ในเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์และเรขาคณิตเชิงพีชคณิตพื้นผิวเอนเนเปอร์เป็นพื้นผิวที่ตัดกันเองซึ่งสามารถอธิบายได้ด้วย พาราเมตริก ดังนี้:$${\displaystyle {\begin{aligned}x&={\tfrac {1}{3}}u\left(1-{\tfrac {1}{3}}u^{2}+v^{2}\right),\\y&={\tfrac {1}{3}}v\left(1-{\tfrac {1}{3}}v^{2}+u^{2}\right),\\z&={\tfrac {1}{3}}\left(u^{2}-v^{2}\right).\end{aligned}}}$$

อัลเฟรด เอนเนเปอร์นำเสนอทฤษฎีนี้ในปี พ.ศ. 2407 โดยเชื่อมโยงกับทฤษฎีพื้นผิวขั้นต่ำ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]}

การกำหนดพารามิเตอร์แบบ Weierstrass –Enneperนั้นง่ายมากและสามารถคำนวณรูปแบบพารามิเตอร์ที่แท้จริงได้ง่ายจากมัน พื้นผิวนั้นเป็นคู่สมกับตัวมันเอง ${\displaystyle f(z)=1,g(z)=z}$

วิธีการปริยายของเรขาคณิตเชิงพีชคณิตสามารถนำมาใช้เพื่อหาว่าจุดต่างๆ ในพื้นผิว Enneper ที่กำหนดข้างต้นนั้นสอดคล้องกับสมการพหุ นามดีกรี 9 หรือไม่$${\displaystyle {\begin{aligned}&64z^{9}-128z^{7}+64z^{5}-702x^{2}y^{2}z^{3}-18x^{2}y^{2}z+144(y ^{2}z^{6}-x^{2}z^{6})\\&{}+162(y^{4}z^{2}-x^{4}z^{2})+27(y^{6}-x^{6})+9(x^{4}z+y^ {4}z)+48(x^{2}z^{3}+y^{2}z^{3})\\&{}-432(x^{2}z^{5}+y^{2}z^{5})+81(x^{4}y^{2}-x^{2}y^{4})+240(y^{2}z^{4}-x^{2}z^{4})-135(x^{4}z^{3}+y^{4}z^{3})=0.\end{aligned}}}$$

ในทำนองเดียวกันระนาบสัมผัสที่จุดที่มีพารามิเตอร์ที่กำหนดคือโดยที่ สัมประสิทธิ์ของมันสอดคล้องกับสมการพหุนามดีกรี 6 โดยปริยาย ${\displaystyle a+bx+cy+dz=0,\ }$$${\displaystyle {\begin{aligned}a&=-\left(u^{2}-v^{2}\right)\left(1+{\tfrac {1}{3}}u^{2}+{\tfrac {1}{3}}v^{2}\right),\\b&=6u,\\c&=6v,\\d&=-3\left(1-u^{2}-v^{2}\right).\end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}&162a^{2}b^{2}c^{2}+6b^{2}c^{2}d^{2}-4(b^{6}+c^{6})+54(ab^{4}d-ac^{4}d)+81(a^{2}b^{4}+a^{2}c^{4})\\&{}+4(b^{4}c^{2}+b^{2}c^{4})-3(b^{4}d^{2}+c^{4}d^{2})+36(ab^{2}d^{3}-ac^{2}d^{3})=0.\end{aligned}}}$$

ความโค้ง ของJacobian , Gaussianและความโค้งเฉลี่ยคือ ความโค้งทั้งหมด คือOsserman พิสูจน์แล้วว่าพื้นผิวขั้นต่ำที่สมบูรณ์ในที่มีความโค้งทั้งหมดคือcatenoidหรือพื้นผิว Enneper ^{[ 5 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}J&={\frac {1}{81}}(1+u^{2}+v^{2})^{4},\\K&=-{\frac {4}{9}}{\frac {1}{J}},\\H&=0.\end{aligned}}}$$${\displaystyle -4\pi }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle -4\pi }$

เส้นโค้งที่ได้จากการตั้งค่าหรือเป็นเส้นจีโอเดสิกของพื้นผิว Enneper และเป็นสำเนาของลูกบาศก์Tschirnhausen ^{[ 6 ]}${\displaystyle u=0}$${\displaystyle v=0}$

คุณสมบัติอีกประการหนึ่งคือพื้นผิว Bézier ขั้นต่ำแบบ bicubical ทั้งหมดเป็น ชิ้นส่วนของพื้นผิวโดยขึ้นอยู่กับการแปลงเชิงเส้นตรง^{[ 7 ]}

สามารถขยายความไปสู่สมมาตรการหมุนลำดับที่สูงกว่าได้โดยใช้การกำหนดพารามิเตอร์ Weierstrass–Enneper สำหรับจำนวนเต็ม k>1 ^{[ 3 ]}นอกจากนี้ยังสามารถขยายความไปสู่มิติที่สูงกว่าได้ พื้นผิวที่คล้าย Enneper เป็นที่ทราบกันว่ามีอยู่สำหรับ n สูงสุดถึง 7 ^{[ 8 ]}${\displaystyle f(z)=1,g(z)=z^{k}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

ดูเพิ่มเติมที่^{[ 9 ] [ 10 ]}สำหรับพื้นผิว Enneper พีชคณิตลำดับสูงกว่า

• "พื้นผิวเอนเนเปอร์" , สารานุกรมคณิตศาสตร์ , EMS Press , 2001 [1994]
• สถาบันวิจัยวิทยาศาสตร์คณิตศาสตร์ - พื้นผิวเอนเนเปอร์แบบทั่วไป(เก็บถาวร)
• วิทยาลัยฮาร์วีย์ มัดด์ - พื้นผิวของเอนเนเปอร์(เก็บถาวร)