ปัญหาข้อที่เก้าของฮิลเบิร์ตจากรายการปัญหา 23 ข้อของฮิลเบิร์ต (ค.ศ. 1900) ถามถึงการค้นหา กฎการแลกเปลี่ยนทั่วไปที่สุดสำหรับเศษเหลือของ บรรทัดฐานลำดับที่ kในฟิลด์จำนวนพีชคณิต ทั่วไป โดยที่kเป็นกำลังของจำนวน เฉพาะ

ปัญหาได้รับการแก้ไขบางส่วนแล้วสำหรับส่วนขยายแบบอาเบเลียนโดย หลักการแลกเปลี่ยนของ อาร์ตินและทฤษฎีฟิลด์ชั้นสำหรับส่วนขยายแบบอาเบเลียนของฟิลด์จำนวน การขยายผลลัพธ์เหล่านี้ไปยังทฤษฎีฟิลด์ชั้นที่ไม่ใช่แบบอาเบเลียนดูเหมือนจะเป็นหนึ่งในปัญหาที่ท้าทายที่สุดในทฤษฎีจำนวนเชิงพีชคณิต ซึ่งเกี่ยวข้องกับ ปัญหาที่สิบสองของฮิลเบิร์ต ด้วย

ปัญหาดังกล่าวได้รับการแก้ไขบางส่วนโดยArtin (1924) , Artin (1927)และArtin (1930)โดยการสร้างกฎการแลกเปลี่ยนของ Artin ซึ่งเกี่ยวข้องกับการขยายแบบอาเบเลียนของฟิลด์จำนวน ร่วมกับผลงานของTeiji TakagiและHelmut Hasse (ผู้สร้างกฎการแลกเปลี่ยนของ Hasse ที่มีความทั่วไปมากกว่า) ทำให้เกิดการพัฒนาทฤษฎีฟิลด์ชั้น ซึ่งเป็นการตระหนักถึงโครงการของ Hilbert ในรูปแบบนามธรรม ต่อมา Igor Shafarevich (1948; 1949; 1950) ได้ค้นพบสูตรที่ชัดเจนบางอย่างสำหรับเศษเหลือของบรรทัดฐาน

ในจดหมายที่โรเบิร์ต แลงแลนด์ส เขียนถึง อังเดร ไวล์ ในปี 1967 เขาได้ตั้งข้อสันนิษฐานเกี่ยวกับความสัมพันธ์แบบผกผันที่ไม่เป็นอะเบเลียน โดยเกี่ยวข้องกับฟังก์ชัน L ของอาร์ตินและฟังก์ชัน L แบบอัตโนมัติ : สำหรับส่วนขยายฟิลด์จำนวนจำกัดให้เป็นการแทนแบบไม่สามารถลดทอนได้ของกลุ่มกาโลอิสของส่วนขยายนี้ และเป็นวงแหวนอะเดลของถ้าเป็นฟังก์ชัน L ของอาร์ตินสำหรับกลุ่มกาโลอิสและการแทนนี้ ข้อสันนิษฐานเรื่องความสัมพันธ์แบบผกผันของแลงแลนด์สกล่าวว่า มีการแทนแบบคัสปิเดลอัตโนมัติของกลุ่มเชิงเส้นทั่วไปที่: ${\displaystyle L/K}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \mathbf {A} _{K}}$${\displaystyle K}$${\displaystyle L(s,\rho ,L/K)}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle GL(n,A_{K})}$

${\displaystyle L(s,\pi )=L(s,\rho ,L/K)}$

ฟังก์ชัน L อัตโนมัติสำหรับการแสดงแทนนี้อยู่ที่ไหน ข้อสันนิษฐานนี้เป็นการขยายความสัมพันธ์แบบอาร์ติน และกลายเป็นจุดเริ่มต้นสำหรับ โปรแกรมแลงแลนด์ที่ ทั่วไปกว่ามาก แม้จะมีผลลัพธ์บางอย่างเกี่ยวกับโปรแกรมแลงแลนด์ แต่ข้อสันนิษฐานนี้ดูเหมือนจะยังห่างไกลจากการพิสูจน์ แต่ก็ยังคงเป็นข้อเสนอที่ดีที่สุดในการแก้ปัญหาที่เก้าของฮิลเบิร์ต ${\displaystyle L(s,\pi )}$

• รายชื่อปัญหาที่ยังแก้ไม่ตกในวิชาคณิตศาสตร์

• คำแปลภาษาอังกฤษของสุนทรพจน์ต้นฉบับของฮิลเบิร์ต