบูรณ์ในเชิงจีโอเดสิก เช่นหลุมดำที่ไม่หมุนและไม่มีประจุหรือจักรวาลวิทยาที่มีบิ๊กแบงข้อเท็จจริงที่ว่าความไม่สมบูรณ์ดังกล่าวค่อนข้างเป็นเรื่องปกติในทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปนั้นแสดงให้เห็นได้จาก ทฤษฎีบทเอกภาวะ ของ เพนโรส-ฮอว์คิง

ถ้าสมบูรณ์ตามหลักจีโอเดสิกแล้ว มันจะไม่สมมาตรกับซับแมนิโฟลด์แบบเปิดที่เหมาะสมของแมนิโฟลด์รีมันน์อื่นใด ในทางกลับกันจะไม่เป็นจริง^{[ 3 ]}${\displaystyle M}$